null第二章
一阶微分方程的初等解法第二章
一阶微分方程的初等解法第3节 恰当方程 2.3.1 恰当微分方程 2.3.1 恰当微分方程 将一阶微分方程写成如下形式
其中M(x,y)与N(x,y)为某矩形域内的连续函数,且具有连续的一阶偏导数.如果上述方程左端恰好是某个二元函数u(x,y)的全微分,即
du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy
则称方程为恰当微分方程.
恰当方程的充分必要条件是:
null求解原方程即是求出二元函数 u(x,y) 的
表
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达式.
由充要条件有
如果 (y) 能求,则解即已求出.
另外,有关系式
即
从而 null积分可得
从而可得
所以原方程的通解是: null例1 求(3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0的通解.
解:
记M=3x2+6xy2, N=6x2y+4y3.
则有
所以方程是恰当方程.
因此null而
从而
即 (y)=y4
从而u=x3 + y4 + 3x2y2.
所以方程的通解为: x3 + y4 + 3x2y2=C.
null常用全微分公式:null例2 用“分项组合”的办法,求解例1. (3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0
解:
拆项: 3x2dx +6xy2dx+6x2y dy +4y3dy=0
dx3 + dy4 + 3y2dx2 + 3x2dy2 =0
d(x3 + y4 + 3x2y2)=0
所以通解为: x3 + y4 + 3x2y2=C. null例3 求解方程
解:记
检验是否恰当方程:
所以方程是恰当方程,对方程重新分项组合: null
所以方程通解为 2.3.2 积分因子2.3.2 积分因子引入积分因子将非恰当方程化为恰当方程.
如果存在连续可微的函数=(x,y)0,使得
(x,y) M(x,y)dx + (x,y) N(x,y)dy =0为恰当方程,则称(x,y)为方程M(x,y)dx + N(x,y)dy =0的积分因子.
相当于存在函数v(x,y),使
(x,y) M(x,y)dx + (x,y) N(x,y)dy =dv(x,y)
亦即 v(x,y)=C 为上述方程的通解.
积分因子存在且不唯一. 所以,由于积分因子的不同可导致通解的形式不同.
null由恰当方程的充要条件:
若积分因子只与x有关,则充要条件变为:
则方程存在只与 x 有关的积分因子的充要条件为
则,由此可求出方程的积分因子为 null同理,方程存在只与y有关的积分因子的充要条件为
由此又可求得方程的积分因子为 null例4 试用积分因子法解线性微分方程
解:
解:先将方程变形为: [P(x)y+Q(x)]dxdy=0.
即M= P(x)y+Q(x), N= 1
而 null所以方程有只与 x 有关的积分因子
方程两端乘以积分因子得 null两边积分可得通解为
即 null例5 求解方程
解:
方程改写: null等式左端恰为二元函数 x2+y2 的全微分,则方程变为
两边积分可得通解为: null例6 求解方程ydx+(yx)dy=0.
解:方法1
方程变为 ydxxdy+ydy=0
两边积分可得
即通解为 null方法2
记M=y,N=yx
所以方程有只与 y 有关的积分因子
方程两边乘积分因子得 nullnull方法3
还可将方程化成齐次型方程进行求解
方程化为 作 业作 业P60
2.
(4),(9)