选修4_5 不等式选讲 选修4_5 不等式选讲 课 题： 第01课时 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面
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明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。 本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。 生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为 ，加入m克糖 后的糖水浓度为 ，只要证 > 即可。怎么证呢? 二、不等式的基本性质： 1、实数的运算性质与大小顺序的关系： 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知： 得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。 2、不等式的基本性质： ①、如果a>b，那么b
b。(对称性) ②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>c a>c。 ③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>b a+c>b+c。 推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b， c>d a+c>b+d． ④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么acb >0，那么 (n N，且n>1) ⑥、如果a>b >0，那么 (n N，且n>1)。 三、典型例题： 例1、已知a>b，cb-d． 例2已知a>b>0，c<0，求证： 。 四、练习： 五、作业： 选修4_5 不等式选讲 课 题： 第02课时 含有绝对值的不等式的解法 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。 关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。 1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义. 请同学们回忆一下绝对值的意义。 在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即 。 2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。 第一种类型。 设a为正数。根据绝对值的意义，不等式 的解集是 ，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间（－a，a），如图所示。 图1-1 如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。 第二种类型。 设a为正数。根据绝对值的意义，不等式 的解集是 { 或 } 它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间 的并集。如图1-2所示。 – 图1-2 同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。 二、典型例题： 例1、解不等式 。 例2、解不等式 。 方法1：分域讨论 ★方法2：依题意， 或 ，（为什么可以这么解？） 例3、解不等式 。 例4、解不等式 。 解 本题可以按照例3的方法解，但更简单的解法是利用几何意义。原不等式即数轴上的点x到1，2的距离的和大于等于5。因为1，2的距离为1，所以x在2的右边，与2的距离大于等于2（＝（5－1） ；或者x在1的左边，与1的距离大于等于2。这就是说， 或 例5、不等式 > ，对一切实数 都成立，求实数 的取值范围。 三、小结： 四、练习：解不等式 1、 2、 3、 . 4、 . 5、 6、 . 7、 8、 9、 10、 五、作业： 选修4_5 不等式选讲 课 题： 第03课时 含有绝对值的不等式的证明 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质： （1） （2） （3） （4） 请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质 和 可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明 对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。 现在请同学们讨论一个问题：设 为实数， 和 哪个大？ 显然 ，当且仅当 时等号成立（即在 时，等号成立。在 时，等号不成立）。同样， 当且仅当 时，等号成立。 含有绝对值的不等式的证明中，常常利用 、 及绝对值的和的性质。 二、典型例题： 例1、证明 （1） ， （2） 。 证明（1）如果 那么 所以 如果 那么 所以 （2）根据（1）的结果，有 ，就是， 。 所以， 。 例2、证明 。 例3、证明 。 思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？ （设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段 当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。） 探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式 的几何解释？ 含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。 例4、已知 ，求证 证明 （1） ， ∴ （2） 由（1），（2）得： 例5、已知 求证： 。 证明 ，∴ ， 由例1及上式， 。 注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。 三、小结： 四、练习： 1、已知 求证： 。 2、已知 求证： 。 五、作业： 链接：不等式的图形 借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用绝对值和绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速而准确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效地解决问题。我们再来通过几个具体问题体会不等式图形的作用。 1．解不等式 。 题意即是在数轴上找出到 与 的距离之和不大于到点 的距离的所有流动点 。 首先在数轴上找到点 ， ， （如图）。 -1 0 1 2 3 从图上判断，在 与 之间的一切点显示都合乎要求。事实上，这种点到 与 的距离和正好是1，而到 的距离是 。 现在让流动点 由点 向左移动，这样它到点 的距离变，而到点 与 的距离增大，显然，合乎要求的点只能是介于 与 之间的某一个点 。 由 可得 再让流动点 由点 向右移动，虽然这种点到 与 的距离的和及到 的距离和都在增加，但两相比较，到 与 的距离的和增加的要快。所以，要使这种点合乎要求，也只能流动到某一点 而止。 由 可得 从而不等式的解为 2．画出不等式 的图形，并指出其解的范围。 先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于： ， ， . 其图形是由第一象限中直线 下方的点所组成。 同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式 的图形是以原点O为中心，四个等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。 探究：利用不等式的图形解不等式 1. ; 2． A组 1．解下列不等式： （1） （2） 1 （3） （4） 2．解不等式： （1） （2） 3．解不等式： （1） （2） 4．利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式 < 有解， 要满足什么条件？ 5．已知 求证： （1） ；（2） 6．已知 求证： 7．已知 求证： B组 *****8．求证 *****9．已知 求证： 10．若 为任意实数， 为正数，求证： （ ，而 ） 选修4_5 不等式选讲 课 题： 第03课时 指数不等式的解法 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 二、典型例题： 例1、解不等式 解：原不等式可化为： ∵底数2>1 ∴ 整理得： 解之，不等式的解集为{x|-32或 ∴不等式的解集为{x|x>2或 } 例3、解不等式： (当a>1时 当01时有 （其实中间一个不等式可省） 当01时不等式的解集为 ； 当01时有0a ∴原不等式的解集为{x|01}或{x|x>a, 01时原不等式化为： ∴ ∴ ∴ ∴原不等式的解集为 或 三、小结： 四、练习： 解下列不等式 1． (-21 ， 若01时 ∴ 当m=1时 ∴xφ 当02或x<1 当 即= 时 xφ 当 即( , )时 ∴11时 B=[1,a] 当a>2时 AB 当1≤a≤2时 AB 当a≤1时 A∩B仅含一个元素 例6、方程 有相异两实根，求a的取值范围。 解：原不等式可化为 ，令： 则 设 又∵a>0 三、小结： 四、练习： 五、作业： 1． 2． 若 求a的取值范围 (a≥1) 3． 4． 5．当a在什么范围内方程： 有两个 不同的负根 6．若方程 的两根都对于2，求实数m的范围。 选修4_5 不等式选讲 课 题： 第07课时 不等式的证明方法之一：比较法 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质： 二、典型例题： 例1、设 ，求证： 。 例2、若实数 ，求证： 证明：采用差值比较法： = = = = ∴ ∴ 讨论：若题设中去掉 这一限制条件，要求证的结论如何变换？ 例3、已知 求证 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于 对称，不妨设 ，从而原不等式得证。 2）商值比较法：设 故原不等式得证。 注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。 例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度 行走，另一半时间以速度 行走；乙有一半路程以速度 行走，另一半路程以速度 行走。如果 ，问甲、乙两人谁先到达指定地点。 分析：设从出发地点至指定地点的路程是 ，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为 。要回答题目中的问题，只要比较 的大小就可以了。 解：设从出发地点至指定地点的路程是 ，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为 ，根据题意有 ， ，可得 ， ， 从而 ， 其中 都是正数，且 。于是 ，即 。 从而知甲比乙首先到达指定地点。 讨论：如果 ，甲、乙两人谁先到达指定地点？ 例5、设 求证；对任意实数 ，恒有 （1） 证明 考虑（1）式两边的差。 ＝ ＝ （2） 即（1）成立。 三、小结： 四、练习： 五、作业： 1．比较下面各题中两个代数式值的大小： （1） 与 ；（2） 与 . 2．已知 求证：（1） （2） 3．若 ，求证 4．比较a4-b4与4a3(a-b)的大小． 解： a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3) = (a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]= - (a-b)2(3a3+2ab+b2) = - (a-b)2 (当且仅当d＝b时取等号) ∴a4-b4 4a3(a-b)。 5．比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小． 6．已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小． 7．如果x>0，比较 与 的大小． 8．已知a≠0，比较 与 的大小． 9．设x 1，比较x3与x2-x+1的大小． 说明：“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。 阅读材料：琴生不等式 例5中的不等式 有着重要的数学背景，它与高等数学中的一类凸函数有着密切的关系，也是琴生（Jensen）不等式的特例。 琴生在1905年给出了一个定义： 设函数 的定义域为[a,b]，如果对于[a,b]内任意两数 ，都有 （1） 则称 为[a,b]上的凸函数。 若把（1）式的不等号反向，则称这样的 为[a,b]上的凹函数。 凸函数的几何意义是：过 曲线上任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上。 其推广形式是：若函数 的是[a,b]上的凸函数，则对[a,b]内的任意数 ，都有 （2） 当且仅当 时等号成立。一般称（2）式为琴生不等式。 更为一般的情况是：设 是定义在区间[a,b]上的函数，如果对于[a,b]上的任意两点 ，有 其中 ，则称 是区间[a,b]上的凸函数。如果不等式反向，即有 则称 是[a,b]上的凹函数。 其推广形式 ，设 ， 是[a,b]上的凸函数，则对任意 有 ， 当且仅当 时等号成立。 若 是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生（Jensen）不等式。把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式。 选修4_5 不等式选讲 课 题： 第08课时 不等式的证明方法之二：综合法与分析法 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。 所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。 以前得到的结论，可以作为证明的根据。特别的， 是常常要用到的一个重要不等式。 二、典型例题： 例1、 都是正数。求证： 证明：由重要不等式 可得 本例的证明是综合法。 例2、设 ，求证 证法一 分析法 要证 成立. 只需证 成立， 又因 ， 只需证 成立， 又需证 成立， 即需证 成立. 而 显然成立. 由此命题得证。 证法二 综合法 注意到 ，即 ， 由上式即得 ， 从而 成立。 议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？ 例3、已知a，b，m都是正数，并且 求证： （1） 证法一 要证（1），只需证 （2） 要证（2），只需证 （3） 要证（3），只需证 （4） 已知（4）成立，所以（1）成立。 上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。 证法二 因为 是正数，所以 两边同时加上 得 两边同时除以正数 得（1）。 读一读：如果用 或 表示命题P可以推出命题Q（命题Q可以由命题P推出），那么采用分析法的证法一就是 （1） 而采用综合法的证法二就是 如果命题P可以推出命题Q，命题Q也可以推出命题P，即同时有 ，那么我们就说命题P与命题Q等价，并记为 在例2中，由于 都是正数，实际上 例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。 分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为 ，则周长为 的圆的半径为 ，截面积为 ；周长为 的正方形为 ，截面积为 。所以本题只需证明 。 证明：设截面的周长为 ，则截面是圆的水管的截面面积为 ，截面是正方形的水管的截面面积为 。只需证明： 。 为了证明上式成立，只需证明 。 两边同乘以正数 ，得： 。 因此，只需证明 。 上式显然成立，所以 。 这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。 例5、证明： 。 证法一 因为 （2） （3） （4） 所以三式相加得 （5） 两边同时除以2即得（1）。 证法二 因为 所以（1）成立。 例6、证明： （1） 证明 （1） （2） （3） （4） （5） （5）显然成立。因此（1）成立。 例7、已知 都是正数，求证 并指出等号在什么时候成立？ 分析：本题可以考虑利用因式分解公式 着手。 证明： = = 由于 都是正数，所以 而 ， 可知 即 （等号在 时成立） 探究：如果将不等式 中的 分别用 来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式： ，其中 是互不相等的正数，且 . 三、小结： 解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。 四、练习： 1、已知 求证： 2、已知 求证 3、已知 求证 4、已知 求证： （1） （2） 5、已知 都是正数。求证： （1） （2） 6、已知 都是互不相等的正数，求证 五、作业： 选修4_5 不等式选讲 课 题： 第09课时 不等式的证明方法之三：反证法 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。 反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。 利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定； 第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。 二、典型例题： 例1、已知 ，求证： （ 且 ） 例1、设 ，求证 证明：假设 ，则有 ，从而 因为 ，所以 ，这与题设条件 矛盾，所以，原不 等式 成立。 例2、设二次函数 ，求证： 中至少有一个不小于 . 证明：假设 都小于 ，则 （1） 另一方面，由绝对值不等式的性质，有 （2） （1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。 注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。 议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？ 例3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于 证：设(1 a)b > , (1 b)c > , (1 c)a > , 则三式相乘：ab < (1 a)b•(1 b)c•(1 c)a < ① 又∵0 < a, b, c < 1 ∴ 同理： , 以上三式相乘： (1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤ 与①矛盾 ∴原式成立 例4、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0 证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c = a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 又：若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可证：b > 0, c > 0 三、小结： 四、练习： 1、利用反证法证明：若已知a，b，m都是正数，并且 ，则 2、设0 < a, b, c < 2，求证：(2 a)c, (2 b)a, (2 c)b,不可能同时大于1 3、若x, y > 0，且x + y >2，则 和 中至少有一个小于2。 提示：反设 ≥2， ≥2 ∵x, y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾。 五、作业： 选修4_5 不等式选讲 课 题： 第10课时 不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。 下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。 二、典型例题： 例1、若 是自然数，求证 证明： = = 注意：实际上，我们在证明 的过程中，已经得到一个更强的结论 ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。 例2、求证： 证明：由 （ 是大于2的自然数） 得 例3、若a, b, c, dR+，求证： 证：记m = ∵a, b, c, dR+ ∴ ∴1 < m < 2 即原式成立。 例4、当 n > 2 时，求证： 证：∵n > 2 ∴ ∴ ∴n > 2时, 三、小结： 四、练习： 1、设 为大于1的自然数，求证 2、设 为自然数，求证 五、作业： A组 1、对于任何实数 ，求证： （1） ；（2） 2、设 ，求证： （1） ；（2） 3、证明不等式 . 4、若 都是正数，求证： 5、若 求证 6、如果 同号，且均不为0. 求证： ，并指出等号成立的条件. 7、设 是互不相等的正数，求证： 8、已知三个正数 的和是1，求证这三个正数的倒数的和必不小于9. 9、若 ，则 . 10、设 ，且 求证： 11、已知 ，求证：（1） ；（2） . 12、设 是互不相等的正数，求证： 13、已知 都是正数，求证： （1） （2） 14、已知 求证： 15、已知 求证： 16、已知 都是正数，且有 求证： 17、已知 都是正数，且 ， 求证： 18、设 的三条边为 求证 . 19、已知 都是正数，设 求证： 20、设 是自然数，利用放缩法证明不等式 21、若 是大于1的自然数，试证 B组 22、已知 都是正数，且 求证： 23、设 ，试用反证法证明 不能介于 与 之间。 24、若 是自然数，求证 链接：放缩法与贝努利不等式 在用放缩法证明不等式时，有时需要“舍掉几个正项”以便达到目的。就是说，如果在和式 里 都是正数，可以舍掉 ，从而得到一个明显成立的不等式 . 例如，对于任何 和任何正整数 ，由牛顿二项式定理可得 舍掉等式右边第三项及其以后的各项，可以得到不等式： . 在后面章节的学习中，我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性。该不等式不仅当 是正整数的时候成立，而且当 是任何大于1的有理数的时候也成立。这就是著名的贝努利不等式。 在今后的学习中，可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式：设 ，则在 或 时， ，在 时， 阅读材料：贝努利家族小史 在数学发展史上，17-18世纪出现了一个著名的数学世家——贝努利（Bernoulli）家族（瑞士），这个家族中的三代人中共出现了8位数学家，它们几乎对当时数学的各个分支都做出了杰出的贡献。其中，又以第一代的雅各布•贝努利（Jacob Bernoulli，1654.12-1705.8）、约翰•贝努利（Johann Bernoulli，1667.8-1748.1）兄弟和第二代的丹尼尔•贝努利（Danial Bernoulli，1700.2-1782.3，约翰•贝努利的儿子）最为著名。 在数学的多个分支中，以“贝努利”命名的定义、定理、公式数不胜数。除了我们前面提到的“贝努利不等式”之外，将来会有机会学习到微积分中的“贝努利方程”、“贝努利级数判别法”，解析几何中的“贝努利双纽线”，概率论中的“贝努利定理”（即“大数定律”的早期形式）、“贝努利数”、“贝努利多项式”等等。特别是，丹尼尔•贝努利创造性地将数学方法应用到物理学的研究中，取得了卓著的成就，被推崇为数学物理方法的奠基人。 贝努利家族之所以取得如此大的数学成就，至少有以下几个方面的主要原因： （1）对数学的真挚热爱。考察贝努利家族的8位数学家，可以发现一个共同的特点：都是从父辈不同意他们研究数学，而要求他们经商、从医或做律师开始，到最终走上从事数学的生涯。这一过程中，个人对数学的极大热情和兴趣起到了决定性的作用。当然，家族的数学传统和学习精神的影响也是不容忽视的重要因素。 （2）广泛的学术交流。贝努利家族的成员们，都注重与当时的数学家和科学家进行广泛的学术交流和争辩，以此互相促进和提高。如雅各布•贝努利、约翰•贝努利与他们那个时代的大数学家、微积分的创始人莱布尼茨之间，丹尼尔•贝努利与当时欧洲数学界的中心人物——欧拉的频繁通信交流成为数学史上的美谈。 （3）继承基础上的大胆创新。在继承已有数学研究成果的基础上大胆开拓、创新，是贝努利家族成员从事研究的又一个共同特点。贝努利家族的主要成员正处于数学思想方法的两次大转变时期：一是从常量数学到变量数学的转折；二是从确定性数学到可能性数学的转折。他们不仅善于接纳新思想、新方法，更是进行了大胆地改进、突破，取得了许多开创性的成就。 亲爱的同学们，你能从贝努利家族的成功中得到哪些启示呢？ 选修4_5 不等式选讲 课 题： 第11课时 几个著名的不等式之一：柯西不等式 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。 1、什么是柯西不等式： 定理1：（柯西不等式的代数形式）设 均为实数，则 ， 其中等号当且仅当 时成立。 证明： 几何意义：设 ， 为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（ ），B（ ），那么它们的数量积为 ， 而 ， ， 所以柯西不等式的几何意义就是： ， 其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。 2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设 ， 为平面上的两个向量，则 ，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。 3、定理3：（三角形不等式）设 为任意实数，则： 分析： 思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？ 4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设 为大于1的自然数， （ 1，2，…， ）为任意实数，则： ，其中等号当且仅当 时成立（当 时，约定 ， 1，2，…， ）。 证明：构造二次函数： 即构造了一个二次函数： 由于对任意实数 ， 恒成立，则其 ， 即： ， 即： ， 等号当且仅当 ， 即等号当且仅当 时成立（当 时，约定 ， 1，2，…， ）。 如果 （ ）全为0，结论显然成立。 柯西不等式有两个很好的变式： 变式1 设 ，等号成立当且仅当 变式2 设ai，bi同号且不为0（i=1，2，…，n），则： ，等号成立当且仅当 。 二、典型例题： 例1、已知 ， ，求证： 。 例2、设 ，求证： 。 例3、设 为平面上的向量，则 。 例4、已知 均为正数，且 ，求证： 。 方法1： 方法2：（应用柯西不等式） 例5：已知 ， ，…， 为实数，求证： 。 分析： 推论：在 个实数 ， ，…， 的和为定值为S时，它们的平方和不小于 ，当且仅当 时，平方和取最小值 。 三、小结： 四、练习： 1、设x1，x2，…，xn >0, 则 2、设 （i=1，2，…，n）且 求证: ． 3、设a为实常数,试求函数 (x∈R)的最大值． 4、求函数 在 上的最大值,其中a，b为正常数． 五、作业： 1、已知： ， ,证明： 。 提示：本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明。 2、若 ，且 = ， = ，求证： 都是不大于 的非负实数。 证明：由 代入 = 可得 ∵ ∴△≥0 即 化简可得 ： ∵ ∴ 同理可得： ， 由此可见，在平常的解题中，一些证明定理、公理、不等式的方法都可以为我们所用；只要能灵活运用，就能收到事半功倍的效果。 3、设a﹐b为不相等的正數，试证：(a＋b)(a3＋b3)＞(a2＋b2)2。 4、设x，y，z为正实数，且x+y+z=10，求 的最小值。 5、设x，y，zR，求 的最大值。 6、ΔABC之三边长为4，5，6，P为三角形內部一点P，P到三边的距离分別为x，y，z，求x2+y2+z2的最小值。 解：s= ABC面积= 且ABC=PAB+PBC+PAC 4x+5y+6z= 由柯西不等式 (4x+5y+6z)2(x2+y2+z2)(42+52+62) (x2+y2+z2)77 x2+y2+z2 7、设三个正实数a,b,c满足 ，求证： a，b，c一定是某三角形的三边长。 8、求证 个正实数a1，a2，…，an满足 9、已知 ,且 求证: 。 10、设 ,求证: 。 11、设 ,且x+2y+3z=36,求 的最小值． 选修4_5 不等式选讲 课 题： 第12课时 几个著名的不等式之二：排序不等式 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 1、问题：若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45min，25 min和30 min，每台电脑耽误1 min，网吧就会损失0.05元。在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？ 分析： 二、排序不等式： 1、基本概念： 一般地，设有两组数： ≤ ≤ ， ≤ ≤ ，我们考察这两组数两两对应之积的和，利用排列组合的知识，我们知道共有6个不同的和数，它们是： 对 应 关 系 和 备 注 （ ， ， ） （ ， ， ） 同序和 （ ， ， ） （ ， ， ） 乱序和 （ ， ， ） （ ， ， ） 乱序和 （ ， ， ） （ ， ， ） 乱序和 （ ， ， ） （ ， ， ） 乱序和 （ ， ， ） （ ， ， ） 反序和 根据上面的猜想，在这6个不同的和数中，应有结论： 同序和 最大，反序和 最小。 2、对引例的验证： 对 应 关 系 和 备 注 （1，2，3） （25，30，45） 同序和 （1，2，3） （25，45，30） 乱序和 （1，2，3） （30，25，45） 乱序和 （1，2，3） （30，45，25） 乱序和 （1，2，3） （45，25，30） 乱序和 （1，2，3） （45，30，25） 反序和 3、类似的问题： 5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟。那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？ 分析： 4、排序不等式的一般情形： 一般地，设有两组实数： ， ， ，…， 与 ， ， ，…， ，且它们满足： ≤ ≤ ≤…≤ ， ≤ ≤ ≤…≤ ， 若 ， ， ，…， 是 ， ， ，…， 的任意一个排列，则和数 在 ， ， ，…， 与 ， ， ，…， 同序时最大，反序时最小，即： ， 等号当且仅当 或 时成立。 分析：用逐步调整法 三、典型例题： 例1、已知 为正数，求证： 。 例2、设 ， ， ，…， 为正数，求证： 。 四、小结： 五、练习： 六、作业： 1、求证： 。 2、在△ABC中，ha , hb ,hc 为边长a,b,c上的高，求证：asinA+bsinB+csinC ha + hb +hc ． 3、若a>0,b>0，则 ． 4、在△ABC中，求证： ．（IMO） 5、若a1，a2，…，an 为两两不等的正整数，求证： ． 6、若x1，x2，…，xn≥0，x1+x2+…+xn≤ ，则 ． 选修4_5 不等式选讲 课 题： 第13课时 几个著名的不等式之三：平均不等式 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 1、定理1：如果 ，那么 （当且仅当 时取“=”） 证明： 1．指出定理适用范围： 强调取“=”的条件 。 2、定理2：如果 是正数，那么 （当且仅当 时取“=”） 证明：∵ ∴ 即： 当且仅当 时 注意：1．这个定理适用的范围： ； 2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 3、定理3：如果 ，那么 （当且仅当 时取“=”） 证明：∵ ∵ ∴上式≥0 从而 指出：这里 ∵ 就不能保证。 推论：如果 ，那么 。（当且仅当 时取“=”） 证明： 4、算术—几何平均不等式： ①．如果 则： 叫做这n个正数的算术平均数， 叫做这n个正数的几何平均数； ②．基本不等式： ≥ （ ） 这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略） 语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 ③． 的几何解释： 以 为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DD’AB 则 ， 从而 ，而半径 。 二、典型例题： 例1、已知 为两两不相等的实数，求证： 。 证：∵ 以上三式相加： ∴ 例2、设 为正数，求证： 。 例3、设 ， ， ，…， 为正数，证明： 。 例4、若 ，设 求证： 加权平均；算术平均；几何平均；调和平均 证：∵ ∴ 即： （俗称幂平均不等式） 由平均不等式 即： 综上所述： 三、小结： 四、练习： 五、作业： 1、若 求证 证：由幂平均不等式： 选修4_5 不等式选讲 课 题： 第14课时 利用平均不等式求最大（小）值 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 1、重要的结论： 已知x，y都是正数，则： (1)、如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值 ； (2)、如果和x+y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 。 二、典型例题： 例1、当 取什么值时，函数 有最小值？最小值是多少？ 例2、求函数 （ ）的最小值。 例3、小宁在某电脑城配置了一台总费用为6400元的电脑。假定在电脑的使用过程中，每年的维修费用约为：第一年为200元，第二年400元，第三年600元，…，按等差数列递增。这台电脑使用多少年报废最合算？ 分析： 例4、如图，电灯挂在圆桌的正中央上方。假定它与桌面上A点的水平距离是 ，那么电灯距离桌面的高度 等于多少时，A点处最亮？（亮度公式： ，这里 为常数， 是电灯到照射点的距离， 是照射到某点的光线与水平面所成的角） 分析： 例5、求函数 的最大值，下列解法是否正确？为什么？ 解一： ∴ 解二： 当 即 时 答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在 使得 ；解二错在 不是定值（常数） 正确的解法是： 当且仅当 即 时 例6、若 ，求 的最值。 解： ∵ ∴ 从而 即 。 例7、设 且 ，求 的最大值 解：∵ ∴ 又 ∴ 即 例8、已知 且 ，求 的最小值 解： 当且仅当 即 时 三、小结： 四、练习： 1．求下列函数的最值： 1 、 (min=6) 2、 ( ) 2．1、 时求 的最小值， 的最小值 2、设 ，求 的最大值(5) 3、若 , 求 的最大值 4、若 且 ，求 的最小值 3．若 ，求证： 的最小值为3 4．制作一个容积为 的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料） 五、作业： 1、将一块边长为 的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒， 要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？ 解：设剪去的小正方形的边长为 则其容积为 当且仅当 即 时取“=” 即当剪去的小正方形的边长为 时，铁盒的容积为 2、某种汽车购买时的费用是10万元，每年的保险费、养路费及汽油费合计为9千元；汽车的维修费平均为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依等差数列逐年递增。问这种汽车使用多少年报废最合算(即年平均费用最少)? 解：设这种汽车使用n年报废最合算n年汽车的维修总费用为 (万元) 年平均费用y= 当且仅当 即n＝10时取等号。 答：这种汽车使用10年报废最合算。 3、设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ(λ>1)，画面的上、下各留8cm的空白，左、右各留5cm的空白。怎样确定画面的高与宽尺才，能使宣传画所用纸张面积最小？(2001年全国文科高考题) 解：设画面的宽为x cm，则画面的高为 cm，设纸张面积为S S= 当且仅当x＝ ，即x= 55 cm，此时高 答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小。 评注：在应用均值不等式解决这类实际问题时，应注意： 1 设变量，一般把要求最大值和最小值的变量设为函数； 2 建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题； 3 在定义域内，求函数的最大值或最小值；正确写出答案。 选修4_5 不等式选讲 课 题： 第15课时 利用柯西不等式求最大（小）值 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 1、柯西不等式： 。 二、典型例题： 例1、把一条长是m的绳子截成三段，各围成一个正方形。怎样截法才能使这三个正方形的面积和最小？ 例2、如图，等腰直角三角形AOB的直角边为1，在这个三角形内任意取一点P，过P分别引三边的平行线，与各边围成以P点为顶点的三个三角形（图中阴影部分），求这三个三角形面积和的最小值，以及取到最小值时点P的位置。 分析： 三、小结： 四、练习： 五、作业： 选修4_5 不等式选讲 课 题： 第16课时 数学归纳法与不等式 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n )时成立，这 是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是递推的依据。实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。证明时，关键是k＋1步的推证，要有目标意识。 二、典型例题： 例1、证明： 。 例2、设 ， ，证明贝努利不等式： 。 例3、设 为正数， ，证明： 。 例4、设数列{a }的前n项和为S ，若对于所有的自然数n，都有S ＝ ，证明{a }是等差数列。 （94年全国文） 例5、已知数列 ，得，…， ，…。S 为其前n项和，求S 、S 、S 、 S ，推测S 公式，并用数学归纳法证明。 （93年全国理） 解：计算得S ＝ ，S ＝ ，S ＝ ，S ＝ ， 猜测S ＝ (n∈N) 【注】 从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是探索性问题的证法，数列中经常用到。 （试值 → 猜想 → 证明） 【另解】 用裂项相消法求和 例6、设a ＝ ＋ ＋…＋ (n∈N),证明： n(n＋1)n (n>1且n∈N)。 2、已知数列{a }满足a ＝1，a ＝a cosx＋cos[(n－1)x]， (x≠kπ，n≥2且n∈N)。①．求a 和a ； ②.猜测a ，并用数学归纳法证明你的猜测。 3、用数学归纳法证明等式：cos ·cos ·cos ·…·cos ＝ (81年全国高考) 4、用数学归纳法证明：6 ＋1 (n∈N)能被7整除。
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