MBA联考数学经典必备公式版

MBA联考数学经典必备公式版中国MBA教育网·全球第一MBA专业门户中国MBA教育网在线客户服务中心电话：(京)010-82863124 (津) 022-27824389 022-23040769 E-mail：mbaedu@vip.163.com 网址：www.mbaedu.cn MBA联考数学经典必备公式版（一）初等数学部分一、绝对值 1、非负性：即|a| ≥ 0，任何实数 a的绝对值非负。归纳：所有非负性的变量（1）正的偶数次...

中国MBA教育网·全球第一MBA专业门户中国MBA教育网在线客户服务中心电话：(京)010-82863124 (津) 022-27824389 022-23040769 E-mail：mbaedu@vip.163.com 网址：www.mbaedu.cn MBA联考数学经典必备公式版（一）初等数学部分一、绝对值 1、非负性：即|a| ≥ 0，任何实数 a的绝对值非负。归纳：所有非负性的变量（1）正的偶数次方（根式） 0,,,, 4 1 2 1 42 ³aaaa L （2）负的偶数次方（根式） 1 1 2 4 2 4, , , , 0a a a a - -- - >L （3）指数函数 a x (a > 0且 a≠1)>0 考点：若干个具有非负性质的数之和等于零时，则每个非负数必然为零。 2、三角不等式，即|a| - |b| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b| 左边等号成立的条件：ab ≤ 0且|a| ≥ |b| 右边等号成立的条件：ab ≥ 0 3、要求会画绝对值图像二、比和比例 1、 % (1 %)ap a p¾¾¾® +原值增长率现值 %)1(% pap a -¾¾ ®¾ 现值下降率原值 %%%% pppp ×=Û=-Û 乙甲，甲是乙的乙乙甲注意：甲比乙大 2、合分比定理： db cam mdb mca d c b a ± ± = ± ± == 1 等比定理： .a c e a c e a b d f b d f b + + = = Þ = + + 3、增减性 1> b a b a mb ma < + + (m>0) 0 1a b < < b a mb ma > + + (m>0) 4、注意本部分的应用题（见专题讲义）三、平均值 1、当 nxxx ，¼¼,, 21 为 n个正数时，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即中国MBA教育网·全球第一MBA专业门户中国MBA教育网在线客户服务中心电话：(京)010-82863124 (津) 022-27824389 022-23040769 E-mail：mbaedu@vip.163.com 网址：www.mbaedu.cn ),1 0( · 21 21 nixxxx n xxx i n n n ¼¼³ ¼ 当且仅当时，等号成立＝ nxxx ¼¼== 21 。 2、 2 abba ³ ï î ï í ì >> 等号能成立另一端是常数， 00 ba 3、 2 ( 0)a b ab ab b a ³ >＋，同号 4、n个正数的算术平均值与几何平均值相等时，则这 n个正数相等，且等于算术平均值。四、方程 1、判别式（a, b, c ∈R） ï î ï í ì D -=D 无实根两个相等的实根两个不相等的实根 0 0 0 42 acb 2、图像与根的关系 △= b 2 – 4ac △>0 △= 0 △< 0 f(x) = ax 2 + bx + c(a>0) f(x) = 0根 1,2 2 bx a - ± D = 1,2 2 bx a = - 无实根 f(x) > 0 解集 x < x1 或 x > x2 2 bx a ¹ - X∈R f(x)<0解集 x 1 < x < x2 x ∈f x ∈f 3、根与系数的关系 x1, x2 是方程 ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)的两个根，则 x1＋x2＝－b/a x1·x2＝c/a x1，x2是方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 的两根 x1,2 x1 x2 中国MBA教育网·全球第一MBA专业门户中国MBA教育网在线客户服务中心电话：(京)010-82863124 (津) 022-27824389 022-23040769 E-mail：mbaedu@vip.163.com 网址：www.mbaedu.cn 4、韦达定理的应用利用韦达定理可以求出关于两个根的对称轮换式的数值来：（1） 1 2 1 2 1 2 1 1 x x x x x x + + = （2） 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ) 21 1 ( ) x x x x x x x x + - + = （3） 21 2 21 2 2121 4)()( xxxxxxxx -+=-=- （4） 3 3 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1( )( )x x x x x x x x+ = + - + ]3))[(( 21 2 2121 xxxxxx -++= 5、要注意结合图像来快速解题五、不等式 1、提示：一元二次不等式的解，也可根据二次函数 cbxaxy ++= 2 的图像求解。 △= b 2 – 4ac △>0 △= 0 △< 0 f(x) = ax 2 + bx + c (a > 0) f(x) = 0根 1,2 2 bx a - ± D = 1,2 2 bx a = - 无实根 f(x) > 0 解集 x < x1 或 x > x2 2 bx a ¹ - X∈R f(x)<0解集 x 1 < x < x2 x ∈f x ∈f 2、注意对任意 x都成立的情况（1）ax 2 + bx + c>0对任意 x都成立，则有：a>0且△< 0 （2）ax2 + bx + c<0对任意 x都成立，则有：a<0且△< 0 3、要会根据不等式解集特点来判断不等式系数的特点六、二项式 1、 r n r n nC C -= ，即：与首末等距的两项的二项式系数相等 2、 0 1 2n nn n nC C C+ + + =L ，即：展开式各项二项式系数之和为 2n x1,2 x1 x2 中国MBA教育网·全球第一MBA专业门户中国MBA教育网在线客户服务中心电话：(京)010-82863124 (津) 022-27824389 022-23040769 E-mail：mbaedu@vip.163.com 网址：www.mbaedu.cn 3、常用计算公式 (1) ( 1) ( 1) n m n m m m np = × - - +L14444244443 有个 0 (2) 0 1 mp ==1 规定！ (3) ! n n m m n p C = ( 1) ( 1)! m m m n n × - - + = L 0(4) 1nn nC C= = 1 1(5) nn n nC C -= = 2 2 ( 1)(6) 2 n n n n nC C - -= = 4、通项公式(△) 11 ( 0,1, 2 , ) k n k k k nk T C a b k n - ++ = × = L第项为 5、展开式系数 2 1 2 (1) n n n n C+ = n 当为偶数时，展开式共有(n+1)项(奇数)，则中间项第( +1)项 2 二项式系数最大，其为 T 1 1 2 2 1 3 2 2 (2) n n n nn n n C C - + + += = n+1 当为奇数时，展开式共有(n+1)项(偶数)，则中间两项，即第项 2 n+1 n+3 和第( +1= )项的二项式系数最大，其为 T 或T 2 2 中国MBA教育网·全球第一MBA专业门户中国MBA教育网在线客户服务中心电话：(京)010-82863124 (津) 022-27824389 022-23040769 E-mail：mbaedu@vip.163.com 网址：www.mbaedu.cn 6、内容列表归纳如下：二项式定理公式 0 1 1 1 1( )n n n n n n nn n n na b C a C a b C ab C b - - -+ = + + + +L 所表示的定理成为二项式定理。通项公式第 k＋1项为 kknk nk baCT - + =1 ，k＝0，1，…，n 项数展开总共 n＋1项指数 a的指数：由 0n ¾¾¾¾®逐项减1 ；b的指数：由0 n¾¾¾¾®逐项加1 ；各项 a与 b的指数之和为 n 二项式展开式的特征展开式的最大系数当 n为偶数时，则中间项（第 1 2 n + 项）系数 2 n nC 最大；当 n为奇数时，则中间两项（第 1 2 n + 和 3 2 n + 项）系数 1 2 n nC + 最大。展开式系数之间的关系 1． r n r n nC C -= ，即与首末等距的两项系数相等； 2． 10 CnCn + ＋…… nnCn 2= ，即展开式各项系数之和为2n； 3． 0 2 4...n n nC C C+ + = 1 3 5 1... 2nn n nC C C -+ + = ，即奇数项系数和等于偶数项系数和中国MBA教育网·全球第一MBA专业门户中国MBA教育网在线客户服务中心电话：(京)010-82863124 (津) 022-27824389 022-23040769 E-mail：mbaedu@vip.163.com 网址：www.mbaedu.cn （二）微积分部分一、函数、极限、连续 1、单调性：设有函数 y = f(x)，x ∈D，若对于 D中任意两点 x1，x2(x1 < x2)，都有 f(x1) ≤ f(x2)(或 f(x1) ≥ f(x2))，则称函数 f(x)在 D上单调上升(或单调下降)。若上述不等号为严格不等号“<”(或“>”)，则称函数 f(x)在 D上严格单调上升(或严格单调下降)。 2、奇偶性：（1）定义：设函数 y = f(x)的定义域 D关于原点 O对称，若对于 D中的任一个 x，都有 f(– x ) = – f(x) (或 f(– x) = f(x))，则称函数 f(x)为奇函数(或偶函数)。（2）图像特点：奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于 y轴对称，函数 y＝0既是奇函数，也是偶函数。 3、，按以下方法处理：，只要符合遇到 "1")( )( ¥xgxf 0 0 ( ) ( )lim ( ) lim[1 ( ( ) 1)]g x g x x x x x f x f x ® ® = + - )(]1)([ 1)( 1 )]1)((1[lim 0 xgxf xf xx xf ×-× - ® -+= 0 0 [ ( ) 1] ( )1 lim ( ( ) 1) ( ) ( ) 1lim [1 ( ( ) 1)] x x f x g x f x g x f x x x f x e ® - × - - ® ì üï ï= + - =í ý ï ïî þ )()1)((lim )( 0 0 )(lim xgxf xg xx xxexf - ® ®=公式： 4、常用等价无穷小：当 xà0时，有 ex－1～x ln(1＋x)～x (1＋x)α－1～αx 引申：当a(x) ®0时，ln(1＋a(x))～eα(x)－1～a(x)，(1＋a(x))n－1～n·a(x) 5、当 x®+¥时，增长速度由慢到快排列：lnx，xα，αx，xx 6、 0 0 0( ) lim ( ) ( )x xf x x f x f x® =在点连续定义： 7、闭区间上连续函数的性质（1）最值定理一个闭区间函数一定在某一点，达到最大值，在某一点达到最小值。（2）零值定理设 f(x) ∈C([a,b])，且 f(a).f(b)<0， 0)())(.( =Î$ xx fba ，使开区间。中国MBA教育网·全球第一MBA专业门户中国MBA教育网在线客户服务中心电话：(京)010-82863124 (津) 022-27824389 022-23040769 E-mail：mbaedu@vip.163.com 网址：www.mbaedu.cn 注意：零点定理只能说明存在性不能说明唯一性。应用：f(x) = 0 是一个方程，证明它在某一个区间上一定有根。二、一元函数微分学 1、导数的数学定义式 )()(')()(lim 0000 可导用于抽象函数判定是否xfx xfxxf x = D -D+ ®D 0 0 0 0 ( ) ( )lim '( ) ( ) x x f x f x f x x x® - = - 用于表达式给定的具体函数，求导数值 2、可导与连续的关系存在)( 0xf ¢ 连续在 0)( xxxf = 3、左右导数 0 0 0 )()( lim)( 0 xx xfxfxf xx - - =¢ -® -左导数： x xfxxf x D -D+ = -®D )()( lim 00 0 0 0 0 )()( lim)( 0 xx xfxfxf xx - - =¢ +® +右导数： x xfxxf x D -D+ = +®D )()( lim 00 0 AxfxfAxf ==Û= +- )()()( 0 ' 0 ' 0 '结论： 4、导数的几何意义设点M0(x0 , f(x0))是曲线 y = f(x)上的上点，则函数 f(x)在 x0点处的导数 f ’(x0)正好是曲线 y=f(x)过M0点的切线的斜率 k，这就是导数的几何意义。（1）切线方程 ' 0 0 0( )( ) ( )y f x x x f x= - + ， 0 0' 0 1 ( ) ( ) ( ) y x x f x f x = - - +法线方程为（2）切线平行 x轴切线方程：y = f(x0)，法线方程：x = x0 (3) 切线平行 y轴切线方程：x = x0，法线方程：y = f(x0) 中国MBA教育网·全球第一MBA专业门户中国MBA教育网在线客户服务中心电话：(京)010-82863124 (津) 022-27824389 022-23040769 E-mail：mbaedu@vip.163.com 网址：www.mbaedu.cn 5、常见函数求导公式 6 、 ( ) '( ) ( ) ( ) '( )' ( ) ( ) f x f x g x f x g x g x g x æ ö =ç ÷ è ø 7、高阶导数（掌握二阶导数即可） 0 0 0 0 '( ) '( )( ) ( ) '( ) lim ( ) . x f x x f xf x U x f x x x f x x d D ® D D ＋－（1）设在内可导，又在点可导，即：存在，称在点二阶可导 0 0 0 0 0 0 0 '( ) '( ) ( ) ( )''( ) lim lim x x x f x x f x f x f xf x x x xD ® ® ¢ ¢D D ＋－－＝＝－ 0 ( ) , ( ) '( ) '( )''( ) lim x x I f x x f x I f x x f xf x xD ® " Î D D （2）如果对，在点二阶可导称在区间上可导，＋－＝记作： '')( y dx dy dx d = ＝ 2 2 dx yd （3）常见函数的二阶导数 f(x) C Xa x x 1 ax ex Loga|x| ln|x| f’(x) 0 axa-1 x2 1 － 2 1 x axlna ex ax ln 1 × x 1 f’’(x) 0 a(a-1)xa-2 2 3 4 1 x - 3 2 x ax(lna)2 ex ax ln 1 2 × - 2 1 x - 8、可导、可微、连续与极限的关系可导一定连续，连续不一定可导 f(x) C Xa x x 1 ax ex loga|x| ln|x| f’(x) 0 axa-1 1 2 x － 2 1 x axlna ex ax ln 1 × x 1 极限连续可导可微中国MBA教育网·全球第一MBA专业门户中国MBA教育网在线客户服务中心电话：(京)010-82863124 (津) 022-27824389 022-23040769 E-mail：mbaedu@vip.163.com 网址：www.mbaedu.cn 9、奇偶函数，周期函数的导数（1）可导的偶函数的导函数为奇函数，且 f‘(0) = 0 （2）可导的奇函数的导函数为偶函数（3）可导的周期函数的导函数仍为同周期函数 10、微分公式（*核心*） '( ) ( )df x f x dx= 11、 0( ) 0 ¥ ¥ 洛必达法则， ( ) ( ) lim ( ) 0 lim ( ) 0( ), lim lim ( ) ( ) f x f xf x g x g x g x ¢ ¥ = ¥ = ¢ 若＝（或）, 或则＝A 12、判断函数的增减性，求函数单调区间（1）单调性定义 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( ) ( ), ( )x x D x x f x f x f x" Î < £ ³当时,有则为单调递增(减) （2）判别方法：用 f ’(x)判断 ( ) ( , ) ( ) , ( ) ( )0f x a b f x a b f x¢ ³ £设在上可导，则在( )内单调增加(减少)的充要条件为 ( ) ( ) 0f x f x¢ ³单调增注意：设 f(x)在(a，b)区间内可导,则 f(x)在(a,b)内严格单调增加(减少)充分条件是 f’(x)＞0(f’(x)＜0) 严格单调下降＜严格单调增加＞ ¾®¾¾®¾ ¬/¬/ 0)(' 0)(' xfxf 13、极值点的定义（局部最大或局部最小）（1）定义：设 y＝f(x)，若对"xÎ(x0－d，x0＋d)均有 f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))则称 x0为 f(x)的极大值点(极小值点) ，f(x0)为极大值(极小值)。（2）判定方法：两个充分条件第一充分条件：若 f(x)在 x0处连续，在 x0的邻域内可导，且当 x< x0时，f’(x)>0,(f’(x)<0) 当 x> x0时，f’(x)<0,(f’(x)>0)，则称 x0为极大值点(极小值点)。第二充分条件：设 f(x)在 x0点的某一领域内可导且 f’(x0)＝0，f’’(x0)≠0 中国MBA教育网·全球第一MBA专业门户中国MBA教育网在线客户服务中心电话：(京)010-82863124 (津) 022-27824389 022-23040769 E-mail：mbaedu@vip.163.com 网址：www.mbaedu.cn '' 0 0 0 '' 0 0 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) f x x f x f x x f x > < 若则是极小值点，为极小值若则是极大值点，为极大值注意： '' 0( ) 0f x = 不能判定用，有可能为极值，也可能不是极值。（3）极值存在的必要条件若 x0为 f(x)的极值点，且 f’(x0)存在，则 f’(x0)＝0 注：f’(x0)＝0不能推出 x0为 f(x)的极值点如：y＝x3 ，在 x＝0处必有 y’＝0 0)(' 00 ＝极值点即： xfx ¾®¾¬/ 14、驻点(稳定点) （1） ( ) 0f x¢ =定义：满足的点，称为驻点（2）驻点¾¾®¬¾¾极值点 15、函数的最值及其求解（1）若 f(x)在[a，b]上连续，则 f(x)在[a，b]上必有最大值、最小值（2）设函数 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内有一个极值点 x 0，则若 x 0是 f(x)的极大值点，那么 x 0必为 f(x)在[a,b]上的最大值点；若 x 0是 f(x)的极小值点，那么 x 0必为 f(x)在[a,b]上的最小值点。（3）求最值的方法（最值是[a,b]整体概念，极值是局部概念） (a)求 f(x)在(a,b)内所有驻点和导数不存在的点 (b)求出以上各函数值及区间[a,b]端点的函数值 (c)比较上述数值，最大的为最大值，最小的为最小值最大值：M:max{f(a)，f(b)，f(x1)，……，f(x0)} 最小值：m:min{f(a)，f(b)，f(x1)，……，f(x0)} 其中：x1，……，x0为 f(x)所有可能的极值点 16、驻点、极值点、最值点的联系与区别驻点 î í ì = 0)(' xf 中国MBA教育网·全球第一MBA专业门户中国MBA教育网在线客户服务中心电话：(京)010-82863124 (津) 022-27824389 022-23040769 E-mail：mbaedu@vip.163.com 网址：www.mbaedu.cn ï ï ï ï î ïï ï ï í ì = ï î ï í ì ¹+= + .. 0)0(')0('0x 0)(''0)('3 2 1 xfxf xfxf 边界 ï ï î ï ï í ì . ]ba[ ba 17、函数的切线与法线切线与法线求法 0 0 0 0 0 0 0 0 '( )( ) 1 ( ) '( ) x y y f x x x x y y x x f x - = - - = - - 一般地，在处切线方程为在处法线方程为 18、函数凹凸性及其判定（1）凹弧（a）定义：如果曲线在其任一点切线之上，称曲线为凹弧 (b)凹弧的切线斜率随着 x的增大而增大，即 f’(x)单调递增 (c)设 f(x)在(a，b)上二阶可导，f(x)为凹弧的充要条件为 f’’(x) ≥0 "xÎ(a,b) (2)凸弧（a）定义：若曲线在其任一点切线之下，称曲线为凸弧（b）凸弧的切线斜率随着 x的增大的而减小，即 f’(x)单调递减（c）设 f(x)在(a,b)二阶可导，f(x)为凹弧的充要条件为 f’’(x) ≤0 (3)常见函数的性质 f(x) ax(a>1) ax(01) logax(0<<=D° >=D° -=D ¢¢¢¢=¢¢= yx yx AC yxyxfByxfA xyxx （三）线性代数部分一、矩阵 1、矩阵的乘法一般没有交换律，即 AB BA¹ ；常见可交换矩阵： (1) 逆 A-1：AA-1=A-1A=E (2) 单位矩阵 E：AE=EA=A (3) 数量矩阵 kE：A(kE)=(kE)A=kA (4) 零阵 0：A0=0A=0 (5) 幂：AmAn= An Am=Am+n 中国MBA教育网·全球第一MBA专业门户中国MBA教育网在线客户服务中心电话：(京)010-82863124 (津) 022-27824389 022-23040769 E-mail：mbaedu@vip.163.com 网址：www.mbaedu.cn (6) 伴随 A*：A A*= A*A=|A|E (重要) 2、 0 0,AB A´¾¾®= =¬¾¾ 或B=0，当且仅当 A或 B可逆时才成立；对于 0AB = ，应该认识到 B的每一列都是齐次方程组 AX＝0的解，若 0B ¹ ，则齐次方程组有非零解； 3、 AB AC B C´¾¾®= =¬¾¾ ，当且仅当 A可逆时，才成立； 4、 2 0A A A E A´¾¾®= = =¬¾¾ 或，当且仅当 A可逆时，有 A＝E；当 A－E可逆时，有 A＝0； 2 0 0A A´¾¾®= =¬¾¾ ，仅当A为对称矩阵，即 TA A= 时，命题才成立； 5、注意数乘矩阵和数乘行列式的区别： | | | | | |nkA k A k A= ¹ 。 6、列表对比矩阵的逆、转置和伴随的公式逆转置伴随 1 1( )A A- - = ( )T TA A= * * 2( ) | |nA A A-= 1 1 1( ) ( 0)kA k A k- - -= ¹ ( ) ( )T TkA kA k R= Î * 1 *( ) ( )nkA k A k R-= Î 1 1 1( )AB B A- - -= ( )T T TAB B A= 一般 * * *( )AB B A¹ 1 1| | | |A A- -= | | | |TA A= * 1| | | | ( 2)nA A n-= ³ 一般 1 1 1( )A B A B- - -+ ¹ + ( )T T TA B A B+ = + 一般 * * *( )A B A B+ ¹ + 互换性： 1 1( ) ( )T TA A- -= ， 1 * * 1( ) ( )A A- -= ， * *( ) ( )T TA A= ， * *( ) ( )k kA A= ；即这四种符号（-1，T，*，k）可以进行互换，以简化运算。 7、重要结论与公式 { }nmminArA)1( nm ，）（对于 £´ （2） ( ) ( )Tr A r A= 有行 BA)3( ¾®¾ ① A与 B的行向量相互等价 ② 不改变列向量的线性关系（一般用初等行变换求矩阵的秩） ③ r（A）=r（B）中国MBA教育网·全球第一MBA专业门户中国MBA教育网在线客户服务中心电话：(京)010-82863124 (津) 022-27824389 022-23040769 E-mail：mbaedu@vip.163.com 网址：www.mbaedu.cn （4） ( ) ( ) ( )r A B r A r B+ £ + 类似 |x+y|≤|x|+|y| P(A+B)≤P(A)+P(B) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)≤P(A)+P(B) （5） ( ) min( ( ), ( ))r AB r A r B£ î í ì £ £ Û r(B)B)r(A r(A)B)r(A （6） B可逆 ´ ¾¾®¬¾¾ r（AB）=r（A） B不可逆 ´¾¾®¬¾¾ r（AB）< r（A） ÷÷ ø ö çç è æ = 00 01 A取 ÷÷ ø ö çç è æ = 00 02 B ÷÷ ø ö çç è æ = 00 02 AB r（AB）=r（A）=1 （7） A中任意两行成比例 ´ ¾¾®¬¾¾ r（A）=1 1 1 A= 0 0 æ ö ç ÷ è ø （8） A=B ´ ¾¾®¬¾¾ r（A）=r（B）（9） A=0 ¾¾®¬¾¾ r（A）=0 （10） ( ) ( ) ( 0)r A r kA k= ¹ （11） A B 0 ( ) ( )m n n p AB r A r B n´ ´ = £若是阶矩阵，是阶矩阵，当时，＋ 8、重点掌握以下矩阵可逆性的判断： | | 0 ( ) ( ) , 0 , n A A r A n A n B AB BA E AX AX A AB C C b b Û ¹ Û = Û Û = = Û = Û = Û Ü = 阶方阵可逆的行列向量组线性无关存在阶方阵有（可逆矩阵的定义）齐次方程组只有零解对于任意的非齐次方程组总有唯一解方阵的特征值全不为零 ( 可逆）中国MBA教育网·全球第一MBA专业门户中国MBA教育网在线客户服务中心电话：(京)010-82863124 (津) 022-27824389 022-23040769 E-mail：mbaedu@vip.163.com 网址：www.mbaedu.cn 设 A为 n阶矩阵，有以下等价命题 a) r（A）=n （满秩矩阵） b) A可逆 c)|A|≠0 d)AT 可逆 e)r（A*）=n f)A* 可逆 g) A的 n个列（行）向量线性无关，即 A列（行）满秩 h) AX=0只有零解 i) AX=β有唯一解二、向量组 1、线性相关性基本定义 .02211 =+×××++ mmalalal .0)1( 21 使上式成立，则其相关，的存在不全为 mlll ××× ..0)2( 21 无关使上式成立，则其线性当且仅当 ==×××== mlll 2、常见相关性归纳 01 =aa线性相关能推出）单个向量（ .)2( 成比例、线性相关不能推出、两个向量 baba （3）包含 0向量的任何向量组，线性相关. ( )1 2 1(4) 2m mma a a a a× ×× ³ × ××，，线性相关中有一个向量可由其余向量线性表示 1 m(5) (m 2) .a a ³L L 线性无关任何一个向量都不能由其余向量线性表示 n 1 2 m3 R ,m na a a Î = =L、，，即向量组的个数个维数 (1) m>n时，则其线性相关. .0|A|).,,,(An(2)m 21nn 判断相关性根据时，令 ¹== ´ naaa L 三、线性方程组 1、齐次线性方程组 AX＝0 解题提示：对系数矩阵 A进行初等变换，化成阶梯型，然后按两步进行讨论：（1）当参数满足什么条件时，线性方程组只有零解，即 r(A)＝n；（2）当参数满足什么条件时，线性方程组有非零解，即 r(A)

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