啮合公式推导

第 30卷 第 2期 不同模数齿轮的啮合公式推导 37 文章编号：1004—2539(2006)02—0037—03 不同模数齿轮的啮合公式推导 (杭州前进齿轮箱集团有限公司， 浙江杭州 31 1203) 周忠泉 摘要 通过平行轴齿轮无侧隙啮合原理推导出了不同模数齿轮的内、外啮合公式，并给出啮合中心 距及啮合起(终)点曲率半径的算法。 关键词 无侧隙啮合 不同模数 起(终)点曲率半径 公式 引 言 在设计齿轮变速箱的时候，为了配中心距、平衡传 动轴向力及分配主被动齿轮的强度等因素，我们常常 需要调整主被动齿轮的啮合参数。以往通常使用调整 主被动齿轮的变位系数等方法来实现，这样调整的范 围比较有限，有时难免出现顾此失彼的情况。由齿轮 啮合原理可知，一对齿轮实现啮合的充要条件是两只 齿轮的基节相等。我们知道，齿轮的基节与模数、压力 角的乘积成正比，也就是说，不同模数的齿轮是可以相 互啮合的。所以在设计齿轮的时候 ，除了可以调整主 被动齿轮的变位系数以外，还可以调整它们的模数。 当然，不同模数的齿轮啮合公式与我们以往使用的同 模数齿轮啮合公式是不一样的，本文通过平行轴齿轮 无侧隙啮合原理推导了不同模数齿轮的内、外啮合公 式，以供设计齿轮时作参考。 1 不 同模 数平行 轴齿轮外啮合 1．1 齿轮参数的给定 一 对外 啮合 齿 轮，主动齿轮的参数 设定为：模数 m小 齿 数 z 、压力角 a l、分 圆螺旋角 (右)、变 位系数 顶圆直径 d。1；同样 的，被动齿 轮的参数设定为：模 数 m 齿数 z2、压力 角 a n2、分圆螺旋角 (左 )、变 位 系 数 图1 2、顶圆直径 d。2。根据齿轮啮合原理，要求它们的法 向基节 m 相等，即 P6n=聊 n1COSOtn1 册 n2COSOtn2 (1) 1．2 分圆螺旋角之间的关系 平行轴齿轮啮合时，主被动齿轮的啮合节圆是相 互纯滚动的。如图 1所示，0l为主动齿轮中心，02为 被动齿轮中心。 在确定了两齿轮的模数和压力角关系后，接着来 考察它们的螺旋角。我们会推想，既然模数和压力角 有一定的比例关系，那么分度圆上的螺旋角是不是也 存在着某一个比例关系呢?答案是肯定的，下面就来 推导此比例关系。 由齿轮啮合的基本知识可知 d^l= 1 (2) 61 — COS — ／~1 COSOtt1 db2： COSOtt2 (3) 2 j d ，： (4) cus 12t d，，： (5) '：——— 、．) COSOt12t ： (6) T，～ ＼u， Ⅱ2 Z2 式中 d db2——分别为主、被动齿轮的基圆直径 、 — — 分别为主、被动齿轮的分度圆端面 压力角 d 、d ——分别为主、被动齿轮的啮合节圆直 径 a。2 ——主、被动齿轮节圆啮合角 将式(2)～式(5)代入式(6)方程式中，可以得到 ： 一ran2 (7) COSOtt2COS／J1 mnl 斜齿轮的角度关系有 COSOtn1=cosd￡ICOS~b1 (8) COSOtn2 COS f2COSPb2 (9) 式中 。、 2——主、被动齿轮的基圆螺旋角 结合式(8)、式(9)、式(1)和式(7)，我们可以得到 COS 1=cos~b2，即 1： 2= (10) 也就是说 ，不同模数的两斜齿轮啮合，要求它们的基圆 螺旋角要相等，方向要相反。因为 维普资讯 http://www.cqvip.com 38 机械传动 2006正 sin l=sin／~lCOSt2 l (11) sin 2=sinP2COSOt 2 (12) 结合式(10)、式(11)、式(12)和式(1)，可以得到 ： 一mnI (13) - n 一 ＼ J ／ stop2 HZn2 此即为不同模数的两斜齿轮分度圆螺旋角的关系式， 它们的正弦值与模数成正比关系。 1．3 无侧隙啮合公式 由于主被动齿轮在节圆上是纯滚动的，则两齿轮 节圆上的端面周节 P 必相等，即有 p，：丌 ：丌 (14) p 丌——=丌—— I l斗， 根据齿轮啮合无侧隙原理，即一轮节圆上的齿间 宽刚好等于另一轮节圆上的齿厚，可以得到 s￡l + St2t=p = 丌 d l 一 ' (15) 式中 s 、St2t——分别为主被动齿轮的节圆端面齿 厚 齿轮的端面节圆齿厚可以用下式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达 = dlt +d2'(inVa inVa ) (16) St2t=__d2t +d2'(invat2-inva12tt) (17) 式中 d 、d2——分别为主被动齿轮分度圆直径 ． m nlZ1 ． m n2Z2 dl — COS —／~1’d2 —COS—／~ 2 。 、St2——分别为主被动齿轮的分度圆端面齿 厚 = +2Xnl tan2cosp ￡l一 ．十 ，， l “￡l s = +2xn2 n2tant2 2m ottz + 2 由此可得 Stl：_【1 7r+2Xnltanotn1) (18) 3t2：_I1 7l"+2xn2tana 2) (19) 将式(16)～式(19)代入方程式(I5)，并结合式(6) 整理出不同模数斜齿轮的无侧隙啮合公式。 ． ， 】inva￡】+Z2inva￡2 2( n】tanotn】+Xn2to210tn2) lnva 12t — — 一 + — — — 一 (20) 1．4 啮合中心距 。 由图 1可知，中心距 三!竺 ．—mn2Z2—COSOtt2 dl +d2 d6l+db2 COS~I ’ COS．P2 一 — 一 — — — — 一 (21) 由于 d6l： ，d62： ，所以式(21)又可以表示为 。 ：譬 (22) 口 ■ — — L ， 7l" COSa 12t 式中 Pbt——主被动齿轮端面基节，P6 = ~Pbn 1．5 啮合起点曲率半径的计算 在齿轮啮合计算中，常常碰到需要求主被动齿轮 的渐开线起点曲率半径 Dlmin及 |02 i 。如图 1所示，被 动齿轮的齿顶即将啮入啮合区，B 为被动齿轮齿顶圆 与啮合线的交点。显然，图中的 B 即为 J02 。 ，有 p2 i =Ml B1=Ml Nl—Nl Bl r—— ———————— —一 ： ， √( ) 一( ) (23) 式中 Ⅳ 、M ——啮合线与主、被动齿轮的切点 P ——啮合节点 同样地，根据对称关系有 r—— ——————— —一 ：口i／01min slna12t，√( ) 一(譬) (24) 口 一，＼／L— ，I．一L— 厂 L 斗 2 不 同模数平行轴齿轮 内啮合 不同模数齿轮的内啮合实质同外啮合情况相同， 基本啮合条件就是内外齿轮的法向基节相等。 2．1 齿轮参数的给定 内啮合大多因为制造原因，所用的齿轮以直齿轮 为主，当然斜齿轮的内啮合也不泛多见。为了节省篇 幅，本文仅讨论直齿轮的内啮合情况。把直齿内啮合 公式中的参数换成相应的端面形式就变成斜齿轮的内 啮合公式，有兴趣的读者可以自己去推导。 维普资讯 http://www.cqvip.com 第 30卷 第 2期 不同模数齿轮的啮合公式推导 39 式 中 E2 、sl ——分别为 内齿 轮的节 圆齿槽 觅和外 齿轮的节圆齿厚 = dI' 5l+dl'(inVal—inv0'12') (27) = l+d2'(inv inva12 p) (28) 式中 d 、d2——分别为内、外齿轮分度圆直径， dl ml l；d2 m2z2 E2、s ——分别为内齿轮的分度圆齿槽宽和外 齿轮的分度圆齿厚 a — — 为内、外齿轮节圆啮合角 l： +2 l mltan l 丌7n ’ E2 — +2x2m2tanct2 由此可得 Sl = 去(号+2xltanO'1) (29) 1 It" +2x2tanot2) (30) 将式(27)～式(30)代人方程式(26)，并结合式(6) 整理得不同模数直齿轮的无侧隙内啮合公式。 ． ， ： 也 + (31lnvo' 12 ) —■ 一 +—— 一 一 2．3 啮合中心足巨0 由图 2可知 。中心距 d2 一dl db2一dbl m2z2cosa2一 mlZlCOSO'1 2 ——2cosa12'—— 2cosa12 (32) 式中 d dbl——内、外齿轮的基圆直径 式(32)又可以表示为 0： (33) 0=— —————— jj rcosa 12 2．4 啮合起(终)点曲率半径的计算 在内齿轮啮合情况下，需要求的是外齿轮的渐开 线起点曲率半径 ／0lmin及内齿轮的渐开线终点曲率半 径 p2一。如图2所示，外齿轮的齿顶即将啮出(人)啮 合区， 为外齿轮齿顶圆与啮合线的交点。显然，图 中的 2B2即为 l02 P2fIla)(=M2B2=M2N2+／、，2B2 图中 2、／、，2——啮合线与内外齿轮的切点 P2——啮合节点 当内齿轮的齿顶即将啮出(人)啮合区时，设 内齿 轮齿顶圆与啮合线的交点为 B2 (图 2中未画出)，则 ／0lmin即为／、，2B2 ，则 pl j =N2B2 =M2B2 一／、，2 2 =√( ) 一(字) 一 n (35) 3 计 算应用实例 我公司汽车产品上有一对齿轮，其参数即采用不 同模数、压力角。主动齿轮参数：m l=3．25，zl=34， a l=16．850 6；。， l(右)=31．593 5。， l=0．38，顶圆直 径 d。l=142．29。被动齿轮参数：m 2=3．302 57，z2= 43，a 2=19．638 o， (左 )=32．16525。， 2= 一0．498 4，d。2=175．39。 根据本文所介绍的外啮合公式我们可以得到： al2f =20．924~；中心距 0=148．179；l0l j =11．491； P2 i =16．497。 4 结束语 根据以上的推导及得出的计算公式，可以得到如 下一些启示 (1)通过比较上面推导出的不同模数齿轮无侧隙 啮合公式与常用的无侧隙啮合公式，可以得出如下结 论 ：常用的无侧隙啮合公式是式(20)和式(31)的一种 特殊形式，即是一种特例。 (2)考虑到设计和制造的可行性及经济性 ，在调 整主被动齿轮的模数及压力角时，一般建议不要相差 太大，以小幅度调整来达到设计目的。 参 考 文 献 1 朱友民主编．机械原理(下)．重庆：重庆大学出版社，1990 2 ．JI．李特文[前苏联]著．齿轮啮合原理．上海：上海科学技术出版 社 ．1984 3 齿轮手册编委会编．齿轮手册(上)．北京：机械工业出版社，2000 4 谢 日彬编译．渐开线齿轮计算常用数表．吉林：吉林人民出版社 ， 1975 ⋯ + 两 ⋯ 作者简介：周忠泉(1971一)，男，浙江江山人，硕士， 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 师 维普资讯 http://www.cqvip.com