05级普招本科数学与应用数学专业常微分方程试题1参考
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一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 1、对于初值问题 ,如果取 , 则其二次皮卡近似解 。 2、 在区域 上关于 满足李普希兹条件，其李普希兹常数最好取为 。 3、微分方程 有积分因子 。 4、曲线族 的正交轨线所满足的微分方程为 。 5、已知方程 有解 ,则可由刘维尔公式求得另一 无关解 。 二、判断题（10分）（本大题共5小题，每题4分，共20分） 判断下述结论的正误，正确的在括号中打钩，错误的在括号中打叉。 1、 对于微分方程 ,可作变量替换 , 将其化为变量 可分离方程。 （√） 2、微分方程 的奇解为 。 （×） 3、微分方程 的通解为 。 （√） 4、方程 的通解为 。（×） 5、如果微分方程组 有基解 ,则 。 （√） 三、证明题（本大题共1小题，每小题10分，共10分） 求证：原点为系统： 的中心 。 证明：： ， 3分 。 5分 因为特征根为共轭纯虚根， 8分 所以，原点为中心。 10分 四、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分) 1、（10分）设曲线 上任一点的法线、向径与x轴构成等腰三角形（以法线为底边），求曲线 。 解：设 ，过 的法线方程为 1分 。 3分 易知， 与 轴交于 。 5分 由题设， ，即 ， 7分 化简得 ，或 ， 8分 ， ， 9分 化简得 10分 2、（10分））求解微分方程 。 解：原方程可变形为 4分 积分得 ，即 ， 7分 这是以 为未知函数的一阶线性微分方程， 8分 其通解为 10分 3、（10分）求解微分方程 。 解： ， 2分 齐次方程的基解为 。 4分 因为 ，不是特征根， ， 不是特征根， ， 6分 所以，可设特解 ，代入原方程解得 7分 ， 9分 故通解为 。 10分 4、（10分）用拉普拉斯变换求解初值问题 。 解： 2分 ， 4分 ， 6分 8分 。 10分 5、（10分）求解常系数线性微分方程组 。 解：两式相加得 ， 2分 ， 4分 二倍第一式加第二式得 ， 6分 ， 8分 故通解为 或 。 10分 注：若只求出齐次通解给7分。
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