二次函数的综合复习

二次函数的综合复习 二次函数的综合复习 一、基础知识点： 1．二次函数的定义：形如 （a≠0，a，b，c为常数）的函数为二次函数． 2．二次函数的图象及性质： （1）二次函数y=ax2 (a≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a越小，抛物线开口越大． （2）二次函数 的图象是一条抛物线．顶点为（－ ， ），对称轴x=－ ； （3）当a＞0时，当x=－ 时，函数有最小值 ；当a＜0时，当x x=－ 时，函数有最大值 3．图象的平移：将二次函数y=ax2 (a≠0）的图象进行平移，可得到y=ax2＋c，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2＋k的图象． ⑴ 将y=ax2的图象向上(c＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax2＋c的图象．其顶点是（0,c） 形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同． ⑵ 将y=ax2的图象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x－h)2的图象．其顶点是（h，0），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线 y=ax2相同． ⑶ 将y=ax2的图象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x－h)2 +k的图象，其顶点是（h，k），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同． 4.小知识点总结： （1）、a的符号：a的符号由抛物线的开口方向决定．抛物线开口向上，则a＞0；物线开口向下，则a＜0． （2）b的符号由对称轴决定，若对称轴是y轴，则b=0；若抛物线的顶点在y轴左侧，顶点的横坐标－ ＜0即 ＞0，则a、b为同号；若抛物线的顶点在y轴右侧，顶点的横坐标－ ＞0，即 ＜0．则a、b异号．简称“左同有异”． （3）c的符号：c的符号由抛物线与y轴的交点位置确定．若抛物线交y轴于正半，则c＞0，抛物线交y轴于负半轴．则c＜0；若抛物线过原点，则c=0． （4）△的符号：△的符号由抛物线与x轴的交点个数决定．若抛物线与x轴只有一个交点，则△=0；有两个交点，则△＞0．没有交点，则△＜0 ． （5）a+b+c与a－b+c的符号：a+b+c是抛物线 (a≠0）上的点(1，a+b+c）的纵坐标，a－b+c是抛物线 (a≠0）上的点（－1，a－b＋c）的纵坐标．根据点的位置，可确定它们的符号. 典型例题： 例1、（ 贵阳）已知抛物线 的部分图象（如图1-2-1），图象 再次与x轴相交时的坐标是（ ） （A）（5，0） （B）（6，0） （C）（7，0） （D）（8，0） 例2、（ 宁安）函数y= x2－4的图象与y 轴的交点坐标是（ ） A.（2，0） B.（－2，0） C.（0，4）D.（0，－4） 例3、（ 潍坊）已知二次函数 的图象如图 l－2－2所示，则a、b、c满足（ ） A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0 例4、（天津）已知二次函数 (a≠0）且a＜0，a－b+c＞0，则一定有（ ） A．b2－4ac＞0 B．b2－4ac＝0 C．b2－4ac＜0 D．b2－4ac≤0 例5、（重庆）二次函数 的图象如图1－2－10，则点（b，）在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 针对性练习 1．已知直线y=x与二次函数y=ax2 －2x－1的图象的一个交点 M的横标为1，则a的值为（ ） A、2 B、1 C、3 D、 4 2．已知反比例函数y= 的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则二次函数y=2kx2 －x+k2的图象大致为图1－2－3中的（ ） 3．已知二次函数 的图象如图1－1－4 所示，下列结论中①abc＞0；②b=2a；③a＋b＋c<0；④a+b+c＞0正确的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．l 4．抛物线y=x2－ax＋5的顶点坐标是（ ） A．（－2，1） B．（－2，－1） C．（2，l） D．（2，－1） 5．抛物线y=（x—5）+4的对称轴是（ ） A．直线x=4 B．直线x=－4 C．直线x=5 D．直线x=－5 6．二次函数 图象如图l－1－5所示，则下列结论正确的（ ） A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0 7．二次函数 y=2（x－3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为（3,5） B．开口向下，对称轴x＝3，顶点坐标为（3，5） C．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,5) D．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,－5） 8．二次函数 图象如图l－2－6所示，则点（，a）在（ ） A．第一象限 B第二象限C．第三象限 D第四象限 9．已知二次函数 (a≠0）与一次函数y=kx+m(k≠0）的图象相交于点 A（－2，4）,B(8，2)，如图1－2－7所示，能使y1＞y2成立的x取值范围是_______ 10若二次函数 的图象如图1－2－8，则ac_____0（“＜”“＞”或“=”） 11直线y=x+2与抛物线y=x2 +2x的交点坐标为____． 12抛物线经过第一、三、四象限，则抛物线的顶点必在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13已知M、N两点关于 y轴对称，且点 M在双曲线 y= 上，点 N在直线上，设点M的坐标为(a，b)，则抛物线y=－abx2+(a＋b）x的顶点坐标为_ __. 14当b＜0时，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是图1－2－9中的（ ） 15．已知函数 的图象如图1－2－11所示，给出下列关于系数a、b、c的不等式：①a＜0，②b＜0，③c＞0，④2a＋b ＜0，⑤a＋b＋c＞0．其中正确的不等式的序号为___________- 16．已知抛物线 与x轴交点的横坐标 为－1，则a＋c=_________. 17．抛物线 中，已知a：b：c=l：2：3，最小值为6，则此抛胸的解析式为____________ 18．已知二次函数的图象开口向下，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数解析式： _______________. 19．抛物线 如图1－2－12 所示，则它关于y轴对称的抛物线的解析式是___________. 20．抛物线 （a＞0）的顶点在x轴上方的条件是（ ） A．b2－4ac＜0 B．b2－4ac＞ 0 C．b2－4ac≥0 D． c ＜0 5．二次函数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式的求法： ⑴若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得 ； ⑵若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式： 其中顶点为(h，k)对称轴为直线x=h； ⑶若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用交点式： ,其中与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0） （1）、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解； 例．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。 练习．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二次函数的解析式。 （2）、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x－h)2+k求解。 例．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。 练习．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。 （3）、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x1)(x－x2)。 例．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。 练习：1．抛物线y=2x2+bx+c与x 轴交于（－1,0）、（3,0），则b＝ ，c＝ . 2．若抛物线与x 轴交于(2，0)、（3，0），与y轴交于(0，－4)，则该二次函数的解析式 。 3．根据下列条件求关于x的二次函数的解析式 （1）​ 当x=3时，y最小值=－1，且图象过（0，7） （2）​ 图象过点（0，－2）（1，2）且对称轴为直线x= （3）​ 图象经过（0，1）（1，0）（3，0） （4）​ 当x=1时，y=0; x=0时,y= －2，x=2 时，y=3 （5）​ 抛物线顶点坐标为（－1，－2）且通过点（1，10） 课后练习： (一)选择题(每题2分，共20分) 1、下列函数中，不是二次函数的是（） A．y=2x2＋2x B．y=－x2 ++1 C．y=－x2 ++1 D．y=3－x(2－x) 2、函数y=－（x－2）2+5的顶点坐标为（） A．（2，5） B．（－2，5）． C．（2，－5） D．（－2，5） 3、把抛物线y=－（x－2）2－1经平移得到（ ） A．向有平移2个单位，向上平移1个单位 B．向右平移2个单位，向下平移1个单位 C．向左平移2个单位，向上平移1个单位 D．向左平移2个单位，向下平移1个单位 4、函数 的对称轴为（ ） A、y=－2 B、y=－2 C、x=2 D、x=－2 5、某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ） A．y=x2+a B．y= a（x－1）2 C．y=a（1－x）2 D．y＝a（l+x）2 6、设直线 y=2x—3，抛物线 y=x2－2x，点P（1，－1），那么点P（1，－1）（ ） A．在直线上，但不在抛物线上B．在抛物线上，但不在直线上 C．既在直线上，又在抛物线上 D．既不在直线上，又不在抛物线上 7、函数 y=x2 +px+q的图象是(3，2）为顶点的抛物线，则这个函数的解析式是（ ） A．y=x2＋6x+11 B．y=x2－6X－11 C．y=x2－6x+11 D．y=x2－6x+7 8、如图1－2－51，把一段长1．6米的铁丝围长方形ABCD，设宽为x，面积为y．则当y最大时，x所取的值是（ ） A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0．6 9、二次函数y=1－6x－3x2 的顶点坐标和对称轴分别是（ ） A．顶点（1，4）， 对称轴 x=1 B．顶点（－1，4），对称轴x=－1 C．顶点（1，4）， 对称轴x=4 D．顶点（－1，4），对称轴x=4 10、若直线 y=ax－6与抛物线y=x2－4x+3只有一个交点，则a的值为（ ） A．a=2 B．a=10 C．a=2或a=－10 D、a=2或a=10 （二）填空题（每题2分，共18分） 11、已知 y＝（a－3）x2+2x－l是二次函数；当a______时，它的图象是开口向上的抛物线，抛物线与y轴的交点坐标是________． 12、通过配方把函数y=－x2－2x－1表示为y____________,它的图象的顶点坐标是__________. 13、抛物线y=－x2 的开口，在对称轴左边，y随x的____________而增大． 14、若二次函数y=2x2的图象向下平移 3个单位，向右平移4个单位，得到的抛物线的关系式为_______________. 15、某涵洞是抛物线型，它的截面如图l-2-52，得水面宽AB=1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系中，涵洞所在抛物线的函数关系式是_____________-． 16、若将二次函数 y=x2－2x+3配方为y=（x—h）2＋k的形式_______________ 17、行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．某车的刹车距离S(m）与车速工（km／h）间有下述的函数关系式：S=0.01x+0.002x，现该车在限速140km/h的高速公路上出了交通事故，事后测得其刹车距离为46．5m．请推测刹车时汽车（是、否）_________超速． 18、已知抛物线 的对称轴为x=2，且经过点(0，4）和点（5，0），则该抛物线解析式为__________. 19、已知两个正数的和是60，它们的积最大是 _____________. 20．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴的负半轴相交于A、B两点，与y轴的正半轴相交于C点，与双曲线y= 的一个交点是(1，m)，且OA=OC.求抛物线的解析式．