0 偏微分方程(Partial Differential Equations) 許多物理規律、物理過程和物理狀態都可以用微分方程描述。當物理過程和狀態只由一個因素決定時，往往提出常微分方程。例如質點的運動，通過解常微分方程就能得到質點的運動規律。 例： (質點運動方程式) 當物理問題由多個因素決定時，就會涉及到偏微分方程，偏微分方程為應用數學中重要的課題之一，物理問題之數學模式與偏微分方程式有關，許多數學理論與方法的發展往往肇因於求解偏微分方程。 例： (熱傳導方程式) (波動方程式) (拉普拉斯方程式) (衝擊波方程式) (KdV方程式) 1. 偏微分方程的定義與解 設 為自變數 之函數，任何包含其偏導數之關係式 (1) 稱為偏微分方程式(簡稱P.D.E.)。 基本名詞： (1) 階數(order)：P.D.E.中所含最高階偏導數之階數。 (2) 線性(linear)：P.D.E.中，其未知函數以及其偏導數均滿足 (i)次數均為一次。 (ii)無互相的乘項。 (iii)無非線性函數。 則稱為線性P.D.E.。 (3) 擬線性(quasi-linear)：P.D.E.中，其最高階的偏導數之次數為1次，且彼此無互乘項，則稱為擬線性P.D.E.。 (4) 非線性(non-linear)：若P.D.E.不為線性或擬線性，則稱為非線性P.D.E.。 解之分類： (1) 通解(general solution)：滿足P.D.E.且包含任意函數之解。 (2) 全解(complete solution)：滿足P.D.E.且包含任意常數之解。 (3) 特解(particular solution)：滿足P.D.E.且不含任意函數與任意常數 之解。 例：試判別P.D.E.之形式。 (1) ，(2) ，(3) 。 例：試証 為 之通解。 2. 一階偏微分方程式 (1) 一階線性偏微分方程(常係數) ， ， (2) ; 可視為常微分方程式 (3) 積分因子為 ，可得通解如下 (4) (5) 本質上是 在向量 方向的導數，對 平面引入新座標系，使新座標軸之一指向 ，選擇新座標系為 ，例如 (6) 則 (7) 定義新函數 (8) 跟 成比例，因為 是 沿直線 常數的導數。可將(2)式改寫成 (9) 可觀察第(9)式與第(3)式的形式相同，因此可用同樣的方式求得通解。 因此，與 平行的直線 ，稱為第(2)式的特徵線。 例：試求 之通解。 Ans： 例：試求 之解。 Ans： 2. 一階線性偏微分方程式(變係數) (10) 注意 是 在點 沿向量方向 (11) 的方向導數。 因此 是平面上的向量場，視為 平面上流體流在點 的速度，如果在曲線上每點 ，向量 與曲線相切，則此曲線稱為第(10)式的特徵曲線，因此隱含特徵方程式的訊息為： (12) 假設解以隱函數 的形式給出，其中d為常數。 令 (13) 則 (14) 因為 ，故可得 ，因此(14)可寫成： (15) 可將第(10)式改寫成可處理的形式。 另外，特徵方程式可以參數式的形式表現： (16) 其中t為參數。 例：試求 之通解。 Ans： 3. 三維一階線性偏微分方程式 (17)特徵曲線為 ，其中t為參數，其特徵方程式為： (18) 若以x代替t，則： (19) 上式的解典型依賴兩個常數 以及 ，將解寫成 以及 ，對每一固定的 以及 ，給定x則有特徵曲線 ，設： (20) 對應於數對 ，可得一特徵曲線，此曲線為 與 之交線。因此在特徵曲線上， 以及 為常數。 做座標變換，使特徵曲線由固定兩個新座標 ，變換剩下的座標 做變換，則可將P.D.E.轉換成O.D.E.。 令 (21) 則可得： (22) 則第(17)可寫成： (23) 第(23)式為 對 的常微分方程式，因此可解得 ，則 (24) 例：試求 之通解。 Ans： 4. 高維擬線性一階偏微分方程式 (1) 一含兩自變數之擬線性偏微分方程式為： (25) 設 ( )，為(25)之隱函數型式解，或稱為積分曲面(integral surface)。 可將(25)改寫成向量形式： (26) 其中： (27) 表示該曲面的法向量，因此 表該積分曲面的切向量。現令積分曲面上任一點M開始以 之方向在積分曲面上移動，所形成的軌跡路線稱為特徵曲線(characteristic curve)，設此曲線的位置向量為： (28) 可證得： (29) (29)式即為(25)式的特徵方程式。因(29)為兩個聯立常微分方程，設其獨立解為： (30) 第(30)式為兩組曲面族，各曲面之交線 均落在積分曲面 上，故第(25)式的通解為： (31) 其中 為任意一階導數存在的函數。 (2) 推廣： 設n變數一階擬線性偏微分方程式為： (32) 其特徵方程式為： (33) 的n個線性獨立的解為： (34) 則該P.D.E.的解為： (35) 其中 為任意函數。 例：試求 之通解。 Ans： 例：試求 之通解。 Ans： 例：試求 之通解，初始條件為 。 Ans：
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