三、函数与方程的思想方法 三、函数与方程的思想方法 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。 笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。 函数知识涉及的
知识点
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多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。 Ⅰ、再现性题组： 1.方程lgx＋x＝3的解所在的区间为_____。 A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞) 2.如果函数f(x)＝x ＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么_____。 A. f(2)
0），则 ＋ ＝ ，解出x＝2，再用万能公式，选A； 5小题：利用 是关于n的一次函数，设S ＝S ＝m， ＝x，则（ ,p）、( ,q)、(x，p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得x＝0，则答案：0； 6小题：设cosx＝t，t∈[-1,1]，则a＝t －t－1∈[－ ,1]，所以答案：[－ ,1]； 7小题：设高h，由体积解出h＝2 ，答案：24 ； 8小题：设长x，则宽 ，造价y＝4×120＋4x×80＋ ×80≥1760，答案：1760。 Ⅱ、示范性题组： 例1. 设a>0，a≠1，试求方程log (x－ak)＝log (x －a )有实数解的k的范围。(89年全国高考) 【分析】由换底公式进行换底后出现同底，再进行等价转化为方程组，分离参数后分析式子特点，从而选用三角换元法，用三角函数的值域求解。 【解】 将原方程化为：log (x－ak)＝log ， 等价于 （a>0,a≠1） ∴ k＝ － ( | |>1 ）, 设 ＝cscθ， θ∈(－ ,0)∪(0, )，则 k＝f(θ)＝cscθ－|ctgθ| 当θ∈(－ ,0)时，f(θ)＝cscθ＋ctgθ＝ctg <－1，故k<－1； 当θ∈(0, )时，f(θ)＝cscθ－ctgθ＝tg ∈(0,1)，故00)，设曲线C ：y＝x－ak，曲线C ：y＝ (y>0)，如图所示。 由图可知，当－ak>a或－a<－ak<0时曲线C 与C 有交点，即方程有实解。所以k的取值范围是：k<－1或0ak，即 －k>0，通分得 <0，解得k<－1或0m(x －1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。 【分析】 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而，若变换一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式(x －1)m－(2x－1)<0在[-2,2]上恒成立的问题。对此的研究，设f(m)＝(x －1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f(m)的值在[-2,2]内恒为负值时参数x应该满足的条件 。 【解】问题可变成关于m的一次不等式：(x －1)m－(2x－1)<0在[-2,2] 恒成立，设f(m)＝(x －1)m－(2x－1), 则 解得x∈（ , ） 【注】 本题的关键是变换角度，以参数m作为自变量而构造函数式，不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题。本题有别于关于x的不等式2x－1>m(x －1)的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x－1>m(x －1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围。 一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题。 例3. 设等差数列{a }的前n项的和为S ，已知a ＝12，S >0，S <0 。 ①.求公差d的取值范围； ②.指出S 、S 、…、S 中哪一个值最大，并说明理由。(92年全国高考) 【分析】 ①问利用公式a 与S 建立不等式，容易求解d的范围；②问利用S 是n的二次函数，将S 中哪一个值最大，变成求二次函数中n为何值时S 取最大值的函数最值问题。 【解】① 由a ＝a ＋2d＝12,得到a ＝12－2d，所以 S ＝12a ＋66d＝12(12－2d)＋66d＝144＋42d>0， S ＝13a ＋78d＝13(12－2d)＋78d＝156＋52d<0。 解得：－ 0、a <0 ，即：由d<0知道a >a >…>a ，由S ＝13a <0得a <0，由S ＝6(a ＋a )>0得a >0。所以，在S 、S 、…、S 中，S 的值最大。 例4. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求异面直线PB和AC的距离。 【分析】 异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。 P M A H B D C 【解】 在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H， 设MH＝x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD 。 ∴MD ＝x ＋[(2r－x)sinθ] ＝(sin ＋1)x －4rsin θx＋4r sin θ ＝(sin θ＋1)[x－ ] ＋ 即当x＝ 时，MD取最小值 为两异面直线的距离。 【注】 本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的最小值”，并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题”。一般地，对于求最大值、最小值的实际问题，先将文字说明转化成数学语言后，再建立数学模型和函数关系式，然后利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答。比如再现性题组第8题就是典型的例子。 例5. 已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tgA·tgC＝2＋ ，又知顶点C的对边c上的高等于4 ,求△ABC的三边a、b、c及三内角。 【分析】已知了一个积式，考虑能否由其它已知得到一个和式，再用方程思想求解。 【解】 由A、B、C成等差数列，可得B＝60°； 由△ABC中tgA＋tgB＋tgC＝tgA·tgB·tgC，得 tgA＋tgC＝tgB(tgA·tgC－1)＝ (1＋ ) 设tgA、tgC是方程x －( ＋3)x＋2＋ ＝0的两根，解得x ＝1，x ＝2＋ 设A0在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题。 【解】 由题设可知，不等式1＋2 ＋4 a>0在x∈(-∞,1]上恒成立， 即：( ) ＋( ) ＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立。 设t＝( ) , 则t≥ ， 又设g(t)＝t ＋t＋a，其对称轴为t＝－ ∴ t ＋t＋a＝0在[ ,+∞)上无实根， 即 g( )＝( ) ＋ ＋a>0，得a>－ 所以a的取值范围是a>－ 。 【注】对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。 在解决不等式( ) ＋( ) ＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的问题时，也可使用“分离参数法”： 设t＝( ) , t≥ ，则有a＝－t －t∈(－∞,－ ]，所以a的取值范围是a>－ 。其中最后得到a的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也可属应用“函数思想”。 Ⅲ、巩固性题组： 1. 方程sin2x＝sinx在区间(0,2π)内解的个数是_____。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 1. 已知函数f(x)＝|2 －1|，af(c)>f(b)，则_____。 A. a<0,b<0,c>0 B. a<0,b>0,c>0 C. 2 <2 D. 2 ＋2 <2 1. 已知函数f(x)＝log (x －4x＋8)， x∈[0,2]的最大值为－2，则a＝_____。 A. B. C. 2 D. 4 4.已知{a }是等比数列，且a ＋a ＋a ＝18，a ＋a ＋a ＝－9，S ＝a ＋a ＋…＋a ，那么 S 等于_____。 A. 8 B. 16 C. 32 D. 48 5.等差数列{a }中，a ＝84，前n项和为S ,已知S >0，S <0，则当n＝______时，S 最大。 6. 对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x ＋px〉4x＋p－3成立的x的取值范围是________。 7.若关于x的方程|x －6x＋8|＝a恰有两个不等实根，则实数a的取值范围是____________。 8.已知点A(0,1)、B(2,3)及抛物线y＝x ＋mx＋2，若抛物线与线段AB相交于两点，求实数m的取值范围。 9.已知实数x、y、z满足等式x＋y＋z＝5和xy＋yz＋zx＝3,试求z的取值范围。 10.已知lg －4·lg ·lg ＝0，求证：b是a、c的等比中项。 11.设α、β、γ均为锐角，且cos α＋cos β＋cos γ＋2cosα·cosβ·cosγ＝1，求证：α＋β＋γ＝π 。 12.当p为何值时，曲线y ＝2px (p>0)与椭圆 (x―2― ) ＋y ＝1有四个交点。(88年全国高考) 13.已知关于x的实系数二次方程x ＋ax＋b＝0有两个实数根α、β。证明： 1. 如果|α|<2，|β|<2，那么2|a|<4＋b且|b|<4； 1. 如果2|a|<4＋b且|b|<4，那么|α|<2，|β|<2 。 （93年全国理） 14.设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数，对k∈Z，用I 表示区间(2k-1,2k+1]，已知当x∈I 时，f(x)＝x 。 ①.求f(x)在I 上的解析表达式； ②.对自然数k，求集合M ＝{a|使方程f(x)＝ax在I 上有两个不相等的实根}。 （89年全国理） 四、等价转化思想方法 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。 转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。 著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。 等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。由于其多样性和灵活性，我们要合理地
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好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。 在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、
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化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。 Ⅰ、再现性题组： 1. f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于_____。 A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5 2.设f(x)＝3x－2，则f [f(x)]等于______。 A. B. 9x－8 C. x D. 3. 若m、n、p、q∈R且m ＋n ＝a，p ＋q ＝b，ab≠0，则mp＋nq的最大值是______。 A. B. C. D. 4. 如果复数z满足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2，那么|z＋ｉ＋1|的最小值为______。 A. 1 B. C. 2 D. 5. 设椭圆 ＋ ＝1 （a>b>0）的半焦距为c，直线l过(0,a)和(b,0)，已知原点到l的距离等于 c，则椭圆的离心率为_____。 A. B. C. D. 6. 已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D为AB的中点，E为AC的中点，则四棱锥S-BCED的体积为_____。 A. B. 10 C. D. 【简解】1小题：由已知转化为周期为2,所以f(7.5)＝f(-0.5)＝－f(0.5)，选B； 2小题：设f(x)＝y，由互为反函数的值域与定义域的关系，选C； 3小题：由mp＋nq≤ ＋ 容易求解，选A； 4小题：由复数模几何意义利用数形结合法求解，选A； 5小题：ab＝ × ，变形为12e －31e ＋7＝0，再解出e，选B； 6小题：由S ＝ S 和三棱椎的等体积转化容易求，选A。 Ⅱ、示范性题组： 例1. 若x、y、z∈R 且x＋y＋z＝1，求( －1)( －1)( －1)的最小值。 【分析】由已知x＋y＋z＝1而联想到，只有将所求式变形为含代数式x＋y＋z，或者运用均值不等式后含xyz的形式。所以，关键是将所求式进行合理的变形，即等价转化。 【解】( －1)( －1)( －1)＝ （1－x）(1－y)(1－z) ＝ (1－x－y－z＋xy＋yz＋zx－xyz)＝ (xy＋yz＋zx－xyz) ＝ ＋ ＋ －1≥3 －1＝ －1≥ －1＝9 【注】对所求式进行等价变换：先通分，再整理分子，最后拆分。将问题转化为求 ＋ ＋ 的最小值，则不难由平均值不等式而进行解决。此题属于代数恒等变形题型，即代数式在形变中保持值不变。 例2. 设x、y∈R且3x ＋2y ＝6x，求x ＋y 的范围。 【分析】 设k＝x ＋y ，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题。其中要注意隐含条件，即x的范围。 【解】由6x－3x ＝2y ≥0得0≤x≤2。 设k＝x ＋y ，则y ＝k－x ，代入已知等式得：x －6x＋2k＝0 ， 即k＝－ x ＋3x，其对称轴为x＝3。 由0≤x≤2得k∈[0,4]。 所以x ＋y 的范围是：0≤x ＋y ≤4。 【另解】 数形结合法（转化为解析几何问题）： 由3x ＋2y ＝6x得(x－1) ＋ ＝1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。x ＋y 的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为x ＋y ＝k，代入椭圆中消y得x －6x＋2k＝0。由判别式△＝36－8k＝0得k＝4,所以x ＋y 的范围是：0≤x ＋y ≤4。 【再解】 三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）： 由3x ＋2y ＝6x得(x－1) ＋ ＝1，设 ，则 x ＋y ＝1＋2cosα＋cos α＋ sin α＝1＋ ＋2cosα－ cos α ＝－ cos α＋2cosα＋ ∈[0,4] 所以x ＋y 的范围是：0≤x ＋y ≤4。 【注】本题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力。此题还可以利用均值换元法进行解答。各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型。 例3. 求值：ctg10°－4cos10° 【分析】分析所求值的式子，估计两条途径：一是将函数名化为相同，二是将非特殊角化为特殊角。 【解一】ctg10°－4cos10°＝ －4cos10°＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （基本过程：切化弦→通分→化同名→拆项→差化积→化同名→差化积） 【解二】ctg10°－4cos10°＝ －4cos10°＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （基本过程：切化弦→通分→化同名→特值代入→积化和→差化积） 【解三】ctg10°－4cos10°＝ －4cos10°＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （基本过程：切化弦→通分→化同名→拆角80°→和差角公式） 【注】无条件三角求值问题，是高考中常见题型，其变换过程是等价转化思想的体现。此种题型属于三角变换型。一般对，对于三角恒等变换，需要灵活运用的是同角三角函数的关系式、诱导公式、和差角公式、倍半角公式、和积互化公式以及万能公式，常用的手段是：切割化弦、拆角、将次与升次、和积互化、异名化同名、异角化同角、化特殊角等等。对此，我们要掌握变换的通法，活用2公式，攻克三角恒等变形的每一道难关。 例4. 已知f(x)＝tgx，x∈(0, )，若x 、x ∈(0, )且x ≠x ， 求证： [f(x )＋f(x )]>f( ) （94年全国高考） 【分析】从问题着手进行思考，运用分析法，一步步探求问题成立的充分条件。 【证明】 [f(x )＋f(x )]>f( ) [tgx ＋tgx ]>tg ( ＋ )> > 1＋cos(x ＋x )>2cosx cosx 1＋cosx cosx ＋sinx sinx >2cosx cosx cosx cosx ＋sinx sinx <1 cos(x －x )<1 由已知显然cos(x －x )<1成立，所以 [f(x )＋f(x )]>f( ) S A M D N C B 【注】 本题在用分析法证明数学问题的过程中，每一步实施的都是等价转化。此种题型属于分析证明型。 例5. 如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成角等于∠NSC。求证：SC垂直于截面MAB。（83年全国高考） 【分析】 由三垂线定理容易证明SC⊥AB，再在平面SDNC中利用平面几何知识证明SC⊥DM。 【证明】由已知可得：SN⊥底面ABC，AB⊥CD，CD是斜线SC在底面AB的射影， ∴ AB⊥SC。 ∵ AB⊥SC、AB⊥CD ∴ AB⊥平面SDNC ∴ ∠MDC就是截面MAB与底面所成的二面角 由已知得∠MDC＝∠NSC 又∵ ∠DCM＝∠SCN ∴ △DCM≌△SCM ∴ ∠DMC＝∠SNC＝Rt∠ 即 SC⊥DM 所以SC⊥截面MAB。 【注】立体几何中有些问题的证明，可以转化为平面几何证明来解决，即考虑在一个平面上的证明时运用平面几何知识。 Ⅲ、巩固性题组： 1. 正方形ABCD与正方形ABEF成90°的二面角，则AC与BF所成的角为_____。 A. 45° B. 60° C. 30° D. 90° 2. 函数f(x)＝|lgx|，若0f(b)，则下列各式中成立的是_____。 A. ab≤1 B. ab<1 C. ab>1 D. a>1且b>1 3. [ － ] (n∈N)的值为______。 A. B. C. 0 D. 1 4. (a＋b＋c) 展开式的项数是_____。 A. 11 B. 66 C. 132 D. 3 5. 已知长方体ABCD-A’B’C’D’中，AA’＝AD＝1，AB＝ ，则顶点A到截面A’BD的距离是_______。 6. 已知点M(3cosx，3sinx)、N(4cosy，4siny)，则|MN|的最大值为_________。 7. 函数y＝ ＋ 的值域是____________。 8. 不等式log （x ＋x＋3）>log (x＋2)的解是____________。 9．设x>0，y>0，求证：(x ＋y ) >(x ＋y ) (86年上海高考) 10. 当x∈[0, ]时，求使cos x－mcosx＋2m－2>0恒成立的实数m的取值范围。 11. 设△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若三边a、b、c顺次成等差数列，求复数z＝[cos(π＋ )＋ｉsin(π＋ )]·[sin( － )＋ｉcos( － )]的辐角主值argz的最大值。 12. 已知抛物线C：y＝(t ＋t－1)x －2(a＋t) x＋(t ＋3at＋b)对任何实数t都与x轴交于P(1,0)点，又设抛物线C与x轴的另一交点为Q(m,0)，求m的取值范围。 第三章 高考热点问题和解题策略 数学高考坚持以“两个有利”（有利高校选拔新生、有利中学教学）为指导思想，严格遵循“考试说明”的规定，内容上不超纲，能力上不超规定层次（了解、理解和掌握、灵活和综合运用），在考查三基（基础知识、基本技能、基本技巧）和四种能力（逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、分析和解决问题的能力）的同时，侧重考查教材中的主要内容、数学思想方法和应用意识，特别是突出考查数学学科的思维能力。 函数平均每年占高考总分的13.8％，考查的知识背景为幂、指、对及一般函数的概念、定义域、值域、反函数；函数的性质、函数的单调性、奇偶性、周期性；函数的图像等。 三角函数平均每年占高考总分的12.6％，考查的知识背景是三角函数的概念、性质、以及有关公式的应用，以常规题居多。 解（证）不等式平均每年占高考总分的11.2％，考查的知识背景为不等式的性质、定理；立几、数列中的最值问题以及解几中的范围问题。 数列、极限和数学归纳法平均每年占高考总分的13.8％，考查的知识背景为等差（比）数列的概念与计算公式；数列、极限的概念与求法。 线面间的位置关系平均每年占高考总分的11.8％，考查的知识背景为线面间的平行、垂直性质与判定及有关概念。每年均为阅读理解型试题。 圆锥曲线平均每年占高考总分的11.7％，考查的知识背景为圆锥曲线的定义、性质及解几中的基本数学思想方法。 1993年—1999年高考试题中，常用的数学方法几乎每年考到，常用的数学思想方法考查的频率明显提高，探索性能力题年年考，对应用性问题的考查力度不断加大，阅读理解能力多题渗透。 今年高考命题，选择题继续保持14个题题量，仍分为1-5题，每题4分，6-14题每题5分，但适当降低最后2-3题的难度，控制语言的抽象水平。填空题保持1997-1999年水平，共4个题左右，每题4分，难度仍将为中等题，以计算题为主，且计算量仍不会加大。相比99年高考，2000高考将适当降低试卷的难度，进一步加强对思维能力考查。 进一步注重通性通法的考查，继续突出主体内容（函数、方程、不等式、数列和圆锥曲线等），淡化某些不宜升温的知识（递推数列、复数和立体几何等），做好向新高中教材过渡的准备。 应用题将适当控制对建模能力难度的考查，减少普通语言转译为数学语言的难度，既注意贴近生活，又注意靠近课本。探索性综合题和信息迁移题不可能增加难度，如数列综合题仍以归纳猜想为主要形式。 一、应用问题 应用问题的“考试要求”是考查考生的应用意识和运用数学知识与方法来分析问题解决问题的能力，这个要求分解为三个要点： 1、要求考生关心国家大事，了解信息社会，讲究联系实际，重视数学在生产、生活及科学中的应用，明确“数学有用，要用数学”，并积累处理实际问题的经验。 2、考查理解语言的能力，要求考生能够从普通语言中捕捉信息，将普通语言转化为数学语言，以数学语言为工具进行数学思维与交流。 3、考查建立数学模型的初步能力，并能运用“考试说明”所规定的数学知识和方法来求解。 对应用题，考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题的能力上。实际问题转化为数学问题，关键是提高阅读能力即数学审题能力，审出函数、方程、不等式、等式，要求我们读懂材料，辨析文字叙述所反应的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，抽象其中的数量关系，将文字语言叙述转译成数学式符号语言，建立对应的数学模型解答。可以说，解答一个应用题重点要过三关：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力。 求解应用题的一般步骤是（四步法）： 1、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系； 2、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题； 3、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解； 4、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证。 在近几年高考中，经常涉及的数学模型，有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模型等等。 Ⅰ、再性性题组： 1.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成______。(94年全国高考) A. 511个 B. 512个 C. 1023个 D. 1024个 2.如图，以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开，已知篱笆的总长为定值L，这块场地的长为_______时，场地面积最大，最大面积是_________。(82年全国高考) 3.圆柱轴截面的周长L为定值，那么圆柱体积的最大值是_______。(93年全国高考) A. ( ) π B. ( ) π C. ( ) π D. 2( ) π 4.在半径为30m的圆形广场中央上空，置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为_______。(精确到0.1m) (93年全国高考) 5.甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，共有_______种承包方式。(86年全国高考) 【简解】1小题：答案B； 2小题：设长x，面积S＝x× ≤ ( ) ，答案：长为 ，最大面积 ； 3小题：V＝πr ＝πr ( －2r)≤π( ) ，选A； 4小题：由 ＝tg60°得h＝10 ≈17.3； 5小题：C C C ＝1680。 Ⅱ、示范性题组： 例1．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现有增加22％，人均粮食产量比现在提高10％，如果人口年增长率为1％，那么耕地每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？ （96年全国高考） （粮食单产＝ ； 人均粮食产量＝ ） 【分析】此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景，给出两组数据，要求考生从两条线索抽象数列模型，然后进行比较与决策。 【解】1.读题：问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食占有量、总人口数及三个百分率，其中人均粮食占有量P＝ ， 主要关系是：P ≥P 。 2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨／公顷，现在人口数为m，则现在占有量为 ，10年后粮食单产为a(1＋0.22)，人口数为m(1＋0.01) ，耕地面积为（10 －10x）。 ∴ ≥ （1＋0.1） 即 1.22（10 －10x）≥1.1×10 ×（1＋0.01） 3.求解： x≤10 － ×10 ×（1＋0.01） ∵ （1＋0.01） ＝1＋C ×0.01＋C ×0.01 ＋C ×0.01 ＋…≈1.1046 ∴ x≤10 －995.9≈4（公顷） 4.评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无破，故可作答。（答略） 【另解】1.读题：粮食总产量＝单产×耕地面积； 粮食总占有量＝人均占有量×总人口数； 而主要关系是： 粮食总产量≥粮食总占有量 2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨／公顷，现在人口数为m，则现在占有量为 ，10年后粮食单产为a(1＋0.22)，人口数为m(1＋0.01) ，耕地面积为（10 －10x）。 ∴ a(1＋0.22)×(1O －10x)≥ ×(1＋0.1)×m(1＋0.01) 3.求解： x≤10 － ×10 ×（1＋0.01） ∵ （1＋0.01） ＝1＋C ×0.01＋C ×0.01 ＋C ×0.01 ＋…≈1.1046 ∴ x≤10 －995.9≈4（公顷） 4.评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无破，故可作答。（答略） 【注】本题主要是抓住各量之间的关系，注重3个百分率。其中耕地面积为等差数列，总人口数为等比数列模型，问题用不等式模型求解。本题两种解法，虽都是建立不等式模型，但建立时所用的意义不同，这要求灵活掌握，还要求对指数函数、不等式、增长率、二项式定理应用于近似计算等知识熟练。此种解法可以解决有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题。此种题型属于不等式模型，也可以把它作为数列模型，相比之下，主要求解过程是建立不等式模型后解出不等式。 在解答应用问题时，我们强调“评价”这一步不可少！它是解题者的自我调节，比如本题求解过程中若令1.01 ≈1,算得结果为x≤98公顷，自然会问：耕地减少这么多，符合国家保持耕地的政策吗？于是进行调控，检查发现是错在1.01 的近似计算上。 例2．已知某市1990年底人口为100万，人均住房面积为5m ，如果该市每年人口平均增长率为2％，每年平均新建住房面积为10万m ，试求到2000年底该市人均住房面积（精确到0.01）？（91年上海高考） 【分析】城市每年人口数成等比数列，每年住房总面积成等比数列，分别写出2000年后的人口数、住房总面积，从而计算人均住房面积。 【解】1.读题：主要关系：人均住房面积＝ 2.建模：2000年底人均住房面积为 3.求解：化简上式＝ ， ∵ 1.02 ＝1＋C ×0.02＋C ×0.02 ＋C ×0.02 ＋…≈1.219 ∴ 人均住房面积为 ≈4.92 4.评价：答案4.92符合城市实际情况，验算正确，所以到2000年底该市人均住房面积为4.92m 。 【注】一般地，涉及到利率、产量、降价、繁殖等与增长率有关的实际问题，可通过观察、分析、归纳出数据成等差数列还是等比数列，然后用两个基础数列的知识进行解答。此种题型属于应用问题中的数列模型。 例3．甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v（千米／时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。 ① 把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数，并指出函数的定义域； ② 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ （97年全国高考） 【分析】几个变量（运输成本、速度、固定部分）有相互的关联，抽象出其中的函数关系，并求函数的最小值。 【解】（读题）由主要关系：运输总成本＝每小时运输成本×时间， （建模）有y＝(a＋bv ) （解题）所以全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数关系式是：y＝S( ＋bv)，其中函数的定义域是v∈(0,c]。 整理函数有y＝S( ＋bv)＝S(v＋ )， 由函数y＝x＋ (k>0)的单调性而得： 当
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，方案甲是：第一次提价p％，第二次提价q％；方案乙是：第一次提价q％，第二次提价p％；方案丙是：第一次提价 ％，第二次提价 ％，已知p>q>0，则上述三个方案中______。 A.方案甲提价最多 B.方案乙提价最多 C.方案丙提价最多 D.以上都不对 6.假设国家收购某种农产品的价格是120元／担，其中征税标准为每100元征8元（叫税率8个百分点，即8％），
计划
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可收购m万担。为了减轻农民负担，决定把税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点。 ① 写出税收y（万元）与x的函数关系式； ② 要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78％，试确定x的范围。 7.某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元。购买当天先付150万元，以后每月的这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1％。若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应该付多少钱？全部货款付清后，买这40套住房实际花了多少钱？ A O 水面 8.公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA＝1.25米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA的距离为1米处达到距水面最大高度2.25米，如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？（97年上海高考） 9.电灯挂在圆桌的正中央上空，光学定律指出：桌边A处的照度I与射到点A的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，与点A到光源的距离的平方成反比。已知桌面半径r＝0.5米，当电灯离桌面1米时，桌边A处的照度为I 。 ① 试把照度I表示为角θ的函数； ② 怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌边处最亮？ 10.国际足联规定法国世界杯决赛阶段，比赛场地长105米、宽68米，足球门宽7.32米、高2.44米，试确定边锋最佳射门位置（边锋在足球场地长边上移动，最佳射门位置应使边锋看足球门的水平视角θ最大）。 （精确到1米） 二、探索性问题 近年来，随着社会主义经济建设的迅速发展，要求学校由“应试教育”向“素质教育”转化，培养全面发展的开拓型、创造型人才。在这种要求下，数学教学中开放型问题随之产生。于是，探索性问题成了近几年来高考命题中的热点问题，它既是高等学校选拔高素质人材的需要，也是中学数学教学培养学生具有创造能力、开拓能力的任务所要求的。实际上，学生在学习数学知识时，知识的形成过程也是观察、分析、归纳、类比、猜想、概括、推证的探索过程，其探索方法是学生应该学习和掌握的，是今后数学教育的重要方向。 一般地，对于虽给出了明确条件，但没有明确的结论，或者结论不稳定，需要探索者通过观察、分析、归纳出结论或判断结论的问题（探索结论）；或者虽给出了问题的明确结论，但条件不足或未知，需要解题者寻找充分条件并加以证明的问题（探索条件），称为探索性问题。此外，有些探索性问题也可以改变条件，探讨结论相应发生的变化；或者改变结论，探讨条件相应发生的变化；或者给出一些实际中的数据，通过分析、探讨解决问题。 探索性问题一般有以下几种类型：猜想归纳型、存在型问题、分类讨论型。 猜想归纳型问题是指在问题没有给出结论时，需要从特殊情况入手，进行猜想后证明其猜想的一般性结论。它的思路是：从所给的条件出发，通过观察、试验、不完全归纳、猜想，探讨出结论，然后再利用完全归纳理论和要求对结论进行证明。其主要体现是解答数列中等与n有关数学问题。 存在型问题是指结论不确定的问题，即在数学命题中，结论常以“是否存在”的形式出现，其结果可能存在，需要找出来，可能不存在，则需要说明理由。解答这一类问题时，我们可以先假设结论不存在，若推论无矛盾，则结论确定存在；若推证出矛盾，则结论不存在。代数、三角、几何中，都可以出现此种探讨“是否存在”类型的问题。 分类讨论型问题是指条件或者结论不确定时，把所有的情况进行分类讨论后，找出满足条件的条件或结论。此种题型常见于含有参数的问题，或者情况多种的问题。 探索性问题，是从高层次上考查学生创造性思维能力的新题型，正确运用数学思想方法是解决这类问题的桥梁和向导，通常需要综合运用归纳与猜想、函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化与非等价转化等数学思想方法才能得到解决，我们在学习中要重视对这一问题的训练，以提高我们的思维能力和开拓能力。 Ⅰ、再现性题组： 1.是否存在常数a、b、c，使得等式1·2 ＋2·3 ＋…＋n(n＋1) ＝ (an ＋bn＋c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论。 （89年全国理） 2.已知数列 ， …， ，…。S 为其前n项和，求S 、S 、S 、S ，推测S 公式，并用数学归纳法证明。 （93年全国理） 【简解】1题：令n＝1、2、3代入已知等式列出方程组，解得a＝3、b＝11、c＝10，猜测a、b、c的值对所有的n∈N都成立，再运用数学归纳法进行证明。（属于是否存在型问题，也可属于猜想归纳型问题） 2题：计算得到S ＝ 、S ＝ 、S ＝ 、S ＝ ，观察后猜测S ＝ ，再运用数学归纳法进行证明。 Ⅱ、示范性题组： 【例1】已知方程kx ＋y ＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的类型，并画出曲线简图。（78年全国高考题） 【分析】由圆、椭圆、双曲线等方程的具体形式，结合方程kx ＋y ＝4的特点，对参数k分k>1、k＝1、01、k＝1、01时，表示椭圆，其中心在原点，焦点在y轴上，a＝2，b＝ ; ② 当k＝1时，表示圆，圆心在原点，r＝2； ③ 当0
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