板块一、相似三角形的判定及性质 【例1】 （2007年北师大附中期末试题）如图， 、 是 的边 、 上的点，且 ，求证： . 【巩固】如图，在 中， 于 ， 于 ， 的面积是 面积 的4倍， ，求 的长. 【例2】 （重庆市中考题）如图，已知在矩形 中， 为 的中点， 交 于 ，连接 （ ）. （1） 与 是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由. （2）设 是否存在这样的 值，使得 ∽ ，若存在，证明你的结论并求出 值；若不存在，说明理由. 【例3】 如图，已知梯形 中， ， ， , , ( ), , 交 于点 ，连接 . （1）判断 与 ， 与 是否分别一定相似，若相似，请加以证明. （2）如果不一定相似，请指出 、 满足什么关系时，它们就能相似. 【例4】 （厦门市中考题） 中，正方形 的两个顶点 、 在 上，另两个顶点 、 分别在 、 上， , 边上的高 ,求 . 【例5】 （2007年北师大附中、2004年四川省乐山市中考试题） 如图，已知 中， ， ， ， ， 点在 上，与点 、 不重合， 在 上. （1）当 的面积与四边形 的面积相等时，求 的长； （2）当 的面积与四边形 的周长相等时，求 的长； （3）试问：在 上是否存在一点 ，使得 为等腰直角三角形？若不存在，请简要的说明理由；若存在，请求出 的长. 【巩固】（全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形 和 均为正方形，求 _________. 【例6】 如图，在矩形 中， ，点 沿 边从点 开始向点 以 秒的速度移动，点 沿 边以 秒的速度从点 开始移动，如果 同时出发，用 （秒）
表
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示移动的时间 ． ⑴ 当 为何值时， 为等腰直角三角形？ ⑵ 求四边形 面积，提出一个与计算结果相关的正确结论． ⑶ 当 为何值时，以点 为顶点的三角形与 相似． 【巩固】如图：矩形 的面积是36，在 边上分别取点 ，使得 ， ，且 与 的交点为点 ，求 的面积。 板块二、相似中的角平分线问题 【例7】 如图， 是 的角平分线，求证： 【变式1】已知 中， 的外角平分线交对边 的延长线于 ，求证： 【变式2】已知条件同变式1，求证： 【例8】 已知： 、 分别为 的内、外角平分线， 为 的中点，求证： 【巩固】已知： 、 分别为 的内、外角平分线，求证： . 【例9】 已知四边形 ， 、 分别为一组对边 、 的两点，若 求证： 、 与 成等角. 【例10】 如图，已知 是 的平分线上的定点，过点 任作一条直线分别交 、 于 、 . 1 证明： 是定值；⑵ 求 的最小值 【巩固】在 中， ， 平分 交 于点 ，求证： 板块三、 型结论的证明 【例11】 （2002宁夏中考试题）如图，直角 中， ， ，证明： ， ， . 【例12】 （2007年北师大附中试题）如图， 中， 于 ， 于 ， 于 ，交 于 ， 、 的延长线交于点 ，求证： . 【巩固】（河南省初三数学竞赛题）如图， ，点 在 上， ， 是 的中点， 于 ，点 是 的中点，连接 。求证： 。 【巩固】（2001青岛市中考题）已知，如图正方形 内接于 ， 在斜边 上， 于 。求证：（1） ；（2） 。 【例13】 （据06淄博市中考题改编）已知，如图， 为等边三角形， 且 的两边交直线 于 两点，求证： ． 【巩固】上题中，将等边 改为一般等腰三角形（ ），在不添加辅助线的条件下： ⑴ 当 与 满足什么关系时， (括号里填图中已有线段)． ⑵ 证明你的结论． 【例14】 如图，等腰 中， ， 于 ， ，延长 交 于 ，交 于 ， 求证： ． 【例15】 如图，在 中， 平分 ， 的垂直平分线交 于 ，交 的延长线于 ， 求证： ． 【巩固】如上图，在 中， ， 的垂直平分线交 于 ，交 的延长线于 ， 求证： 平分 ． 板块四、三角形内接矩形问题 【例16】 已知，如图， 中， ，四边形 为正方形，其中 在边 上， 在 上，求正方形的边长． 【变式1】⑴ 若将例题中正方形改为矩形， ，则矩形的边长为多少？（不需要计算结果，说说思路即可） ⑵ 若例题中的三角形不是直角三角形，且 ，则正方形 的边长为多少？ 【变式2】同例题图，四边形 为正方形， 在线段 上， 在 上，如果 ， ，求 的面积． 【例17】 (2007年内江)如图，在 中， ， ， ，动点 (与点 ， 不重合)在 边上， ∥ 交 于 点． ⑴ 当 的面积与四边形 的面积相等时，求 的长． ⑵ 当 的周长与四边形 的周长相等时，求 的长． ⑶ 试问在 上是否存在点 ，使得 为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出 的长． 【习题1】 （2008年湖北省荆州市）如图，直角梯形 中， ， ， ， 为梯形内一点，且 ，将 绕 点旋转 使 与 重合，得到 ，连 交 于 ．已知 ，则 的值为 （ ） A． B． C． D． 【习题2】 如图，在直角梯形 中， ，对角线 ，垂足为 ， ，过 的直线 交 于 ． ⑴ ， ⑵ ． 【习题3】 如图，在矩形 中， ，点 沿 边从点 开始向点 以 秒的速度移动，点 沿 边以 秒的速度从点 开始移动，如果 同时出发，用 （秒）表示移动的时间 ． ⑴ 当 为何值时， 为等腰直角三角形？ ⑵ 求四边形 面积，提出一个与计算结果相关的正确结论． ⑶ 当 为何值时，以点 为顶点的三角形与 相似． 【备选1】 如图， 中， ， 于 为 的中点， 的延长线交于 ． 求证： ． 【备选2】 如图， 中， ，点 从 出发，沿 方向以 的速度移动，点 从 出发，沿 方向也以 的速度移动，若 分别从 出发，经过多少时间 与 相似？ 【备选3】 （07扬州）如图，矩形 中， 厘米， 厘米（ ）．动点 同时从 点 出发，分别沿 ， 运动，速度是 厘米／秒．过 作直线垂直于 ，分别交 ， 于 ．当点 到达终点 时，点 也随之停止运动．设运动时间为 秒． ⑴ 若 厘米， 秒，则 ______厘米； ⑵ 若 厘米，求时间 ，使 ，并求出它们的相似比； ⑶ 若在运动过程中，存在某时刻使梯形 与梯形 的面积相等，求 的取值范围； ⑷ 是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形 ，梯形 ，梯形 的面积都相等？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．
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