null第三节第三节二 、极限的四则运算法制 三 、复合函数的极限求解 一、无穷小的运算
法则
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1.2. 极限的运算性质一、 无穷小运算法则一、 无穷小运算法则时, 有定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .证: 考虑两个无穷小的和 .设当时 , 有当时 , 有取则当因此这说明当时,为无穷小量 .null说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !例如，解答见课件第二节类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设又设即当时, 有取则当时 , 就有故即是时的无穷小 .推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .例1. 例1. 解: 利用定理 2 可知说明 : y = 0 是的渐近线 .求二、 极限的四则运算法则二、 极限的四则运算法则则有证: 因则有(其中为无穷小) 于是由定理 1 可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理 , 知定理结论成立 .定理 3 . 若定理 4 . 定理 4 . 则有说明: 定理3、4 可推广到有限个函数相乘的情形 .推论 1 .( C 为常数 )推论 2 .( n 为正整数 )若提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2
证明
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.推论 3 .( n,m 为正整数 )多项式函数之极限多项式函数之极限例2 .定理 5 . 若定理 5 . 若为无穷小且 B≠0 , 则有证: 因有其中设无穷小有界因此由极限与无穷小关系定理 , 得为无穷小,定理6 . 若定理6 . 若则有提示: 因为数列是一种特殊的函数 ,故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .有理函数之极限(1)有理函数之极限(1)有理函数之极限(2)有理函数之极限(2)以分母中自变量的最高次幂除分子、分母,以分出无穷小,然后再求极限.例2例2解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例3 (消去零因子的方法)例3 (消去零因子的方法)解例4 (无穷大因子消去法)例4 (无穷大因子消去法)解(无穷小因子分出法)例5例5解先变形再求极限.例6 (分段函数求极限)例6 (分段函数求极限)解左右极限存在且相等,三、 复合函数的极限运算法则三、 复合函数的极限运算法则定理7. 设且 x 满足时,又则有证: 当时, 有当时, 有对上述取则当时故①因此①式成立.null定理7. 设且 x 满足时,又则有 说明: 若定理中则类似可得例1. 例1. 解: 令已知∴ 原式 =求例8 . 例8 . 解: 方法 1则令∴ 原式方法 2求
内容
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小结内容小结1. 极限运算法则(1) 无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法时, 用代入法( 分母不为 0 )时, 对型 , 约去公因子时 , 分子分母同除最高次幂(2) 复合函数极限求法设中间变量第三节第三节都是无穷小,引例 .但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 3.无穷小与无穷大的阶定义.定义.若则称 是比 高阶的无穷小,若若若若或记作则称 是比 低阶的无穷小;则称 是 的同阶无穷小;则称 是关于 的 k 阶无穷小;则称 是 的等价无穷小,记作例如 , 当例如 , 当～时～～又如 ，故时是关于 x 的二阶无穷小,且例1. 证明: 当例1. 证明: 当时,～证:～定理1.定理1.～～证:即即例如,～～故定理2 . 设定理2 . 设且存在 , 则证:例如,说明:说明:设对同一变化过程 , , 为无穷小 ,无穷小的性质, (1) 和差取大规则: 由等价可得简化某些极限运算的下述规则. 若 = o() , (2) 和差代替规则: 例如,例如,(3) 因式代替规则:(3) 因式代替规则:界, 则例如,例1. 求解: 原式 例2. 求例2. 求解:内容小结内容小结1. 无穷小的比较设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小2. 等价无穷小替换定理2. 等价无穷小替换定理～～～～～ 作业
P48 20 (3) , (4) , (6),(7),(11) ; 22;
25,26,27 (2)常用等价无穷小 :
浙公网安备 33021202002483