数学分析课程教学大纲 数学分析课程教学大纲 课程名称:数学分析/ Mathematical Analysis 学时/学分:270学时/16.5学分 (其中课内学时270学时,实验上机0学时) 先修课程:初等数学 适用专业:信息与计算科学 开课院(系、部、室):数学与计算机科学学院 一、课程的性质与任务 数学分析是信息与计算科学专业的一门重要的基础课。学好本课程为进一步学习微分方程、复变函数、数值计算方法以及概率论等后继课程必将打下坚实的基础。通过本课程的学习有助于学生树立辩证唯物主义思想和观点,有助于培养学生严密的逻辑思维能力和较强的抽象思维能力。本课程以极限为工具,研究函数的微分和积分的一门学科,其主要内容包括极限论、一元微积分理论、多元微积分和级数等四大部分。理论学时共270学时,分三学期完成:《数学分析I*》90学时;《数学分析II*》90学时;《数学分析III*》90学时。 其任务是通过本课程的学习,使学生达到: 1、对极限思想和极限方法有深刻的认识,从而树立辩证唯物主义观点。 2、掌握数学分析的基本知识和基本理论,能熟练地进行基本运算(如求极限、导数、微分和积分等),并具有一定的逻辑思维能力和抽象思维能力,以及分析论证能力。 3、能应用微积分方法解决一定的实际问题。 二、《数学分析I*》课程的教学内容、基本要求与学时分配(总学时90) (一)函数 7学时 1、掌握函数、反函数、复合函数、单调函数、有界函数、奇偶函数与周期函数等概念。 2、会求函数的定义域。 3、了解函数的各种
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示法,掌握分析(或解析)表示法特别对分段表示的函数要很好地理解。 4、熟悉基本初等函数,初等函数。 重点:函数、反函数、复合函数、单调函数、有界函数、奇偶函数与周期函数等概念。 难点:反函数、复合函数的概念。 (二)极限 29学时 1、掌握数列极限、函数极限、无穷小量、无穷大量及确界概念,对极限的否定形式要有所了解。 2、会用“ε-N”,“ε-δ”,“ε-A”方法处理极限问题。 3、对下述性质与定理要求能准确地叙述并会
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。 如:唯一性、有界性、保号性、柯西收敛定理和海涅定理等。 4、会运用四则运算、两边夹定理、单调有界数列极限存在定理及两个重要极限熟练地求极限。 5、理解无穷小量、无穷大量的概念,并会用无穷小量、无穷大量的性质处理极限问题。 重点:极限的相关概念及其相关理论。 难点:极限的概念,柯西收敛定理和海涅定理。 (三)连续函数 8学时 1、理解一点连续、单侧连续与区间上连续的定义;理解间断点及其分类概念。理解保号性,有界性,四则运算,复合函数的连续性,反函数的连续性。 2、会准确叙述并会证明闭区间上连续函数的介值性,有界性,最值定理;一致连续定理(一致连续性定理的证明可不作要求),并进行相关证明。 3、了解初等函数的连续性。 重点:函数连续的概念及其相关性质。 难点:一点处连续、左右连续的概念和性质。 (四)实数的连续性 9学时 1、准确地叙述并会证明实数系的几个基本定理 区间套定理,确界概念,确界存在定理,单调有界数列极限存在定理,聚点原理,收敛准则,有限覆盖定理。 2、会用上述定理处理某些证明问题。 重点:用实数的连续性的几个定理处理有关证明问题。 难点:实数的连续性几个定理的证明及其等价性。 (五)导数与微分 14学时 1、掌握导数(包括单侧导数与导函数)的概念,熟悉它的几何意义,掌握可导与连续的关系。 2、能熟练地应用导数定义与四则运算,复合函数的导数,反函数的导数,基本公式表,隐函数求导法,参数方程求导法求函数的导数。 3、会求一些函数的高阶导数。 4、理解微分的定义,微分的几何意义,微分与导数的关系,微分法则,一阶微分形式的不变法,会用微分进行近似计算。 重点:导数(包括单侧导数与导函数)微分的概念,导数微分的计算。 难点:导数(包括单侧导数函数)微分的概念 (六)微分中值定理及泰勒公式,导数的应用 23学时 1、能正确叙述并证明费尔马引理,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理。 2、会用中值定理证明一些恒等式与不等式。 3、会求一些简单函数的泰勒展开式。 4、能熟练地应用洛毕大法则求不定型的极限。 其它形式的不定型转化成以上两种形式的不定型。 5、函数单调性判别法。理解函数单调的充要条件,函数严格单调的充要条件,应用函数的单调性证明不等式。 6、理解极值概念,极值判别法,最大值与最小值概念,能熟练地求函数的极值和最大(小)值。 7、理解函数的凹凸性,拐点,渐近线等概念,会用有关的知识讨论函数的凹凸性及拐点,能应用导数较正确地作出函数的图像。 重点:中值定理的相关应用。 难点:中值定理的证明。 三、《数学分析II*》课程的教学内容、基本要求与学时分配(总学时90) (一)不定积分 18学时 1、掌握原函数与不定积分的概念,熟记基本积分表,理解线性运算法则。 2、熟练地掌握换元积分法与分部积分法。 3、掌握有理函数积分法,三角函数有理式的积分。 4、掌握简单无理函数的积分。 重点:不定积分计算 难点:原函数与不定积分的概念,无理函数的积分。 (二)定积分 18学时 1、掌握定积分概念。 2、可积的必要条件,理解大和与小和及其性质,可积的充要条件。 3、理解可积的充要条件,并能应用它判断或证明函数的可积性(包括可积函数类)。 4、定积分的性质。熟悉定积分的线性,有限可加性,单调性,绝对可积性,积分中值定理。 5、理解可变上限的定积分的性质并能熟练的处理相关问题。 6、能熟练地应用牛顿——莱布尼兹公式、换元积分法和分部积分法计算定积分。 7、了解定积分的近似计算方法。 重点:可积理论,定积分的性质与计算。 难点:大小和的性质,可积准则。 (三)定积分的应用 12学时 1、会用微元法解决几何、物理中的一些问题。 2、定积分在几何上的应用。 掌握平面图形的面积,已知截面面积函数的立体体积,旋转体的侧面积,曲线的弧长与曲率。 3、定积分在物理上的应用。 4、会求压力、功、静力矩、重心。 重点:几何与物理上的应用。 难点:微元法思想。 (四)级数 42学时 (1)数项级数 1、掌握无穷级数的收敛、发散、和、绝对收敛及条件收敛等概念。 2、掌握收敛级数的性质(包括绝对收敛与条件收敛的性质)。 3、熟练掌握正项级数的敛散性判别法。 4、掌握交错级数的莱布尼兹判别法,理解任意项级数的狄利克雷、阿贝耳判别法。 5、了解级数的重排性质(黎曼定理不证明)。 重点:级数收敛的性质,正项级数收敛判别法。 难点:级数收敛的定义,绝对收敛及条件收敛等概念及其判别。 (2)函数项级数 1、理解收敛域、极限函数、和函数和一致收敛等概念。 2、熟练掌握优级数判别法;理解狄利克雷判别法、阿贝耳判别法。 3、理解函数列的极限函数的连续性、可积性、可微性、函数项级数的和函数的连续性、可积性(逐项积分)与可微性(逐项微分)。会用性质处理一些相关问题。 重点:函数项级数一致收敛的性质、和函数的分析性质。 难点:函数项级数一致收敛的概念。 (3)幂级数 1、理解幂级数、函数的泰勒级数的概念,了解函数可展成泰勒级数的条件。 2、掌握幂级数的内闭一致收敛性,和函数的连续性,可积性(逐项积分)与可微性(逐项微分)。 3、熟练掌握幂级数的收敛半径与收敛域的求法。 4、能用幂级数做某些近似计算。 重点:幂级数收敛的性质,和函数的性质和计算。 难点:和函数的计算。 (4)傅里叶哀级数 1、掌握三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数的概念。 2、能正确叙述傅里叶级数收敛性判别法。 3、能将一些函数展成傅里叶级数。 重点:傅里叶级数收敛定理及函数的傅里叶级数的展开。 难点:傅里叶级数收敛定理的证明(可不做要求)。 四、《数学分析III*》课程的教学内容、基本要求与学时分配(总学时90学时) (一)多元函数及其连续性 10学时 1、掌握平面点集的一些基本概念,多元函数的极限,累次极限以及连续性等概念。 2、了解闭区域套定理、聚点原理、有限覆盖定理以及多元连续函数的性质。 重点:多元函数的极限、累次极限以及连续性等概念,多元函数的性质 难点:平面点集的概念,多元函数极限的概念。 (二)多元函数微分学 15学时 1、掌握偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数等概念。 2、掌握全微分、偏导数、连续三者之间的关系。 3、会求函数的偏导数、全微分、方向导数。 4、了解多元函数的泰勒公式。 5、理解极值和最值的概念,掌握极值的必要条件,充分条件,会求多员函数的极值和某些函数的最大(小)值。 重点:偏导数、全微分的概念和计算,极值和最值的判别和计算。 难点:全微分的概念,泰勒公式。 (三)隐函数 14学时 1、了解隐函数、函数行列式、条件极值的概念。 2、能用隐函数存在定理判别隐函数的存在性,会求隐函数的导数或偏导数。 3、理解条件极值的概念及Lagrange's乘数法。会求多元函数的条件极值。 4、会求曲线的切线方程和法平面方程,曲面的切平面方程和法线方程。 重点:隐函数的概念和存在定理的应用。 难点:隐函数存在定理的证明。 (四)反常积分与含有参变量的积分 15学时 1、掌握反常积分(无穷积分、瑕积分)收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念。 2、能用收敛性判别法判断一些广义积分的敛散性。 3、理解含有参变量积分的概念和分析性质,了解Г-函数、 -函数的性质。 4、能用收敛性判别法判断一些广义含参积分的敛散性。 重点:反常积分与含参积分收敛、发散、绝对收敛与条件收敛的性质与判别. 难点:含参积分的分析性质的证明。 (五)重积分 18学时 1、理解二重积分与三重积分的概念。 2、理解二重积分与三重积分的性质。 3、掌握直角坐标系及极坐标系下二重积分的计算方法,能将三重积分化为累次积分,并利用柱面坐标、球面坐标计算三重积分。 4、会求一些图形的面积、体积以及一些物体的质量和重心。 重点:二重积分与三重积分的计算。 难点:二重积分与三重积分换元积分法。 (六)曲线积分与曲面积分 18学时 1、理解第一型曲线积分及第二型曲线积分的定义、性质,掌握第一型、第二型曲线积分的计算方法,了解第二型曲线积分与第一型曲线积分的关系;掌握格林公式。 2、理解第一型曲面积分的定义、性质;第二型曲面积分的定义、性质,掌握第一型、第二型曲面积分的计算方法,了解第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系;理解奥——高公式,了解斯托克斯公式。 3、了解场论初步。 重点:第一、第二曲线积分与曲面积分的计算,格林公式与高斯公式。 难点:第一、第二曲线积分与曲面积分的概念,斯托克斯公式。 五、推荐教材和主要参考
书
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: 1、推荐教材: (1)刘玉琏 等编著,数学分析讲义(上、
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),北京:高等教育出版,第四版,2003.7。 2、推荐参考书: (1)谢惠民等,数学分析讲义(上、下册),北京: 高等教育出版。 (2)陈纪修等著,数学分析(上、下册,北京: 高等教育出版。 (3)华东师范大学数学系 著,数学分析 (上、下册),北京:高等教育出版。 (4)裴礼文 著,数学分析典型问题与方法,北京:高等教育出版社出版。 大纲制订者:刘学飞 大纲审定者:陈小春