第五章机械能第5节第6节

第五章机械能第5节第6节第五章机械能机械能及其守恒定律 §5 机械能守恒定律及其应用（一）教学目标：理解和掌握机械能守恒定律，能熟练地运用机械能守恒定律解决实际问题教学重点：机械能守恒定律的应用教学难点：判断被研究对象在经历的研究过程中机械能是否守恒，在应用时要找准始末状态的机械能教学方法：复习、讨论、总结、巩固练习、计算机辅助教学教学过程：一、重力势能 1．重力势能：物体和地球由相对位置决定的能叫重力势能，是物体和地球共有的。表达式：，与零势能面的选取有关。 2．对重力势能的理解《创新设计》 P62 知识点一 ...

第五章机械能机械能及其守恒定律 §5 机械能守恒定律及其应用（一）教学目标：理解和掌握机械能守恒定律，能熟练地运用机械能守恒定律解决实际问题教学重点：机械能守恒定律的应用教学难点：判断被研究对象在经历的研究过程中机械能是否守恒，在应用时要找准始末状态的机械能教学方法：复习、讨论、总结、巩固练习、计算机辅助教学教学过程：一、重力势能 1．重力势能：物体和地球由相对位置决定的能叫重力势能，是物体和地球共有的。表达式：，与零势能面的选取有关。 2．对重力势能的理解《创新设计》 P62 知识点一（3）重力做功与重力势能重力做的功等于重力势能增量的负值，即WG= -△Ep= -（mgh2-mgh1）．二、弹性势能《创新设计》 P61 三、机械能：（1）定义（2）表达式：E=EK+Ep 四、机械能守恒定律： 1、内容：物体或物体系在动能与势能相互转化过程中，没有其它力做功(除重力与弹力)，及不产生其它能或其它能没有转化为机械能，系统的机械能总量保持不变，则物体或物体系机械能守恒。机械能守恒定律的表达式为：EK1＋EP1= EK2＋EP2或ΔE=0。【例1】下列运动物体，机械能守恒的有( D ) A.物体沿斜面匀速下滑 B.物体沿竖直平面内的圆形轨道做匀速圆周运动 C.跳伞运动员在空中匀速下落 D.沿光滑曲面自由下滑的木块【例2】关于机械能守恒，下列说法中错误的是（ AB ）（A）物体的机械能守恒时，一定只受到重力和弹力的作用（B）物体处于平衡状态时机械能一定守恒（C）在重力势能和动能的转化中，物体除受重力外还受其他力时，其机械能可以守恒（D）物体重力势能和动能之和增大时，必定是有重力以外的力对它做了功【例3】如下图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在将弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于能量的叙述中正确的是（ D ）（A）重力势能和动能之和总保持不变（B）重力势能和弹性势能之和总保持不变（C）动能和弹性势能之和总保持不变（D）重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变【例4】如图物块和斜面都是光滑的，物块从静止沿斜面下滑过程中，物块机械能是否守恒？系统机械能是否守恒？课后针对练习：《创新设计》 P62 应用2 2．对机械能守恒条件的理解：《创新设计》 P62 知识点二（1）系统内只有重力（或弹力）做功，其他力不做功，或其他力做功和为零。（2）如果没有摩擦和介质阻力，系统不产生其它能或其它能没有转化为机械能。 3．应用举例（1）单个物体（和地球）的机械能守恒问题《创新设计》P63 方法指导【例5】如图所示，均匀铁链长为，平放在距离地面高为的光滑水平面上，其长度的悬垂于桌面下，从静止开始释放铁链，求铁链下端刚要着地时的速度？方法1、选取地面为零势能面：方法2、桌面为零势能面：解得：点评：零势能面选取不同，所列出的表达式不同，虽然最后解得的结果是一样的，但解方程时的简易程度是不同的，从本例可以看出，方法二较为简捷。因此，灵活、准确地选取零势能面，往往会给题目的求解带来方便。本题用也可以求解，但不如用EP+EK= EP＇+EK＇简便，同学们可以自己试一下。因此，选用哪一种表达形式，要具体题目具体分析。课后针对练习：《创新设计》 P62 应用1、3 【例6】小球在外力作用下，由静止开始从A点出发做匀加速直线运动，到B点时消除外力。然后，小球冲上竖直平面内半径为R的光滑半圆环，恰能维持在圆环上做圆周运动，到达最高点C后抛出，最后落回到原来的出发点A处，如图所示，试求小球在AB段运动的加速度为多大？解析：要题的物理过程可分三段：从A到孤匀加速直线运动过程；从B沿圆环运动到C的圆周运动，且注意恰能维持在圆环上做圆周运动，在最高点满足重力全部用来提供向心力；从C回到A的平抛运动。根据题意，在C点时，满足 ① 从B到C过程，由机械能守恒定律得 ② 由①、②式得从C回到A过程，满足 ③ 水平位移s=vt， ④ 由③、④式可得s=2R 从A到B过程，满足 ⑤ ∴ 例7. 小球A用不可伸长的轻绳悬于O点，在O点的正下方有一固定的钉子B，OB=d，初始时小球A与O同水平面无初速释放，绳长为L，为使球能绕B点做圆周运动，试求d的取值范围？3/5 L≤ d 2πR）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动，在轨道的任何地方都不能脱轨。试问：在没有任何动力的情况下，列车在水平轨道上应具有多大初速度v0，才能使列车通过圆形轨道而运动到右边的水平轨道上？解析：当游乐车灌满整个圆形轨道时，游乐车的速度最小，设此时速度为v，游乐车的质量为m，则据机械能守恒定律得：要游乐车能通过圆形轨道，则必有v>0，所以有【例3】如图所示，一根长为，可绕轴在竖直平面内无摩擦转动的细杆，已知，质量相等的两个球分别固定在杆的端，由水平位置自由释放，求轻杆转到竖直位置时两球的速度？解析：球在同一杆上具有相同的角速度，，组成一个系统，系统重力势能的改变量等于动能的增加量，选取水平位置为零势能面，则：　　　　　　解得：【例4】如图所示，质量分别为2 m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。AO、BO的长分别为2L和L。开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方。让该系统由静止开始自由转动，求：⑴当A到达最低点时，A小球的速度大小v；⑵ B球能上升的最大高度h；⑶开始转动后B球可能达到的最大速度vm。解析：以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒。 ⑴过程中A的重力势能减少， A、B的动能和B的重力势能增加，A的即时速度总是B的2倍。，解得 ⑵B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA竖直位置向左偏了α角。2mg2Lcosα=3mgL（1+sinα），此式可化简为4cosα-3sinα=3，利用三角公式可解得sin（53°-α）=sin37°，α=16° ⑶B球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功WG。设OA从开始转过θ角时B球速度最大， =2mg2Lsinθ-3mgL（1-cosθ） =mgL（4sinθ+3cosθ-3）≤2mgL，解得点评：本题如果用EP+EK= EP＇+EK＇这种表达形式，就需要规定重力势能的参考平面，显然比较烦琐。用就要简洁得多。下面再看一道例题。课后针对练习：《创新设计》P63 【例2】 3 、4 【例10】如图所示，半径分别为R和r的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道CD相通，一小球以一定的速度先滑上甲轨道，通过动摩擦因数为μ的CD段，又滑上乙轨道，最后离开两圆轨道。若小球在两圆轨道的最高点对轨道压力都恰好为零，试求水平CD段的长度。解析：（1）小球在光滑圆轨道上滑行时，机械能守恒，设小球滑过C点时的速度为，通过甲环最高点速度为v′，根据小球对最高点压力为零，由圆周运动公式有 ① 取轨道最低点为零势能点，由机械守恒定律 ② 由①、②两式消去v′，可得同理可得小球滑过D点时的速度，设CD段的长度为l，对小球滑过CD段过程应用动能定理，将、代入，可得三、针对训练 1、相同的两个小球，分别用长为l和2 l的细绳悬挂在天花板上，如图所示，分别拉起小球使线伸直呈水平状态，然后轻轻释放，当小球到达最低位置时（ CD ） A．两球运动的线速度相等 B．两球运动的角速度相等 C．两球运动的加速度相等 D．细绳对两球的拉力相等 2．如图所示，在光滑水平桌面上有一质量为M的小车，小车跟绳一端相连，绳子另一端通过滑轮吊一个质量为m的砖码，则当砝码着地的瞬间（小车未离开桌子）小车的速度大小为__________________，在这过程中，绳的拉力对小车所做的功为________________。，提示：以地面为零势能面，由机械能守恒得，解得。根据动能定理，绳对小车做功 3．质量为m的人造地球卫星，在环绕地球的椭圆轨道上运行，在运行过程中它的速度最大值为，当卫星由远地点运行到近地点的过程中，地球引力对它做的功为W，则卫星在近地点处的速度为__________________，在远地点处的速度为__________________。，提示：因从远地点到近地点，地球引力做正功W，故在近地点处有最大速度。设远地点的速度为v，则，∴ 。 4．如图5.4-10所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角θ = 30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮，一柔软的细绳跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连接，A的质点为4m，B的质量为m，开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升，若A沿斜面下滑s距离后，细线突然断了，求物块B上升的最大高度H。 5．《创新设计》P71 10 5.5功和能【知识梳理参考答案 1．B 在凹曲面上运动时，由于机械能守恒，一部分重力势能转化为动能，下降过程中速度的水平分量总是增大，一直到底部，以后水平分量又恢复到v0，所以沿凹曲面运动的水平速度的平均值大于沿直线运动的速度，将先到达另一端。 2．C 上升和下降两过程，小球通过的位移大小相等，由受力分析知小球上升过程的加速度，∴小球上升的时间应小于下降的时间；小球运动过程中损失的机械能等于克服空气阻力做的功，∵空气阻力大小不变，上升、下降两过程的位移大小相等，∴上、下过程损失的机械能相等。 3．B 小球未碰地之前机械化能守恒，即每一时刻的机械能都与初始时刻的机械能相等，都为mgH，错选D项的原因是对机械能及参考平面的性质没有掌握准确。机械能是动能和势能的总和，即，小球在自由下落过程中重力势能减小而动能增大，但机械能不变。 4．C 在子弹打木块的过程中，认为A还没有移动，系统动量守恒，机械能不守恒；在子弹与木块一起向右压缩弹簧的过程中，系统所受合外力为零，动量守恒；由于只有弹簧弹力做功，机械能守恒。对题所给的物理过程，系统动量守恒，机械能不守恒，应选C。 5．C A球和C球上升到最高点时速度均为零，而B球上升到最高点时仍有水平方向的速度，即仍有动能。对A、C球而言得，对B球所以 6．C、D 设小球到达最低点的线速度为v，绳长为L，则由机械能守恒得，因而角速度、向心加速度、绳中拉力分别为，，T=mg+ma=3mg 可见，v和ω与绳长L有关，a和T与绳长无关。 7．D 三球空中运动轨迹虽然不同，但都只有重力做功，故可用机械能守恒定律求解。选地面为零势能面，对任意小球均有 ∴ , 因为它们的h、v0（速度大小）相同，∴落地速度大小也相同，∴选D。 8．，提示：以地面为零势能面，由机械能守恒得，解得。根据动能定理，绳对小车做功 9．，提示：因从远地点到近地点，地球引力做正功W，故在近地点处有最大速度。设远地点的速度为v，则，∴ 。 10．20J 提示：根据题意，当物体滑到斜面某一点时，机械能减少32J，动能减少80J，即重力势能增加 J。当物体滑到斜面的最高点时，机械以有减少，即摩擦力的功为，动能减少100J，即重力势能增加。由于物体在斜面上作匀变速运动，因此，即，解得 J，即物体从斜面底端滑到斜面顶端时克服摩擦力做功40J。当物体再次滑到斜面底端时的动能为 J。教学后记判断被研究对象在经历的研究过程中机械能是否守恒，在应用时要找准始末状态的机械能是学生存在的最大问题，特别是中等水平的学生，所以，要及时了解学生情况，调整教学效果。 §4 功能关系教学目标：理解功和能的关系，能够应用动量观点和能量观点解决有关动量和能量的综合问题。教学重点：动量能量综合问题的解决方法教学难点：应用动量观点和能量观点解决动量能量综合问题教学方法：讲练结合，计算机辅助教学教学过程：一、功能关系做功的过程是能量转化的过程，功是能量转化的量度。能量守恒和转化定律是自然界最基本的定律之一。而在不同形式的能量发生相互转化的过程中，功扮演着重要的角色。本章的主要定理、定律都是由这个基本原理出发而得到的。需要强调的是：功是一种过程量，它和一段位移（一段时间）相对应；而能是一种状态量，它个一个时刻相对应。两者的单位是相同的（都是J），但不能说功就是能，也不能说“功变成了能”。复习本章时的一个重要课题是要研究功和能的关系，尤其是功和机械能的关系。突出：“功是能量转化的量度”这一基本概念。 ⑴物体动能的增量由外力做的总功来量度：W外=ΔEk，这就是动能定理。 ⑵物体重力势能的增量由重力做的功来量度：WG= -ΔEP，这就是势能定理。 ⑶物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度：W其它=ΔE机，（W其它表示除重力以外的其它力做的功），这就是机械能定理。 ⑷当W其它=0时，说明只有重力做功，所以系统的机械能守恒。 ⑸一对互为作用力反作用力的摩擦力做的总功，用来量度该过程系统由于摩擦而减小的机械能，也就是系统增加的内能。f d=Q（d为这两个物体间相对移动的路程）。【例1】质量为m的物体在竖直向上的恒力F作用下减速上升了H，在这个过程中，下列说法中正确的有 A.物体的重力势能增加了mgH B.物体的动能减少了FH C.物体的机械能增加了FH D.物体重力势能的增加小于动能的减少解析：由以上三个定理不难得出正确答案是A、C 【例2】如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方A位置有一只小球。小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。小球下降阶段下列说法中正确的是 A．在B位置小球动能最大 B．在C位置小球动能最大 C．从A→C位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加 D．从A→D位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加解析：小球动能的增加用合外力做功来量度，A→C小球受的合力一直向下，对小球做正功，使动能增加；C→D小球受的合力一直向上，对小球做负功，使动能减小，所以B正确。从A→C小球重力势能的减少等于小球动能的增加和弹性势能之和，所以C正确。A、D两位置动能均为零，重力做的正功等于弹力做的负功，所以D正确。选B、C、D。二、动量能量综合问题我们已经复习了牛顿定律、动量定理和动量守恒、动能定理和机械能守恒。它们分别反映了力的瞬时作用效应、力的时间积累效应和力的空间积累效应。解决力学问题离不开这三种解题思路。在比较复杂的题目中，这三种手段往往是交替使用的。下面举几个例题说明这一点。【例3】如图所示，a、b、c三个相同的小球，a从光滑斜面顶端由静止开始自由下滑，同时b、c从同一高度分别开始自由下落和平抛。下列说法正确的有 A．它们同时到达同一水平面 B．重力对它们的冲量相同 C．它们的末动能相同 D．它们动量变化的大小相同解析：b、c飞行时间相同（都是）；a与b比较，两者平均速度大小相同（末动能相同）；但显然a的位移大，所以用的时间长，因此A、B都不对。由于机械能守恒，c的机械能最大（有初动能），到地面时末动能也大，因此C也不对。a、b的初动量都是零，末动量大小又相同，所以动量变化大小相同；b、c所受冲量相同，所以动量变化大小也相同，故D正确。点评：这道题看似简单，实际上考察了平均速度、功、冲量等很多知识。另外，在比较中以b为中介：a、b的初、末动能相同，平均速度大小相同，但重力作用时间不同；b、c飞行时间相同（都等于自由落体时间），但初动能不同。本题如果去掉b球可能更难做一些。【例4】质量为m的汽车在平直公路上以速度v匀速行驶，发动机实际功率为P。若司机突然减小油门使实际功率减为并保持下去，汽车所受阻力不变，则减小油门瞬间汽车加速度大小是多少？以后汽车将怎样运动？解：由公式F- f=ma和P=Fv，原来牵引力F等于阻力f，减小油门瞬间v未变，由P=Fv，F将减半，合力变为，方向和速度方向相反，加速度大小为；以后汽车做恒定功率的减速运动，F又逐渐增大，当增大到F=f时，a=0，速度减到最小为v/2，再以后一直做匀速运动。点评：这道题是恒定功率减速的问题，和恒定功率加速的思路是完全相同的。【例5】质量为M的小车A左端固定一根轻弹簧，车静止在光滑水平面上，一质量为m的小物块B从右端以速度v0冲上小车并压缩弹簧，然后又被弹回，回到车右端时刚好与车保持相对静止。求这过程弹簧的最大弹性势能EP和全过程系统摩擦生热Q各多少？简述B相对于车向右返回过程中小车的速度变化情况。解析：全过程系统动量守恒，小物块在车左端和回到车右端两个时刻，系统的速度是相同的，都满足：mv0=（m+M）v；第二阶段初、末系统动能相同，说明小物块从车左端返回车右端过程中弹性势能的减小恰好等于系统内能的增加，即弹簧的最大弹性势能EP恰好等于返回过程的摩擦生热，而往、返两个过程中摩擦生热是相同的，所以EP是全过程摩擦生热Q的一半。又因为全过程系统的动能损失应该等于系统因摩擦而增加的内能，所以ΔEK=Q=2EP 而， ∴ 至于B相对于车向右返回过程中小车的速度变化，则应该用牛顿运动定律来分析：刚开始向右返回时刻，弹簧对B的弹力一定大于滑动摩擦力，根据牛顿第三定律，小车受的弹力F也一定大于摩擦力f，小车向左加速运动；弹力逐渐减小而摩擦力大小不变，所以到某一时刻弹力和摩擦力大小相等，这时小车速度最大；以后弹力将小于摩擦力，小车受的合外力向右，开始做减速运动；B脱离弹簧后，小车在水平方向只受摩擦力，继续减速，直到和B具有向左的共同速度，并保持匀速运动。【例6】海岸炮将炮弹水平射出。炮身质量（不含炮弹）为M，每颗炮弹质量为m。当炮身固定时，炮弹水平射程为s，那么当炮身不固定时，发射同样的炮弹，水平射程将是多少？解析：两次发射转化为动能的化学能E是相同的。第一次化学能全部转化为炮弹的动能；第二次化学能转化为炮弹和炮身的动能，而炮弹和炮身水平动量守恒，由动能和动量的关系式知，在动量大小相同的情况下，物体的动能和质量成反比，炮弹的动能，由于平抛的射高相等，两次射程的比等于抛出时初速度之比，点评：这是典型的把动量和能量结合起来应用的应用题。要熟练掌握一个物体的动能和它的动量大小的关系；要善于从能量守恒的观点（本题是系统机械能增量相同）来分析问题。【例7】质量为m的长木板A静止在光滑水平面上，另两个质量也是m的铁块B、C同时从A的左右两端滑上A的上表面，初速度大小分别为v和2v，B、C与A间的动摩擦因数均为μ。⑴试分析B、C滑上长木板A后，A的运动状态如何变化？⑵为使B、C不相撞，A木板至少多长？解析：B、C都相对于A滑动时，A所受合力为零，保持静止。这段时间为。B刚好相对于A 静止时，C的速度为v，A开向左做匀加速运动，由动量守恒可求出A、B、C最终的共同速度，这段加速经历的时间为，最终A将以做匀速运动。全过程系统动能的损失都将转化为系统的内能，而摩擦生热，由能量守恒定律列式：。这就是A木板应该具有的最小长度。点评：本题还可以求系统机械能损失（摩擦生热）和B、C与A摩擦生热之比：第一阶段B对A的位移就是对地的位移：sB=v2/2μg，C的平均速度是其3倍因此C对A的位移是其3倍：sC=3v2/2μg；第二阶段A、B共同向左运动的加速度是μg/2，对地位移是s=v2/9μg，C平均速度是其4倍，对地位移是s/= 4v2/9μg，相对于A位移是v2/3μg，故B、C与A间的相对位移大小依次是dB= v2/2μg和dC=11v2/6μg，于是系统摩擦生热为μmg（dB+ dC）=7mv2/3，dB∶dC=3∶11 【例8】质量M的小车左端放有质量m的铁块，以共同速度v沿光滑水平面向竖直墙运动，车与墙碰撞的时间极短，不计动能损失。动摩擦因数μ，车长L，铁块不会到达车的右端。到最终相对静止为止，摩擦生热多少？解析：车与墙碰后瞬间，小车的速度向左，大小是v，而铁块的速度未变，仍是v，方向向左。根据动量守恒定律，车与铁块相对静止时的速度方向决定于M与m的大小关系：当M>m时，相对静止是的共同速度必向左，不会再次与墙相碰，可求得摩擦生热是；当M=m时，显然最终共同速度为零，当M

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