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高考数学专题讲座.doc

高考数学专题讲座

小蜻蜓的春天
2011-01-22 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《高考数学专题讲座doc》,可适用于高中教育领域

年高考数学一轮复习资料(共十三讲页)年高考数学一轮复习资料(共十三讲页)目录、题目高中数学复习专题讲座排列、组合的应用问题、题目高中数学复习专题讲座概率与统计、题目高中数学复习专题讲座数学归纳法的解题应用、题目高中数学复习专题讲座函数的连续及其应用、题目高中数学复习专题讲座导数的运算法则及基本公式应用、题目高中数学复习专题讲座导数的应用问题、题目高中数学复习专题讲座函数方程思想、题目高中数学复习专题讲座数形结合思想、题目高中数学复习专题讲座化归思想、题目高中数学复习专题讲座探索性问题、题目高中数学复习专题讲座应用性问题、题目平面法向量的求法及其应用年高考数学一轮复习资料(共十三讲页)、题目高中数学复习专题讲座排列、组合的应用问题高考要求排列、组合是每年高考必定考查的内容之一纵观全国高考数学题每年都有~道排列组合题考查排列组合的基础知识、思维能力重难点归纳排列与组合的应用题是高考常见题型其中主要考查有附加条件的应用问题解决这类问题通常有三种途径()以元素为主应先满足特殊元素的要求再考虑其他元素()以位置为主考虑即先满足特殊位置的要求再考虑其他位置()先不考虑附加条件计算出排列或组合数再减去不符合要求的排列数或组合数前两种方式叫直接解法后一种方式叫间接(剔除)解法在求解排列与组合应用问题时应注意()把具体问题转化或归结为排列或组合问题()通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理()分析题目条件避免“选取”时重复和遗漏()列出式子计算和作答解排列与组合应用题常用的方法有直接计算法与间接(剔除)计算法分类法与分步法元素分析法和位置分析法插空法和捆绑法等八种经常运用的数学思想是①分类讨论思想②转化思想③对称思想典型题例示范讲解例在∠AOB的OA边上取m个点在OB边上取n个点(均除O点外)连同O点共mn个点现任取其中三个点为顶点作三角形可作的三角形有()命题意图考查组合的概念及加法原理知识依托法一分成三类方法法二间接法去掉三点共线的组合错解分析A中含有构不成三角形的组合如CC中包括O、Bi、BjCC中包含O、Ap、Aq其中Ap、Aq,Bi、Bj分别表示OA、OB边上不同于O的点B漏掉△AiOBjD有重复的三角形如CC中有△AiOBj,CC中也有△AiOBj技巧与方法分类讨论思想及间接法解法一第一类办法从OA边上(不包括O)中任取一点与从OB边上(不包括O)中任取两点可构造一个三角形有CC个第二类办法从OA边上(不包括O)中任取两点与OB边上(不包括O)中任取一点与O点可构造一个三角形有CC个第三类办法从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)中任取一点与O点可构造一个三角形有CC个由加法原理共有N=CCCCCC个三角形解法二从mn中任取三点共有C个其中三点均在射线OA(包括O点)有C个三点均在射线OB(包括O点)有C个所以个数为N=C-C-C个答案C例四名优等生保送到三所学校去每所学校至少得一名则不同的保送方案的总数是命题意图本题主要考查排列、组合、乘法原理概念以及灵活应用上述概念处理数学问题的能力知识依托排列、组合、乘法原理的概念错解分析根据题目要求每所学校至少接纳一位优等生常采用先安排每学校一人而后将剩的一人送到一所学校故有A种忽略此种办法是将同在一所学校的两名学生按进入学校的前后顺序分为两种方案而实际题目中对进入同一所学校的两名学生是无顺序要求的技巧与方法解法一采用处理分堆问题的方法解法二分两次安排优等生但是进入同一所学校的两名优等生是不考虑顺序的解法一分两步先将四名优等生分成三组共有C种而后对三组学生安排三所学校即进行全排列有A种依乘法原理共有N=C=(种)解法二分两步从每个学校至少有一名学生每人进一所学校共有A种而后再将剩余的一名学生送到三所学校中的一所学校有种值得注意的是同在一所学校的两名学生是不考虑进入的前后顺序的因此共有N=A·=(种)答案例有五张卡片它们的正、反面分别写与与与与与将其中任意三张并排放在一起组成三位数共可组成多少个不同的三位数?解法一(间接法)任取三张卡片可以组成不同三位数C··A(个)其中在百位的有C··A(个)这是不合题意的故共有不同三位数C··A-C··A=(个)解法二(直接法)第一类与卡片放首位可以组成不同三位数有(个)第二类与卡片不放首位可以组成不同三位数有(个)故共有不同三位数=(个)学生巩固练习从集合{}中任取个元素分别作为直线方程AxByC=中的A、B、C所得的经过坐标原点的直线有条(用数值表示)圆周上有n个等分点(n>)以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为某人手中有张扑克牌其中张为不同花色的张为不同花色的A有次出牌机会每次只能出一种点数的牌但张数不限此人有多少种不同的出牌方法?二次函数y=axbxc的系数a、b、c在集合{---}中选取个不同的值则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条?有名男生名女生在下列不同要求下求不同的排列方法总数()全体排成一行其中甲只能在中间或者两边位置()全体排成一行其中甲不在最左边乙不在最右边()全体排成一行其中男生必须排在一起()全体排成一行男、女各不相邻()全体排成一行男生不能排在一起()全体排成一行其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变()排成前后二排前排人后排人()全体排成一行甲、乙两人中间必须有人个不加区别的小球放入编号为、、的三个盒子中要求每个盒内的球数不小于它的编号数求不同的放法种数用五种不同的颜色给图中的()()()()的各部分涂色每部分涂一色相邻部分涂不同色则涂色的方法共有几种?甲、乙、丙三人值周一至周六的班每人值两天班若甲不值周一、乙不值周六则可排出不同的值班表数为多少?参考答案解析因为直线过原点所以C=从这个数中任取个作为A、B两数的顺序不同表示的直线不同所以直线的条数为A=答案解析n个等分点可作出n条直径从中任选一条直径共有C种方法再从以下的(n-)个等分点中任选一个点共有C种方法根据乘法原理直角三角形的个数为C·C=n(n-)个答案n(n-)解出牌的方法可分为以下几类()张牌全部分开出有A种方法()张一起出张A一起出有A种方法()张一起出张A一起出有A种方法()张一起出张A分两次出有CA种方法()张分开出张A一起出有A种方法()张分开出张A分两次出有CA种方法因此共有不同的出牌方法AAAAAACA=种解由图形特征分析a>,开口向上坐标原点在内部f()=c<a<,开口向下原点在内部f()=c>,所以对于抛物线y=axbxc来讲原点在其内部af()=ac<,则确定抛物线时可先定一正一负的a和c再确定b,故满足题设的抛物线共有CCAA=条解()利用元素分析法甲为特殊元素故先安排甲左、右、中共三个位置可供甲选择有A种其余人全排列有A种由乘法原理得AA=种()位置分析法先排最右边除去甲外有A种余下的个位置全排有A种但应剔除乙在最右边的排法数AA种则符合条件的排法共有AA-AA=种()捆绑法将男生看成一个整体进行全排列再与其他元素进行全排列共有AA=种()插空法先排好男生然后将女生插入其中的四个空位共有AA=种()插空法先排女生然后在空位中插入男生共有AA=种()定序排列第一步设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N第二步对甲、乙、丙进行全排列则为七个人的全排列因此A=N×A∴N==种()与无任何限制的排列相同有A=种()从除甲、乙以外的人中选人排在甲、乙中间的排法有A种甲、乙和其余人排成一排且甲、乙相邻的排法有AA最后再把选出的人的排列插入到甲、乙之间即可共有A×A×A=种解首先按每个盒子的编号放入个、个、个小球然后将剩余的个小球排成一排如图|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|有个空档其中“O”表示小球“|”表示空档将求小球装入盒中的方案数可转化为将三个小盒插入个空档的排列数对应关系是以插入两个空档的小盒之间的“O”个数表示右侧空档上的小盒所装有小球数最左侧的空档可以同时插入两个小盒而其余空档只可插入一个小盒最右侧空档必插入小盒于是若有两个小盒插入最左侧空档有C种若恰有一个小盒插入最左侧空档有种若没有小盒插入最左侧空档有C种由加法原理有N==种排列方案即有种放法解按排列中相邻问题处理()()或()()可以涂相同的颜色分类若()()同色有A种若()()同色有A种若()()()()均不同色有A种由加法原理共有N=AA=种解每人随意值两天共有CCC个甲必值周一有CCC个乙必值周六有CCC个甲必值周一且乙必值周六有CCC个所以每人值两天且甲必不值周一、乙必不值周六的值班表数有N=CCC-CCCCCC=-××=个课前后备注 、题目高中数学复习专题讲座概率与统计高考要求概率是高考的重点内容之一尤其是新增的随机变量这部分内容要充分注意一些重要概念的实际意义理解概率处理问题的基本思想方法重难点归纳本章内容分为概率初步和随机变量两部分第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差涉及的思维方法观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化主要思维形式有逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维典型题例示范讲解例有一容量为的样本数据的分组及各组的频率数如下[][[[[[[()列出样本的频率分布表(含累积频率)()画出频率分布直方图和累积频率的分布图命题意图本题主要考查频率分布表频率分布直方图和累积频率的分布图的画法知识依托频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法错解分析解答本题时计算容易出现失误且要注意频率分布与累积频率分布的区别技巧与方法本题关键在于掌握三种表格的区别与联系解()由所给数据计算得如下频率分布表数据段频数频率累积频率[,[,[,[,[,[,[,总计()频率分布直方图与累积频率分布图如下例袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球从A中摸出一个红球的概率是从B中摸出一个红球的概率为p.(Ⅰ)从A中有放回地摸球每次摸出一个有次摸到红球即停止.(i)求恰好摸次停止的概率(ii)记次之内(含次)摸到红球的次数为求随机变量的分布率及数学期望E.(Ⅱ)若A、B两个袋子中的球数之比为将A、B中的球装在一起后从中摸出一个红球的概率是求p的值.命题意图本题考查利用概率知识和期望的计算方法知识依托概率的计算及期望的概念的有关知识错解分析在本题中随机变量的确定稍有不慎就将产生失误技巧与方法可借助n次独立重复试验概率公式计算概率解(Ⅰ)(i)(ii)随机变量的取值为由n次独立重复试验概率公式得(或)随机变量的分布列是P的数学期望是(Ⅱ)设袋子A中有m个球则袋子B中有m个球由得例如图用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N、N当元件A、B、C都正常工作时系统N正常工作当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时系统N正常工作已知元件A、B、C正常工作的概率依次为,,分别求系统NN正常工作的概率P、P解记元件A、B、C正常工作的事件分别为A、B、C由已知条件P(A)=,P(B)=,P(C)=()因为事件A、B、C是相互独立的所以系统N正常工作的概率P=P(A·B·C)=P(A)P(B)P(C)=,故系统N正常工作的概率为()系统N正常工作的概率P=P(A)·[-P()]=P(A)·[-P()P()]=×[-(-)(-)]=故系统N正常工作的概率为学生巩固练习甲射击命中目标的概率是乙命中目标的概率是丙命中目标的概率是现在三人同时射击目标则目标被击中的概率为()已知随机变量ζ的分布列为P(ζ=k)=,k=,,,则P(ζ)等于ABCD盒中有个正品和个废品每次取个产品取出后不再放回在取得正品前已取出的废品数ζ的期望Eζ=某班有人男女各半男女各自平均分成两组从这个班中选出人参加某项活动这人恰好来自不同组别的概率是甲、乙两人各进行一次射击如果两人击中目标的概率都是计算()两人都击中目标的概率()其中恰有一人击中目标的概率()至少有一人击中目标的概率已知连续型随机变量ζ的概率密度函数f(x)=()求常数a的值并画出ζ的概率密度曲线()求P(<ζ<)设P在[,]上随机地取值求方程xpx=有实根的概率设一部机器在一天内发生故障的概率为机器发生故障时全天停止工作若一周个工作日里均无故障可获利润万元发生一次故障可获利润万元只发生两次故障可获利润万元发生三次或三次以上故障就要亏损万元。求一周内期望利润是多少?参考答案:解析设甲命中目标为事件A乙命中目标为事件B丙命中目标为事件C则目标被击中的事件可以表示为ABC即击中目标表示事件A、B、C中至少有一个发生故目标被击中的概率为-P(··)=-答案A解析Eξ=()·=Eξ=()·=∴Dξ=Eξ-(Eξ)=-=∴D(ξ)=Eξ=答案A解析由条件知ξ的取值为并且有P(ξ=)=,答案解析因为每组人数为因此每组选人有C种方法所以所求概率为P=答案解()我们把“甲射击一次击中目标”叫做事件A“乙射击一次击中目标”叫做事件B显然事件A、B相互独立所以两人各射击一次都击中目标的概率是P(A·B)=P(A)·P(B)=×=答两人都击中目标的概率是()同理两人各射击一次甲击中、乙未击中的概率是P(A·)=P(A)·P()=×(-)=×=甲未击中、乙击中的概率是P(·B)=P()P(B)=显然“甲击中、乙未击中”和“甲未击中、乙击中”是不可能同时发生即事件A·与·B互斥所以恰有一人击中目标的概率是P(A·)P(·B)==答其中恰有一人击中目标的概率是()两人各射击一次至少有一人击中目标的概率P=P(A·B)[P(A·)P()·B]==答至少有一人击中目标的概率是解()因为ξ所在区间上的概率总和为所以(-a-a)·=,∴a=概率密度曲线如图()P(<ξ<)=解一元二次方程有实数根Δ≥而Δ=P-()=P-P-=(P)(P-)解得P≤-或P≥故所求概率为P=解以X表示一周天内机器发生故障的天数则X-B()于是X有概率分布P(X=k)=Ck-k,k=,,,,,以Y表示一周内所获利润则Y=g(X)=Y的概率分布为P(Y=)=P(X=)==P(Y=)=P(X=)=C·=P(Y=)=P(X=)=C··=P(Y=-)=P(X≥)=-P(X=)-P(X=)-P(X=)=故一周内的期望利润为EY=×××-×=(万元)课前后备注 、题目高中数学复习专题讲座数学归纳法的解题应用高考要求数学归纳法是高考考查的重点内容之一类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想抽象与概括从特殊到一般是应用的一种主要思想方法重难点归纳()数学归纳法的基本形式设P(n)是关于自然数n的命题若°P(n)成立(奠基)°假设P(k)成立(k≥n)可以推出P(k)成立(归纳)则P(n)对一切大于等于n的自然数n都成立()数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明恒等式不等式数的整除性几何中计算问题数列的通项与和等典型题例示范讲解例试证明不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列当n>,n∈N*且a、b、c互不相等时均有ancn>bn命题意图本题主要考查数学归纳法证明不等式知识依托等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤错解分析应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立不应只证明一种情况技巧与方法本题中使用到结论(ak-ck)(a-c)>恒成立(a、b、c为正数)从而akck>ak·cck·a证明()设a、b、c为等比数列a=,c=bq(q>且q≠)∴ancn=bnqn=bn(qn)>bn()设a、b、c为等差数列则b=ac猜想>()n(n≥且n∈N*)下面用数学归纳法证明①当n=时由(ac)>(ac)∴②设n=k时成立即则当n=k时(akckakck)>(akckak·cck·a)=(akck)(ac)>()k·()=()k也就是说等式对n=k也成立由①②知ancn>bn对一切自然数n均成立例在数列{an}中a=当n≥时an,Sn,Sn-成等比数列()求a,a,a并推出an的表达式()用数学归纳法证明所得的结论()求数列{an}所有项的和命题意图本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识知识依托等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤采用的方法是归纳、猜想、证明错解分析()中Sk=-应舍去这一点往往容易被忽视技巧与方法求通项可证明{}是以{}为首项为公差的等差数列进而求得通项公式解∵an,Sn,Sn-成等比数列∴Sn=an·(Sn-)(n≥)(*)()由a=,S=aa=a,代入(*)式得:a=-由a=a=-,S=a代入(*)式得a=-同理可得a=-,由此可推出an=()①当n=,,,时由(*)知猜想成立②假设n=k(k≥)时ak=-成立故Sk=-·(Sk-)∴(k-)(k-)SkSk-=∴Sk=(舍)由Sk=ak·(Sk-),得(Skak)=ak(akSk-)由①②知an=对一切n∈N成立()由()得数列前n项和Sn=,∴S=Sn=例是否存在a、b、c使得等式··…n(n)=(anbnc)解假设存在a、b、c使题设的等式成立这时令n=,,,有于是对n=,,下面等式成立··…n(n)=记Sn=··…n(n)设n=k时上式成立即Sk=(kk)那么Sk=Sk(k)(k)=(k)(k)(k)(k)=(kkk)=[(k)(k)]也就是说等式对n=k也成立综上所述当a=,b=,c=时题设对一切自然数n均成立学生巩固练习已知f(n)=(n)·n,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)则最大的m的值为()ABCD用数学归纳法证明k≥n(n≥,n∈N)第一步应验证()An=Bn=Cn=Dn=观察下列式子…则可归纳出已知a=,an=,则a,a,a,a的值分别为由此猜想an=用数学归纳法证明n能被整除其中n∈N*若n为大于的自然数求证已知数列{bn}是等差数列b=,bb…b=()求数列{bn}的通项公式bn()设数列{an}的通项an=loga()(其中a>且a≠)记Sn是数列{an}的前n项和试比较Sn与logabn的大小并证明你的结论设实数q满足|q|<,数列{an}满足a=,a≠,an·an=-qn,求an表达式又如果Sn<,求q的取值范围参考答案解析∵f()=,f()==×,f()==×∴f(),f(),f()能被整除猜想f(n)能被整除证明n=,时由上得证设n=k(k≥)时f(k)=(k)·k能被整除则n=k时f(k)-f(k)=(k)·k-(k)·k=(k)·k-(k)·k=(k)·k=(k)·k-(k≥)f(k)能被整除∵f()不能被大于的数整除∴所求最大的m值等于答案C解析由题意知n≥∴应验证n=答案C解析(n∈N*)(n∈N*)、、、证明()当n=时×=能被整除()假设当n=k时kk能被整除则当n=k时(k)k=k·k·-k·k·=k··(kk)∵k·能被整除kk能被整除∴当n=k时也成立由①②知当n∈N*时nn能被整除证明()当n=时()假设当n=k时成立即()解设数列{bn}的公差为d,由题意得,∴bn=n-()证明由bn=n-知Sn=loga()loga()…loga()=loga[()()…()]而logabn=loga,于是比较Sn与logabn的大小比较()()…()与的大小取n=有()=取n=有()(推测()()…()>(*)①当n=时已验证(*)式成立②假设n=k(k≥)时(*)式成立即()()…()>则当n=k时,即当n=k时(*)式成立由①②知(*)式对任意正整数n都成立于是当a>时Sn>logabn,当<a<时Sn<logabn解∵a·a=-q,a=,a≠,∴q≠,a=-,∵an·an=-qn,an·an=-qn两式相除得,即an=q·an于是a=,a=·q,a=·qn…猜想an=-qn(n=,,,…)综合①②猜想通项公式为an=下证()当n=,时猜想成立()设n=k-时ak-=·qk-则n=k时由于ak=q·ak-∴ak=·qk即n=k-成立可推知n=k也成立设n=k时ak=-qk,则n=k时由于ak=q·ak,所以ak=-qk,这说明n=k成立可推知n=k也成立综上所述对一切自然数n,猜想都成立这样所求通项公式为an=Sn=(aa…an-)(aa…an)=(qq…qn)-(qq…qn)由于|q|<,∴=依题意知<,并注意-q>,|q|<解得-<q<或<q<课前后备注 、题目高中数学复习专题讲座函数的连续及其应用高考要求函数的连续性是新增加的内容之一它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起在高考中必将这一块内容溶入到函数内容中去因而一定成为高考的又一个热点本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系重难点归纳深刻理解函数f(x)在x处连续的概念等式f(x)=f(x)的涵义是()f(x)在x=x处有定义即f(x)存在()f(x)存在这里隐含着f(x)在点x=x附近有定义()f(x)在点x处的极限值等于这一点的函数值即f(x)=f(x)函数f(x)在x处连续反映在图像上是f(x)的图像在点x=x处是不间断的函数f(x)在点x不连续就是f(x)的图像在点x=x处是间断的其情形()f(x)存在f(x)存在但f(x)≠f(x)()f(x)存在但f(x)不存在()f(x)不存在由连续函数的定义可以得到计算函数极限的一种方法如果函数f(x)在其定义区间内是连续的点x是定义区间内的一点那么求x→x时函数f(x)的极限只要求出f(x)在点x处的函数值f(x)就可以了即f(x)=f(x)典型题例示范讲解例已知函数f(x)=,()求f(x)的定义域并作出函数的图像()求f(x)的不连续点x()对f(x)补充定义使其是R上的连续函数命题意图函数的连续性尤其是在某定点处的连续性在函数图像上有最直观的反映因而画函数图像去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法知识依托本题是分式函数所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图像错解分析第()问是本题的难点考生通过自己对所学连续函数定义的了解应明确知道第()问是求的分数函数解析式技巧与方法对分式化简变形注意等价性观察图像进行解答解()当x≠时有x≠-因此函数的定义域是(-∞,-)∪(-,∞)当x≠-时f(x)==x-,其图像如上图()由定义域知函数f(x)的不连续点是x=-()因为当x≠-时f(x)=x-,所以=-因此将f(x)的表达式改写为f(x)=则函数f(x)在R上是连续函数例求证方程x=asinxb(a>,b>)至少有一个正根且它不大于ab命题意图要判定方程f(x)=是否有实根即判定对应的连续函数y=f(x)的图像是否与x轴有交点因此根据连续函数的性质只要找到图像上的两点满足一点在x轴上方另一点在x轴下方即可本题主要考查这种解题方法知识依托解答本题的闪光点要找到合适的两点使函数值其一为负另一为正错解分析因为本题为超越方程因而考生最易想到画图像观察而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用证明设f(x)=asinxb-x,则f()=b>,f(ab)=a·sin(ab)b-(ab)=a[sin(ab)-]≤,又f(x)在(,ab]内是连续函数所以存在一个x∈(,ab]使f(x)=,即x是方程f(x)=的根也就是方程x=a·sinxb的根因此方程x=asinxb至少存在一个正根且它不大于ab例已知函数f(x)=()讨论f(x)在点x=-,,处的连续性()求f(x)的连续区间解()f(x)=,f(x)=-,所以f(x)不存在所以f(x)在x=-处不连续但f(x)=f(-)=-,f(x)≠f(-),所以f(x)在x=-处右连续左不连续f(x)==f(),f(x)不存在所以f(x)不存在所以f(x)在x=不连续但左连续右不连续又f(x)=f()=,所以f(x)在x=处连续()f(x)中区间(-∞,-),[-,],(,]上的三个函数都是初等函数因此f(x)除不连续点x=±外再也无不连续点所以f(x)的连续区间是(-∞,-),[-,]和(,学生巩固练习若f(x)=在点x=处连续则f()等于()ABCD设f(x)=则f(x)的连续区间为()A()B()C()∪()D()=若f(x)=处处连续则a的值为已知函数f(x)=()f(x)在x=处是否连续?说明理由()讨论f(x)在闭区间[-,]和[,]上的连续性已知f(x)=()求f(-x)()求常数a的值使f(x)在区间(-∞,∞)内处处连续求证任何一个实系数一元三次方程axaxaxa=(a,a,a,a∈R,a≠)至少有一个实数根求函数f(x)=的不连续点和连续区间参考答案解析答案A解析即f(x)在x=点不连续显知f(x)在(,)和(,)连续答案C解析利用函数的连续性即,答案答案解f(x)=()f(x)=-,f(x)=,所以f(x)不存在故f(x)在x=处不连续()f(x)在(-∞,∞)上除x=外再无间断点由()知f(x)在x=处右连续所以f(x)在[-]上是不连续函数在[,]上是连续函数解()f(-x)=()要使f(x)在(-∞,∞)内处处连续只要f(x)在x=连续f(x)==f(x)=(abx)=a,因为要f(x)在x=处连续只要f(x)=f(x)=f(x)=f(),所以a=证明设f(x)=axaxaxa,函数f(x)在(-∞,∞)连续且x→∞时f(x)→∞x→-∞时f(x)→-∞,所以必存在a∈(-∞,∞),b∈(-∞,∞),使f(a)·f(b)<,所以f(x)的图像至少在(a,b)上穿过x轴一次即f(x)=至少有一实根解不连续点是x=,连续区间是(-∞,),(,∞)课前后备注 、题目高中数学复习专题讲座导数的运算法则及基本公式应用高考要求导数是中学限选内容中较为重要的知识本节内容主要是在导数的定义常用求等公式四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导重难点归纳深刻理解导数的概念了解用定义求简单的导数表示函数的平均改变量它是Δx的函数而f′(x)表示一个数值即f′(x)=知道导数的等价形式求导其本质是求极限在求极限的过程中力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式即导数的定义这是顺利求导的关键对于函数求导一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时不但要重视求导法则的应用而且要特别注意求导法则对求导的制约作用在实施化简时首先必须注意变换的等价性避免不必要的运算失误复合函数求导法则像链条一样必须一环一环套下去而不能丢掉其中的一环必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的分清其间的复合关系典型题例示范讲解例求函数的导数命题意图本题个小题分别考查了导数的四则运算法则复合函数求导的方法以及抽象函数求导的思想方法这是导数中比较典型的求导类型知识依托解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征挖掘量的隐含条件将问题转化为基本函数的导数错解分析本题难点在求导过程中符号判断不清复合函数的结构分解为基本函数出差错技巧与方法先分析函数式结构找准复合函数的式子特征按照求导法则进行求导()解y=μ,μ=ax-bsinωx,μ=av-byv=x,y=sinγγ=ωxy′=(μ)′=μ·μ′=μ(av-by)′=μ(av′-by′)=μ(av′-by′γ′)=(ax-bsinωx)(a-bωsinωx)()解法一设y=f(μ),μ=,v=x,则y′x=y′μμ′v·v′x=f′(μ)·v-·x=f′()··x=解法二y′=[f()]′=f′()·()′=f′()·(x)·(x)′=f′()·(x)·x=f′()例利用导数求和()Sn=xx…nxn-(x≠,n∈N*)()Sn=CCC…nC,(n∈N*)命题意图培养考生的思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力知识依托通过对数列的通项进行联想合理运用逆向思维由求导公式(xn)′=nxn-,可联想到它们是另外一个和式的导数关键要抓住数列通项的形式结构错解分析本题难点是考生易犯思维定势的错误受此影响而不善于联想技巧与方法第()题要分x=和x≠讨论等式两边都求导解()当x=时Sn=…n=n(n)当x≠时∵xxx…xn=,两边都是关于x的函数求导得(xxx…xn)′=()′即Sn=xx…nxn-=()∵(x)n=CxCx…Cxn,两边都是关于x的可导函数求导得n(x)n-=CCxCx…nCxn-,令x=得n·n-=CCC…nC,即Sn=CC…nC=n·n-例已知曲线Cy=x-xx,直线l:y=kx,且l与C切于点(x,y)(x≠)求直线l的方程及切点坐标解由l过原点知k=(x≠),点(x,y)在曲线C上y=x-xx,∴=x-xy′=x-x,k=x-x又k=,∴x-x=x-xx-x=,∴x=或x=由x≠,知x=∴y=()-()·=-∴k==-∴l方程y=-x切点(-)学生巩固练习y=esinxcos(sinx)则y′()等于()ABC-D经过原点且与曲线y=相切的方程是()Axy=或y=Bx-y=或y=Cxy=或-y=Dx-y=或-y=若f′(x)=,=设f(x)=x(x)(x)…(xn),则f′()=已知曲线C:y=x与C:y=-(x-),直线l与C、C都相切求直线l的方程求函数的导数()y=(x-x)ex()y=有一个长度为m的梯子贴靠在笔直的墙上假设其下端沿地板以ms的速度离开墙脚滑动求当其下端离开墙脚m时梯子上端下滑的速度求和Sn=xx…nxn-,(x≠,n∈N*)参考答案解析y′=esinx[cosxcos(sinx)-cosxsin(sinx)],y′()=e(-)=答案B解析设切点为(x,y),则切线的斜率为k=,另一方面y′=()′=,故y′(x)=k,即或xx=得x()=-,x()=-,对应有y()=,y()=,因此得两个切点A(-)或B(-,),从而得y′(A)==-及y′(B)=,由于切线过原点故得切线lA:y=-x或lB:y=-答案A解析根据导数的定义f′(x)=(这时)答案-解析设g(x)=(x)(x)……(xn),则f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)xg′(x),f′()=g()·g′()=g()=··…n=n!答案n!解设l与C相切于点P(x,x),与C相切于Q(x,-(x-))对于Cy′=x,则与C相切于点P的切线方程为y-x=x(x-x),即y=xx-x①对于Cy′=-(x-),与C相切于点Q的切线方程为y(x-)=-(x-)(x-x),即y=-(x-)xx-②∵两切线重合∴x=-(x-)且-x=x-,解得x=,x=或x=,x=∴直线l方程为y=或y=x-解()注意到y>,两端取对数得lny=ln(x-x)lnex=ln(x-x)x()两端取对数得ln|y|=(ln|x|-ln|-x|),两边解x求导得解设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=-,当下端移开m时t=,又s′=-(-t)·(-·t)=t,所以s′(t)=×=(ms)解()当x=时Sn=…n=n(n)(n),当x≠时xx…nxn=,两边同乘以x,得xxx…nxn=两边对x求导得Sn=xx…nxn=课前后备注 、题目高中数学复习专题讲座导数的应用问题高考要求利用导数求函数的极大(小)值求函数在连续区间[a,b]上的最大最小值或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化因而已逐渐成为新高考的又一热点本节内容主要是指导考生对这种方法的应用重难点归纳f(x)在某个区间内可导若f′(x)>,则f(x)是增函数若f′(x)<,则f(x)是减函数求函数的极值点应先求导然后令y′=得出全部导数为的点(导数为的点不一定都是极值点例如y=x,当x=时导数是但非极值点)导数为的点是否是极值点取决于这个点左、右两边的增减性即两边的y′的符号若改变符号则该点为极值点若不改变符号则非极值点一个函数的极值点不一定在导数为的点处取得但可得函数的极值点一定导数为可导函数的最值可通过(a,b)内的极值和端点的函数值比较求得但不可导函数的极值有时可能在函数不可导的点处取得因此一般的连续函数还必须和导数不存在的点的函数值进行比较如y=|x|,在x=处不可导但它是最小值点典型题例示范讲解例已知f(x)=axbxcx(a≠)在x=±时取得极值且f()=-()试求常数a、b、c的值()试判断x=±是函数的极小值还是极大值并说明理由命题意图利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的继续深入是导数应用的关键知识点通过对函数极值的判定可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解知识依托解题的成功要靠正确思路的选择本题从逆向思维的角度出发根据题设结构进行逆向联想合理地实现了问题的转化使抽象的问题具体化这是解答本题的闪光点错解分析本题难点是在求导之后不会应用f′(±)=的隐含条件因而造成了解决问题的最大思维障碍技巧与方法考查函数f(x)是实数域上的可导函数可先求导确定可能的极值再通过极值点与导数的关系建立由极值点x=±所确定的相等关系式运用待定系数法求值解()f′(x)=axbxc∵x=±是函数f(x)的极值点∴x=±是方程f′(x)=,即axbxc=的两根由根与系数的关系得又f()=-,∴abc=-,③由①②③解得a=,()f(x)=x-x,∴f′(x)=x-=(x-)(x)当x<-或x>时f′(x)>当-<x<时f′(x)<∴函数f(x)在(-∞,-)和(,∞)上是增函数在(-)上是减函数∴当x=-时函数取得极大值f(-)=,当x=时函数取得极小值f()=-例在甲、乙两个工厂甲厂位于一直线河岸的岸边A处乙厂与甲厂在河的同侧乙厂位于离河岸km的B处乙厂到河岸的垂足D与A相距km两厂要在此岸边合建一个供水站C从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米a元和a元问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省?命题意图学习的目的就是要会实际应用本题主要是考查学生运用导数知识解决实际问题的意识思想方法以及能力知识依托解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数把“问题情景”译为数学语言找出问题的主要关系并把问题的主要关系近似化形式化抽象成数学问题再划归为常规问题选择合适的数学方法求解错解分析本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式技巧与方法根据题设条件作出图形分析各已知条件之间的关系借助图形的特征合理选择这些条件间的联系方式适当选定变化构造相应的函数关系解法一根据题意知只有点C在线段AD上某一适当位置才能使总运费最省设C点距D点xkm,则∵BD=,AC=-x,∴BC=又设总的水管费用为y元依题意有y=(a-x)a(<x<)y′=-a,令y′=,解得x=在(,)上y只有一个极值点根据实际问题的意义函数在x=(km)处取得最小值此时AC=-x=(km)∴供水站建在A、D之间距甲厂km处可使水管费用最省解法二设∠BCD=Q,则BC=,CD=cotθ,(<θ<),∴AC=-cotθ设总的水管费用为f(θ),依题意有f(θ)=a(-·cotθ)a·=aa·∴f′(θ)=a·令f′(θ)=,得cosθ=根据问题的实际意义当cosθ=时函数取得最小值此时sinθ=,∴cotθ=,∴AC=-cotθ=(km),即供水站建在A、D之间距甲厂km处可使水管费用最省例已知f(x)=xc,且f[f(x)]=f(x)()设g(x)=f[f(x)],求g(x)的解析式()设φ(x)=g(x)-λf(x),试问是否存在实数λ,使φ(x)在(-∞,-)内为减函数且在(-)内是增函数解()由题意得f[f(x)]=f(xc)=(xc)cf(x)=(x)c,∵f[f(x)]=f(x)∴(xc)c=(x)c,∴xc=x,∴c=∴f(x)=x,g(x)=f[f(x)]=f(x)=(x)()φ(x)=g(x)-λf(x)=x(-λ)x(-λ)若满足条件的λ存在则φ′(x)=x(-λ)x∵函数φ(x)在(-∞,-)上是减函数∴当x<-时φ′(x)<即x(-λ)x<对于x∈(-∞,-)恒成立∴(-λ)>-x,∵x<-,∴-x<-∴(-λ)≥-,解得λ≤又函数φ(x)在(-,)上是增函数∴当-<x<时φ′(x)>即x(-λ)x>对于x∈(-,)恒成立∴(-λ)<-x,∵-<x<,∴-<x<∴(-λ)≤-,解得λ≥故当λ=时φ(x)在(-∞,-)上是减函数在(-,)上是增函数即满足条件的λ存在学生巩固练习设f(x)可导且f′()=,又=-,则f()()A可能不是f(x)的极值B一定是f(x)的极值C一定是f(x)的极小值D等于设函数fn(x)=nx(-x)n(n为正整数)则fn(x)在[,]上的最大值为()ABCD函数f(x)=loga(xx-)(a>且a≠)的单调区间在半径为R的圆内作内接等腰三角形当底边上高为时它的面积最大设f(x)=axx恰有三个单调区间试确定a的取值范围并求其单调区间设x=与x=是函数f(x)=alnxbxx的两个极值点()试确定常数a和b的值()试判断x=,x=是函数f(x)的极大值还是极小值并说明理由已知a、b为实数且b>a

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