上财研究生高微题库第——二 偏好与效用

24    第二部分 偏好与效用    第一节 偏好与选择 1.  [简单][来自 Rubinstein  P.10]对于定义在集合 X 上的偏好关系，定义 ( )I x 为满足 z X∈ 且 z x∼ 的所有 z 的集合。 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：对于任意属于 X 的 x y和 ，都有 ( ) ( )I x I y= 或者 ( ) ( )I x I y φ∩ = 。  证明：根据定义， ( ) { | , }I x z z x z X= ∈∼ ， ( ) { | , }I y z z y z X= ∈∼ 。             如果 x y∼ ，由 ∼ 的传递性知，              ( ) { | , } { | , } ( )I x z z x z X z z y z X I y= ∈ = ∈ =∼ ∼ 。             如果 x y∼ 不成立，我们用反证法证明 ( ) ( )I x I y φ∩ = 。             假设 ( ) ( )I x I y φ∩ ≠ ，则存在 ( )w I x∈ ，且 ( )w I y∈ 。             由 ( ) ( )I x I y和 的定义知，w x∼ 且w y∼ 。由 ∼ 的传递性知， x y∼ ，矛盾。    2. [简单][改编自 Rubinstein P.50] 证明：在一个两种商品的世界里，假定偏好满足严格单调、 传递且凸，并且对于 ,x ε∀ 都有 1 2 1 2 1 1 2 1 2( , ) ( , ) ( 2 , )x x x x x xε δ ε δ δ− + − + +∼ ∼ ，则 2 1δ δ≥ 。  证明： 1 2 1 2 1 1 2 1 2( , ) ( , ) ( 2 , )x x x x x xε δ ε δ δ− + − + +∼ ∼ ⇒               1 2 1 2( 2 , )x xε δ δ− + + < 1 2 1 2 1( , ) ( , )x x x xε δ− +∼ ⇒               1 2 1 2 1 20.5( 2 , ) 0.5( , )x x x xε δ δ− + + + < 1 2 1( , )x xε δ− + ⇒               1 2 1 2( , 0.5 0.5 )x xε δ δ− + + < 1 2 1( , )x xε δ− + ⇒               2 1δ δ≥     3. [中等][来自田国强教授《微观经济理论讲义》] 证明：如果偏好满足严格单调，则满足单 调；如果偏好满足单调，则满足局部非餍足；如果满足局部非餍足，则满足非餍足。  证明：由严格单调的定义： x y≥ 且 x y≠ ，则 x y; ，  和单调的定义： x y>> ，则 x y; ，易知偏好满足严格单调意味着满足单调。  局部非餍足定义为： y X∀ ∈ ， 0ε∀ > ， x X∃ ∈ 满足 y x ε− < ，使得 x y; 。  设 ( )/ 1, / 1,..., / 1x y n n nε ε ε= + + + + ，  显然 x y>> ，且 / ( 1)y x n nε ε− = ⋅ + < ，  由单调性知， x y; 。所以，单调性意味着局部非餍足性。    4. [简单][来自田国强教授 2008年春季上海财经大学高微 II期中考试题]证明：如果偏好关系 满足传递性、局部非餍足性和弱单调性，则满足单调性。（单调性定义为：如果 x y> ， 则 x y; ；弱单调性定义为：若 x y≥ , 则 x < y ）。  证明：如果 x y> ，则 x y≥ ，由弱单调性知， x < y。下面证明只能是 x y; 。 因为 x y> ，由局部非餍足性知， y的临域内存在满足 'x y> 的 'y ，使得 'y y; 。 如果 x y∼ ，由传递性知， 'y x; ；而 'x y> ，由弱单调性知，x < 'y ，矛盾。 所以 x y∼ 不成立，只能是 x y; 。   5. [中等][来自田国强教授 2008年春季上海财经大学高微 II期中考试题]证明：如果偏好是严 25    格凸的，则需求对应（demand correspondence）必定是单值函数。（严格凸被定义为 x < 'x ， 且 'x x≠ ，则 '' (1 ) 'x x xα α= + −   'x; ）  证明：假设需求对应不是单值的，则存在两个不同的最优选择 x和 'x ，满足 'x x∼ 。             设 '' (1 ) 'x x xα α= + − ，其中 (0,1)α ∈ 。              'x x∼ 意味着 x < 'x ，由严格凸知， 'x x; 。             而 ''x 在原有的收入和价格下也是可以支付的，所以 x和 'x 不是最优选择，矛盾。             所以不存在两个不同的最优选择 x和 'x ，即需求对应不是单值的。    6. [困难][来自田国强教授 2008年春季上海财经大学高微 II期中考试题改编]如果每位消费者 的偏好满足严格凸，非餍足，则瓦尔拉斯律成立。  证明：先证明如果偏好满足严格凸，非餍足，则满足局部非餍足。             局部非餍足要求，对于消费集里的任一点 x，其任一临域内总是存在另一点 'x ，使 得 'x x; 。而非餍足意味着，对于消费集里的任一点 x，总是存在另一点 ''x ，使得 ''x x; 。而严格凸性意味着， (0,1)α∀ ∈ ，都有 '' (1 )x x xα α+ − ; 。于是，不论 x 的临域多小，当α 趋于 0时，我们总可以在 x的临域内找到一个点 ' '' (1 )x x xα α= + − 使得 'x x; ，即偏好满足严格凸、非餍足，则满足局部非餍足。             再证明如果偏好满足局部非餍足，则瓦尔拉斯律成立。             对于每个消费者而言，总有 i ipx pw≤ 。下面证明 i ipx pw< 不成立。             由局部非餍足性，在 ix 充分小的领域里总存在 'ix ，使得 'i ix x; 且 'i ipx pw< 。  从而 ix 不应该时消费者的最优选择。所以对所有消费者都有 i ipx pw= 。  所以 ( ) 0i ip x w− =∑ ∑ ，即瓦尔拉斯律成立。    7. [困难][来自陈庆池教授 2007年秋季上海财经大学高微 I作业题]证明：对于任意两个消费 束 x， 'x 满足 'x x∼ ，对于所有的 1t > 都有 ( ' )x x t x x+ −; ，则偏好关系是严格凸的。  证明：设 1 1/ tα = − ，因为 1t > ，所以 (0,1)α ∈ 。如果偏好不是严格凸的，那么对某些 x， 'x 满足 'x x∼ 下式不成立  ( )(1 ) ( ' ) ( ' )x x t x x x t x xα α+ − + − + −;              所以 ( ' )x t x x+ − < ( )(1 ) ( ' )x x t x xα α+ − + − 。将 1 1/ tα = − 带入得  ( ' )x t x x+ − < 'x 因为 'x x∼ ，由传递性知 ( ' )x t x x+ − < x，但这和 ( ' )x x t x x+ −; 矛盾。所以偏好是 严格凸的。   8. [中等][来自田国强教授 2009年春季上海财经大学高微 II期中考试题]  证明：若偏好满足弱凸性（即如果 x < 'x ，则对于 (0,1)α∀ ∈ 都有 (1 ) 'x xα α+ − < 'x ）， 则需求对应时凸值的（即需求对应 ( )x p 是一个凸集）。  证明：设 ( )x p 和 '( )x p 是给定收入（或禀赋）和价格下的需求对应集合中的任意不同元素。             设 ''( ) ( ) (1 ) '( )x p x p x pα α= + − 。则 ''( )x p 也是预算集中的元素。             因为 ( ) '( )x p x p∼ ，所以 ( )x p < '( )x p ，所以 ''( )x p < '( )x p 。             而 ( )x p 和 '( )x p 是最优选择，而 ''( )x p 也是预算集中的元素，所以 '( )x p < ''( )x p 。  所以 ''( ) '( )x p x p∼ ，即 ''( )x p 也是需求对应集合中的元素，即需求对应 ( )x p 是一个 凸集。    9. [中等][来自陈庆池教授 2006年秋季上海财经大学高微 I期中考试题]  设集合 (1, 2,.., )N n= 表示n种商品。对于任意 1 2( , ,..., ) nnx x x x A R+= ∈ ⊂ ，定义 { }( ) max {1, 2,..., } . . .i ji x i n s t x x j i= ∈ > ∀ ≠   26       （为简便起见，假定对于任意 ,i j N∈ ， i j≠ 有 i jx x≠ ，所以 ( )i x 是唯一的）     对于任意 ,x y A∈ ，消费者对 x弱偏好于 y （即 x < y ）当且仅当  ( ) ( ) ( ) ( )i x i y i x i yx x y y+ ≥ +      如果 (1, 2,3)x = ， (1,7,6)y = ，试求出 ( )i x 和 ( )i y 并判断消费者对 x和 y 的偏好关系。 该偏好满足传递性吗？如果满足，请证明；如果不满足，请给出一个反例。  解：由题目给出的定义知 ( ) 3i x = ， ( ) 2i y = 。  因为 ( ) ( ) ( ) ( )3 2 5 6 7 13i x i y i x i yx x y y+ = + = < + = + = ，所以对消费者而言， y x; 。         该偏好关系不满足传递性。设 (8, 2, 8)z = − ，则 ( ) 1i z = 。则          ( ) ( ) ( ) ( )3 1 4 8 8 0i x i z i x i yx x z z+ = + = > + = − = ，所以 x z; 。          ( ) ( ) ( ) ( )8 2 10 1 7 8i z i y i z i yz z y y+ = + = > + = + = ，所以 z y; 。         如果偏好满足传递性，则 x z; 且 z y; ⇒ x y; ；但是 y x; ，矛盾。    10. [简单][来自陈庆池教授 2007年秋季上海财经大学高微 I作业题]  如果消费集为 { , , }X a b c= ，假设消费者的选择满足完备性和唯一性，那么存在多少种 选择规则？  解：存在四个非单且非空的选择集{ , }a b ，{ , }b c ，{ , }a c ，{ , , }a b c 。         所以选择规则共有 2*2*2*3=24种。    11. [中等][来自陈庆池教授 2006年秋季上海财经大学高微 I期中考试题]  记 A为消费者的选择集， 2A R⊂ 。定义集合 { |A x A= ∈ 对于某些 ' '2 2, }x A x x∈ > ， 即 A   是 A中所有元素的第二项不是 A中最小的元素的集合。如果消费者的选择函数 ( )C A x= 满足对于任意的 'x A∈ 都有 '1 1x x> ，即消费者选择 A中第一项最大的元素。 试判断消费者的选择是否满足显示性偏好弱公理（ the  Weak  Axiom  of  Revealed  Preference）。  解：不满足显示性偏好弱公理。         显示性偏好弱公理要求，对于任意两个属于消费空间 X 的子集 1A 和 2A ，如果满足 1 2A A X⊂ ⊂ ，并且 2 1( )C A A∈ ，则 1 2( ) ( )C A C A= 。         反例如下：令 1 {(3,3), (2, 2), (4,1)}A = ， 2 {(3,3), (2, 2), (4,1), (0,0)}A = 。         则 2( ) (4,1)C A = ，而 1 2( ) (3,3) ( )C A C A= ≠ 。      第二节 效用函数 1. [中等][来自夏纪军教授 2009年春季上海财经大学春季高微期中考试题]  效用函数为 ( , ) max{ , }U x y x y= 。检验偏好是否完备性、传递性、严格单调性和凸性。  解：如果理性的偏好（即偏好关系满足完备性和传递性；理性的偏好也被称为偏好序）是连 续的，则一定可以找到一个连续的效用函数来表示该偏好。反之，如果效用函数存在， 则偏好一定是理性的。因为如果偏好关系<可以由效用函数u来表示，则对于消费空间里 的任意两个消费束 z 和 'z ，必定有 ( ) ( ')u z u z≥ 或者 ( ') ( )u z u z≥ ，即 z < 'z 或者 'z < z ， 从而效用函数存在的偏好是完备的。对于任意三个消费束 z 、 'z 和 ''z ，如果 ( ) ( ')u z u z≥ 并且 ( ') ( '')u z u z≥ ，则必定有 ( ) ( '')u z u z≥ ，即如果 z < 'z 且 'z < ''z ，则必定有 z < ''z ， 从而偏好是传递的。 严格单调的定义为：如果两个消费束满足 'z z≥ 且 'z z≠ ，则 'z z; 。本效用函数代表 的偏好不满足严格单调性。比如令 ( , ) (2, 2)z x y= = ， ' ( ', ') (2,1)z x y= = ，这里的消 费束 z 和 'z 满足 'z z≥ 且 'z z≠ ，但是 'z z∼ （因为 ( ) 2 ( ')U z U z= = ），从而该效用 27    函数代表的偏好不满足严格单调性。  凸性的定义为：如果 z< 'z ，则 (1 ) 'z z zλ λ λ= + − < 'z ， (0,1)λ∀ ∈ ，即任意两个消费 束的凸组合，和其中差的那一个比，至少要同样好。本题中，令 ( , ) (4, 2)x y = ， ( ', ') (2, 4)x y = ，其凸组合0.5( , ) 0.5( ', ') (3,3)x y x y+ = ，这个消费束严格的比 (4, 2)和 (2, 4)都要差，所以该效用函数代表的偏好不满足凸性。    2. [困难][来自陈庆池教授 2007年上海财经大学高微 I期中考试题]试判断下列消费者的选择 是否满足现实性偏好弱公理（WA）。如果满足请予以证明，如果不满组请给出反例。        (1) 将所有的收入都花费在价格最低的商品之上。        (2) 将所有的收入都花费在价格第二低的商品之上。  解：(1) 消费者的选择满足WA。因为消费者的选择可以用效用函数 1 2max{ , ,..., }nu x x x= 表 示。效用函数存在意味着消费者是理性的，而理性等价于显示性偏好强公理（SARP）， 后者又意味着显示性偏好弱公理成立。          (2) 该消费者的偏好不满足 WA。假设价格 (0,1, 2)p = ，在此价格下消费者的选择为 (0,1,0)x = ；如果价格变为 ' (1,0, 2)p = ，在该价格下消费者的选择为 ' (1,0,0)x = 。 因为 1 ' 0p x p x⋅ = ≥ ⋅ = ，所以 x直接显示偏好于 'x 。WA 要求，如果 x直接显示 偏好于 'x ，就不能有 'x 直接显示偏好于 x。但 ' ' 1 ' 0p x p x⋅ = ≥ ⋅ = ，这表明 'x 直 接显示偏好于 x。所以消费者的选择不满足WA。    3. [中等][来自 Rubinstein P.51]如果偏好关系满足连续性和单调性，则定义的函数 ( )u x 使其满 足： ( )( ),... , ( )x u x u x∼ ，证明： ( )u x 是连续函数。  证明：一个函数是连续函数当且仅当它既是上半连续又是下半连续，即其上等高集和下等高 集都是闭集。即 x X∀ ∈ ，都有{ }| ( ) ( )y X u y u x∈ ≥ 和{ }| ( ) ( )y X u y u x∈ ≤ 都是闭 集。而偏好是连续当且仅当 x X∀ ∈ 都有{ |y X y∈ < }x 和{ |y X x∈ < }y 都是闭集。 因为偏好是单调的，且 ( )( ),... , ( )x u x u x∼ ，所以 { }| ( ) ( )y X u y u x∈ ≥ 等价于 { |y X y∈ < }x ，{ }| ( ) ( )y X u y u x∈ ≤ 等价于{ |y X x∈ < }y 。             所以 ( )u x 是连续函数。    4. [中等][来自夏纪军教授提供的习题] 证明：如果一个连续的效用函数代表了一个偏好，则 该偏好是否连续的。连续偏好关系是否能够通过一个不连续的函数表示？如果偏好不连 续，代表该偏好的效用函数是否连续呢？  证明：设任意两个序列 ,n nx y ， 1, 2,...,n = ∞满足 nx < ny ，且 nx x→ ， ny y→ 。则  ( ) ( )n nu x u y≥ 。由 ( )u x 的连续性知， ( ) ( )u x u y≥ ，所以 x < y ，即偏好是连续的。  连续的偏好可以由不连续的函数表示。因为理性的连续偏好可以用一个连续的效用函 数表示，将这个连续的效用函数在某一点起，将其函数值加上某一正数，得到一个新 的不连续的效用函数，由效用函数的定义（ x < 'x 当且仅当 ( ) ( ')u x u x≥ ），所以这个 新的效用函数仍代表原来的偏好关系。如果偏好不连续，则效用函数可能不存在，比 如字典式偏好是不连续的，没有效用函数可以表示它；如果偏好不连续，并且存在效 用函数表示它，则该效用函数必定是不连续的——否则偏好将是连续的。    5. [中等][来自夏纪军教授提供的习题] 如果偏好不是连续的，是否也可以找到一个效用函数 来表示它？如果能，试举出一个例子；如果不能，请予以证明。  解：设消费集为 1X += \ ，即消费只可以是非负数量的一种商品。效用函数为         当 (0,1)x∈ ， ( ) 0u x = ；         当 1x = 时， ( ) 1u x = ；  28           当 1x > 时， ( ) 2u x = ；         偏好的连续性可以被定义为：对于消费集 X 里的任意消费束 x，该消费束的弱偏好集 是闭集，即 x X∀ ∈ 都有{ |y X y∈ < }x 是闭集。  但是当 1x = 时，其弱偏好集{ |y X y∈ <1} (1, )= +∞ ，这是不是一个闭集。所以该效用 函数代表的偏好不是连续的。    6. [中等][来自夏纪军教授提供的习题] 证明：如果 X=R，一个由不连续函数 u(x)＝[x]（取整， 如 [4.6]=4）表示的偏好关系是不连续的。 证明：设 2 1/nx n= + ， 3 1/ny n= − ，则 ( ) 2 ( ) 2n nu x u y= ≥ = 。 连续性要求，若 nx x→ ， ny y→ ，则 x < y 。但实际上， 2nx → ， 3ny → ，所以是 y x; ，而非 x < y 。 即这个不连续的效用函数表示的偏好关系不连续。   7. [中等]设 ( )u x 为消费者的效用函数。试判断下列各函数能否同样代表消费者的偏好。      (1)  ( ) ( )1/3 3( ) ( ) ( ) ( ) 1If x u x u x u x= + + +       (2)  ( )2( ) ( ) 2 ( )IIf x u x u x= +       (3)  1 2 1 2 1 2( , ) ( , )IIIf x x u x x x x= + +   解：由效用函数的定义 x∀ ， y X∈ ， x < y ( ) ( )u x u y⇔ ≥ 。  所以，对效用函数进行正单调变换，仍代表相同的偏好。  (1)  因为 1/3 3( ) 1If t t t t= + + + 是 t 的严格递增函数， ( ) ( )u x u y≥ 当且仅当 ( ) ( )I If x f y≥ ，所以 ( )If x 和 ( )u x 代表着相同的偏好关系。  (2) 因为 ( )2( ) ( ) 1 1IIf x u x= + − ，当消费者的效用函数大于 1− 时， ( ) ( )u x u y≥ 当且仅 当 ( ) ( )II IIf x f y≥ 。所以，只有当消费集 X 里的任意消费束 x都满足 ( ) 1u x ≥ − 时， ( )IIf x 和 ( )u x 代表着相同的偏好关系。  (3) 除非 ( )u x 有特殊的形式，比如说 31 2 1 2( , ) ( , )u x x x x= ，否则 ( )IIIf x 和 ( )u x 不能代 表相同的偏好关系。例如，如果 1 2 1 2( , )u x x x x= ，设消费束 (2, 2)x = ，消费束 (1,3.9)y = 。此时有 1 2 1 2( , ) ( , )u x x u y y> ，但 1 2 1 2( , ) ( , )III IIIf x x f y y> 。        8. [困难][来自陈庆池教授 2007年秋季上海财经大学高微 I期中考试题]  欣欣是一个理性的消费者。她会根据预算约束 p x y⋅ ≤ 选择消费束使得最大化其效用 ( )u x 。假设在她生活的城市里，所有商品的价格之和总是为 1，即 1 n ii p=∑ 。欣欣在收入 为 y 时购买的商品量为 x；而收入为 'y 时购买的商品量为 'x 。其中 'y y> 。我们能否得 出欣欣对 'x 总是偏好于 x？  解：不能。  假设只有两种商品 1x 和 2x 。欣欣有柯布‐道格拉斯形式的效用函数 1 2 1 2( , )u x x x x= 。  根据柯布‐道格拉斯形式的效用函数的性质，我们很容易得出欣欣对于两种商品的需求： 她会将收入的一半用于 1x ，另一半用于 2x（如果其效用函数为 1 21 2, ,..., nnu x x xαα α= ， 她 则会将收入的 1 / ni jjα α=∑ 用于购买商品 i， 1, 2,...,i n= ），所以可以得出间接效用函 数为 21 2 1 2( , ) ( / 2 )( / 2 ) / (4 )v p y y p y p y p p= = 。类似地， 2 ' '1 2( ', ') ' / (4 )v p y y p p= 。  29    设 1 1/ 3p = ， 2 2 / 3p = ； ' '1 2 1/ 2p p= = 。  则 29( , ) 8 v p y y= ， 2( ', ') 'v p y y= 。如果 ' 31 2 2 y y < < ，则 ( ', ') ( , )v p y v p y< 。在这 种情况下，虽然有 'y y> ，但是欣欣对 x偏好于 'x 。    9. [中等][来自夏纪军教授 2009年春季上海财经大学高微期中考试题]  假设有两个人，一男一女，分别记为m和 f ，男女工资率分别为 mw 和 fw 。每个人都有 1 单位的劳动禀赋，每个人除了工资收入没有其他收入来源，各自的效用函数为：  ln ln lni i i iU C l nα= + +     ,i f m=      其中， iC 和 il 分别表示个人 i的私人消费和闲暇时间，n为孩子数量。 iα 表示 i对孩子的 偏好系数。      (1) 考虑一个单身问题，此时 0iα = ，写出个人 ,i f m= 的预算约束，并计算最优配置以 及相应的效用水平。（个人消费和闲暇总支出不超过个人禀赋价值，令消费品价格为 1， 仔细考虑闲暇的价格）      (2) 考虑一个家庭决策问题，假设两个人组成家庭，家庭通过选择 ( , , , , )f f m mC l C l n 来最 大化家庭福利水平：  [ln ln ln ] (1 )[ln ln ln ]f f f m m mC l n C l nθ α θ αΩ = + + + − + +      期中θ 表示妇女在家庭中的地位。     假设生育孩子一个需要耗费女性和男性的时间分别为 0f mτ τ τ= > = 。所以，生育n个孩 子降耗费女性是 nτ 单位时间。      a) 请写出家庭的预算约束（家庭消费和闲暇总支出不超过家庭禀赋价值，令消费品价  格为 1，注意生育孩子所耗费时间对禀赋价值的影响）；  b) 计算家庭的最优配置 ( , , , , )f f m mC l C l n ；  c) 分析在什么情况下，女性家庭地位的提高将会降低孩子数量。  解：(1)  { , } max ln ln i i i i iC l U C l= +               s.t.  (1 )i i i i i i iC w l C w l w= − ⇔ + =                 0.5 0.5ii i wl w ⇒ = = ， 0.5i iC w= ， ln 2 ln 2i iU w= − ， , .i f m=   (2) a)  f f f m m m f f mC w l C w l w n w wτ+ + + + = +   (*)    b)  { , , , , } max f f m mC l C l n Ω                                 s.t.  f f f m m m f f mC w l C w l w n w wτ+ + + + = +   ⇔   (1 )1 1 { , , , , } max f m f f m m f f m mC l C l n C l C l nθα θ αθ θ θ θ + −− −                                   s.t.  f f f m m m f f mC w l C w l w n w wτ+ + + + = +                由柯布‐道格拉斯（Cobb‐Douglas）形式的效用函数的性质知最优解为：                      (1 ) 2 (1 ) f m f m f m f w w n w θα θ α θα θ α τ + − += + + −                       ( ) 2 (1 ) f m f f m w w C θ θα θ α += + + −   30                        ( ) 1 2 (1 ) f m f f m f w w l w θ θα θ α += + + −                       (1 )( ) 2 (1 ) f m m f m w w C θ θα θ α − += + + −                       (1 )( ) 1 2 (1 ) f m m f m m w w l w θ θα θ α − += + + −               c)  ( )2 2( ) 0 2 (1 ) f m f m f m ff m w wdn d w α α α αθ τθα θ α − += < ⇒ < + + −       第三节 需求函数与显示偏好弱公理 1. [简单][改编自 MWG，习题 2.E.7] 在一个只有两个商品的经济中，消费者对第一种商品 的需求函数是 1 1 ( , ) wx p w p α= ，如果他对第二种商品的需求函数是 2 2 ( , ) wx p w p α= ，那 么他的需求函数满足瓦尔拉斯法则吗？在第二种商品的需求函数是什么样的情况下才 满足瓦尔拉斯法则？在这种情况下，需求函数是 ( , )p w 的零次齐次函数吗？ 解：注意到， 1 1 2 2( , ) ( , ) 2p x p w p x p w wα+ = 。如果 0.5α ≠ ，则此需求函数不满足瓦尔拉 斯法则。当 2 2 ( , ) (1 ) wx p w p α= − ，需求函数满足瓦尔拉斯法则。这样的需求函数是 ( , )p w 的零次齐次函数。 2. [简单] [改编自 MWG，命题 2.F.16] 考虑一个只有三个商品的经济。假设消费者对两种 商品的需求函数是 21 3 ( , ) px p w p = ， 12 3 ( , ) px p w p = − 。消费者的需求函数满足瓦尔拉斯 法则。 （1）求他对第三种商品的需求函数。 （2）此需求函数 ( , )x p w 是不是零次齐次的？ （3）此需求函数 ( , )x p w 是否满足显示偏好弱公理？ 解：（1）根据瓦尔拉斯法则，他对第三种商品的需求函数为 2 3 ( , ) wx p w p = 。 （2）注意到， 2 21 1 3 3 ( , ) ( , )p px p w x p w p p αα α α= = = ， 1 12 2 3 3 ( , ) ( , )p px p w x p w p p αα α α= − = − = 3 3 3 3 ( , ) ( , )w wx p w x p w p p αα α α= = = 。 因此，此需求函数 ( , )x p w 是零次齐次的。 （3）从一个例子可以看出此需求函数不满足显示偏好弱公理： (1, 2,1)p = ， 1w = ， (1,1,1)p′ = ， 2w′ = ， 那 么 ( , ) (2, 1,1)x p w = − ， 且 ( , ) (1, 1, 2)x p w′ ′ = − 。因此， ( , ) 2p x p w w′ ′= =i ，且 ( , ) 1p x p w w′ ′ = =i . 于是，此 需求函数违背了显示偏好弱公理。 31    3. [简单][来自 MWG，命题 2.E.1] 如果需求函数 ( , )x p w 是零次齐次的，证明：对于任意 的 价 格 p 和 财 富 w ， 均 有 1 ( , ) ( , ) 0 n i i j j j x p w x p wp w p w= ∂ ∂+ =∂ ∂∑ ， 即 ( , ) ( , ) 0p wD x p w p D x p w w+ = 。 证明：由于 ( , )x p y 是零次齐次，即 ( , ) ( , )x tp tw x p w= ，对于任意 t都成立。 对 t求偏导，得 1 ( , ) ( , ) 0 n i i j j j x tp tw x tp twp w p w= ∂ ∂+ =∂ ∂∑ 。 令 1t = ，得 1 ( , ) ( , ) 0 n i i j j j x p w x p wp w p w= ∂ ∂+ =∂ ∂∑ 。 写成矩阵形式即为 ( , ) ( , ) 0p wD x p w p D x p w w+ = 。 4. [中等][来自 MWG，习题 2.E.3]如果需求函数 ( , )x p w 是零次齐次的，并且满足瓦尔拉斯 法则，证明： ( , )ppD x p w p w= − 。 证明：由于需求函数 ( , )x p w 满足瓦尔拉斯法则，即 ( , )x p w p w= 。 对w求偏导，得到 ( , ) 1wpD x p w = 。 另一方面，由于需求函数 ( , )x p w 是零次齐次的，即 ( , ) ( , )x tp tw x p w= ，对于任意 t都 成立。 对 t求偏导，得 ( , ) ( , ) 0p wD x tp tw p D x tp tw w+ = 。 令 1t = ，得 ( , ) ( , ) 0p wD x p w p D x p w w+ = 。 对上式两边乘以 p，得到 ( , ) ( , ) 0p wpD x p w p pD x p w w+ = 。 注意已经证明 ( , ) 1wpD x p w = ，代入上式于是得到 ( , )ppD x p w p w= − 。 5. [中等][来自夏纪军老师习题]假设 X 是一个离散的有限的集合，检验以下两个选择函数 是否满足显示偏好若公理： （1）C(A)={x∈A| 在 X 中，满足 V(x)≥V(y)的 y 数量不低于|X|/2 }，如果该集合为空集， 那么 C(A)= A。 （2）C(A)={x∈A| 在 A 中，满足 V(x)≥V(y)的 y 数量不低于|A|/2 }。 解：（1）定义集合 CX＝｛x∈X|在 X中，满足 V(x)≥V(y)的 y 数量不低于|X|/2｝，则 C(A)＝CX∩ A。 对于 X的任何子集 B，给定 x，y ∈B，且 x∈C(B)，根据选择函数 C的定义，有 x∈CX∩ B， 则对于任意集合 D，满足 x，y ∈D，且 y∈C(D)，因为 x ∈CX，所以有 x ∈C(D)，即该 选择函数满足显示偏好弱公理。 （2）注意到，显示偏好弱公理要求对于 x，y ∈B，且 x ∈C(B)，则对于任意集合 D，满足 x，y ∈D，且 y∈C(D)，必须有 x ∈C(D)。但是，在这个选择函数中，选择的标准依赖 于该集合的大小。如果 D集合包含 x和 y 且足够大（其中的元素足够多），那么 x ∈C(D) 就不成立。所以，这个选择函数不满足显示偏好弱公理。 6. [困难][改编自 MWG，习题 2.E.5] 假设需求函数 ( , )x p w 是对 ( , )p w 零次齐次，并且对 财富w一次齐次，证明：如果对于任意 l k≠ ，有 ( , ) / 0l kx p w p∂ ∂ = ，那么消费者对两 种不同商品的需求与它们的价格之比成比例，即 ( , ) / ( , ) ( / )l k lk k lx p w x p w p pη= ， lkη 是与 p和w无关的常数。 证明：由于函数 ( , )x p w 对财富w是一次齐次的，即 ( , ) ( , )x p w x p wα α= ， 0α > 。因此， ( , ) ( ,1)l lx p w wx p= 。又由于任意 l k≠ ，有 ( , ) / 0l kx p w p∂ ∂ = ，即 ( ,1) / 0l kx p p∂ ∂ = 。 32    于是 ( ,1)lx p 仅仅是 lp 的函数。从而， ( , ) ( )l l lx p w wx p= 。又由于 ( , )x p w 对 ( , )p w 是 零次齐次的，因此 ( )l lx p 对 lp 是负一次齐次的，即 ( ) /l l k lx p α α= ， lα 与 p和w无关。 所以， ( , ) /l l lx p w w pα= 。于是， ( , ) / ( , ) ( / )l k lk k lx p w x p w p pη= ， /lk k lη α α= ， 是与 p和w无关的常数。 7.[困难][来自 MWG，习题 2.F.17]考虑一个有 L个商品的经济。一个消费者的需求函数为 1 ( , ) ( ) k L l l wx p w p = = ∑ ， 1, 2,...,k L= 。 （1）这个需求函数关于 ( , )p w 是零次齐次的吗？ （2）这个需求函数是否满足瓦尔拉斯法则？ （3）这个需求函数是否满足显示偏好弱公理？ 解：（1）注意到， 1 1 ( , ) ( , ) ( ) ( ) k kL L l l l l w wx p w x p w p p αα α α = = = = = ∑ ∑ ，因此这个需求函数关于 ( , )p w 是零次齐次的。 （2）注意到， 1 1 1 ( , ) ( ) L L l l l L l l l l wp x p w p w p= = = = =∑ ∑ ∑ ，所以，是否满足瓦尔拉斯法则。 （3）假设这个需求函数不满足显示偏好弱公理，则存在这样的一组财富和价格 ( , )p w 使 得 ( , ) ( , )x p w x p w′ ′ ≠ ，且 ( , )p x p w w′ ′≤ ， ( , )px p w w′ ′ ≤ 。 注意到，第一个式子隐含着 1 1 ( ) /( ) L L l l l l p w p w = = ′ ′≤∑ ∑ ，即 1 1 ( ) ( ) L L l l l l p w p w = = ′ ′≤∑ ∑ 。 第一个式子隐含着 1 1 ( ) /( ) L L l l l l p w p w = = ′ ′ ≤∑ ∑ ，即 1 1 ( ) ( ) L L l l l l p w p w = = ′ ′≤∑ ∑ 。 于是 1 1 ( ) ( ) L L l l l l p w p w = = ′ ′ =∑ ∑ ，即 ( , ) ( , )x p w x p w′ ′ = 。这与 ( , ) ( , )x p w x p w′ ′ ≠ 的假设矛 盾，于是，这个需求函数满足显示偏好弱公理。 8.[困难][来自夏老师习题] 如果你必须在集合 A 的元素中作出选择。如果下面两种不同的 选择程序不会影响你的选择结果，那么这称为“路径独立”性质。 （a）你直接中 A中作出一个选择； （b）先将 A分划为 A1和 A2，然后从 A1和 A2中分别作出一个选择，最后再从这两个选择中 作出一个选择。 （1）请用数学语言表示“路径独立”性质； （2）证明理性决策者满足这一性质； （3）证明：如果一个选择函数（单值函数）满足“路径独立”性质的，那么该选择函数 与理性一致； （4）假设一个（多值）选择函数满足“路径独立”，那么这一选择函数是否可以通过一 个偏好关系理性化？ 解：（1） 1 2 1 2( ) ( ( ) ( ))C A A C C A C A∪ = ∪ 。 （2）对于一个理性的决策者，他从 1A中选择一个元素 1a ，说明根据他的选择标准， 1a 是 1A 中最优的（之一），他从 2A 中选择元素 2a ，说明 2a 是 2A 中最优的（之一）。比较 两者，如果最终选择了 a1，说明 1a 不劣于 2a ，即 1a 也不劣于 2A 中的所有元素，于是 1a 33    也是 A中最优的元素（之一）。所以，对于理性的决策者，在直接从 A中选择时，也会 选择 1a 。 （3）即要证明有这个选择函数是可以理性化的。于是只要证明它满足显示偏好弱公理。 对于任何选择的子集A ，B，其中A⊂B。令 1A＝B， 2A ＝B/A。设 C(B)∈A。下证C(B)=C(A)。 设 1a ＝C( 1A )， 2a ＝C(B/A)。由于满足路径独立，则在 1a 与 2a 中会选择与 C(B)相同的 一个，即 1a 。从而 C(B)=C(A)。 （4）如果一个（多值）选择函数满足“路径独立”，那么它满足，对于可能的选择集合 A和 B，当 y可行时选择了 x，而当 x和 y 都可行且选择 y，就必然要选择 x。所以满足 WA，即可以理性化。具体而言，只需证明：对于任何选择的子集 A ，B，其中 A⊂B。 令 1A＝B， 2A ＝B/A，若 x,y ∈A, 且 ( )x C A∈ ， ( )y C B∈ ，则 ( )y C A∈ 。这个命题 是成立的，只需注意到，如果 ( )y C A∈ 不成立，则 ( )y C B∈ 也不成立（将 A 和 B/A 看做两个集合，按照“路径独立”即可得到此结论）。于是，选择函数满足显示偏好弱 公理。于是这一选择函数可以通过一个偏好关系理性化。