上财研究生高微题库——三、消费与生产函数

34    第三部分 消费与生产理论 第一节 效用最大化问题 1.[简单][来自 WMG 3.D.5]考虑一个常数替代弹性的效用函数 1/1 2( ) [ ]u x x xρ ρ ρ= + 。 (1) 求瓦尔拉斯需求函数和间接效用函数； (2) 证明：瓦尔拉斯需求函数是单值的，零次齐次的，并且满足瓦尔拉斯法则； (3) 证明：间接效用函数是零次齐次的，对财富严格递增，对价格严格递减的。 证明：(1) 注意到，效用函数的单调变换不改变偏好关系本身。于是，这个常数替代弹性 的效用函数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的偏好也可以用以下效用函数表示： � 1 2( ) ( ) ( )u x u x x x ρ ρ ρρ ρ= = + 以 �( )u i 为目标函数，效用最大化问题的解为： 1 1 1 2 1 2 ( , ) ( )( , )wx p w p p p p δ δ δ δ − −= + 其中 ( ,1) 1 ρδ ρ= ∈ −∞− . 将上式代入 ( )u i , 得到间接效用函数 1/ 1 2 ( , ) ( ) wv p w p pδ δ δ = + (2) 需求函数是单值的，这是显然的。 验证需求函数的零次齐次性： 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 ( , ) (( ) , ( ) ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) wx p w p p p p w p p p p x p w δ δ δ δ δ δ δ δ αα α α αα α − − − − = + = + = 验证瓦尔拉斯法则： 1 1 1 1 2 2 1 2 ( , ) ( ) ( ) ( ) wp x p w p p p p w p p δ δ δ δ − −= + =+i i i (3) 验证间接效用函数的零次齐次性： 1 1 11/ 1 2 1 2 1 2 ( , ) [( ) ( ) ] ( ) ( ) ( , ) v p w w w w p p p p p p v p w δ δ δ δ δ δ δ δδ δ δ α α α α α α α α = = =+ + + = i 验证单调性： 1 1 2 ( , ) 1 0 ( ) v p w w p pδ δ δ ∂ = >∂ + 1 1 1 1 2 ( , ) 0 ( ) l l wpv p w p p p δ δ δ δ − + ∂ = − <∂ + 。 2.[ 简 单 ][ 改 编自 WMG 习 题 3.D.5] 考 虑一个常数替代弹性的效用函数 1/ 1 2( ) [ ]u x x x ρ ρ ρ= + ，证明当 0ρ → 时， ( )u x 是 Cobb-Douglas 形式的，并且间接效用函 35    数是关于 ( , )p w 的拟凹函数。 解：当 0ρ → 时，效用函数是 Cobb-Douglas 形式的。为了证明这一点，注意到，效用函数 的单调变换不改变偏好关系本身。于是，做如下的单调变换： 1 2 1( ) ln ( ) ln( )u x u x x xρ ρρ= = +� 根据 L’ Hopital’s 法则, 1 1 2 2 1 20 0 1 2 lim ( ) lim( ln ln ) /( ) 1 (ln ln ) 2 u x x x x x x x x x ρ ρ ρ ρ ρ ρ→ →= + + = + � 因为 1 2exp(2 ( ))u x x x=� ， 于是这个偏好对应的效用函数是 Cobb-Douglas 形式的。 对于效用函数 1 2 1( ) (ln ln ) 2 u x x x= +� ，它的间接效用函数是： 1 2 1 1( , ) ln ln 2 ln ln 2 2 v p w w p p= − − − 。 为证明其拟凹性。注意到， 1ln p 和 2ln p 是凹函数， 而 1 2ln lnp p+ 也是凹函数。 对 于 满 足 ( , ) , ( , )v p w v v p w v′≤ ≤ 的 任 意 价 格 向 量 ,p p′ 我 要 证 明 ( (1 ) , ) , [0,1]v tp t p w v t′+ − ≤ ∈ 。即要证明： 1 1 2 2ln( (1 ) ) ln( (1 ) ) 2 ln 2 ln 2 2tp t p tp t p w v′ ′+ − + + − ≥ − − 我们已经有 1 2 1 2 ln ln 2ln 2ln 2 2 ln ln 2ln 2ln 2 2 p p w v p p w v + ≥ − − ′ ′+ ≥ − − 由于 ln p是凹函数，于是 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ln( (1 ) ) ln( (1 ) ) ln (1 ) ln ln (1 ) ln (ln ln ) (1 )(ln ln ) (2 ln 2 ln 2 2 ) (1 )(2 ln 2 ln 2 2 ) 2 ln 2 ln 2 2 tp t p tp t p t p t p t p t p t p p t p p t w v t w v w v ′ ′+ − + + − ′ ′≥ + − + + − ′ ′= + + − + ≥ − − + − − − = − − 因此 ( (1 ) , ) , [0,1]v tp t p w v t′+ − ≤ ∈ 。证毕。 3.[简单][来自 WMG 习题 3.D.6] 考虑一个效用函数 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( )u x x b x b x bα β γ= − − − 。 (1) 解释为什么可以不失一般性地假设 1α β γ+ + = ； (2) 求瓦尔拉斯需求函数和间接效用函数，并证明间接效用函数是零次齐次的，对财富严 格递增，对价格严格递减的，而且，间接效用函数是 ( , )p w 的拟凸函数。 解 ： (1) 定 义 � 1( ) 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x u x x b x b x bα β γα β γ ′ ′ ′+ += = − − − ， 其 中 ， , ,α β γα β γα β γ α β γ α β γ′ ′ ′= = =+ + + + + + 。 于是 1α β γ′ ′ ′+ + = 并且 �( )u i 代表了 与 ( )u i 一样的偏好关系。因此可以不失一般性地假设 1α β γ+ + = 。 (2) 利用另一个单调变换： 1 1 2 2 3 3ln ( ) ln( ) ln( ) ln( )u x x b x b x bα β γ= − + − + − 瓦尔拉斯需求函数为： 36    1 2 3 1 2 3 ( , ) ( , , ) ( )( , , )x p w b b b w p b p p p α β γ= + − i 其中 1 1 2 2 3 3p b p b p b p b= + +i . 将这个需求函数代入 ( )u i ，得到间接效用函数： 1 2 3 ( , ) ( )( ) ( ) ( )v p w w p b p p p α β γα β γ= − i 。 验证间接效用函数的齐次性： 1 2 3 1 ( ) 1 2 3 1 2 3 ( , ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( , ) v p w w p b p p p w p b p p p w p b v p w p p p α β γ α β γ α β γ α β γ α β γλ λ λ λ λ λ λ α β γλ α β γ − + + = − = − = − = i i i 验证间接效用函数的单调性： 1 2 3 1 1 2 2 3 3 ( , ) ( ) ( ) ( ) 0 ( , ) ( , ) ( ) 0 ( , ) ( , ) ( ) 0 ( , ) ( , ) ( ) 0 v p w w p p p v p w v p w p p v p w v p w p p v p w v p w p p α β γα β γ α β γ ∂ = >∂ ∂ = − <∂ ∂ = − <∂ ∂ = − <∂ i i i 为验证间接效用函数是 ( , )p w 的拟凸函数，即要证明，对于任意的 v R∈ 和 0w > ， 集合 3{ : ( , ) }p R v p w v∈ ≤ 是凸集。考虑 1 2 3ln ( , ) ln ln ln ln( ) ln ln lnv p w w p b p p pα α β β γ γ α β γ= + + + − − − −i 。 因为 ln( )i 函数是凹函数，因此 3 1 2 3{ : ln( ) ln ln ln }p R w p b p p p vα β γ∈ − − − − ≤i 对任何 v R∈ 都是凸集。 由于 ln ln lnα α β β γ γ+ + 不依赖 p ，于是集合 3{ : ln ( , ) }p R v p w v∈ ≤ 是凸集。所以 3{ : ( , ) }p R v p w v∈ ≤ 是凸集。证毕。 4.[中等][来自陈庆池老师的习题]消费者的效用函数 1 2( , )u x x 对是 1x 和 2x 单调非减的，而 且如果 x x′>> ，那么 ( ) ( )u x u x′> 。他的消费行为可以由一个需求函数 ( , )x p w 表示， 因此他的间接效用函数可以表示为 ( , ) ( ( , ))v p w u x p w= ，而且这个需求函数满足瓦尔拉 斯法则。由于这个消费者并不是理性的，所以他的需求函数并不是马歇尔需求函数。 证明：(1) 如果 1 2 1 2 ( , ) ( , )w wx p w p p p p = + + ，那么 ( , )v p w 是拟凸的； (2) 证明存在这样的需求函数 ( , )x p w ，虽然 ( , )x p w 对 ( , )p w 是单调非减的，而且满足 瓦尔拉斯法则，但是 ( , )v p w 不是拟凸的。 证明：(1) 要证明 ( , )v p w 是拟凸的，即要证明 ( (1 ) , (1 ) ) max[ ( , ), ( , )]v p p w w v p w v p wλ λ λ λ′ ′ ′ ′+ − + − ≤ 。 由于 1 2 1 2 ( , ) ( , )w wx p w p p p p = + + ，所以 ( , ) ( , )v p w v p w′ ′≥ ，当且仅当 37    1 2 1 2 w w p p p p ′≥+ ′ ′+ 。 所以， 1 21 2 1 2 1 2 (1 ) max( , ) ( ) (1 )( ) w w w w p pp p p p p p λ λ λ λ ′ ′+ − ≤ +′ ′ ′ ′+ + − + + 。证毕。 (2) 举一个例子： 1 2 1 2( , ) min( , )u x x x x= ， 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 ( ,0) ( , ) ( , ) 2 2 (0, ) y p p p y yx p w p p p p y p p p ⎧ <⎪⎪⎪= =⎨⎪⎪ <⎪⎩ 　　 　　 　 　　 。 5.[中等][来自陈庆池老师的习题]假设u是一个效用函数，而v是对应的间接效用函数。 证明：(1)对于所有的价格向量 0p >> 和可行的消费束 0x >> ，都有 ( , ) ( )v p px u x≥ ； (2)是否总是存在一个价格向量 p使得 ( , ) ( )v p px u x= ？如果是，请证明，如果不 是请举一个反例。 证明：(1)由于间接效用函数是效用最大化的值函数，因此有 ( , ) max ( )v p px u x′= 使得 px px′ ≤ 。由于 x是可行的，所以总有 ( , ) ( )v p px u x≥ 。 (2) 并不总是存在一个价格向量 p使得 ( , ) ( )v p px u x= 。 反例： 1( ) max( ,..., )nu x x x= ， (1,...,1)x = 。 这是因为，对于所有的 0p >> ，都有 1 1 ( ,0,...,0) 1 ( )i i p p u u x p p = > =∑ ∑ ，而 1 ( ,0,...,0)i p p ∑ 是可行的。 6.[中等][来自郑老师的习题]消费者的效用函数是 1/ 2 21( ) 2 10 xu x x= + 。求：(1)消费者的马 歇尔需求函数；(2)请画出无差异曲线和恩格尔曲线。 解：(1) 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 100(0, ) ( , ) 100 100( , ) py y p p x p y p py p p p ⎧ ≤⎪⎪= ⎨⎪ −⎪⎩ 　 。 (2) 略。 7. [中等][来自郑老师的习题] 证明：如果消费者具有拟线性偏好，那么需求函数是 y的一 次齐次函数。 证明：此题即要证明， ( , ) ( , )x p ty tx p y∼ 。用反证法。对于任意 0t > ，如果 ( , ) ( , )x p ty tx p y; ，根据偏好是位似的，有1 ( , ) ( , )x p ty x p y t ; （１）。注意到， 1 ( , )x p ty t 在 ( , )p y 的预算约束下是可行的，所以（１）就不成立，否则 ( , )x p y 就 不是在 ( , )p y 下效用最大化的结果。 同理，若 ( , ) ( , )tx p y x p ty; ，则 ( , )x p ty 不是在 ( , )p ty 下效用最大化的结果。 8.[困难][来自郑老师的习题]考虑一个公共品供给问题。一个两商品经济，私人品 x和公共 38    品 G，一个两个消费者 A 和 B。生产转换函数 ( , ) 0F x G = ，居民的效用函数为： ( , )A Au x G 和 ( , )B Bu x G ，满足 A Bx x x+ = 。 （1）如果存在一个中央 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 者，其目标函数是 ( , ) ( , )A BA Bu x G u x G+ ，请证明：中央计 划者资源最优配置满足 Smuelson 条件： A BGX GX GXMRS MRS MRT+ = 。 （2）资源配置的 Pareto 有效可以表示为：给定居民 B 效用水平达到 u0的前提下，最大 化 A的效用水平。 （a）请把上述问题表述为居民 A的最优化问题：目标函数、约束条件和控制变量； （b）请用图形表示 A 可行的资源配置集{((x,G): (x,G)是可行的)}；并在同一图形中表 示 A的可行消费集（哪些((xA,G)是可行的）；（提示：A的选择面临技术约束和 B的 福利约束） （c）证明：A的最优选择同样满足 Smuelson 条件。 解：（1）中央计划者的问题为，max ( , ) ( , )A BA Bu x G u x G+ 使得 ( , ) 0A BF x x G+ = 。 一 阶 条 件 为 ， ( , ) ( , ) 0Ax A xu x G F x Gλ+ = ， ( , ) ( , ) 0Bx B xu x G F x Gλ+ = ， ( , ) ( , ) ( , ) 0A BG A G B Gu x G u x G F x Gλ+ + = 。于是， ( , ) ( , )A Bx A x Bu x G u x G= 。可得， ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) A B G A G B G A B x A x B x u x G u x G F x G u x G u x G F x G + = − ，即 A BGX GX GXMRS MRS MRT+ = 。 （2）max ( , )A Au x G ，使得， 0( , )B Bu x G u= ， ( , ) 0A BF x x G+ = ， A Bx x x+ = 。 （3）上述问题的一阶条件是 ( , ) ( , )Ax A xu x G F x Gφ= ， ( , ) ( , )Bx B xu x G F x Gλ φ= ， ( , ) ( , ) ( , ) 0A BG A G B Gu x G u x G F x Gλ φ+ + = ，即 ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) A B G A G B G A B x A x B x u x G u x G F x G u x G u x G F x G + = − ， 即 A BGX GX GXMRS MRS MRT+ = 。 第一节 支出最小化问题 1. [简单][来 MWG 习题 3.E.6]考虑一个常数替代弹性的效用函数 1/1 2( ) [ ]u x x xρ ρ ρ= + 。 (1) 求支出函数； (2) 证明：支出函数是价格的一次齐次函数，对效用严格递增，且是价格的单调非减的凹 函数； 解：（1）定义 1 ρδ ρ= − ，那么支出函数为 1 1 2( , ) ( )e p u u p p δ δ δ= + 。 （2）注意到， 1 1 2( , ) (( ) ( ) ) ( , )e p u u p p e p u δ δ δα α α α= + = ，所以支出函数是价格的 一次齐次函数。 又因为， 1 1 2 1 11 1 2 ( , ) ( ) 0 ( , ) ( ) 0l l e p u p p u e p u up p p p δ δ δ δ δ δ δ −− ∂ = + >∂ ∂ = + >∂ 所以，支出函数对效用严格递增，且是价格的单调非减函数。 通过计算可知 2 ( , )pD e p u 是负半定的，因此 ( , )e p u 是价格的凹函数。 39    2. [简单][来 MWG 习题 3.E.6]考虑一个常数替代弹性的效用函数 1/1 2( ) [ ]u x x xρ ρ ρ= + 。 （1）求希克斯需求函数 ( , )h p u ； （2）证明：希克斯需求函数 ( , )h p u 是价格的零次齐次函数，并且对于任意的 ( , )x h p u∈ ， 有 ( )u x u= 。 解：（1） (1 ) 1 1 1 2 1 2( , ) ( ) ( , )h p u u p p p p δδ δ δ δδ− − −= + 。 （2） (1 ) 1 1 1 2 1 2( , ) (( ) ( ) ) (( ) , ( ) ) ( , ) h p u u p p p p h p u δδ δ δ δδα α α α α− − −= + = 因此希克斯需求函数 ( , )h p u 是价格的零次齐次函数。 对于任意的 ( , )x h p u∈ ，有 (1 ) 1( 1) ( 1)1 2 1 2( ( , )) ( ) ( )u h p u u p p p p δδ δ δ ρ δ ρ ρδ− − −= + + 注意到 1( 1)δ δ ρ− = − ，于是 ( ( , ))u h p u u= 。 3. [中等][来 MWG 习题 3.E.7] 如果偏好关系对第一种商品是拟线性的，证明商品 2，3，⋯， L的希克斯需求函数不依赖于效用u 。这种情况下，支出函数有怎样的形式？ 解：如果偏好关系对第一种商品是拟线性的，那么效用函数可以记为： 1 2( ) ( ,..., )Lu x x u x x= + � 。令 1 (1,0,...,0) Le R= ∈ 。我们证明对于任意 0p >> ，满足 1 1 1, , ( , ) Lp u R x R −+= ∈ ∈ −∞ ∞ × ，如果 ( , )x h p u= ，那么 1 ( , )x e h p uα α+ = + 。 首先注意 1( )u x e uα α+ ≥ + ，即 1x eα+ 满足价格和效用为 ( , )p u α+ 时的支出最小 化 问 题 的 约 束 。 令 Ly R+∈ 且 ( )u y u α≥ + 。 那 么 1( )u y e uα− ≥ 。 因 此 1( )p y e p xα− ≥i i 。所以 1( )p y p x eα≥ +i i 。于是 1 ( , )x e h p uα α+ = + 。 从而，对于每一个 {2,..., }, , , ( , ) ( , )l ll L u R u R h p u h p u′ ′∈ ∈ ∈ = 。即，商品 2,⋯,L 的 希克斯需求函数独立于效用水平。所以，如果我们定义 ( ) ( ,0)h p h p=� ，那么 1( , ) ( )h p u h p ue= +� 。 由于 1( , ) ( , )h p u h p u eα α+ = + ，我们有 ( , ) ( , )e p u e p uα α+ = + 。因此，如果定 义 ( ) ( , 0)e p e p=� ，那么 ( , ) ( )e p u e p u= +� 。 4. [中等][来陈庆池老师习题]令 : nv R R R++ + +× → ， : ne R R R++ + +× → ，且满足对于任意 np R++∈ 和u R+∈ 有： ( , ) mine p u y= ， . . ( , )s t v p y u≥ 。 证明：如果v是 y 的增函数，且对 p和 y 是拟凸的，那么e是 p的凹函数。 证明：如果v是 y 的增函数，对于任意 p 和u ，有 ( , ( , ))v p e p u u= 。又由于 v是拟凸的， 于是有：对于任意 [0,1]λ ∈ ，有 1 2 1 2( (1 ) , ( , ) (1 ) ( , ))v p p e p u e p u uλ λ λ λ+ − + − ≤ 。 因此，由于 1 2 1 2( (1 ) , ( (1 ) , ))v p p e p p u uλ λ λ λ+ − + − = ，且v是 y 的增函数，所以 1 2 1 2( , ) (1 ) ( , ) ( (1 ) , )e p u e p u e p p uλ λ λ λ+ − ≤ + − ，即e是 1 2 1 2( , ) ( ) p u x x x x c u= + = 的凹函数。 5．[中等][来自夏老师习题]假设消费者的偏好可以用以下效用函数表示 1 2 1 2( , ) ( )u x x x x c= + ，其中 0c > 是给定的参数 （1） 画出一组表示该偏好的无差异曲线； （2） 计算该消费者的马歇尔需求函数； 40    （3） 计算该消费者的间接效用函数和支出函数； 解：（1）令 1 2( )x x c u+ = ，那么 1x 就是 2x 的函数，做出其图像即可为无差异曲线。 （2） 21 12 y cpx p += ， 22 22 y cpx p −= 。 （3） 2 2 1 2 ( ) 4 y cpv p p += 。 可求得， 1 2 2 1 ( , ) ( , )h p u p ux p u c p p = − ，于是， 1 21 2 2 1 ( , ) ( )p u p ue p u p p c p p = + − 。 6. [中等][来自郑老师的习题]在一个有两个商品的经济中，消费者具有Leontief效用函为： 1 2 1 2( , ) min[ , ]u x x ax x= ，其中 a R++∈ 。求希克斯需求函数和支出函数。 解：希克斯需求函数为： ( , ) ( , )h ux p u u a = 。 支出函数为： 1 2( )( , ) p ap ue p u a += 。 7．[中等][来自夏老师的习题] 假设消费者的偏好可以用以下效用函数表示： 1 2 1 2( , ) ( )u x x x f x= + ，其中 0, 0f f′ ′′> < ，假设 UMP 和 EMP 都存在内点解。 （1）请证明希克斯需求函数满足 2 2 (p, ) 0h u p ∂ ≤∂ 。 （2）证明支出函数具有如下形式： ( , ) (p, ) (p)e p y m u n= + 。 证明：（1）消费者的支出最小化问题为： 1 1 2 2 1 2 min . . ( ) p x p x s t x f x u + + ≥ 。 根据一阶条件，得到 22 1 ( ) pf x p ′ = 。对 2p 求导，得到： 2 2 2 1 (p, ) 1 0 ( ) h u p f x p ∂ = ≤′′∂ 。 （2）由消费者的支出最小化问题一阶条件，得到 22 1 ( ) pf x p ′ = ，即第二中商品的希克斯 需求函数与效用水平无关，可记为 2 2 ( )x h p= 。将它带入目标函数，可知支出函数具 有这样的形式： ( , ) (p, ) (p)e p y m u n= + 。 第二节 对偶问题与 Slutskty 方程 1.[中等][来自郑老师的习题]证明：如果马歇尔需求函数 ( , )x p y 是 0次齐次可微函数，而 且满足瓦尔拉斯法则，那么对所有 0p >> , 0y > ，都有 ( , ) 0pS p y = 和 ( , ) 0TS p y p = 。 证明：由于 ( , )x p y 是零次齐次，即 ( , ) ( , )x p y x tp ty= 。 对 t求偏导，得 1 ( , ) ( , )0 n i i j j j x tp ty x tp typ y p y= ∂ ∂= +∂ ∂∑ 。 令 1t = ，得 1 ( , ) ( , )0 n i i j j j x p y x p yp y p y= ∂ ∂= +∂ ∂∑ 。 41    根据瓦尔拉斯法则， 1 ( , )j j n j y x p y p = = ∑ 。 于是， 1 ( , ) ( , )0 [ ( , ) ] n i i j j j j x p y x p yp x p y p y= ∂ ∂= +∂ ∂∑ ， 所以， ( , ) 0pS p y = 。 由 Slutsky Equation, ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) h i i i j j j x p u x p y x p y x p y p p y ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂ ，两边乘以 jp ， 得 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) h i i i j j j j j j x p u x p y x p yp p x p y p p p y ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂ ， 1, 2,...,j n= 。 将所有的等式相加，得 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) hn n n i i i j j j j j j jj j x p u x p y x p yp p x p y p p p y= = = ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂∑ ∑ ∑ 。 即 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) hn n n i i i j j j j j j jj j x p u x p y x p yp p x p y p p p y= = = ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂∑ ∑ ∑ 。 注意到， 1 ( , ) n j j j x p y p y = =∑ 。 则上式变为， 1 1 ( , ) ( , ) ( , )hn ni i i j j j jj j x p u x p y x p yp p y p p y= = ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂∑ ∑ 。 易证， 1 ( , ) ( , )n i i j j j x p y x p yp y p y= ∂ ∂+∂ ∂∑ ＝0. 于是， 1 ( , ) 0 hn i j j j x p u p p= ∂ =∂∑ 。即 ( , ) 0TS p y p = 。 2.[中等][来自夏老师的习题] 消费者的效用函数为 1 ( ) i n i i u x xα = = ∑ ，证明：希克斯需求函数 满足 1 ( , ) 0 hn i j j j x p u p p= ∂ =∂∑ 。 证明：消费者的问题为： 1 1 min . .ln ln ln n i i i n i i i p x s t u A xα = = = + ∑ ∑ 得到， 1 ( ) ( , ) j n j i j jh i i p u x p u p A αα α== ∏ ， 于是， 1 ( ) ( , ) j n j i kh j ji k k i p u x p u p p p A αα α α=∂ =∂ ∏ ，当 k i≠ ； 42    1 2 ( 1) ( ) ( , ) j n j i ih j ji k i p u x p u p p A αα α α=−∂ =∂ ∏ ，当 k i= 。 于是， 1 ( , ) 0 hn i j j j x p u p p= ∂ =∂∑ 。 3.[简单][来自 WMG 习题 3.G.1]证明：如果罗尔等式成立，那么 ( , )( , )l l e p uh p u p ∂= ∂ ，对每 个 1,...,l n= 都成立。 证明：由于 ( , ( , ))v p e p u u= 对任意的价格向量 p都成立，那么对 p求导，得到： ( , ( , )) ( ( , ( , )) / ) ( , ) 0p pv p e p u v p e p u w e p u∇ + ∂ ∂ ∇ = 。 根据罗尔等式， ( ( , ( , )) / )( ( , ) ( , ( , )) 0pv p e p u w e p u x p e p u∂ ∂ ∇ − = 。 由于 ( , ( , )) / 0v p e p u w∂ ∂ > ，且 ( , ) ( , ( , ))h p u x p e p u= 。 那么， ( , ) ( , )ph p u e p u= ∇ ，即 ( , )( , )l l e p uh p u p ∂= ∂ ，对每个 1,...,l n= 都成立。 4.[简单][来自郑老师习题]消费者的效用函数为： 1 2( )u x x x= ，证明：以下等式成立： ( , ) ( , )ph p u e p u= ∇ ， ( , ) 0pD h p u p = ， ( , ) ( , ) ( , ) ( , )Tp p wD h p u D x p w D x p w x p w= + 。 证明：由于消费者的效用函数为 1 2( )u x x x= ，因此， 1 2 1 2 ( , ) 1 2 w p D x p w p ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ， 2 1 2 1 ,0 2 ( , ) 0, 2 p w p D x p w w p ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ ， 1 1 2 2 1 2 ( , ) 2 1 2 p e p u u p p p ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥∇ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ， 1 2( , ) 2v p w w p p= 。 可以验证， ( , ) ( , )ph p u e p u= ∇ ， ( , ) 0pD h p u p = ， ( , ) ( , ) ( , ) ( , )Tp p wD h p u D x p w D x p w x p w= + 。 5.[中等][来自 F.M.Fisher]在一个有三个商品的经济中，消费者拥有财富w，他对第一， 第二种商品的需求函数为： 1 2 1 3 3 3 100 5 p p wx p p p β δ= − + + ； 1 22 3 3 3 p p wx p p p α β γ δ= + + + 。其中，这些希腊字母代 表非零的常数。 43    （1）怎样求第三种商品的需求函数？ （2）第一，第二中商品的需求函数是齐次的吗？ （3）如果这些需求函数是由效用最大化得到的，那么这些希腊字母满足怎样的要求？ （4）根据前面几问的答案，推断这个消费者的效用函数可能具有的形式。 解：（1）通过瓦尔拉斯法则，可以求得第三种商品的需求函数。 （2）容易证明，第一，第二中商品的需求函数是零次齐次的。 （3）注意到，这个消费者的 Slutskty 矩阵是对称的，因此， 1 2 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( ) (100 5 )p p p pw w p p p p p p p p p p β δ β δα β γ δ β δ+ + + + = + − + + 。 令 3 1p = ，那么， 2 21 2 1 2( ) ( 100 ) 5p p w p p wβ αδ βδ γδ δ β δ δ βδ δ+ + + + = + − + + 。 于是， 100α = ， 5β = − ， 5γ = − 。 又由于 Slutskty 矩阵的对角线上的元素是非正的，从而可得 0δ = 。 （4）固定第三种商品，在平面内画出第一，第二中商品的无差异曲线可以看出，对第一， 第二种商品的效用函数可以表示为 1 2min( , )x x 。又由于对第一，第二种商品没有财富 效应，于是可知，这个消费者的效用函数可能为： 1 2 3( ) min( , )u x x x x= + 。 6.[简单][来自 WMG 习题 3.G.8]如果间接效用函数满足 ( , ) ( , ) lnv p w v p wα α= + ，那么称 这个间接效用函数 ( , )v p w 是对数齐次的。证明：如果 ( , )v i i 是对数齐次的，那么 ( ,1) ( ,1)px p v p= −∇ 。 证明：将 ( , ) ( , ) lnv p w v p wα α= + 对α 微分，并令 1α = ，得到 ( , ) 1v p w w w ∂ =∂ 。因此， ( ,1) 1v p w ∂ =∂ 。根据罗尔等式，可得 ( ,1) ( ,1)px p v p= −∇ 。 7.[简单][来自夏老师的习题]如果间接效用函数具有形式 ( , ) ( ) ( )v p w a p b p w= + ，那么称 这种间接效用函数是 Gorman 形式的。证明：如果间接效用函数是 Gorman 形式的，那么 Engle 曲线是线性的。 证明：由于间接效用函数是 Gorman 形式的，即 ( , ) ( ) ( )v p w a p b p w= + 。 根据罗尔等式，可得 1( , ) ( ) ( ) ( ) ( )p p wx p w a p b p b p b p = − ∇ − ∇ 。 即 Engle 曲线是线性的。 8．[简单][来自 MWG 习题 3.G.14]下面的矩阵是一个理性的消费者的 Slutskty 矩阵。价格 分别为 1 1p = ， 2 2p = ， 3 6p = 。求矩阵中剩余的几个位置的值。 10 ? ? ? 4 ? 3 ? ? −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 解：用待定系数法。设这个矩阵为： 10 4 3 a b c d e f −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 。根据 Slutskty 矩阵是对称的，再由 于 ( , ) 0pS p w = ，可得这个矩阵为： 44    10 4 3 4 4 2 3 2 7 / 6 − −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ 。 9．[简单][来自 MWG 习题 3.G.15]考虑效用函数 1/2 1/21 2( ) 2 4u x x x= + 。 （1）计算马歇尔需求函数； （2）求希克斯需求函数； （3）求支出函数，并验证 ( , ) ( , )ph p u e p u= ∇ ； （4）求间接效用函数，并验证罗尔等式。 解：（1） 2 11 2 2 2 1 2 1 1 2 2 4( , , ) ( , ) 4 4 p w p wx p p w p p p p p p = + + ； （2） 2 22 11 2 1 2 1 2 ( , , ) (( ) , ( ) ) 2(4 ) 4 p u ph p p u p p p p = + + ； （3） 2 1 2 1 2 1 2 ( , , ) 4(4 ) p p ue p p u p p = + ，容易验证， 1 2 1 2( , , ) ( , , )pe p p u h p p u∇ = 。 （4） 1/21 2 1 2 4( , , ) 2( )w wv p p w p p = + ，根据罗尔等式，可得 1/21 2 2 1 1 2 1 1/21 2 2 2 1 2 1 1/21 2 1 2 1 2 ( , , ) 4( ) ( ) ( , , ) 4 4( ) ( ) ( , , ) 4 1 4( ) ( ) v p p w w w w p p p p v p p w w w w p p p p v p p w w w w p p p p − − − ∂ = + −∂ ∂ = + −∂ ∂ = + +∂ 。 第四节 利润最大化问题 1. [简单] [来自 MWG 习题 5.C.9]求下列生产函数的利润函数和供给函数： （1） 1 2( )f z z z= + ； （2） 1 2( ) min{ , }f z z z= ； （3） 1/1 2( ) ( )f z z zρ ρ ρ= + ， 1ρ ≤ 。 解：（1） 2 1 1 2 2 2 1 2 / 4 , ( ) / 4 , p w w w w p w w w π ⎧ ≤= ⎨ >⎩ 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 {( / 4 ,0, / 2 )} , ( ) {( , , / 2 ) : 0, 0, 1/ 4 } , ; {(0, / 4 ,1/ 2 )} , p w p w w w y w z z p w z z z z w w w p w w w w ⎧ − <⎪= − − ≥ ≥ + = =⎨⎪ − >⎩ （2） 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) / 4( ). ( ) ( / 4( ) , / 4( ) , / 2( ) w p w w y w p w w p w w p w w π = + = − + − + + （3）若 1ρ < ，则 45    /( 1) /( 1) ( 1) / 1 2 /( 1) /( 1) ( 1) / 1 2 [ ] ( ) 0 [ ] if w w p w if w w p ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρπ − − − − − − ⎧∞ + <= ⎨ + ≥⎩ /( 1) /( 1) ( 1)/ 1 2 /( 1) /( 1) /( 1) /( 1) 1/ 1 2 1 2 /( 1) /( 1) ( 1)/ 1 2 /( 1) /( 1) ( 1)/ 1 2 , [ ] { ( , , ( ) ) : 0} ( ) , [ ] {0} , [ ] w w p w w w w y w w w p w w p ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ φ α α − − − − − − − − − − − − − ⎧ + <⎪ − − + ≥⎪= ⎨ + =⎪⎪ + >⎩ 若 1ρ = ，则 1 2 1 2 0 { , } ( ) { , } if Min w w p w if Min w w p π ≥⎧= ⎨∞ <⎩ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 {0} , { , } , { , } ( ) { ( 1,0,1) : 0} , { (0, 1,1) : 0} , { ( , ,1) : 0, 0, 0, 1} , Min w w p Min w w p y w p w w w w p z z z z z z w w p φ α α α α α α ≥⎧⎪ <⎪⎪= − ≥ = <⎨⎪ − ≥ > =⎪ − − ≥ ≥ ≥ + = = =⎪⎩ 。 2.[简单][来自夏老师的习题]给定 CES 生产函数 ( ) /1n i iiy x β ρρα== ∑ ，满足 1 1n ii α= =∑ ， 0 1ρ≠ < ，请计算替代弹性 ijσ ，以及规模弹性 (x)µ 。 解： 1 1 11 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n i i i i ii i i ij n j j j i i j j i x x f x xMRTS f x x x x β ρ ρρ ρ β ρ ρρ β α α ρ αρ αβ α α ρρ − − −= − − = ⋅ ⋅ ⋅ = = = ⋅ ⋅ ⋅ ∑ ∑ ， 1 ln( ) ln( ) 1 ln 1ln[ ( ) ] j j i i ij i iij j j x x d d x x xd MRTS d x ρ σ α ρ α − = = = − ， (x)µ β= 。 3. [中等][来自白重恩老师的习题] 一个公司用三种要素来生产一种产品。生产函数为 1 2 3 1 2 3( , , ) min{ , }f x x x x x x= + 。 （1） 假定要素价格向量为（2，4，1）。求生产 1个单位产出时的条件要素需求向量？ （2） 成本函数是什么？ （3） 此技术的规模回报是递增、递减、或常数？ 解：（1）首先要求 2 3x x= ，因此生产 1 单位产出，如果用 2 3,x x ，则至少需要成本 5，如果 用 1x 投入，则至少需要 2，因此只用 1x 生产成本是最低的。所以要素需求向量为（1，0， 0）。 （2）设三个要素的价格分别为 1 2 3, ,w w w 情况 1： 如果 1 2 3w w w> + ， 1 2 3 2 3 2 3( , , ) min( , )q f x x x x x x x= = = = ， 2 3( ) ( )c q w w q= + 情况 2： 如果 1 2 3w w w< + ， 1 2 3 1( , , )q f x x x x= = ， 1( )c q w q= 46    情况 3： 如果 1 2 3w w w= + ， 1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 1 2 ( , , ) min( , ), , 0 , , q f x x x x x x x x x x q x x q = = + = ≤ ≤ + = 1 2 3( ) ( )c q w q w w q= = + （３）假设 Y为生产集，任意的 1 2 3( , , , )x x x y Y− − − ∈ ，如果 1 2 3min{ , }y x x x≤ + 。 任意 0α > , 因为 1 2 3 1 2 3min{ , } ( min{ , })y x x x x x xα α α α α≤ + = + ， 所以 1 2 3( , , , )x x x y Yα α α α− − − ∈ 。 所以该技术为规模报酬回报常数。 4. [简单][来自夏老师的习题]平均产出的弹性定义为 ( ) ( ) i i i i AP x x x AP x ∂ ∂ 。证明：平均产出的 弹性等于 ( ) 1i xµ − 。 证明：平均产出定义为 ( ) ( ) /iAP x f x x= 。于是， 2 ( ) ( ) ( )/ ( ) ( ) ( ) / i i i i i i i i i i i i i i AP x x AP x x f x x x AP x x x AP x x f x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 。 而注意到， 2 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) / ( ) i i i i i i i i i i f x x x f x x x x f x x f x µ= − = − 。 5.[简单] [来自 MWG 习题 5.C.11]证明 ( , ) 0lz w q q ∂ >∂ ，当且仅当在 q处的边际成本函数是 lw 的增函数。 证明：注意到，根据 Shepard 引理有， ( , ) ( , ) ( , )( )( ) ( )( )l l l l z w q c q w c q w q q w w q ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 。 于是， ( , ) 0lz w q q ∂ >∂ ，当且仅当在 q处的边际成本函数是 lw 的增函数。 6.[中等] 考虑一个利润最大化问题： 1/ 2 1/ 4 1 2 1 1 2 2max px x w x w xπ = − − 产品的供给为 1/2 1/41 2Q x x= 。 （1）求最优的要素投入 *1 1 1 2( , , )x x p w w= ， *2 2 1 2( , , )x x p w w= ； （2）如果利润函数为 *π ，验证 Hotelling 引理： * *1 2 1 2 ( , , ) ( , , )p w w Q p w w p π∂ =∂