数列中an与Sn的关系

课题浅谈数列中an与S的递推公式的应用对于任意一个数列，当定义数列的前n项和通常用Sn表示时，记作Sn=ai+82+-+an，此时通项Si,n=1,公式an=.Sn一Sn—i,n而对于不同的题目中的an与Sn的递推关系，在解题时又应该从哪些方向去灵活应用an=Sn—Sn—i(n>2)去解决不同类型的问题呢？我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的an与Sn相关的问题：归纳起来常见的角度有：角度一：直观运用已知的Sn，求an；角度二：客观运用an=S—Sn—i(nA2)，求与an,S有关的结论；角度三：an与Sn的延伸应用.角度一：直观运用已知的S，求an方法：已知Sn求an的三个 步骤 新产品开发流程的步骤课题研究的五个步骤成本核算步骤微型课题研究步骤数控铣床操作步骤 (此时Sn为关于n的代数式)：(1)先利用a1=Si求出a1；⑵用n—1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an=Sn—Sn—1(nA2)便可求出当n>2时an的表达式；(3)对n=1时的结果进行检验，看是否符合n>2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n=1与n>2两段来写.同时，在部分题目中需要深刻理解“数列的前n项和”的实际意义，对“和的式子”有本质的认识，这样才能更好的运用Sn求解.如：a1+2a2+3a3+…+nan=2n—1，其中a1+2a2+3a3+…+nan表示数列｛nan｝的前n项和.1.已知数列｛an｝的前n项和Sn=n2—2n+2，则数列｛an｝的通项公式为()A.an=2n—3B.an=2n+3,n=11,n=1C.an=D.an=2n—3,n>22n+3,n>2【解析】当n>2时，an=Sn—Sn—1=2n—3.当n=1时，a1=S=1，不满足上式.【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】CTOC\o"1-5"\h\z.(2015•一中月考)数列｛an｝满足：ai+3a2+5aa+…+(2n-1)•a“=(n-1)•3n+1+3(n€N*),则数列的通项公式an=.【解析】当n>2时，ai+3a2+5aa+-+(2n—3)•an-1=(n-2)•3n+3；则用已知等式减去上式得(2n—1)•an=(2n—1)•3n，得an=3n；当n=1时，ai=3，满足上式；故an=3n.【答案】an=3n(2015•天津一中月考)已知｛an｝的前n项和为Sn,且满足log2(Sn+1)=n+1,则an=.【解析】由已知得Sn+1=2n+1，则Sn=2n+1-1;当n>2时，an=Sn-Sn-1=2n+1-1-2n+1=2n;3,n=1当n=1时，a1=S1=3,不满足上式；故an=n.2n,n>23,n=1【答案】an=n2n,n>2(2015•树德期中)已知｛an｝是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5=45,a2+a6=14.求｛an｝的通项公式；b1b2bn右数列｛bn｝满足：—+22+…+尹=an+1(n€N*)，求｛bn｝的前n项和.【解】(1)设等差数列｛an｝的公差为d，贝yd>0,由a2+a6=14，可得a4=7由a3a5=45，得(7-d)(7+d)=45，解得d=2或d=-2(舍)an=a4+(n—4)d=7+2(n—4)，即an=2n—1.bnTOC\o"1-5"\h\z(2)令Cn=歹，贝UC1+C2+C3+…+Cn=an+1=2n①当n>2时，c1+C2+C3+…+cn-1=2(n—1)②由①一②得，Cn=2,当n=1时，C1=2，满足上式；bn丄则Cn=2(n€N*)，即亦=2,•bn=2n+1,故数列｛bn｝是首项为4，公比为2得等比数列，4(1-2n)n+2•数列｛bn｝的前n项和Sn==2n+2-4.—2角度二：客观运用an=Sn—Sn-1(n>2)，求与an,Sn有关的结论此类题目中，已知条件往往是一个关于an与Sn的等式，问题则是求解与an,Sn有关联的结论•那么我们需要通过对所求问题进行客观分析后，判定最后的结果中是保留an，还是Sn.那么，主要从两个方向利用an=Sn—Sn-1(n>2):方向一：若所求问题是与an相关的结论，那么用Sn-S-1=an(n>2)消去等式中所有S与Sn-1，保留项数an，在进行整理求解；1.(2015•月考)数列｛an｝的前n项和记为Sn,ai=1,an+1=2Sn+1(n>1,n€N*)，则数列的通项公式是.【解析】当n》2时，an=2Sn-1+1，两式相减得an+1—an=2(Sn—Sn-1)，即an+1—an=2an，得an+1=3an；当n=1时，a2=3,则a2=3a1，满足上式；故｛an｝是首项为1，公比为3得等比数列，二an=3n-1.【答案】an=3n-12.数列｛an｝的前n项和为Sn,若an+1=—4Sn+1,a1=1.求数列｛an｝的通项公式；设bn=nan，求数列｛bn｝的前n项和T.【解】(1)当n》2时，an=-4Sn-1+1，又an+1=-4Sn+1,an+1••an+1—an=—4an,即=—3(n》2),an又a2=-4a1+1=-3,a1=1,•数列｛an｝是首项为a1=1,公比为q=-3的等比数列,⑵由(1)可得bn=n•(-3)n-1,Tn=1•(-)0+2•(-)(1)求证：s是等差数列；⑵求an的表达式.【解】(1)证明：Tan=Si—Sn-1(n>2)，又an=—2Sn•Sn-1,•Sn-1—Sn=2Sn•Sn-1,Sn工0.+3•(-)1因此=2(n>2).SnSn-1+…+(n-1)•(-n—2+n•(-3)n—1,-3Ti=1•(-)1+2•(-)2+…+(n-2)•(-n—2+(n-1)•(-n—1+n(-3)n,•4T,=1+(-3)1+(-3)2+…+(-3)n—1-n•(-3)n,所以,Tn=1—(4n+1)(—3)n16方向二：若所求问题是与Sn相关的结论，那么用an=Sn-Sn-1(n>2)消去等式中所有项数an,保留Sn与Sn-1，在进行整理求解.11.已知数列｛an｝的前n项和为Sn且满足an+2Sn•Sn-1=0(n>2),a1=2.TOC\o"1-5"\h\z111故由等差数列的定义知S是以-^―=2为首项，2为公差的等差数列.miSiai111⑵由(1)知=w+(n—1)d=2+(n—1)x22n，即Sn=OnOi2n1当n>2时，an=—2Sn•Sn—1=一~-2n(n—1)1又•••a1=2不适合上式.12n(n—1).(2015•名校联盟调考)已知正项数列｛an｝的前n项和为Sn,且aS—2Snan+1=0.(1)求数列｛Sn｝的通项公式；111，一12(2)求证：&+&+•••+&>2(31+1—1).(提示：>)屮yjn+1+yjn【解】(1)a'n'=Sn—Sn—1(n》2)，由an—2Snan+1=0,得(Sn—S—1r—2Sn(Sn—S—1)+1=0,整理得Sn—Sn—1=1.当n=1时，a1—2S1a1+1=0,且a1>0,解得a1=1,故由等差数列的定义知｛§｝是以1为首项，1为公差的等差数列.•ISn=n,贝VSn=｛n.1122,厂⑵由(1)知3；=—n=2：n>—n+1+1n=2("+1—"，2(n+1—n)=2(n+1—1)•-1+1+-+£>2(2—1)+2(3—2)+•••+O1S2on111即S+S+…+3>2(S+1—1)【总结】此类题目往往伴随着等差、等比数列的判定，所以需要对数列的判定方法熟练掌握.角度三：an与Sn的延伸应用S,n=1,解此类题目中不仅需要深刻理解“数列的前n项和”的实际意义，还需要对an=on—s—1,n>2系式的形式结构很熟练的掌握，这样才能在题目中对已知等式灵活地变换.当然在解决问题的时候仍然需要从求谁的角度出发分析，确定等式的变换方向.方向一：关于双重前n项和此类题目中一般出现“数列｛an｝的前n项和为Sn,数列｛Sn｝的前n项和为W的条件，在解答时需要确定清楚求的是与an，Sn，m中谁相关的问题，确定已知等式的运用方向•但一般是求解最底层的an•1.(2015•质检)设数列｛an｝的前n现和为Sn,数列｛Sn｝的前n项和为Ti，满足Ti=2Sn-n2,n€N*⑴求ai的值；(2)求数列｛an｝的通项公式.【解】(1)当n=1时，Ti=2S—1，且Ti=Si=ai,解得ai=1,(2)当n》2时，Sn=Tn—Tn—1=2Sn—n2—[2Sn-1—(n—1)勺=2Sn—2Sn-1—2n+1Sn=2Sn—1+2n—1①则Sn+1=2Sn+2n+1②由②一①，得an+1=2an+2,•••an+1+2=2(an+2)，即an++2=2(n>2),an+2易求得，a1+2=3,a2+2=6，贝U+2=2,a1十2•数列｛an+2｝是首项为3，公比为2的等比数列,•an+2=3•2n—S贝yan=3•2n—1—2(n€N*)..(2015•期末联考)设数列｛an｝的前n项和为Sn，数列｛Sn｝的前n项和为Tn,且2Tn=4S—(n2+n),n€N*.(1)证明：数列｛an+1｝为等比数列；n+1⑵设bn=，证明：b1+b2+…+bnV3.an十1【解】(1)当n=1时，2Ti=4S1—2,且Ti=Si=a1,解得a1=1,当n=2时，2T2=2(a1+a1+a2)=4(a1+a2)—6,解得a2=3,当n>2时，2不—1=4Sn—1—[(n—1)2+(n—1)]•2Sn=2Tn—2Tn—1=4Sn—(n?+n)—4Sn—1+[(n—1)2+(n—1)]整理得Sn=2Sn-1+n①则Sn+1=2Sn+n+1②由②一①，得an+1=2an+1,--an+1+1=2(an+1),an+1+1an+1=2(n>2),显然a2+1a1+1•数列｛an+1｝是首项为2，公比为2的等比数列,nn+1⑵由(1)知，an+1=2n，贝ybn=一2^.234n+1则b1+b2+•••+bn=2+戸+^3…+一2丁，234n+1令Tn=+尹+衣…+，①则扣=234nn+1尹+^3+24…+尹+刁R，②由①一②,11111n+1得2Ti=1+22+歹+歹…+列—莎^丄,22(1—2n-1)n+13n+33=1+1—2n+1=2—"2^+1v21—一22n+1—2—2*+1则TnV3,方向二：已知等式在整理过程中需要因式分解此类问题大多数时候会伴随“各项均为正数的数列｛an｝”这样的条件，运用在因式分解后对因式进行符号的判定，对因式进行的取舍.1.(2015•—模)各项均为正数的数列｛an｝满足a2=4Sn-2an—1(n€N*),其中Sn为｛an｝的前n项和.(1)求a1,a2的值;⑵求数列｛an｝的通项公式.【解】(1)当n=1时，Ti=2S—1;又Ti=Si=a1,贝Ua1=2a1—1，解得a1=1；(2)当n》2时，Sn=Tn—Ti—1=(2Sn—n2)—[2Sn—1—(n—1)勺=2Sn—2Sn—1—2n+1,整理得Sn=2Sn—1+2n—1①•-Sn+1=2Sn+2n+1②由②—①，得an+1=2an+2•an+1+2=2(an+2)，即an+1+2盂冇=2(nA2)又T2=2S2—4；得a2=4a1+2当n=1时，a1+2=3，比+2=6，则斗=2，•••数列｛an+2｝是以3为首项，2为公比的等比数列.则an+2=3・2n—-所以an=3・2n—1—2.an(an+1)*2.已知数列｛an｝的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn=2，n€N.(1)求证：数列｛an｝是等差数列;⑵设bn=2S，Tn=b1+b2+…+bn,求£.【解】（1）由已知得，当n=1时，ai=Si=ai(ai+1)2(an>0),2Sn=an+an,当n>2时，由。22Si—1=an-1+an—1得2an=a.(2015•中学月考)设数列｛an｝的前n项和为Sn，已知a1=2,a2=8,Sn+1+4Sn-1=5Sn(n>2),+an—a2—1—an—1•即(an+an—1)(an—an—1—1)=0,an+an—1>0,「•an—an—1=1(n》2).所以数列｛an｝是以1为首项，1为公差的等差数列.⑵由(1)可得an=n,Sn=n(n+1)bn=2Sn1n(n+1)11111•-Tn=b1+b2+b3+…+bn=1—2+2—3+…+n—n+1=1—方向三：需对已知等式变形后，再求解1.(2015•五校联考)已知正项数列｛an｝中，其前n项和为Sn,且an=2Sn—1.求数列｛an｝的通项公式；1设bn=,Tn=b1+b2+b3+…+bn,求Tn.an•an+1【解】(1)由已知得，4Sn=(an+1)2.当n>2时，4Sn—1=(an—1+1)2,则4Sn—4Sn—1=(an+1)2—(an—1+1)2，整理得(an—1)2—(an—1+1)2=0,--(an—an—1—2)(an+an—1)=0又an>0,贝Uan—an—1=2,当n=1时，4S=(a1+1)2,得a1=1；故数列｛an｝是首项为1，公差为2的等差数列;•an=2n—1.1⑵由⑴可得叽=不石11X—2n—12n+11122n—112n+1b2b3丄bn11111121―3+3―5+…+27—7―27+1n=_1—=2n+12n+1T是数列｛log2an｝的前n项和.(1)求数列｛an｝的通项公式;⑵求Tn.【解】⑴当n》2时，Sn+1+4Sn-1=5Sn,Sn+1—Sn=4(Sn—Si—1),即卩an+1=4an,当n=1时，a2=4a1；故数列｛an｝是以2为首项，4为公比的等比数列.an=2•4n—1=22n—1(2)由(1)可知log2an=log222n—1=2n—1,•Tn=log2a1+log2a2+log2a3+・・・+log2an=1+3+5+…+2n—1n(1+2n—1)2=n.3.(2015•三县联考)已知数列｛an｝的各项均为正数，记A(n)=a1+a2+・・・+an,B(n)=a2+as+…+an+1,C(n)=a3+a4+…+an+2，其中n€N*.(1)若a1=1,a2=5，且对任意n€N*，三个数A(n),B(n),C(n)依次组成等差数列，求数列｛an｝的通项公式;⑵a1=1，对任意n€N*，三个数A(n),B(n),C(n)依次组成公比为q的等比数列，求数列｛an｝的前n项和An.【解】(1)•••任意n€N*,三个数A(n),B(n),C(n)依次组成等差数列,.B(n)—A(n)=C(n)—B(n),贝Van+1—a1=an+2—a2，即an+2—an+1=a2—a1=4,故数列｛an｝是首项为1，公差为4的等差数列;•an=1+(n—1)x4=4n—3.⑵若对任意n€N*，三个数A(n),B(n),C(n)依次组成公比为q的等比数列,•••B(n)=qA(n),C(n)=qB(n).则C(n)—B(n)=q[B(n)—A(n)],得an+2—a2=q(an+1—a1)，即卩an+2—qan+1=a2—qa1,当n=1时，由B(1)=qA(1)，可得a2=qa1；an+2a2则an+2—qan+1=a2—qa1=0,又an>0,则=—=q,an+1a1故数列｛an｝是以1为首项，q为公比的等比数列.n,q=1,--An=1—qn,q工1.1—q4.(2015•诊断考试)设数列｛an｝的前n项和为Sn,a1=10,an+1=9Sn+10.⑴求证：｛lgan｝是等差数列;(2)设T是数列)的前n项和，求Ti；(lgan)(lgan+1⑶求使Tn>|(m2—5m)对所有的n€N*恒成立的整数m的取值集合.【解】(1)证明：当n>2时，an=9Sn—1+10,an+1--an+1—an=9(Sn—Sn—1)，贝Van+1=10an,即卩=10,ana2当n=1时，a2=9a1+10=100,则一=10,a1故数列｛an｝是以10为首项，10为公比的等比数列.an=10n,贝Vlgan=n,—lgan+1—lgan=n+1—n=1,故数列｛lgan｝是首项为1，公差为1的等差数列.一311⑵解：由(1)知==3-—(lgan)(lgan+1)nn+1nn+11111113nn223nn+1n+1n+1_3n3(3)TTi==3—~■■—,''n+1n+13•••当n=1时，T>取最小值.依题意有2>4(m2-5m)，解得—1vmv6,故整数m的取值集合为｛0,1,2,3,4,5｝.1.(2015【解析】•外国语中学模拟)已知数列｛an｝的前n项和Sn=2n-3,则数列｛an｝的通项公式为当n》2时，an=Sn—Sn-1=2n—3—2n1+3=2n1.当n=1时，a1=S1=—1,不满足上式.【答案】—1,n=1an=n—12n—1,n>2a2an2.(2015•二中月考)已知数列｛an｝满足a1+2+…+1=a2n—1，求数列｛an｝的通项公式.a2an—12n—2【解】当n>2时，ai++…+=a2n—2—12n—1a由已知等式减去上式，得n=a2n—1—a2n—2+1=(a2—1)a2n—2n•••an=n(a2—1)a2n—2,当n=1时，a1=a2—1，满足上式；•an=n(a2—1)a2n—2..(2015•江淮十校联考)已知函数f(x)是定义在(0,+s)上的单调函数，且对任意的正数x,y都有f(x•y)=f(x)+f(y)，若数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足f(Sn+2)—f(an)=f(3)(n€N*)，则an为()A.2n—1B.nD.3n-1【解析】由f(x•y)=f(x)+f(y),f(Sn+2)—f(an)=f(3)，得S+2=3an,Sn-1+2=3an—1(n>2)，两3式相减得2an=3an—1;当n=1时，S+2=3a1=a1+2，则a1=1.所以数列｛an｝是首项为1,公比为~的C.2n—1等比数列.【答案】an=3n—14.(2015•二中期中)设数列｛an｝是等差数列，数列｛bn｝的前n项和Sn满足Sn=|(bn—1),且=3,a5=b2.(1)求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式；⑵设cn=an•bn,Ti为｛cn｝的前n项和，求Ti.3【解】(1)当n>2时，Sn-1=2(bn-1—1),则bn=Sn—Sn-1=|(bn—1)—3(bn-1—1)，整理得bn=3bn-1,3当n=1时，b1=y—1)，解得b1=3;故数列｛bn｝是以3为首项，3为公比的等比数列.•-bn=3n,设等差数列｛an｝的公差为d，由a2=b1=3,a5=b2=9,a1+d=3,则解得d=2,a1=1,•an=2n—1,a1+4d=3,•-an=2n—1,bn=3n.(2)由(1)知Cn=an•bn=(2n—1)3,•••Tn=3+3-3n214n—1n2—_4-...12+5-3•Tn='+b2+—+bn=1+尹£+•••+<1+2§—計5—7…+冇—齐<1+3=+…+(2n—1)3n，①3Tn=32+3-33+5-34+…+(2n—3)3n+(2n—1)-3n+1，②由①一②，得—2T=3+2(32+33+…+3n)—(2n—1)3n+1=3+2X3(1「学―1—(2n—1)-3n+1=(2—2n)・3n+1—6,•Tn=(n—1)3n+1+3.5.在数列｛an｝中，已知a1=1,an=2(an—1+an—2+—+a2+a1)(n>2,n€N)，则数列的通项公式【解析】由已知n>2时，an=2Sn—1①；当n》3时，an—1=2Sn—2②①—②整理得an=3(n>3),「an=an—11,2x3—2,n=1,【答案】6.（2015•桂城摸底）已知各项均为正数的数列｛an｝的前n项和为Sn，且a2+an=2Sn.1,an=—22X3n—,n>2.(1)求a1；⑵求数列｛an｝的通项公式;1⑶若bn=尹(n€N*),Ti=b1+b2+…+bn,5求证：Tn<3.提示:1-<2n112n—12n+1【解】(1)当n=1时，a1+a1=2S,且an>0,得a1=1；②;⑵当n>2时，an—1+an—1=2Sn—1①；且a2+an=2Sn由②一①，得(an+an—1)(an—an—1—1)=0,又an>0,贝Uan—an—1=1,故数列｛an｝是首项为1，公差为1的等差数列;11⑶证明：由⑵知，bn=U=一ann5当n=1时，b1=1<3，不等式成立;112n—12n+1，353，5•••Tn<-7.(2015•双基测试已知数列｛an｝的前n项和Sn=n2+2n+1(n€N)，贝Uan=因此an=【解析】当n>2时，an=Sn—Sn—i=2n+1，当n=1时，a1=Si=4丰2x1+1,4,n=1,2n+1,n>2.4,n=1【答案】2n+1,n>218.（2014•一模）已知数列｛an｝前n项和为Sn,首项为a1,且-,an,Sn成等差数列.（1）求数列｛an｝的通项公式;1⑵数列｛bn｝满足bn=(log2a2n+1)X(log2a2n+3)，求数列的前n项和.bn11【解】（1）2,an,Sn成等差数列，二2an=Sn+2,当n=1时,112a1=S1+，二a1=,1n—1—，两式相减得:an=S—S—1=2an—2an-1,an矿1=2,所以数列｛an｝是首项为2，公比为2的等比数列，即an=1X2n—1=2n—2(2),n=(log2a2n+1)X(log2a2n+3)=(log222n+12)X(log222n+3—2)=(2n—1)(2n+1),1111=X=一bn2n—12n+1212n—112n+1，1••擞列b^的前n项和11Tn=门+b!+门+…+鼠=211+…+—++2n—12n+112n+1n2n+1.9.（2014•四校联考已知数列｛an｝的前n项和为Sn,Sn=2an—n,则an=【解析】当n》2时，an=Sn—Sn-1=2an—n—2an-1+(n—1)，即an=2an—i+1，…an+1=2(an—1+1),•••数列｛an+1｝是首项为a1+1=2，公比为2的等比数列，•••an+1=2•2n—1=2n,二a“=2n-1.【答案】2n-1n+n*(2014•卷已知数列｛an｝的前n项和Sn=—,n€N.求数列｛an｝的通项公式；设bn=2an+(-1)nan,求数列｛bn｝的前2n项和.【解】(1)当n=1时，a1=S1=1;n2+nn—12+n—1当n>2时，an=Sn—Sn-1=—2~—2=n.又a1=1满足上式，故数列｛an｝的通项公式为an=n.(2)由(1)知，bn=2n+(-1)nn，记数列｛bn｝的前2n项和为T?n,则T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4——•+2n).记A=21+22+…+22n,2B=-1+2-3+4—…+2n，贝UA=一1-22n1-22?n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n.故数列｛bn｝的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.已知数列｛an｝是各项均为正数的等比数列，aa=4,｛an｝的前3项和为7.(1)求数列｛an｝的通项公式；111⑵若a1b1+a2b2+•••+anbn=(2n—3)2n+3，设数列｛bn｝的前n项和为Sn,求证：匸+&+・・・+&W2a1q2=4,a1=1,【解】(1)设数列｛an｝的公比为q，由已知得q>0，且•a1+a1q+4=7,q=2.•数列｛an｝的通项公式为an=2n-1.(2)【证明】当n=1时，a1b1=1，且a1=1,解得b1=1.当n>2时，anbn=(2n—3)2n+3-(2n—2-3)2n-1-3=(2n—1)-1.an=2n1,.••当n》2时，bn=2n—1.■/b1=1=2x1—满足bn=2n—1,•数列｛bn｝的通项公式为bn=2n-1(n€N*).•数列｛bn｝是首项为1，公差为2的等差数列.•-Sn=n2.•••当n=1时，S=1=2—1TOC\o"1-5"\h\zS1111111当n>2时—=pv=一—，Snn2n(n—1)n—1n111111111:s1+S；+…+S；仝2—1+1—2+…+百一n=2一nSn*12.设数列｛an｝的前n项和为Sn,a1=1,an=+2(n—1)(n€N).n⑴求证：数列｛an｝为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式;一„S2S3Sn2⑵是否存在自然数n，使得s+尹3-+•••+R-(n-1)=2013?若存在，求出n的值；若不存在,请说明理由.Sn【解】(1)由an=n+2(n-1)，得Sn=nan—2n(n-1)(n€N*).当n时，an=Sn—Sn-1=nan—(n—1)an-1—4(n—1)，即an—an—1=4,故数列｛an｝是以1为首项，以4为公差的等差数列.是，an=4n—3,Sn=a1+ann2=2n2-n(n€N).*⑵由Sn=nan-2n(n-1)，得厂2n一1(n€N),又s+'+=+•••+——(n—1)2=1+3+5+7+-+(2n—1)—(n—1)2=n2—(n—1)2=2n—1.23n令2n—1=2013，得n=1007，即存在满足条件的自然数n=1007.=方花•技15========================1„1*1.已知Sn为正项数列｛an｝的前n项和，且满足Sn=戸2+^nE€N).求a1,a2,a3,a4的值；求数列｛an｝的通项公式.121121【解】(1)由Sn=尹2+尹n,可得a1=尹2+尹1，解得a1=1；12a2+a2,2解得a2=2；同理,a3=3,a4=4.an+1,c(n)—3)Sn—3(n2(3)证明：对一切正整数11当n时，Sn—1=2a2-1+2*n—1，②①—②得(an—an—1—1)(an+an—1)=0.由于an+an—10,所以an—an—1=1,又由(1)知a1=1,故数列｛an｝是首项为1，公差为1的等差数列，故an=n.2.在数列｛an｝中，a1=—5,a2=—2，记A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+…+=a3+a4+・・・+an+2(n€N*),若对于任意n€N*,A(n),B(n),C(n)成等差数列.求数列｛an｝的通项公式；求数列｛|an|｝的前n项和.【解】(1)根据题意A(n),B(n),C(n)成等差数列，二A(n)+C(n)=2B(n),整理得an+2—an+1=a2—a1=—2+5=3,•••数列｛an｝是首项为一5，公差为3的等差数列，二an=—5+3(n—1)=3n—8.—3n+8,nw2,(2)|an|=记数列｛|an|｝的前n项和为Sn.3n—8,n>3,TOC\o"1-5"\h\zn5+8—3n3n213当nw2时，Sn=2=—"T+"2“；2n—21+3n—83n13当n》3时，Sn=7+2=T—"2"+14，213—尹+—n,nw2,综上，Sn=213[n—尹+14,n>3.(2014•卷设各项均为正数的数列｛an｝的前n项和为Sn，且Sn满足Sn—(n2+n+n)=0,n€N*.求a1的值；求数列｛an｝的通项公式；1111n有++…+<—'有a1a1+1+a2a2+1++anan+13•【解】(1)由题意知，Sn—(n+n—3)Sn—3(n+n)=0,n€N.令n=1,有S1—(12+1—3)S—3x(2+1)=0,可得S2+S—6=0,解得Si=—3或2，即a1=—3或2,又an为正数，所以a1=2.(2)由Sn—(n+n—3)Sn—3(n+n)=0,n€N可得，(Sn+3)(Sn—n2—n)=0，贝USn=n2+n或S=—3,又数列｛an｝的各项均为正数，Sn=n2+n,Sn—i=(n—1)2+(n—1),当n时，an=Sn—Sn—i=n+n—[(n—1)+(n—1)]=2n.又ai=2=2x1，所以an=2n.1⑶证明：当n=1时，L+12X311=6v3成立当n》2时，ar^a1a1+12n2n+1V2n—12n+122n—1anan+11111v6+23一52n12n+1，112n+1111111——+——一v—+——6232n+1663'所以对一切正整数n,有++'.'+a1a1+1a2a2+1anan+1114当n>2时，二<=2d=21Sn=2an—2，Sn—1=2a