PAGE/NUMPAGES[典例精讲]——答案题型一：二次函数的解析式的求法例1．已知二次函数满足且的最大值是8,求此二次函数的解析式.解法一：利用二次函数的一般式设由题意得：解得∴所求二次函数为解法二：设∴抛物线对称轴为又根据题意函数有最大值为解之得解法三：利用双根式由已知的两根为故可设,又函数有最大值即例2．设二次函数满足,且的两实数根平方和为10,图象过点<0,3>,求的解析式.解设由知,该函数图象关于直线对称,∴即①又∵图象过点,∴c=3.②∴③由①②③得故题型二：二次函数最值或值域问题例3．已知函数在区间[0,1]上的最大值是2,##数a的值.解：,对称轴为〔1〕当,即时,,由得,与矛盾,不合要求〔2〕当,即时,在[0,1]上单调递减,有,〔3〕当,即时,在[0,1]上单调递增,有,综上,得例4.已知函数在区间上的最大值为1,##数的值.解：因为是求闭区间上的最值,则最大值可能产生在抛物线的端点或顶点上.即函数的最大值只能在或或处取得〔1〕令,解得,此时故的最大值不可能在处取得.〔2〕令,解得,此时〔对称轴靠近,开口向上〕故当时取得最大值1〔3〕令,解得,要使在处取得最大值,必需且,所以综上,所求的值为例5.已知函数,求函数在区间上的最大值解：〔1〕当即时,在上单调递增,此时〔2〕当,即时,〔3〕当时,在上单调递减.此时综上可知例6.函数在闭区间上的最小值为〔1〕试写出的函数
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达式〔2〕求的最小值解：〔1〕当,即时,在上是减函数当,即时,当时,在上是增函数从而〔2〕当时,当时,当时,综上,的最小值为-8题型三：已知二次函数的解析式,求其单调区间；已知二次函数的某一单调区间,求参数的范围,这两类是常见题型,关键是利用二次函数的图像.例7．已知二次函数在上递减,则的取值范围是解：对称轴为要想在上递减,必需所以题型四：二次函数的综合应用例8．已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点,且它在y轴上的截距为4,又对任意的都有.〔1〕求二次函数的表达式；〔2〕若二次函数的图象都在直线的下方,求c的取值范围.解：〔1〕解法一：的对称轴为又为二次函数,可设又当时,得令,得解法二：令二次函数的图像与轴交于且设二次函数又所以〔2〕由条件知在上恒成立,即对恒成立例9.已知二次函数
满足条件：,且方程有等根.〔1〕求的解析式；〔2〕设,试求在区间[-1,1]上的最小值；〔3〕是否存在实数m、n,使的定义域和值域分别是［m,n］和［3m,3n］?如果存在,求出m、n的值,若不存在,请说明理由.解：〔1〕∴的对称轴又∵有等根有等根.〔2〕其对称轴为,函数图象是开口向下的抛物线,故求最小值只需讨论区间两个端点-1与1离对称轴的距离.当,即时,为最小值；当,即时,为最小值.〔3〕假设存在这样的m、n满足条件,即故二次函数在区间［m,n］上是增函数,从而有∵m若函数的值域为,求的值<2>若函数值为非负数,求函数的值域解：〔1〕函数的值域为〔2〕对一切函数值均为非负二次函数在上单调递减即的值域为[练习答案]5、已知二次函数在区间内是单调函数,则实数a的取值范围是解:本题考查二次函数图象与其性质,由于二次函数的开口向上,对称轴为,若使其在区间内是单调函数,则需所给区间在对称轴的同一侧,即6.已知函数在闭区间上最大值为3,最小值为2,则m的取值范围为解:∵,其对称轴为当时,,故,又∵,∴,∴.综上,.7.<2008·##文,12〕已知函数,,若对于任一实数,与的值至少有一个为正数,则实数的取值范围是解：若时,,,∵,∴符合题意.若时,在时,；在时,,∴需要在上恒成立.∴符合题意.若时,在时,;在时,∴需使在上恒成立,综上可知,.8、若函数,的图象关于对称,则.解:函数的图象的对称轴为9.设二次函数的定义域为,,则的值域中有个整数.解:∵函数的对称轴为∴函数在定义域,上单调递增,∴,10.已知函数.〔1〕若函数的最小值,且c=1,〔2〕若,且在区间<0,1］恒成立,试求b的取值范围.解:〔1〕由已知,且解得∴.〔2〕,原命题等价于在<0,1］上恒成立,
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