数学危机

PAGEPAGE11第七讲数学危机在科学史上，对于特别重大的知识更新和观念突破，一般称为科学革命（ScienceRevolution）。从“革命”的字面意义我们也不难看出，这种知识的变革具有颠覆性，是在否定原有知识体系的基础上重新建立知识的大厦。例如哥白尼革命以日心说挑战传统的地心说，取缔了人们赋予地球的神圣地位；牛顿革命建立了天体力学体系，统一了天上和人间的机械力学现象；达尔文革命通过自然选择和生存斗争学说，取消了人类与其它生物的本质区别；爱因斯坦建立的狭义和广义相对性原理，否定了长期以来关于绝对时间和绝对空间的基本假定。在这一点上，数学和自然科学不同。从知识体系上来讲，数学理论总是在原有的基础上进行扩充，新增的部分与原来的体系总是融为一体。或者说，数学理论的重大发展，一般都不是对原有理论的根本否定，而是对原有理论体系的某种推广。所以，一般来说，并没有“数学革命”这种说法。但没有“数学革命”，并不等于数学在其发展过程中就是一帆风顺的。因为数学总是在一定的基础上发展起来的。随着人们处理问题的深度和广度发生变化，原来的基础假定往往会遇到根本性的困难。这时候就产生了所谓的“数学危机”。另一方面，数学危机和科学革命也有相同之处，二者都体现了人类直觉与理性的消长。我们知道，直觉是一种富有创造性的思维方式，人类一直相信自己的直觉；但是历史发展表明，直觉经常是和理性相对立的。科学革命的进程和数学危机的解决过程，大体上都是理性战胜直觉的一个过程。科学中的理性主义正是通过对直觉的怀疑与否定才得以确立其至高无上的地位。从这一点上来看，数学危机和科学革命又是一致的。现在公认的数学危机共有3次，即无理数的发现、微积分的基础问题和集合论悖论。本讲只介绍前两次数学危机。1.第一次数学危机1.1无理数的发现我们已经知道，古希腊的毕达哥拉斯（Pythagoras,ca.560-ca.480.BC）学派从毕达哥拉斯开始，一直延续到公元前四世纪中叶。这个学派是一种宗教式的秘密结社，致力于哲学和数学的研究。相传，“哲学”和“数学”这两个词就是它创造的，原意分别指“智力爱好”和“可学到的知识”。在这个学派兴盛的时期，学派内部的各种发现往往秘而不宣，并且大家习惯于把各这些发现都归结在领袖毕达哥拉斯的名下。毕达哥拉斯学派对数学最重要的贡献之一是证明了毕达哥拉斯定理（在中国被称为勾股定理），即：直角三角形斜边长度的平方等于二直角边长度的平方和。据说当时的人们为了庆祝发现这个定理，曾经宰了100头牛来拜祭天神。这一定理我们在小学的时候就已经知道，因此大家可能觉得当年毕达哥拉斯学派没有必要那么大动干戈，但这也可能是因为大家对于这个定理的重要性并不是特别关注。之所以说它特别重要，是因为在平面几何学中，直角三角形的地位很类似于素数在数系中的地位。我们知道，复数系、实数系、有理数系和整数系都可以归结为自然数系，而根据素因子唯一分解定理，自然数又可以最终归结为素数。可见素数在“数”中的核心地位。同理，任意规则的平面多边形都可以被分割成多个三角形，而每个三角形又可以被分割成两个直角三角形。而任意不规则的多边形或者说曲多边形，我们总是可以通过把它看作边数无限多的规则多边形来处理。从这一点可以看出，关于直角三角形的毕达哥拉斯定理是多么重要。所附的这张图片载于欧几里得（Euclid,ca.325-ca.270.BC）的巨著《几何原本》，相传毕达哥拉斯学派曾经使用过这个图形来证明毕达哥拉斯定理。毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”（Everythingisnumber），这个学派的一位晚期成员菲洛劳斯（Philolaus,ca.390.BC）曾经说过：“人们所知道的一切事物都包含数；因此，没有数就既不可能表达、也不可能理解任何事物。”在当时，数学分为算术、音乐、几何和天文四个部分，而毕达哥拉斯学派认为它们都可以归结为数的理论（他们所指的数是整数），因此，他们认为，一切事物都可以归结为整数和整数之比。不难看出，毕达哥拉斯学派所承认的数仅限于有理数。同时，毕达哥拉斯学派认为点是位置的单位元素，这样，在几何学上的一个自然结论就是，任意两条线段都是可公度的，也就是说，对任意给定的两条线段，都可以找到第三条线段，以它为单位线段能将给定的那两条线段划分为整数份。但是，当毕达哥拉斯学派研究等腰直角三角形的时候，矛盾出现了。如图，在等腰直角三角形中，，，。是一个实实在在的线段长，但它能不能表示成整数的比呢？若它可表示为两个整数的比，不妨设(，是互素的整数)，则有，。即，为偶数。不妨设，于是，即。于是，也是偶数。所以，，均为偶数，这与它们互素的最初假设矛盾。也就是说，不能表示成两个整数的比，或者说是不可公度的。按照今天的说法，毕达哥拉斯学派发现是无理数。相传毕达哥拉斯学派的一个成员希帕苏斯（Hippasus,ca.470.BC）在该学派的一次海上泛舟集会中首先做出了这一发现。当他把自己的发现公之于众的时候，惊恐不已的其他成员把他抛进了大海。由于我们所接受教育的方式，今天的我们已经很难体会到当时那些人的恐惧感。要知道，毕达哥拉斯学派把抽象的数作为万物的本原，他们研究数的目的并不是为了应用，而是试图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的永恒真理。“万物皆数”是整个毕达哥拉斯学派的一种信念，是这个学派的宗教、哲学和数学的基础。而不可公度的无理数的发现彻底粉碎了他们的基本信念，使整个学派失去了赖以存在的基础。从另一个角度来讲，毕达哥拉斯学派的观点类似于原子论（这里的原子和今天我们所熟知的原子不同，在那个时代，原子是构成实体的基本的不可分割的元素）。对于毕达哥拉斯学派来说，整数是一切的基础，这样，它就构成了数的“原子”。也就是说，他们认为任何事物都可以由整数表示出来。但无理数的发现使整数的原子地位受到了质疑，因为上述的无理数显然不能表示为整数的比。如果数的原子都不存在了，那么整个原子论也就失去了根基，这也许正是毕达哥拉斯学派乃至整个希腊数学所最为恐惧的事实。继之后，人们又陆续发现了许多其它的无理数。这些无理数被毕达哥拉斯学派隐瞒了将近一百年，最后终于被菲洛劳斯等人公布于世。1.2芝诺悖论对毕达哥拉斯学派的哲学和数学的另一个致命打击来自古希腊伊利亚（Elea）学派的代表人物芝诺（Zeno,ca.495-430.BC）。芝诺提出过四个著名的悖论，其中的一个悖论常被称为“阿基里斯追龟说”。阿基里斯（Achilles）是希腊神话中的神行太保，跑得非常快，但是芝诺论证说阿基里斯如果和乌龟赛跑，它将永远也追不上乌龟。他论证到，如果设乌龟先于阿基里斯一段距离，那么当阿基里斯到达乌龟的起跑点时，乌龟也爬过了一段距离；当阿基里斯又追完这段距离时，乌龟又向前跑了一段；如此以至无穷。虽然这一连串的距离越来越小，但它们的数目是无穷的，所以阿基里斯永远也追不上乌龟。容易看出，在这里，芝诺并没有采用毕达哥拉斯学派的“点是位置的单位元素”的观点，而是认为一条线段是可以无限分割的。芝诺采取这种立场是有他的道理的。因为他在另一个常被称为“飞箭静止说”的悖论中否定了空间是由点（单位元素）所组成的观点。芝诺认为，飞行的箭在运动的任何瞬间（即单位元素）必定处于一个确定的位置，这个位置和箭的大小是相同的，箭既不能落后于它，也不会超过它；所以，在任何这样的瞬间里，箭是静止不动的。这样，芝诺在空间是点的总和的假设下证明了运动是不可能的。而这显然不符合常识，所以毕达哥拉斯学派的基本假设即“点是位置的单位元素”至少在几何学和运动学上是不成立的。后来，伽利略（GalileoGalilei，1564-1642）在芝诺悖论的基础上提出了这样一种模型：如图，，过作一直线和、分别交于、，容易看出，和是一一对应的，这样，如果承认直线（或线段）是由点组成的，将有。这显然是荒谬的。我们知道，毕达哥拉斯学派坚持“点是位置的单位元素”是和他们“万物皆数”的信念一脉相承的。否定了“点是位置的单位元素”，也就间接地否定了“万物皆数”。同时，芝诺悖论也说明了这样一个事实，即涉及无穷的问题往往超出了人们的直观；人们对它的感觉经常含糊不清，也很难用一个适当的概念来说明它。只有在数学中正确地引入无限的观点以后，这一困难才能够被完全解决。作为一个直接结果，希腊数学中从此排除了无限的观念。1.3数与量的分离第一次数学危机的消解依赖于比例理论的建立。这一工作是由欧多克斯（Eudoxus，408-347.BC）完成的，其主要内容被欧几里得收录在其著名的《几何原本》的第5卷。欧多克斯是柏拉图（Plato,427-347.BC）的学生，他对数学的另一个重大贡献是发展并完善了穷竭法（简单地说，是一种通过无限增加圆内接或外切正多边形的边数来求圆的面积的方法），使这一方法获得了精确的严格性。我们已经知道，毕达哥拉斯学派证明了和1不可公度，或者说发现了是无理数，但他们并没有指出无理数到底是什么。这个问题成为当时希腊数学关注的焦点。柏拉图在其《规律》一书中就曾呼吁人们重视关于不可公度的无理数的知识。欧多克斯区分了量和数，认为量是线段、角、面积、体积、时间等等这样一些连续变动的东西；而数则是离散的，是从一个跳到一个。对于数和量的区分，也体现在欧多克斯同一时代的亚里士多德（Aristotle,384-322.BC）的《范畴篇》中。欧多克斯显然深知无理数的困难，因此他把所有的量从几何角度而不是从算术角度加以考虑，通过建立起比例理论而把可处理的问题由可公度量推广到了不可公度量。他的比例的定义如下：设、；、是两对同类的几何量。如果对于任意的自然数、，满足关系：若，则；若，则；若，则，则称。可以看出，在这个定义中并没有必要区分可公度量和不可公度量，当和1都被看作是同一类的量（比如长度，面积等等）时，它们之间在比例的运算中就没有什么区别了。第一次数学危机促使人们对于数学的严密性给予了更多的关注，即把数学建立在什么样的基础上才是牢靠的。对此，欧几里得曾经说过“必须承认，直觉是不可靠的。”因为从直觉上来看，有理数（或者说整数的比）在数轴上是稠密的，但是在它们之间居然还存在着很多空隙，这显然有悖于人们的直觉。希腊数学家开始借助于严格的证明来保证数学的正确性和严密性。他们从经过精心选择的少数几条明显的公理和公设（公理对所有学科都成立，公设仅针对数学学科，现在的数学家对此已经不做区分了）出发，借助于逻辑方法，把数学上各种零碎的、片断的成果组织成一个比较严密的知识体系，揭示出它们之间的深层关系，并进而得到许多新的结果，这就是演绎数学。欧几里得是希腊演绎数学的集大成者，其巨著《几何原本》是用公理化方法建立起演绎体系的最早典范，在历史上成为影响仅次于《圣经》的一部数学名著。可以这样说，正是第一次数学危机导致了演绎数学的兴起。应该注意的是，关于连续量的比例理论的建立并没有最终消除无理数所造成的数学危机。或者可以这样说，比例理论的建立只是掩盖了这次危机。“连续”这个基本概念仍然依赖于直觉，这一点可能会带来新的困难，对此，我们将在第二次数学危机中仔细论述。另外，虽然无理数被发现了，但是它并没有被吸收到演绎数学的体系中来。而且，更重要的是，很多数学家并没有停止对这种当时并没有逻辑基础的“数”的研究和使用。像阿基米德（Achimedes,287-212.BC），托勒密（Ptolemy,ca.100-170.AD），丢番图（Diuphantus，ca.250.AD）等伟大的数学家并不排斥使用无理数。而东方的印度和阿拉伯的数学家则更进了一步，他们为无理数建立了运算法则，而丝毫不去关心其逻辑上的困难。但是，不管怎样，比例理论被采纳之后，数学的基本问题由“什么是数”转变成了“什么是量”，毕达哥拉斯学派“万物皆数”的信念也就自然地转化为“万物皆量”。巴罗（IssacBarrow,1630-1677）曾经这样评价过无理数：“无理数不过是一些记号，脱离了几何量这个载体，便不复存在了。”对此，帕斯卡（B.Pascal,1623-1662）和牛顿（IssacNewton,1643-1727）都持相同的观点。可以看出，他们都赋予了连续的几何量以更基本的地位。2.第二次数学危机2.1危机的产生和发展在牛顿和莱布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz,1646-1716）发明微积分之前，很多数学家已经在微分学和积分学这两个原来没有关联的学科上进行了深入的研究并取得了很多重要的结果。大体来说，微分研究瞬时速度、切线和极值问题；积分则用于求解距离、面积和体积的问题。牛顿和莱布尼茨之所以享有微积分发明权的荣誉，是因为他们通过微积分基本定理把这两个学科联系了起来。我们已经知道，伽利略曾经得到了自由落体运动的距离 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ，根据这一公式可以很容易求得任意时刻的瞬时速度。但是对于非匀加速运动的情况，这种方法就不能奏效了。于是，牛顿开始从不同的角度、使用不同的方法来研究瞬时速度的问题。仍以自由落体的情况为例，不过为简便起见，我们省略了上面公式中的常数，而把运动公式简单地表示成。对，牛顿考虑在时间的无穷小增量内距离的无穷小增量。根据自由落体运动公式，有，即。化简得，，或。牛顿认为，和有限量相比，无穷小增量可以忽略不计，所以在上式中，牛顿令，即得。和第五讲“天上人间”介绍的伽利略的方法相比，牛顿的方法有很大的不同。首先，它更简单；其次，它可以适用于更广泛的情况。但是，这里面也存在着一个问题。我们不难发现，牛顿在除法中默认不是0，而在把和有限量进行比较时又令，这在逻辑上显然是自相矛盾的。因此，牛顿的方法受到了很多人的批评，其中尤以贝克莱（B.G.Berkeley,1685-1753）大主教最为著名。在一本标题很长的、名为《分析学者，或致一个不信神的数学家，其中审查现代分析对象、原则与推断是否比起宗教的神秘与信条，构思更为清楚，或推理更为明晰》的小册子里，贝克莱批评牛顿的无穷小增量说：“它们既不是有限量，也不是无穷小，但也不是无，难道它们是死去量的幽灵吗！”贝克莱指出的矛盾也叫“贝克莱悖论”，说明了微积分理论在逻辑上的明显缺陷，这标志着第二次数学危机的产生。但是，和第一次数学危机不同，第二次数学危机在产生之初并没有引起大部分数学家的恐慌甚至关注。由于微积分在解决实际问题中所显示出来的巨大威力，数学家们不顾对微积分的种种非难，积极投入到发展这种新工具的历史大潮中，而并不急于给它奠定一个稳定的基础。于是出现了这样一种局面：一方面，微积分不断取得各种显著的成就，得到各种更强有力的应用；另一方面，在某些领域，数学家们由于滥用微积分而得到很多荒谬的结论。这种荒谬性突出地表现在无穷级数的使用上。以二项式的负指数幂的无穷展开为例。牛顿在研究积分问题时得到了一般的二项展开式定理，其形式和我们在高中阶段所学的二项展开式定理相同，只不过后者仅涉及正整数次幂的情况。根据这一定理，我们有…用代替上式中的即得…在上式中，令，得…为简便起见，我们把这个式子称为。如果我们对右边使用结合率，显然会有…=0。对比这两个式子，我们将得到，这显然是荒谬的。但是问题并没有到此结束。如果我们对右边换一种结合方式，比如…=1，我们又得到。如此可以一直进行下去。事实上，如果我们对右边使用所有类型的交换率和结合率，我们将得到所有的整数；也就是说，和所有的整数都相同！上面的结果已经够让人惊讶了，但是还有更加令人不可思议的现象存在。如果我们在的表达式中令，将有…这就是说，无穷多个正数的和竟然是一个负数！当然，这些悖论的最终解决依赖于后来无穷级数收敛和发散理论的正确建立。我们所关心的是，微积分中出现了这么严重的困难，大多数数学家却并没有停下手头的工作来填补这些漏洞。这使我们不得不意识到这样一点，即这个时代的数学传统已经不同于欧几里得时代坚持严格证明的数学传统了。这一点也能从当时一些著名数学家说过的话中得到体现。克莱洛（Alexis-ClaideClairaut,1713-1765）曾经说过：“欧几里得自找麻烦地去证明…是不足为怪的。这位几何学家必须去说服那些冥顽不化的诡辩论者，而这些人是以拒绝最明显的真理为自豪的。因此，像逻辑那样，几何必须依赖形式推理去反驳他们。”他接着说到了他那个时代的传统，“但是，一切都倒了个个儿，所有那些涉及到常识且早已熟知的事情的推理，只能掩盖真理，使读者厌倦，在今天人们对它已不屑一顾了”。拉克鲁瓦（S.F.Lacroix,1765~1843）在其《微积分教程》中也宣布：“希腊人所烦恼的这种琐碎的东西，我们不再需要了！”最有意思的莫过于大数学家西尔维斯特（JamesSylvester,1814-1897），他在给学生上课的时候经常会出现这样两段互相联系的有意思的开场白：“我还没有证明这个结果，但是，我能像肯定任何必然事物一样肯定它。在这个基础上，我们证明……”“对不起，上节课假定的结果错了。让我们重新假设……”高斯（CarlFriedrichGauss,1777-1855）可以称得上是反传统的代表，他在1812年就考虑了无穷级数的收敛性。但是，大部分数学家对这种严密性并不感兴趣。对此，雅可比（JakobJacobi,1804-1851）说过：“要达到像高斯那样的严密，我们没有时间！”对于当时的这种不过分追求严密性的数学传统，也有一些数学家发出了反对的呼声。早在1743年，达朗贝尔（J.B.L.R.d’Alembert,1717-1783）就曾经批评当时数学界的现状：“人们总是热衷于扩大数学的范畴，却很少阐明其来源；注重向高层次发展，而很少考虑加固它的基础。”罗尔(MichelRolle,1652~1719)也宣称“微积分只是一些精巧的谬误的集合”。但如前所述，这些并不高昂的呼声被微积分前进的车轮声淹没了。不过，历史是公正的。数学家们迟早要为他们的这种做法付出代价。在1800年左右，微积分经过一个半世纪的迅猛发展，已经变成了一座雄伟的分析学的大厦，但是它赖以存在的基础却还在那儿摇摇晃晃。庞大的分析学也正是在这个时候陷入了困境。这突出地表现在以下几个方面：首先是证明的严密性问题，即上述牛顿式的证明到底算不算是一种数学意义上的严格证明？其次是函数概念的模糊性，例如数学家们让无穷级数像普通函数一样直接参与各种运算，但是，无穷级数到底是不是函数？第三个是关于发散无穷级数的问题，上文已经提及这种级数会造成很多悖论，所以很多数学家反对把它纳入数学体系中，但也有一些数学家在这一领域得到了许多很好的研究成果。另外，由于没有清楚的无穷小概念，导数、微分和积分等最基本的概念并不是很清晰，当时的数学家们对在连续这样的基本问题上都没有取得一致意见。例如，欧拉（LeonardEuler,1707-1783）所说的连续是指光滑的（即可微分的）函数，而在18世纪后期，数学家们则把连续理解为函数具有一致的解析表达式，他们并不承认我们今天所谓的分段连续函数。2.2微积分的严格化既然第二次数学危机是由于使用微积分的不严格性造成的，这次危机的消除过程自然就是一个使之严格化的过程。我们知道，微积分产生之初是建立在几何的基础之上，而关于连续量的几何在很大程度上也要依赖于人们的直觉。像时间、长度、角、面积和体积等等连续量，如果我们以整体的观点来处理它们，那么根据欧多克斯的比例理论，我们不会遇到什么困难。但是，在微积分计算中，这些连续量不再被作为一个整体进行研究，而是被分割成无穷多份，牛顿和莱布尼茨都是基于这种方法得到微积分的一般原理的。所以，当数学家们试图给微积分奠定一个合适的基础时，他们的注意力就集中到代数和算术上来了。而代数最终可以归结为算术，也就是说，分析学应该建立在算术的基础上。对此，高斯在1817年曾经说过：“真理只存在于算术之中。”但是，我们将会看到，这一发展过程并不是一蹴而就的。有两位数学家对于分析学的严格化做出了最重要的贡献，即柯西（AugustinCauchy,1789-1857）和维尔斯特拉斯（KarlWeierstrass,1815-1897）。应该说明的是，在此之前，欧拉在其发表于1755年的《微分学》中引入了无穷小的不同阶零的理论；拉格朗日（J.L.Lagrange,1736-1813）则在其1797年的《解析函数论》中把微积分归结为“纯粹的代数分析艺术”。他们的形式化观点加上达朗贝尔于1754年引入的比较明确的极限观点，对于柯西等人的工作起到了奠基性的作用。另一个应该指出的人是波尔察诺（B.Bolzano,1781-1848），他在1817年发表了《纯粹分析证明》，对函数的连续性、导数等概念做出了合适的定义，得到了很多实质上和柯西相同的结果。但由于他的工作长期湮没无闻，对当时的数学界并没有产生什么影响。柯西生前写了一系列的著作，其中最具代表性的是1821年的《分析教程》和1823年的《无穷小计算教程概论》。他的著作以严格性为目标，对微积分的基本概念，如变量、函数、极限、连续、导数、微分、收敛等等给出了明确的定义。例如，他把变量定义为“依次取许多互不相同的值的量”，进而把函数定义为变量之间的某种联系（即由自变量表示的那些量），这样，按照柯西的定义，无穷级数就可以表示一个函数了，而且还突破了在他之前数学家们一直坚持的函数必须有解析表达式的限制；然后，以变量为基础，柯西定义了极限，并把无穷小量定义为极限为零的变量，继而又用无穷小量定义了连续函数，等等。在以上基本定义的基础上，柯西严格地表述并证明了微积分基本定理、中值定理等一系列重要定理。此外，柯西还对无穷级数进行了严格的处理，明确地定义了无穷级数的收敛性，并建立了判别级数收敛的一个法则，即柯西收敛准则。很明显，柯西的工作使分析学向全面的严格化迈出了关键的一步。事实上，他的研究成果也很快就在科学界产生了轰动效应。据说，柯西在巴黎科学院的一次会议上宣读第一篇关于无穷级数收敛性的论文时，当时年高望重的拉普拉斯（P.S.M.deLaplace,1749-1827）大为震惊，他在会议之后急急忙忙赶回家，仔细检查其5大卷的名著《天体力学》，并庆幸自己所用的无穷级数都是收敛的。但是，柯西的工作虽然在很大程度上澄清了在微积分基础问题上长期存在的混乱，但它也并非是完美无缺的。例如，柯西使用了许多诸如“无限趋近、”“想要多小就多小”等依赖于直觉的语言进行描述；另外，他也混淆了连续和一致连续这两个不同的概念并错误地认为连续函数一定可导。更重要的是，柯西的几个重要证明都依赖于实数的完备性，但在当时，实数系的这一基本性质还没有建立起来，对此，我们在后面还要进行仔细地讨论。微积分进一步严格化的重任落在了维尔斯特拉斯的肩上。在数学史上，维尔斯特拉斯关于分析严格化的贡献给他带来了“现代分析之父”的称号，现代分析学中普遍使用的语言就是他创造的。他批评柯西等人使用的“无限趋近”、“想要多小就多小”等说法具有明显的运动学涵义，并用其静态的、不依赖于直观的语言重新定义了极限、连续、导数等分析学的基本概念。另外，维尔斯特拉斯引入了一直被忽视的一致收敛的概念，最终消除了微积分中不断出现的各种异议和混乱现象。可以说，微积分能达到今天所具有的严密形式，本质上应该归功于维尔斯特拉斯。1872年，维尔斯特拉斯发表了他构造的一个处处连续但却处处不可微分的函数，这里，是奇数，为常数，。其实，维尔斯特拉斯在1861年的课堂上就已经给学生举出了这个例子；更早的波尔察诺也给出了一个具有同样性质但没有解析表达式的例子，但如前所述，数学界直到很晚才知道他的工作。维尔斯特拉斯的例子使数学界大为震惊，它否定了长期以来数学家们一贯坚信不移的直觉，即认为连续函数一定可以微分，所以，这种函数被数学界称为“病态函数”。当时的数学界甚至掀起了一股寻找这种病态函数的热潮，作为结果之一，人们意外地发现了存在无穷多间断点、但可以积分的函数。更出乎意料的是，数学家们发现这些病态函数远比他们一直在研究的、具有好的性质的那些函数更为普遍。这些例子促使人们得出结论，即必须彻底摆脱对几何直觉的依赖性，重新认识和考察分析学的基础。这方面的努力在19世纪后期促成了数学史上著名的“分析算术化”运动。3.万物皆数维尔斯特拉斯在19世纪中期就已经认识到，微积分计算是在实数舞台上进行的，连续和极限等基本概念都建立在实数的基础上，或者说，实数才是分析学最根本的基础。但当时的数学家们对于实数系本身仍然是以直观的方式去理解的，因此，要使分析严格化，必须先使实数系本身严格化。为此，最可靠的办法是，按照严密的推理将实数归结为整数（或有理数，我们在第一次数学危机中已经知道，有理数可以归结为整数的比），继而归结为自然数。因为，对于数学家们来说，只有自然数才是最可信赖的。克罗内克（LeopoldKronecker,1823-1891）曾经说过：“上帝创造了自然数，剩下的都是人的工作。”这样，对实数的探究不可避免地又把无理数推到了历史的前台。如前所述，在第一次数学危机中发现的无理数并没有被希腊几何学家接受，但是数学家对于它的使用却从来没有间断过。直到文艺复兴以及其后更晚的一段时期，数学家们对无理数的感情仍然是十分复杂的。例如，斯蒂费尔（MichaelStifel,1486~1567）曾经自由地使用各种无理数，他甚至还用过这种在当时来说是新的类型的无理数。但是，他同时也承认：“当我们想把它们数出来（用十进制小数的形式）时，……却发现它们无止境地往远处跑，因而没有一个无理数实质上能被我们准确地掌握住……而本身缺乏准确性的东西，就不能称其为真正的数……因此，正如无穷大不是数一样，无理数也不是真正的数，而是隐藏在一种迷雾后面的东西。”对无理数的普遍接受要等到17世纪末期，因为直到那时候人们才认为数和代数独立于几何。那么，无理数到底是什么呢？我们知道，在自然数中引入减法就能得到所有的整数，在整数中引入除法就能得到所有的有理数。经过这种处理，我们实际上使数系得到了扩张，即从自然数系扩张到整数系，继而又扩张到有理数系。而希腊人所发现的形如的无理数以及它的各种推广形式（如前面提到的）和有理数合在一起也可以构成一个新的数系，它可以看作是通过在有理数中引入开方和乘方运算得到的。所以，基于和前面两种情况的对比，我们当然希望这个数系就是实数系，或者说，所有的无理数都可以用根式来表示，我们把这种无理数称为“根式无理数”。如果真是这样，那么一切问题都解决了。然而，22岁的阿贝尔（N.H.Abel,1802-1829）1824年在其自费出版的一本小册子《论代数方程，证明一般五次方程的不可解性》引入了“域”（field）这个重要的近世代数概念，证明了一般的5次以上的代数方程没有根式解。而在其后不久，更年轻的伽罗瓦（E.Galois,1811-1832）在1829-1831年间完全解决了历时三百多年的代数方程根式可解性的难题。他开创了群论，指出只有当方程的伽罗瓦群（即方程根的置换群的某个子群，在它的作用下，经过有限次加、减、乘、除的运算，方程的根之间的代数关系保持不变）是可解群的时候，方程的解才能用根式表示。但是，不能用根式表示，并不代表方程的实数解不存在。如果我们在坐标系中表示一般的5次以上的代数函数，将很容易发现它们和横轴一般来说都有交点，也就是说，对应的代数方程有实根存在，不过这种实根既不是有理数，也不是根式无理数，我们把这种实根表示的无理数称为“非根式无理数”。至此，我们已经知道，实数中包含有理数、根式无理数和非根式无理数，但所有这些是否就构成了全体实数呢？对于这个问题的回答自然就引出了所谓的代数数理论。这个理论经过欧拉、勒让德（A.M.Legendre,1752~1833）、库默尔（E.E.Kummer,1810-1893）和戴德金（JuliusDedekind,1831-1916）等人的努力，已经发展成现代数学的一个重要分支，即代数数论。所谓代数数，是指整系数多项式方程（）的根。可以看出，代数数同时包含了有理数、根式无理数和非根式无理数（请注意，代数数和下文将要述及的超越数中还含有虚数，如方程的根就是代数数，但为了我们的目的，本讲中只介绍关于实数的理论，一般不专门涉及虚数）。另外，在这里也体现了数学的抽象性，即数学家们已经不在乎他们的数到底是什么样子，而只在乎这种数的确是存在的。所以，如果我们仍然把代数数看作是有理数的某种扩张，我们也很难再像前述那样把这种扩张的规则简单地表达出来。但是，实代数数是否就是所有的实数呢？这突出地表现在人们对于实数和e的认识上。勒让德曾经猜测可能不是代数数，欧拉也指出它们“超越了代数方法的能力”。于是，数学家们开始把无理数分为代数数和超越数（指不是代数数的数，它不能通过有限次代数运算得到）。但是，在相当长的一段时间里，超越数只是数学家们的一种猜测。直到1844年，刘维尔（JosephLiouville,1809~1882）才第一次真正展示了超越数的存在性，他证明了所有形如的数都是超越数。此后，埃尔米特（CharlesHermite,1822~1901）和林德曼（C.L.F.Lindemann）分别于1873年和1882年证明了e和的超越性。这样，在欧拉和兰伯特（J.G.Lambert,1728-1777）分别于1737年和1761年证明了e和的无理性之后的一百多年，数学家们对这两个重要常数的了解终于迈上了一个新的台阶。仍然有悖于我们的直觉的是，经过千辛万苦才找出来的超越数甚至比代数数更普遍。可以说，到现在为止我们已经找到了所有的无理数，虽然对其中的绝大部分我们仍然是一无所知。或许这样说更合适，即我们只是找到了无理数的一个分类 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 。然而，即便是这一点，当代的很多数学家（尤其是构造主义学派）也并不是特别满意。从本质上来讲，超越数的定义是一种否定式的定义，我们并不能从这种定义中得到关于超越数到底是什么的任何启发。正如反对反证法一样，这些数学家也反对“超越数”这个概念本身。从这个意义上讲，给无理数或者实数一个合适的、统一的定义，它的意义将是多么不同寻常！让我们再回到维尔斯特拉斯。早在1857年，他就给出了第一个严格的实数定义，大致来说，维尔斯特拉斯先从自然数出发定义正有理数，然后再通过无穷多个有理数的集合来定义实数。不过，他只是在课堂上讲述了这一结果，而没有发表。1872年，戴德金、康托尔（GeordCantor,1845-1918）、梅雷（H.C.R.Merey,1835-1911）和海涅（H.E.Heinte,1821-1881）几乎同时发表了各自的实数理论，他们都通过有理数来定义实数。现在我们通常采用的正是戴德金和康托尔构造实数的方法。我们重点介绍一下戴德金的方法。戴德金的方法也称为戴德金分割。他把有理数集Q划分为两个非空且不相交的子集和，并使对，，总有。一个实数a被定义成上述有理数的一个分割，即。容易看出，有些分割是有理数产生的，这时，或者有最大元素，或者有最小元素。如，，这时候，具有最大元素，就称分割定义了这个有理数。需要注意的是，在这种情况下，同一个有理数会产生两个分割，即它可能是的最大元素，也可能是的最小元素，这时候认为这两个分割是相同的。而有些分割不是由有理数产生的，这时候和都没有最大或最小的元素，此时称分割定义了一个无理数。例如，，，易知，在和中不存在最大和最小的元素，此时分割就定义了无理数。戴德金对无理数的定义，在数轴（原点没有标出）上可以被粗略地解释为，每个有理数根据其大小和正负都唯一地对应于数轴上的一个点，而无理数被定义在有理数所形成的“空隙”中。这样，戴德金就把实数集R定义为有理数集Q的一切分割。和戴德金的方式不同，康托尔把实数a定义为有理数的一个满足柯西收敛准则的基本序列。两个基本序列和如果满足，则称它们是等价的。用现代语言来说，康托尔实质上把无理数集R定义为有理数的基本序列的所有等价类的集合。在给出实数的定义之后，戴德金和康托尔都严格证明了实数的完备性。例如，康托尔证明，对任一实数序列和任意正整数v，若，则存在唯一的实数r，使得。这里，r由一个有理数的基本序列所确定，或者说由这个基本序列定义。这就表明，由实数构成的基本序列不需要任何更新类型的数来充当它的极限，从为基本序列提供极限的观点来说，实数是一个完备系。实数系的这一基本性质的确立，彻底消除了长期以来围绕着实数概念的逻辑循环，标志着由维尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动的基本完成。顺便提一下，这次运动的帷幕是由皮亚诺（GuiseppePeano,1858-1932）于1889年最后拉上的。他在戴德金关于整数理论的基础上，用公理化的方法建立了自然数理论，并在此基础上把整数定义为自然数的有序对，它的意义相当于，从而建立了整数理论。继而，皮亚诺又基于整数理论，把有理数定义为整数的有序对，其意义相当于。而如前所述，戴德金和康托尔等人已经把实数理论建立在有理数理论的基础上，所以，皮亚诺宣告了实数理论的最终完成。现在，戴德金的工作直接表明，直线上的点构成一个线性连续统（指良序、完备的集合）；而康托尔的工作则直接表明实数的集合是一个算术连续统。这样，我们就得到了戴德金—康托尔公理：直线上任何一点都与一个实数一一对应。这样，像直线这样的连续量终于可以被表示为数了。有趣的是，历史好像走了一个循环，我们仿佛又回到了毕达哥拉斯学派“万物皆数”的时代！小结：本讲应该重点掌握两次数学危机的主要内容及其解决的大致过程，了解关键数学家的主要贡献。主要参考文献：克莱因，《古今数学思想》，第一、三、四册；克莱因，《数学确定性的丧失》。李文林，《数学史教程》。吴文俊，《世界著名数学家传记》。