二维Ising模型的Monte+Carlo模拟

第25卷第4期 2008年7月 贵州大学学报(自然科学版) JournalofGuizhouUniversity(NaturalSciences) V01．25No．4 Jul．2008 文章编号1000—5269(2008)04-0359-03 二维Ising模型的MonteCarlo模拟 周海平1’2，蔡绍洪1’3 (1．贵州大学理学院，贵州贵阳550025；2．贵阳学院计算机，贵州贵阳550005；3．贵州财经学院。贵州贵阳550004) 摘要：利用MonteCarlo 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 对二维Ising模型的相变行为进行了计算机模拟，发现当温度变化 时该模型会发生相变行为，该结果与前人的理论计算结果和实验结果一致。 关键词：Ising模型；MonteCarlo模拟；相变 中图分类号：0414．21文献标识码：A Monte-CarloSimulationofTwoDimensionalIsingModel ZHOUHaip—iIl91’。，CAIShao—hon91·3 (1．CollegeofScience，GuizhouUniversity，Guiyang550025，China； 2．Guiyangcollege，Guiyang550005，China； 3．GuizhcoCollegeofFinanceandEconomies，Guiyang550004，China) Abstract：nephasetransitionphenomenonoftwodimensionalIsingmodelissimulatedwithMonte— Carlomethod．neresultsshowsthatphasetransitionphenomenonappearswhentemperaturechanges from10tol00．whichisconsist诵t}Itheoreticalresult． Keywords：Isingmodel；MonteCarlosimulation；Phasetransition 1 引言 1925年，伊辛为了研究铁磁相变问题提出了著名的Ising模型，在该模型中，N个粒子按固定的晶体格 点呈周期点阵排列，点阵的几何结构可以是三角形、四边形或简单立方形等。每个粒子有一个自旋磁矩 卢，粒子在晶格上的自旋变量为si(i=1，2，3⋯)。因为每个自旋磁矩只能取两个方向，因此S；只能取+l 和一1两个值，Si=+1表示自旋向上，Sl=一1表示自旋向下。Ising模型最主要的一个特点是它只假定 最近邻的自旋磁矩之间有相互作用，与每个自旋磁矩最近邻的自旋磁矩的数目决定于晶体点阵的空间维 数，因此该模型的行为与空间维数有关。伊辛本人只进行了一维情形下的求解，并证明一维Ising模型不 会出现相变。1944年昂萨格严格求解了二维Ising模型，发现二维Ising模型能够发生相变。之后，人们在 此基础上进行了一系列的研究【1．5】，并简化了昂萨格的证明。尽管昂萨格已经给出了二维Ising模型的严 格解，但对大多数没有接受过严格训练的人来讲，要理解那些证明仍然是十分困难的。为了使Ising模型 的相变行为更加容易理解，本文将利用MonteCario方法来模拟二维Ising模型的相变发生过程。 2模拟 假定有400格磁矩，呈20×20晶格排列，在t=0时刻，有200格磁矩朝上，200格磁矩朝下，在晶格中 交替排列，如图l所示。S(i,j)=l代表第i行第．『列的晶格格点的磁矩朝上，并用黑色方块表示。S(i√) =一1代表该磁矩朝下，并用白色方块表示。 模拟步骤：(1)随机选取一个磁矩，计算该磁矩与周围4个磁矩的相互作用能E(矿)。(2)取一个随 收稿日期：2008—05—05 基金项目：贵州省科学技术基金资助项目(20072004) 作者简介：周海平(1978一)．男．博士研究生，从事复杂系统研究； 蔡绍洪(1958一)，男，教授，从事非平衡物理研究。 ·360- 贵州大学学报(自然科学版) 第25卷 机数r，若r>e尉”，该格点磁矩方向不变，否则令该格点的磁矩方向倒置。(3)令t的值增加1。(4)重 复前面三步，直到t=N。N为预设的演化步数。 3结果与分析 图2是在温度T=1时第1000步的磁矩取向构型图，从这张图以及图l可以看出体系在该温度下会 自发地从磁矩上下取向均匀分布的状态转变为全部朝一个方向演化。图3(a)和图3(b)是在温度T=10 时第1000步和第10000步的磁矩取向构型图。从这两张图以及图l可以看出体系的状态发展行为发生 了类似与T=l的情形，但有一点区别，体系最终状态中总有一些磁矩朝上，这反映了涨落的作用。这两种 温度下的构型图的差别还反映了随着温度的增加，涨落强度也在增加。图4(a)和图4(b)分别是T=100 时第1000步和第10000步的磁矩取向构型图，进一步增加模拟步数并不改变他们的定性图像。我们发现 原来取向均匀的状态继续保持大体均匀的状态，比较所有这些构型图可以看出体系会在T=l和T=100 之间的某个温度发生相变。 图1 lsing模型的初始构型 图2 T=1时，第1000步的磁矩排列构型 图3(a)T=10时。第1000步的磁矩排列构型图3(b)T=10时，第10000步的磁矩排列构型 3 结论 综上所述，我们通过对二维Ising模型进行MonteCarlo模拟，发现二维Ising模型在温度变化时的确会 出现相变。这说明MonteCarlo方法在模拟某些理论计算难以解决的问题方面有着极大的优势。 第4期 周海平等：二维Ising模型的MonteCarlo模拟 -361· 图4【a)T=100时。第1000步的磁矩排列构型图4(b)T=100时，第10000步的磁矩排列构型 参考文献： [1】StnnleyHE．重整化群与渗流理论[J]．物理学进展，1985，5(3)：l一65． [2]伍法岳，杨展如．相变与临界现象(1)一II缶界现象引论[J]．物理学进展．1981，1(1)：100—224． [3]伍法岳．杨展如．相变与临界现象(II)一18ing模型[J】．物理学进展，1981，l(2)：314—364． [4]HUANGBI·HUA，LIUClJI—btEI，YANGZHAI、I—RIJ．1nvestigRtiolaofScaleExponentsofCompleteandIncompleteA路regation—Annihilation Process[J]．CommunieationBinTheoreticalPhys，2004，42(2)：299-302． [5]刘军．沈扬．罗向前．Ising模型的并行计算，2004，28(2)：122—128． (上接第353页) 参考文献： 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UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE) 年，卷(期)： 2008，25(4) 被引用次数： 0次 参考文献(5条) 1.Stanley H E 重整化群与渗流理论[期刊论文]-物理学进展 1985(03) 2.伍法岳.杨展如 相变与临界现象(I)-临界现象引论[期刊论文]-物理学进展 1981(01) 3.伍法岳.杨展如 相变与临界现象(II)-Ising模型[期刊论文]-物理学进展 1981(02) 4.HUANG BI-HUA.LIU CUI-MEI.YANG ZHAN-RU Investigation of Scale Exponents of Complete and Incomplete Aggrngation-Annihi lation Processes[期刊论文]-Communications in Theoretical Physics 2004(02) 5.刘军.沈扬.罗向前 hing模型的并行计算[期刊论文]- 2004(02) 相似文献(10条) 1.学位论文 张继祥 基于Monte Carlo方法的材料退火过程模拟模型及计算机仿真关键技术研究 2006 材料科学和计算机技术的进步，使得材料研究的性质正在发生变化。随着材料的计算机模型化和仿真技术的发展，材料研究正从定性描述进入定量 描述阶段。由此，一些学者提出了“材料设计”的概念，从材料组分、微观结构出发，借助计算机计算，估计材料的性质，并选定控制材料微观结构和 性质的合成方法，以便生成满足应用要求的功能材料。由于材料微观组织对其性能起着决定性的作用，微观组织设计成为材料设计的一个重要层次。通 过组织及其演变过程的建模和可视化仿真实现退火过程微观组织设计，可以更好的认知和控制退火组织，优化退火工艺，开发高性能材料。因此，冷变 形金属再结晶退火过程微观组织结构的模拟具有重要的理论意义和使用价值。 Monte Carlo Potts模型(简称MC Potts模型)具有可分析复杂组织和可视化仿真等能力，本文采用MC Ports模型作为模拟的工具，研究的重点在于计 算机模型的建立和组织模拟关键技术的研究：从MC基础理论、模型应用研究入手，结合退火过程中形核、再结晶和晶粒长大物理冶金基础，对现有MC模 拟模型进行改进，提出了新的二维再结晶、晶粒长大MC Potts模型、新的再结晶形核模型和实时计算模型；系统地研究了退火过程组织演变计算机模拟 和仿真的关键技术：应用以上改进模型和计算机关键技术编写了一个等温退火过程组织模拟的核心程序，模拟超低碳高强度烘烤硬化钢板(ELC-BH钢板 )连续退火过程，并与实验结果作了对照。 MC方法是以概率和统计学的理论、方法为基础的一种数值计算方法。它将所求解问题转换成事件概率模型，用计算机实现抽样，得到这个事件出现 的频率，或者事件的概率平均值，并用它们作为问题的解。在热力学研究领域，Metropolis方法是正则系统中最为有效的抽样方法。本文采用 Metropolis抽样方法作为退火组织模拟解决问题的方法，其中，微观状态的转变几率w的设计和细微平衡条件建立是实现Metropolis抽样的关键，是组织 模拟建模的基本研究内容。 Ising模型和Potts模型是MC方法应用于热力学过程的两个基础模型。Ising模型是描述铁磁体自旋状态的两态物理图样模型，Potts模型是解决多态 问题的物理图样模型。Potts模型和通过Metropolis抽样的MC方法构成退火 组织模拟的模型基础。 再结晶和晶粒长大过程MC Potts模型模拟的通用路径为：生成点阵一根据模拟对象，生成初始组织一赋予结点能量一形核一 组织演变模拟一组织图像可视化仿真一组织特征统计计算。本文根据退火过程的MC模拟的路径，深入研究了退火组织模拟的计算机关键技术。详细介绍 了三角形点阵生成的关键技术，提出了在四边形点阵基础上，采用“抽点法”生成三角形点阵的新方法；研究了 MC 模拟初始组织生成的关键技术，提 出了根据相似性原则生成冷轧变形组织的新方法，并对取向数进行物理定义，让每一个取向数都指向实际的晶粒取向；研究了形核和组织演变的图像仿 真关键技术；研究了组织特征的数值计算方法，根据物理概念，建立了组织特征(形核率、再结晶分数、晶粒尺寸及其分布等)统计计算方法。 在晶粒长大MC模拟建模方面，本文提出结点再取向时应遵循的“择优转换原则”，即结点再取向时的新取向数选择使体系能量降幅最大的取向数、 新的结点取向转换概率 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 和新的实时计算模型等新观点。根据“择优转换原则”，结点取向转换时确保晶界向其曲率中心移动，以致模拟的晶界的迁 移更符合其物理本质；新的结点取向转换概率公式和新的实时计算模型以TurnbuII晶界迁移速率方程为其物理基础。在以上新观点的基础上，本文构建 一个新的晶粒长大二维MC Potts模型(RSGP模型)，并应用该模型研究了各向同性晶界能和晶界迁移率条件下正常晶粒长大过程微观组织演变、动力学及 晶粒尺寸分布等特征，并将研究结果与正常晶粒长大理论、实验结果及现有模型模拟结果进行了对比，研究发现模拟结果好于现有模型，与理论、试验 结果相符的较好。应用RSGP模型研究了各向异性晶界能和晶界迁移率条件下晶粒长大特征，各向异性使晶粒变得不均匀、不规则，降低了晶粒长大动力 学指数，晶粒尺寸分布变宽，偏离对数正态分布。研究了初始组织织构强度对晶粒长大行为的影响，研究发现织构强度明显影响晶粒长大行为，异常晶 粒长大出现在中等织构强度的组织中，而不会在太强或太弱织构组织中出现，此时的晶粒长大属于各向异性条件下的正常晶粒长大。理论分析了引起异 常晶粒长大的原因，研究发现各向异性晶界能和晶界迁移率是异常晶粒长大的内因，织构是异常晶粒长大的外因。 以Huang和Humphreys A1-Si0.05％Si单晶材料亚晶异常长大研究为实验 基础，以Holm模型为模型基础，建立了一个新的亚晶异常长大形核模型(SAGN模型)。相对于Holm模型，新形核模型给出了明确的形核判据和详细的形核 过程，结点形核与形核时间具有相关性。 在再结晶MC模拟建模方面，本文提出了一个生成初始组织的方法一网格变化法，较真实地模拟退火初始组 织(即冷轧组织)；基于实际的冷变形材料组织中储存能分布规律，提出了一个储存能非均匀分布模型；对结点再取向选取方式进行改进，根据“择优转 换原则”选取结点新的取向数，保证了已再结晶晶粒之间竞争长大时晶界向其曲率中心移动，也保证了再结晶时已再结晶晶粒吞噬未再结晶晶粒，避免 了未再结晶晶粒吞噬已再结晶晶粒以及为未再结晶晶粒长大互相吞噬：基于Turnbull晶界迁移速率方程，建立了一个新的结点再取向转换概率公式；基 于Turnbull晶界迁移速率方程，建立实时计算模型。综合以土改进措施和SAGN模型，本文建立了一个新的再结晶二维MC Potts模型(RSKP模型)，并以冷 轧高纯铝板为初始条件，模拟的非均匀形核结果与理论、实验观察结果一致，证明SAGN形核模型是正确的；模拟了退火再结晶过程，模拟的组织演变、 动力学特征规律与再结晶理论规律、实验结果一致，模拟的Avrami指数小于JMAK预测值2，但与实验结果一致。模拟结论证明了RSRP模型可以有效的模拟 和仿真材料再结晶过程。 以ELC-BH钢板为研究对象，实验研究了连续退火工艺过程；综合形核SAGN模型、再结晶RSRP模型、晶粒长大RSGP模型和实时计算模型等，编制了等 温退火模拟程序，模拟了ELC-BH钢板连续退火工艺过程。模拟的再结晶分数曲线与实验预测的曲线基本一致，模拟的再结晶时间略大于实测时间；模拟 的初始冷轧组织、形核和再结晶组织、晶粒长大组织与实验观察结果一致，只是再结晶后的组织晶粒度较小。文章最后分析了模拟结果与实验结果的误 差分析，提出模型完善和材料参数精确化的研究方向。以上模拟结果证明了采用本文建立的MC模拟程序可以较好的模拟和仿真实际退火过程，采用计算 机模拟辅助实验研究退火工艺是切实可行的。 在再结晶和晶粒长大模拟过程中，模拟的实际时间t<,real>与模拟时间t<,MC>都呈指数关系t<,real>=Ct/<, Mc><'m>，而非文献中提到的直线关系 。 2.期刊论文 高茜.杜安.杜海峰.GAO Qian.DU An.DU Hai-feng 具有4-自旋相互作用Ising模型性质的模拟研究 -辽 宁大学学报（自然科学版）2006,33(3) 利用Monte Carlo模拟研究了具有4-自旋相互作用Ising模型的磁学性质.模型建立在平面蜂窝状晶格上,除了考虑对相互作用以外,还考虑了四自旋相 互作用.给出了不同四自旋相互作用下系统的磁化强度、磁内能、磁比热、磁化率以及转变温度等物理量.结果表明,4-自旋之间的相互作用对Ising模型 的性质有很大影响,但基本上是定量的.Monte Carlo模拟的结果对有效场理论(EFT)的结果给出了很大的修正. 3.学位论文 常云峰 复杂网络上的Ising模型相变与传输动力学研究 2008 复杂网络是研究复杂系统的重要方法。本文基于复杂网络理论，具体研究了三个方面的工作：一是一维距离相关网络上的Ising模型相变；二是网络 上的意识流(opinion)演化；三是网络上的粒子传输动力学的微观统计性质。 1.关于一维距离相关网络上的18ing模型相变方面的工作： 针对复杂网络中的长程连接，我们研究了在一维环上以概率θ(ι)αι-m添加的长程连接随m值的变化对Ising模型相变性质的影响。这里长程连接 以概率θ(ι)αι-m在拓扑距离为ι(ι>1)的节点之间添加，m值的变化会改变长程连接的分布位置，进而改变网络的全局关联性质。通过Monte Carlo模拟和对模型的Binder累积量UN、磁化率x比热Cv和序参量M进行有限尺度标度分析，我们指出，一维距离相关网络上的Ising模型在0