数字信号处理第三版西安科大出版高西全丁玉美课后答案第1章

null第1章　时域离散信号和时域离散系统第1章　时域离散信号和时域离散系统1.1　学习要点与重要公式 1.2　解线性卷积的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 1.3　例题 1.4　习题与上机题解答null 1.1　学习要点与重要公式 　　本章内容是全书的基础。 学生从学习模拟信号分析与处理到学习数字信号处理， 要建立许多新的概念。 数字信号和数字系统与原来的模拟信号和模拟系统不同， 尤其是处理方法上有本质的区别。 模拟系统用许多模拟器件实现， 数字系统则通过运算方法实现。 如果读者对本章关于时域离散信号与系统的若干基本概念不清楚， 则学到数字滤波器时， 会感到“数字信号处理”这门课不好掌握， 总觉得学习的不踏实。 因此学好本章是极其重要的。 null1.1.1　学习要点 　　 （1） 信号： 模拟信号、 时域离散信号、 数字信号三者之间的区别； 常用的时域离散信号； 如何判断信号是周期性的， 其周期如何计算等。  　　 （2） 系统： 什么是系统的线性、 时不变性以及因果性、 稳定性； 线性、 时不变系统输入和输出之 间的关系； 求解线性卷积的图解法（列表法）、 解析法， 以及用MATLAB工具箱函数求解； 线性常系数差分方程的递推解法。 　　 （3） 模拟信号的采样与恢复： 采样定理； 采样前的模拟信号和采样后得到的采样信号之间的频谱关系； 如何由采样信号恢复成原来的模拟信号； 实际中如何将时域离散信号恢复成模拟信号。null1.1.2 重要公式 　 （1） 　　这是一个线性卷积公式， 注意公式中是在－∞~∞之间对m求和。 如果公式中x(n)和h(n)分别是系统的输入和单位脉冲响应， y(n)是系统输出， 则该式说明系统的输入、 输出和单位脉冲响应之间服从线性卷积关系。 null（2） x(n)=x(n)*δ(n) 　 该式说明任何序列与δ(n)的线性卷积等于原序列。 　　　　　　　　x(n－n0)=x(n)*δ(n－n0) （3）　　 这是关于采样定理的重要公式， 根据该公式要求对信号的采样频率要大于等于该信号的最高频率的两倍以上， 才能得到不失真的采样信号。 这是由时域离散信号理想恢复模拟信号的插值公式。 null　　　　1.2　解线性卷积的方法 　　解线性卷积是数字信号处理中的重要运算。 解线性卷积有三种方法， 即图解法（列表法）、 解析法和在计算机上用MATLAB语言求解。 它们各有特点。 图解法（列表法）适合于简单情况， 短序列的线性卷积， 因此考试中常用， 不容易得到封闭解。 解析法适合于用公式表示序列的线性卷积， 得到的是封闭解， 考试中会出现简单情况的解析法求解。 解析法求解过程中， 关键问题是确定求和限， 求和限可以借助于画图确定。 第三种方法适合于用计算机求解一些复杂的较难的线性卷积， 实验中常用。null　　解线性卷积也可用Z变换法， 以及离散傅里叶变换求解， 这是后面几章的内容。 下面通过例题说明。  　　设x(n)=R4(n), h(n)=R4(n)， 求y(n)=x(n)*h(n)。 　　该题是两个短序列的线性卷积， 可以用图解法（列表法）或者解析法求解。 表1.2.1给出了图解法（列表法）， 用公式可表示为 　　　　　　y(n)={…, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0, 0, …}nullnull下面用解析法求解， 写出卷积公式为　　在该例题中， R4(m)的非零区间为0≤m≤3， R4(n－m)的非零区间为0≤n－m≤3， 或写成n－3≤m≤n， 这样y(n)的非零区间要求m同时满足下面两个不等式： 　　　　　　　　0≤m≤3 　　　　　　　　m－3≤m≤n 　　上面公式表明m的取值和n的取值有关， 需要将n作分段的假设。 按照上式， 当n变化时， m应该按下式取值： null max{0, n－3}≤m≤min{3, n} 当0≤n≤3时， 下限应该是0， 上限应该是n； 当4≤n≤6时， 下限应该是n－3， 上限应该是3； 当n<0或n>6时， 上面的不等式不成立， 因此y(n)=0； 这样将n分成三种情况 计算： 　　 （1） n<0或n>6时，  　　　　　　　　　　　y(n)=0 （2） 0≤n≤3时， null（3） 4≤n≤6时， 将y(n)写成一个表达式， 如下式： y(n)= 0≤n≤3 4≤n≤6 其它null　　在封闭式求解过程中， 有时候决定求和的上下限有些麻烦， 可借助于非零值区间的示意图确定求和限。 在该例题中， 非零值区间的示意图如图1.2.1所示。 在图1.2.1(b)中， 当n<0时， 图形向左移动， 图形不可能和图1.2.1(a)的图形有重叠部分， 因此y(n)=0。 当图形向右移动时， 0≤n≤3， 图形如图1.2.1(c)所示， 对照图1.2.1(a)， 重叠部分的上下限自然是0≤m≤n。 当图形再向右移动时， 4≤n≤6， 如图1.2.1(d)所示， 重叠部分的上下限是n－3≤m≤3。 当图形再向右移动时, 7≤n， 图形不可能和图1.2.1(a)有重叠部分， 因此y(n)=0。 null图1.2.1null 1.3　例　　题 　　［例1.3.1］　线性时不变系统的单位脉冲响应用h(n)表示， 输入x(n)是以N为周期的周期序列， 试证明输出y(n)亦是以N为周期的周期序列。  　　证明： 因为输入x(n)是以N为周期的周期序列， 因此 　　　　　　　　x(n＋kN－m)=x(n－m) 将上式代入（1）式， 得到 上式说明y(n)也是以N为周期的周期序列。　　［例1.3.2］　线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)为 h(n)=a－nu(－n) 计算该系统的单位阶跃响应。  　　解 用s(n)表示系统的单位阶跃响应， 则 　　［例1.3.2］　线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)为 h(n)=a－nu(－n) 计算该系统的单位阶跃响应。  　　解 用s(n)表示系统的单位阶跃响应， 则 null　　按照上式， s(n)的非零区间可由下面两个不等式确定: m≤0 及 m≤n 　　（1） n≤0时, null（2） n>0 时, 最后得到　　［例1.3.3］　设时域离散线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入激励信号x(n) 分别为null　　　　　　　　　　x(n)=cos(πn)u(n) 求系统的稳态响应y(n)。  　　解　 x(n)=cos(πn)u(n)=(－1)nu(n)null当n→∞时， 稳态解为 　　［例1.3.4］　　假设5项滑动平均滤波器的差分方程为 　　　y(n)=　［x(n)+x(n－1)+x(n－2)+x(n－3)+x(n－4)］ 输入信号用图1.3.1表示， 画出该滤波器输出的前16个序列值的波形， 并说明该滤波器对输入信号起什么作用。null图1.3.1null　　解： 已知系统的差分方程和输入信号求系统输出， 可以用递推法求解， 这里采用MATLAB函数filter 计算。 调用MATLAB函数filter计算该系统的系统响应的程exp134.m如下：  　　%程序exp134.m 　　%调用conv实现5项滑动平均滤波 　　xn=0.5*ones(1， 15)； xn(4)=1； xn(6)=1； xn(10)=1； 　　hn=ones(1， 5)；  　　yn=conv(hn， xn)； null　　%以下为绘图部分 　　n=0： length(yn)－1；  　　subplot(2， 1， 1)； stem(n， yn， ′.′) 　　xlabel(′n′)； ylabel(′y(n)′) 　　程序运行结果如图1.3.2所示。 由图形可以看出， 5项滑动平均滤波器对输入波形起平滑滤波作用， 将信号的第4、 8、 12、 16的序列值平滑去掉。null图1.3.2null　　［例1.3.5］已知x1(n)=δ(n)+3δ(n－1)+2δ(n－2)，x2(n)=u(n)－u(n－3)， 试求信号x(n)， 它满足x(n)=x1(n)*x2(n), 并画出x(n)的波形。 　　解： 这是一个简单的计算线性卷积的题目。 x(n)=x1(n)*x2(n) 　 =［δ(n)+3δ(n－1)+2δ(n－2)］*［u(n)－u(n－3)］ =［δ(n)+3δ(n－1)+2δ(n－2)］*R3(n) =R3(n)+3R3(n－1)+2R3(n－2) =δ(n)+4δ(n－1)+6δ(n－2)+5δ(n－3)+2δ(n－4) 画出x(n)的波形如图1.3.3所示。 null图1.3.3null　　［例1.3.6］　已知离散信号x(n)如图1.3.4(a)所示， 试求y(n)=x(2n)*x(n)， 并绘出y(n)的波形。 （选自西安交通大学2001年攻读硕士学位研究生入学考试试题） 　　解： 这也是一个计算线性卷积的题目， 只不过要先求出x(2n)。 解该题适合用列表法(图解法)。 　　　　x(2n)={1, 1, 1, 0.5} 　　　　y(n)=x(2n)*x(n) ={1, 2, 3, 3, 3, 3, 2.75, 2, 1, 0.25} 绘出y(n)的波形如图1.3.4(b)所示。null图1.3.4null　　　　1.4　习题与上机题解答 　　1. 用单位脉冲序列δ(n)及其加权和表示题1图所示的序列。 题1图解： 　　x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1) 　　　　+2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6) 　　2． 给定信号： 　 　　　　2n+5　　　－4≤n≤－1 　　　　　　6　　　　　0≤n≤4 　　　　　　0 其它 　　(1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值；  　　(2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；解： 　　x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1) 　　　　+2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6) 　　2． 给定信号： 　 　　　　2n+5　　　－4≤n≤－1 　　　　　　6　　　　　0≤n≤4 　　　　　　0 其它 　　(1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值；  　　(2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；(x(n)=null　　（3） 令x1(n)=2x(n－2)， 试画出x1(n)波形；  　　（4） 令x2(n)=2x(n+2)， 试画出x2(n)波形；  　　（5） 令x3(n)=x(2－n)， 试画出x3(n)波形。  　　解： (1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。 (2) x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n) +6δ(n－1)+6δ(n－2)+6δ(n－3)+6δ(n－4)null　　（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图（二）所示。  　　(4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图（三）所示。  　　(5) 画x3(n)时， 先画x(－n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180°)， 然后再右移2位， x3(n)波形如题2解图（四）所示。 null题2解图（一）null题2解图（二）null题2解图（三）null题2解图（四）null　　3． 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 (1)(2)　　解： （1） 因为ω=　　π, 所以　　　　　, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T=14。 　　（2） 因为ω=　　, 所以　　　=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。　　4． 对题1图给出的x(n)要求：  　　(1) 画出x(－n)的波形；  　　(2) 计算xe(n)=　　［x(n)+x(－n)］， 并画出xe(n)波形； 　　(3) 计算xo(n)= 　 ［x(n)－x(－n)］， 并画出xo(n)波形; 　(4) 令x1(n)=xe(n)+xo(n), 将x1(n)与x(n)进行比较， 你能得到什么结论？　　4． 对题1图给出的x(n)要求：  　　(1) 画出x(－n)的波形；  　　(2) 计算xe(n)=　　［x(n)+x(－n)］， 并画出xe(n)波形； 　　(3) 计算xo(n)= 　 ［x(n)－x(－n)］， 并画出xo(n)波形; 　(4) 令x1(n)=xe(n)+xo(n), 将x1(n)与x(n)进行比较， 你能得到什么结论？null　　解：（1） x(－n)的波形如题4解图（一）所示。 　　(2) 将x(n)与x(－n)的波形对应相加， 再除以2， 得到xe(n)。 毫无疑问， 这是一个偶对称序列。 xe(n)的波形如题4解图（二）所示。  　　(3) 画出xo(n)的波形如题4解图（三）所示。null题4解图（一）null题4解图（二）null题4解图（三）null　　(4) 很容易证明：  　　　　　x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n) 　　上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。 偶对称序列可以用题中(2)的公式计算， 奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。  　　5． 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出， 判断系统是否是线性非时变的。 　 （1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2) 　　 （2）y(n)=2x(n)+3 　　 （3）y(n)=x(n－n0)　　n0为整常数 　　 （4）y(n)=x(－n)null　　（5）y(n)=x2(n) 　 （6）y(n)=x(n2) 　 （7）y(n)=　　 　 （8）y(n)=x(n)sin(ωn) 　　解： （1） 令输入为 　　　　　　　　x(n－n0) 输出为 y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2) y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2) =y′(n)null故该系统是非时变系统。 因为 y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］ =ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］ +3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］ 　　 T［ax1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2) 　　 T［bx2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2) 所以 T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故该系统是线性系统。null　　（2） 令输入为 　　　　　　　　　x(n－n0) 输出为 　　　　　　y′(n)=2x(n－n0)+3 　　　　　　y(n－n0)=2x(n－n0)+3=y′(n) 故该系统是非时变的。 由于 　　　T［ax1(n)+bx2(n)］=2ax1(n)+2bx2(n)+3 　　　T［ax1(n)］=2ax1(n)+3 　　　T［bx2(n)］=2bx2(n)+3 　　　T［ax1(n)+bx2(n)］≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故该系统是非线性系统。null　　(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为 　　　　　　　　x(n－n1) 输出为 　　　　y′(n)=x(n－n1－n0) 　　　　y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n) 故延时器是非时变系统。 由于 　　T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0) 　　　　　　　　　　=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故延时器是线性系统。null　　(4) y(n)=x(－n) 　　令输入为 　　　　　　　　　x(n－n0) 输出为 　　　　y′(n)=x(－n+n0) 　　　　y(n－n0)=x(－n+n0)=y′(n) 因此系统是线性系统。 由于 　　　T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(－n)+bx2(－n) 　　　　　　　　　　　=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 因此系统是非时变系统。null　　（5） y(n)=x2(n) 　　令输入为 x(n－n0) 　　输出为 　　　　y′(n)=x2(n－n0) 　　　　y(n－n0)=x2(n－n0)=y′(n) 故系统是非时变系统。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(n)+bx2(n)］2 ≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ =ax21(n)+bx22(n) 因此系统是非线性系统。null　　（6） y(n)=x(n2) 　　令输入为 　　　　　　　x(n－n0) 输出为 　　　　y′(n)=x((n－n0)2) 　　　　y(n－n0)=x((n－n0)2)=y′(n) 故系统是非时变系统。 由于 　　　　T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n2)+bx2(n2) 　　　　　　　　=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故系统是线性系统。null（7） y(n)=　　x(m) 　　令输入为 　　　　　　　x(n－n0) 　　输出为 　　　　y′(n)=　　=0[DD)]x(m-n0) 　　　　y(n－n0)=　　x(m)≠y′(n) 故系统是时变系统。 由于 　　　T［ax1(n)+bx2(n)］=　　　［ax1(m)+bx2(m)］ 　　　　　=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故系统是线性系统。null　　（8） y(n)=x(n) sin(ωn) 　　令输入为 　　　　　　　x(n－n0) 　　输出为 　　　　y′(n)=x(n－n0) sin(ωn) 　　　　y(n－n0)=x(n－n0) sin［ω(n－n0)］≠y′(n) 故系统不是非时变系统。 由于 　　T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n) sin(ωn)+bx2(n) sin(ωn) 　　　　　=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故系统是线性系统。null　　6． 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明理由。  （1） y(n)=　　　　x(n－k) （2） y(n)=x(n)+x(n+1) （3） y(n)= 　　x(k) （4） y(n)=x(n－n0) （5） y(n)=ex(n)　　解：（1）只要N≥1， 该系统就是因果系统， 因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。 　 如果|x(n)|≤M， 则|y(n)|≤M， 因此系统是稳定系统。　（2） 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时间以后（（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M, 因此系统是稳定系统。 　　（3） 如果|x(n)|≤M， 则|y(n)|≤　　|x(k)|≤|2n0+1|M， 因此系统是稳定的； 假设n0>0， 系统是非因果的， 因为输出还和x(n)的将来值有关。 　　解：（1）只要N≥1， 该系统就是因果系统， 因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。 　 如果|x(n)|≤M， 则|y(n)|≤M， 因此系统是稳定系统。　（2） 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时间以后（（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M, 因此系统是稳定系统。 　　（3） 如果|x(n)|≤M， 则|y(n)|≤　　|x(k)|≤|2n0+1|M， 因此系统是稳定的； 假设n0>0， 系统是非因果的， 因为输出还和x(n)的将来值有关。 null　　（4）假设n0>0， 系统是因果系统， 因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。 如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|≤M， 因此系统是稳定的。 　　（5） 系统是因果系统， 因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。 如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|=|ex(n)|≤e|x(n)|≤eM， 因此系统是稳定的。 　　7． 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示， 要求画出y(n)输出的波形。 　　解： 解法（一）采用列表法。 　 　y(n)=x(n)*h(n)=　　　x(m)h(n－m)null题7图nully(n)={－2,－1,－0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=－2, －1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}null　　解法（二）　采用解析法。 按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为 　　　x(n)=－δ(n+2)+δ(n－1)+2δ(n－3) 　　　h(n)=2δ(n)+δ(n－1)+ 　δ(n－2) 由于 　　　x(n)*δ(n)=x(n) 　　　x(n)*Aδ(n－k)=Ax(n－k) 故null　　y(n)=x(n)*h(n)  　　　 =x(n)*［2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2)］ =2x(n)+x(n－1)+　　x(n－2) 将x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=－2δ(n+2)－δ(n+1)－0.5δ(n)+2δ(n－1)+δ(n－2) +4.5δ(n－3)+2δ(n－4)+δ(n－5)null　　8. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况， 分别求出输出y(n)。  　　（1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n) 　　（2） h(n)=2R4(n), x(n)=δ(n)－δ(n－2) 　　（3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n) 　　解： （1） y(n)=x(n)*h(n)=　　　R4(m)R5(n－m) 先确定求和域。 由R4(m)和R5(n－m)确定y（n）对于m的　　非零区间如下: 　　　　　　　　　　0≤m≤3 　　　　　　　　　　－4≤m≤nnull根据非零区间， 将n分成四种情况求解：  ① n<0时， y(n)=0 ② 0≤n≤3时， y(n)= 　　　1=n+1 ③ 4≤n≤7时， y(n)=　　　1=8－n ④ n>7时， y(n)=0最后结果为 0 n<0或n>7 n+1 0≤n≤3 8－n　4≤n≤7 y(n)的波形如题8解图（一）所示。  　　(2) y(n) =2R4(n)*［δ(n)－δ(n－2)］=2R4(n)－2R4(n－2)　　　　 =2［δ(n)+δ(n－1)－δ(n+4)－δ(n+5)］ y(n)的波形如题8解图（二）所示最后结果为 0 n<0或n>7 n+1 0≤n≤3 8－n　4≤n≤7 y(n)的波形如题8解图（一）所示。  　　(2) y(n) =2R4(n)*［δ(n)－δ(n－2)］=2R4(n)－2R4(n－2)　　　　 =2［δ(n)+δ(n－1)－δ(n+4)－δ(n+5)］ y(n)的波形如题8解图（二）所示y(n)=null题8解图（一）null题8解图（二）null(3) y(n)=x(n)*h(n) = 　　　R5(m)0.5n－mu(n－m) 　　　=0.5n　　　R5(m)0.5－mu(n－m) y（n）对于m 的非零区间为 　　　　　　　　0≤m≤4,　 m≤n 　　① n<0时， y(n)=0 　　② 0≤n≤4时， null=－(1－0.5－n－1)0.5n=2－0.5n③ n≥5时最后写成统一表达式： y(n)=(2－0.5n)R5(n)+31×0.5nu(n－5)null　　9． 证明线性卷积服从交换律、 结合律和分配律， 即证明下面等式成立：  　　（1） x(n)*h(n)=h(n)*x(n) 　　（2） x(n)*(h1(n)*h2(n))=(x(n)*h1(n))*h2(n) 　　（3） x(n)*(h1(n)+h2(n))=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) 　　证明： （1） 因为 令m′=n－m, 则null(2) 利用上面已证明的结果， 得到null交换求和号的次序， 得到null　　10． 设系统的单位脉冲响应h(n)=(3/8)0.5nu(n)， 系统的输入x(n)是一些观测数据， 设x(n)={x0, x1, x2, …, xk, …}， 试利用递推法求系统的输出y(n)。 递推时设系统初始状态为零状态。null解：n=0时， n≥0n=1时， nulln=2时， 最后得到11． 设系统由下面差分方程描述： 设系统是因果的， 利用递推法求系统的单位脉冲响应。null解： 令x(n)=δ(n), 则n=0时， n=1时， nulln=2时， n=3时， 归纳起来， 结果为null　　12. 设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n)描述， 初始条件y(-1)=0， 试分析该系统是否是线性非时变系统。  　　解： 分析的方法是让系统输入分别为δ(n)、 δ(n－1)、 δ(n)+δ(n－1)时， 求它的输出， 再检查是否满足线性叠加原理和非时变性。  　　（1） 令x(n)=δ(n), 这时系统的输出用y1(n)表示。该情况在教材例1.4.1 中已求出， 系统的输出为 　　　　　　　　　　y1(n)=anu(n)null　　(2) 令x(n)=δ(n－1)， 这时系统的输出用y2(n)表示。 n=0时， n=1时， n=2时， 任意 n 时， null最后得到　　(3) 令x(n)=δ(n)+δ(n－1), 系统的输出用y3(n)表示。 n=0时， n=1时， n=2时， nulln=3时， 任意 n 时， 最后得到null由（1）和（2）得到 　　y1(n)=T［δ(n)］, y2(n)=T［δ(n－1)］ 　　y1(n)=y2(n－1) 因此可断言这是一个时不变系统。 情况（3）的输入信号是情况（1）和情况（2）输入信号的相加信号， 因此y3(n)=T［δ(n)+δ(n－1)］。 观察y1(n)、 y2(n)、 y3(n)， 得到y3(n)=y1(n)+y2(n)， 因此该系统是线性系统。 最后得到结论： 用差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n), 0