圆锥曲线的综合问题

圆锥曲线的综合问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 圆锥曲线的综合问题 ★知识梳理★ 1.直线与圆锥曲线C的位置关系 将直线 的方程代入曲线C的方程，消去y或者消去x，得到一个关于x（或y）的方程ax2+bx+c=0. （1）交点个数 ①当 a=0或a≠0，⊿=0 时, 曲线和直线只有一个交点; ②当 a≠0,⊿>0时, 曲线和直线有两个交点; ③ 当⊿<0 时, 曲线和直线没有交点; (2) 弦长公式： 2. 对称问题： 曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿>0）③曲线上两点的中点在对称直线上 3. 求动点轨迹方程 ①轨迹类型已确定的，一般用待定系数法 ②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的，一般用直接法 ③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法 ★重难点突破★ 重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法； 理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值 难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题 重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题 问题1：已知点 为椭圆 的左焦点，点 ，动点 在椭圆上，则 的最小值为 点拨：设 为椭圆的右焦点，利用定义将 转化为 ，在结合图形，用平面几何的知识解决。 ，当 共线时最小，最小值为 ★热点考点题型探析★ 考点1 直线与圆锥曲线的位置关系 题型1：交点个数问题 [例1 ] 设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（　　） A．[－ ， ] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4] 【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法 [解析] 　易知抛物线 的准线 与x轴的交点为Q (-2 , 0)， 于是，可设过点Q (-2 , 0)的直线 的方程为 ， 联立 其判别式为 ，可解得 ，应选C. 【名师指引】（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法 （2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线） （3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对 进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论 【新题导练】 1. （09越秀区摸底）已知将圆 上的每一点的纵坐标压缩到原来的 ,对应的横坐标不变,得到曲线C；设 ，平行于OM的直线 在y轴上的截距为m(m≠0),直线 与曲线C交于A、B两个不同点. (1)求曲线 的方程； (2)求m的取值范围. [解析]（1）设圆上的动点为 压缩后对应的点为 ，则 ， 代入圆的方程得曲线C的方程： （2）∵直线 平行于OM，且在y轴上的截距为m,又 , ∴直线 的方程为 . 由 , 得 ∵直线 与椭圆交于A、B两个不同点， ∴ 解得 . ∴m的取值范围是 . 题型2：与弦中点有关的问题 [例2]（08韶关调研）已知点A、B的坐标分别是 ， .直线 相交于点M，且它们的斜率之积为－2. (Ⅰ)求动点M的轨迹方程; (Ⅱ)若过点 的直线 交动点M的轨迹于C、D两点, 且N为线段CD的中点，求直线 的方程. 【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解 [解析] (Ⅰ)设 ， 因为 ,所以 化简得: (Ⅱ) 设 当直线 ⊥x轴时,直线 的方程为 ,则 ,其中点不是N,不合题意 设直线 的方程为 将 代入 得 …………(1) …………(2) (1)-(2)整理得: 直线 的方程为 即所求直线 的方程为 【名师指引】通过将C、D的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键．两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁 【新题导练】 2. 椭圆 的弦被点 所平分，求此弦所在直线的方程 [解析]设弦所在直线与椭圆交于 两点，则 ， ，两式相减得： ， 化简得 ， 把 代入得 故所求的直线方程为 ，即 3. 已知直线y=－x+1与椭圆 相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，求此椭圆的离心率 题型3：与弦长有关的问题 [例3](山东泰州市2007～2008联考) 已知直线 被抛物线 截得的 弦长 为20， 为坐标原点． （1）求实数 的值； （2）问点 位于抛物线弧 上何处时， △ 面积最大？ 【解题思路】用“韦达定理”求弦长；考虑△ 面积的最大值取得的条件 [解析]（1）将 代入 得 ， 由△ 可知 ， 另一方面，弦长AB ，解得 ； （2）当 时，直线为 ，要使得内接△ABC面积最大， 则只须使得 ， 即 ，即 位于（4，4）点处． 【新题导练】 4. (山东省济南市2008年2月高三统一考试) 已知椭圆 与直线 相交于两点 ． （1）当椭圆的半焦距 ，且 成等差数列时，求椭圆的方程； （2）在（1）的条件下，求弦 的长度 ； [解析]（1）由已知得： ，∴ 所以椭圆方程为： （2） ，由 ，得 ∴ ∴ （文）已知点 和 ，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线 交于D、E两点，求线段DE的长． 考点2：对称问题  题型：对称的几何性质及对称问题的求法（以点的对称为主线，轨迹法为基本方法） [例4 ]已知抛物线上不存在关于直线对称的两点，求m的取值范围． 【解题思路】先考虑曲线上存在关于直线对称的两点的情形,然后求其补集 ［解析］（1）当时，曲线上不存在关于直线对称的两点． （2）当m≠0时，假设存在关于直线对称的两点 ，AB的中点为 ，则直线 直线的斜率为直线 ，可设 代入得 ， 在直线上， ， 代入 得即 又恒成立，所以． 故时满足题意． 综上（1）（2），m取值范围是． 【名师指引】要抓住对称包含的三个条件： (1)中点在对称轴上 (2)两个对称点的连线与轴垂直 (3)两点连线与曲线有两个交点( ), 通过该不等式求范围 【新题导练】 6若直线 过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆 于A、B两点，若A、B关于点M对称，求直线L的方程． [解析] ，设 ，则 又 ， ，两式相减得： ， 化简得 ， 把 代入得 故所求的直线方程为 ，即 所以直线l的方程为 ：8x-9y+25=0. 考点3 圆锥曲线中的范围、最值问题 题型：求某些变量的范围或最值 [例5]已知椭圆 与直线 相交于两点 ．当椭圆的离心率 满足 ，且 （ 为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围． 【解题思路】通过“韦达定理”沟通a与e的关系 [解析]由 ，得 由 ，得 此时 由 ，得 ，∴ 即 ，故 由 ，得 ∴ 由 得 ，∴ 所以椭圆长轴长的取值范围为 【名师指引】求范围和最值的方法： 几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题 代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值． 【新题导练】 8. 已知P是椭圆C： 的动点，点 关于原点O的对称点是B，若|PB|的最小值为 ，求点P的横坐标的取值范围。 [解析]由 ，设 ， ， ，解得 或 又 或 9. 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线 上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标． [解析] 设 ， ， 因AB与x轴不平行，故可设AB的方程为 ， 将它代入 得 由 得 即 ， 将 代入得 当且仅当 即 时取等号，此时， 所以，点M 为 或 时，到y轴的最短距离最小，最小值为 ． 11已知椭圆 ，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求 的最小值； （2）求|PA|+|PB|的最小值和最大值． [解析]（1）最小值为 （2）最大值为10+|BC|= ；最小值为10-|BC|= ． 考点4 定点，定值的问题 题型：论证曲线过定点及图形（点）在变化过程中存在不变量 [例6] 已知P、Q是椭圆C： 上的两个动点， 是椭圆上一定点， 是其左焦点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。 求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A； 【解题思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差数列”找出两动点间的坐标关系 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：设 知 同理 ①当 ， 从而有 设线段PQ的中点为 ， 得线段PQ的中垂线方程为 ②当 线段PQ的中垂线是x轴，也过点 【名师指引】定点与定值问题的处理一般有两种方法： （1）从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关; （2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）． 【新题导练】 13 试证明双曲线 － =1（a＞0，b＞0）上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为常数. [解析] 双曲线上任意一点为 ， 它到两渐近线的距离之积 考点5 曲线与方程 题型：用几种基本方法求方程 [例1] 已知抛物线C： y2=4x，若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程； 【解题思路】探求动点满足的几何关系，在转化为方程 ［解析］由抛物线y2=4x,得焦点F(1,0),准线 x=－1 (1)设P(x,y)，则B(2x－1,2y), 椭圆中心O′,则|FO′|∶|BF|=e, 又设点B到l的距离为d,则|BF|∶d=e, ∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,即(2x－2)2+(2y)2=2x(2x－2), 化简得P点轨迹方程为y2=x－1(x＞1) [名师指引] 求曲线方程的方法主要有：直接法、定义法、代入法、参数法，本题用到直接法，但题目条件需要转化 【新题导练】 14点P为双曲线 上一动点，O为坐标原点，M为线段OP中点，则点M的轨迹方程是 . 15. 过双曲线C: 的右焦点F作直线l与双曲线C交于P、Q两点， ,求点M的轨迹方程． [解析]右焦点（2，0），设 得 ， ，直线l的斜率 又 ， ，两式相减得化简得 ， 把 ， ， 代入上式得 16已知动点 与双曲线 的两个焦点 、 的距离之和为定值，且 的最小值为 ．求动点 的轨迹方程； [解析]（1）由条件知，动点 的轨迹为椭圆，其中半焦距为 ， 点P在y轴上时 最大，由余弦定理得 ，动点 的轨迹方程 ． 基础巩固训练 1. 已知 是三角形的一个内角，且 ，则方程 表示 （A）焦点在x轴上的椭圆 （B）焦点在y轴上的椭圆 （C）焦点在x 轴上的双曲线 （D）焦点在y 轴上的双曲线 2. 已知点M（3，4）在一椭圆上，则以点M为顶点的椭圆的内接矩形的面积是（ ） （A）12 （B）24 （C）48 （D）与椭圆有关 3. 已知点F（ ，直线 ，点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是 （ ） A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线 4. 椭圆 （ 为参数）上点到直线 的最大距离是 ． 5. 是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上运动，则 的最大值是 ． 6. 若双曲线 与圆 有公共点，则实数 的取值范围为 综合提高训练 7. 已知抛物线 的弦AB经过点P（4，2）且OA⊥OB（O为坐标原点），弦AB所在直线的方程为 8. 已知椭圆 ，直线l到原点的距离为 求证：直线l与椭圆必有两个交点 [解析] 证明：当直线l垂直x轴时，由题意知： 不妨取 代入曲线E的方程得： 即G（ ， ），H（ ，－ ）有两个不同的交点， 当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为： 由题意知： 由 ∴直线l与椭圆E交于两点 综上，直线l必与椭圆E交于两点 9. 求过椭圆 内一点A（1，1）的弦PQ的中点M的轨迹方程． ［解析］解：设动弦PQ的方程为 ，设P（ ），Q（ ），M（ ），则： ① ② ①－②得： 当 时， 由题意知 ，即 ③ ③式与 联立消去k，得 ④ 当 时，k不存在，此时， ，也满足④． 故弦PQ的中点M的轨迹方程为： 参考例题: 1. 过抛物线 的焦点作一条斜率为k(k≠0)的弦，此弦满足：①弦长不超过8；②弦所在的直线与椭圆3x2 + 2y2 = 2相交，求k的取值范围． 解析：抛物线 的焦点为(1，0)，设弦所在直线方程为 　　由 　得　 2分 　　∴ 　　故 由 ，解得k2≥1 由 　得　 　　由 ，解得k2 < 3 因此1≤k2 < 3 ∴k的取值范围是[ ，－1]∪[1， ] 2. (09广东实验中学)已知圆C: . (1)直线 过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若 ，求直线 的方程； (2)过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量 ，求动点 的轨迹方程. (3) 若点R(1,0)，在（2）的条件下，求 的最小值. 解析（1）①当直线 垂直于 轴时，则此时直线方程为 ， 与圆的两个交点坐标为 和 ，其距离为 ，满足题意 ②若直线 不垂直于 轴，设其方程为 ，即 设圆心到此直线的距离为 ，则 ，得 ∴ ， ， 故所求直线方程为3x-4y+5=0 综上所述，所求直线为3x-4y+5=0或x=1 (2)设点M的坐标为(x0,y0)，Q点坐标为(x,y)则N点坐标是(x0, 0) ∵ ，∴ 即 ， 又∵ ，∴ 由已知，直线m //oy轴，所以， , ∴ 点的轨迹方程是 ( ) （3）设Q坐标为(x,y)， ， ， 又 ( )可得： . … 3. 在直角坐标平面内，已知两点A（-2，0）及B（2，0），动点Q到点A的距离为6，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P。 （Ⅰ）证明|PA|+|PB|为常数，并写出点P的轨迹T的方程； 解：（Ⅰ）连结PB。∵线段BQ的垂直平分线与AQ交于点P， ∴|PB|=|PQ|，又|AQ|=6， ∴|PA|+|PB|=|PA|+|PQ|=|AQ|=6（常数）。 又|PA|+|PB|>|AB|，从而P点的轨迹T是中心在原点，以A、B为两个焦点，长轴在x轴上的椭圆，其中，2a=6，2c=4， ∴椭圆方程为 4.（07·江门四校联考）如图，直角梯形ABCD中，∠ ，AD∥BC，AB=2，AD= ，BC= ，椭圆F以A、B为焦点且过点D， （Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程； （Ⅱ）若点E满足 ,是否存在斜率 两点，且 ，若存在，求K的取值范围；若不存在，说明理由．