概率统计习题七及答案

1 习题 有理数乘除混合运算习题护理管理学习题以及答案高等数学极限习题过敏性休克习题与答案诫子书习题及答案 七 1.设总体 X 服从二项分布 b（n，p），n 已知，X1，X2，…，Xn 为来自 X 的样本，求参数 p 的矩法估计. 【解】 1( ) , ( ) ,E X np E X A X= = = 因此 np= X 所以 p 的矩估计量 ˆ Xp n = 2.设总体 X 的密度函数 f（x,θ）= 2 2 ( ), 0 , 0, . x xθ θθ ⎧ − < <⎪⎨⎪⎩ 其他 X1，X2，…，Xn 为其样本，试求参数θ的矩法估计. 【解】 2 3 02 20 2 2( ) ( )d , 2 3 3 x xE X x x x θ θ θθ θθ θ ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 令 E（X）=A1= X ,因此 3 θ = X 所以θ的矩估计量为 ^ 3 .Xθ = 3.设总体 X 的密度函数为 f（x，θ），X1，X2，…，Xn 为其样本，求θ的极大似然估计. （1） f（x，θ）= , 0, 0, 0. e x x x θθ −⎧ ≥⎨ <⎩ （2） f（x，θ）= 1, 0 1, 0, . x xθθ −⎧ < <⎨⎩ 其他 【解】（1） 似然函数 1 1 1 ( , ) e e e n i i i n n x xn n i i i L f x θθ θθ θ θ =−− − = = ∑= = =∏ ∏ 1 ln ln n i i g L n xθ θ = = = − ∑ 由 1 d d ln 0 d d n i i g L n xθ θ θ == = − =∑ 知 1 ˆ n i i n x θ = = ∑ 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 2 所以θ的极大似然估计量为 1ˆ X θ = . （2） 似然函数 1 1 ,0 1 n n i i i L x xθθ − = = < <∏i ,i=1,2,…,n. 1 ln ln ( 1) ln n i i L n xθ θ = = + − ∏ 由 1 d ln ln 0 d n i i L n xθ θ == + =∏ 知 11 ˆ lnln n n ii ii n n xx θ == = − = − ∑∏ 所以θ的极大似然估计量为 1 ˆ ln n i i n x θ = = − ∑ 4.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取 10 人的收益率数据，结果如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 收益率 0.01 -0.11 -0.12 -0.09 -0.13 -0.3 0.1 -0.09 -0.1 -0.11 求这批股民的收益率的平均收益率及 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差的矩估计值. 【解】 0.094x = − 0.101893s = 9n = m 0.094.EX x= = − 由 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) [ ( )] , ( ) n i i xE X D X E X E X A n= = + = = ∑ 知 2 2 2ˆˆ [ ( )]E X Aσ + = ,即有 10 2 2 2 2 1 1ˆˆ [ ( )] [ 10( ) ] 10 ii A E X X Xσ = = − + −∑ 于是 9ˆ 0.9 0.10189 0.0966 10 sσ = = × = 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94 和 0.966. 5.随机变量 X 服从［0，θ］上的均匀分布，今得 X 的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6， 求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计. 【解】（1） ( ) 2 E X θ= ,令 ( )E X X= ，则 ˆ 2Xθ = 且 ˆ( ) 2 ( ) 2 ( )E E X E Xθ θ= = = , 所以θ的矩估计值为 ˆ 2 2 0.6 1.2xθ = = × = 且 ˆ 2Xθ = 是一个无偏估计. 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 3 （2） 似然函数 88 1 1( , )i i L f x θ θ= ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠∏ ,i=1,2,…,8. 显然 L=L（θ）↓（θ>0），那么 1 8 max{ }ii xθ ≤ ≤= 时，L=L（θ）最大, 所以θ的极大似然估计值θˆ =0.9. 因为 E（θˆ ）=E（ 1 8 max{ }ii x≤ ≤ ）≠θ,所以θˆ = 1 8max{ }ii x≤ ≤ 不是θ的无偏计. 6.设 X1，X2，…，Xn 是取自总体 X 的样本，E（X）=μ，D（X）=σ2， 2σˆ =k 1 2 1 1 ( ) n i i i X X − + = −∑ , 问 k 为何值时 2σˆ 为σ2 的无偏估计. 【解】令 1 ,i i iY X X+= − i=1,2,…,n-1, 则 21( ) ( ) ( ) 0, ( ) 2 ,i i i iE Y E X E X D Yμ μ σ+= − = − = = 于是 1 2 2 2 2 1 1 ˆ [ ( )] ( 1) 2 ( 1) , n i i E E k Y k n EY n kσ σ− = = = − = −∑ 那么当 2 2ˆ( )E σ σ= ,即 2 22 ( 1)n kσ σ− = 时, 有 1 . 2( 1) k n = − 7.设 X1，X2是从正态总体 N（μ，σ2）中抽取的样本 1 1 2 2 1 2 3 1 2 2 1 1 3 1 1ˆ ˆ ˆ; ; ; 3 3 4 4 2 2 X X X X X Xμ μ μ= + = + = + 试证 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,μ μ μ 都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差. 【证明】（1） 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1ˆ( ) ( ) ( ) , 3 3 3 3 3 3 E E X X E X E Xμ μ μ μ⎛ ⎞= + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠ 2 1 2 1 3ˆ( ) ( ) ( ) 4 4 E E X E Xμ μ= + = , 3 1 2 1 1ˆ( ) ( ) ( ) , 2 2 E E X E Xμ μ= + = 所以 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,μ μ μ 均是μ的无偏估计量. （2） 2 2 2 2 1 1 2 2 1 4 5ˆ( ) ( ) ( ) , 3 3 9 9 D D X D X X σμ σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 4 2 2 2 2 1 2 1 3 5ˆ( ) ( ) ( ) , 4 4 8 D D X D X σμ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( )2 23 1 21ˆ( ) ( ) ( ) ,2 2D D X D X σμ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠ 8.某车间生产的螺钉，其直径 X~N（μ，σ2），由过去的经验知道σ2=0.06,今随机抽取 6 枚， 测得其长度（单位 mm）如下： 14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 试求μ的置信概率为 0.95 的置信区间. 【解】n=6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05, 0.25 2 14.95, 1.96,ax u u= = = , μ的置信度为 0.95 的置信区间为 / 2 (14.95 0.1 1.96) (14.754,15.146)x u nα σ⎛ ⎞± = ± × =⎜ ⎟⎝ ⎠ . 9.总体 X~N（μ,σ2），σ2已知，问需抽取容量 n 多大的样本，才能使μ的置信概率为 1-α， 且置信区间的长度不大于 L？ 【解】由 σ2已知可知 μ的置信度为 1-α 的置信区间为 / 2x u nα σ⎛ ⎞±⎜ ⎟⎝ ⎠ , 于是置信区间长度为 / 2 2 u n α σ i , 那么由 / 2 2 u n α σ i ≤L,得 n≥ 2 2 / 2 2 4 ( )u L ασ 10.设某种砖头的抗压强度 X~N（μ，σ2），今随机抽取 20 块砖头，测得数据如下（kg·cm-2）： 64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 （1） 求μ的置信概率为 0.95 的置信区间. （2） 求σ2的置信概率为 0.95 的置信区间. 【解】 76.6, 18.14, 1 0.95 0.05, 20,x s nα= = = − = = / 2 0.025 2 2 2 / 2 0.025 0.975 ( 1) (19) 2.093, ( 1) (19) 32.852, (19) 8.907 t n t n α αχ χ χ − = = − = = = （1） μ的置信度为 0.95 的置信区间 / 2 18.14( 1) 76.6 2.093 (68.11,85.089) 20a sx t n n ⎛ ⎞ ⎛ ⎞± − = ± × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （2） 2σ 的置信度为 0.95 的置信区间 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 5 2 2 2 2 2 2 / 2 1 / 2 ( 1) ( 1) 19 19, 18.14 , 18.14 (190.33,702.01) ( 1) ( 1) 32.852 8.907 n s n s n nα αχ χ − ⎛ ⎞− − ⎛ ⎞= × × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠⎝ ⎠ 11.设总体 X~f（x）= ( 1) , 0 1; 1 0, . x xθθ θ⎧ + < < > −⎨⎩ 其中其他 X1,X2,…,Xn是 X 的一个样本，求θ的矩估计量及极大似然估计量. 【解】（1） 1 1 0 1( ) ( )d ( 1) d , 2 E X xf x x x xθ θθ θ +∞ + −∞ += = + = +∫ ∫ 又 1( ) , 2 X E X θθ += = + 故 2 1ˆ 1 X X θ −= − 所以θ的矩估计量 2 1ˆ . 1 X X θ −= − （2） 似然函数 1 1 ( 1) 0 1 ( 1,2, , ) ( ) ( ) 0 n nn i i ii i x x i n L L f x θθθ = = ⎧ + < < =⎪= = = ⎨⎪⎩ ∏∏ " 其他 . 取对数 1 1 ln ln( 1) ln (0 1;1 ), d ln ln 0, d 1 n i i i n i i L n x x i n L n x θ θ θ θ = = = + + < < ≤ ≤ = + =+ ∑ ∑ 所以θ的极大似然估计量为 1 ˆ 1 . ln n i i n X θ = = − − ∑ 12.设总体 X~f（x）= 3 6 ( ), 0 ; 0, . x x xθ θθ ⎧ − < <⎪⎨⎪⎩ 其他 X1,X2,…,Xn 为总体 X 的一个样本 （1） 求θ的矩估计量； （2） 求 ˆ( )D θ . 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 6 【解】（1） 2 30 6( ) ( )d ( )d , 2 xE X xf x x x x θ θθθ +∞ −∞= − =∫ ∫ 令 , 2 EX X θ= = 所以θ的矩估计量 ˆ 2 .Xθ = （2） 4ˆ( ) (2 ) 4 ( ) ,D D X D X DX n θ = = = ， 又 3 2 2 2 30 6 ( ) 6 3( ) d , 20 10 x xE X x θ θ θ θ θ −= = =∫ 于是 2 2 2 2 2 3( ) ( ) ( ) , 10 4 20 D X E X EX θ θ θ= − = − = , 所以 2 ˆ( ) . 5 D n θθ = 13.设某种电子元件的使用寿命 X 的概率密度函数为 f（x,θ）= 2( )2 , ; 0, . x x x θ θ θ − −⎧ >⎨ ≤⎩ e 其中 θ（θ>0）为未知参数，又设 x1,x2,…,xn 是总体 X 的一组样本观察值，求 θ 的极大似然估 计值. 【解】似然函数 1 2 ( ) 1 2 e 0; 1, 2, , ;( ) 0 ln ln 2 2 ( ), ; 1, 2, , , n i i x n i n i i i x i nL L L n x x i n θ θ θ θ = − − = ⎧ ∑⎪ ⋅ ≥ == = ⎨⎪⎩ = − − ≥ =∑ " " 其他. 由 d ln 2 0 ln ( ) , d L n L θθ = > ↑知 那么当 01 ˆ ˆmin{ } ln ( ) max ln ( )i i n x L Lθθ θ θ>≤ ≤= =时 所以θ的极大似然估计量 1 ˆ min{ }ii n xθ ≤ ≤= 14. 设总体 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 P θ2 2θ（1-θ） θ2 1-2θ 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 7 其中 θ（0<θ< 1 2 ）是未知参数，利用总体的如下样本值 3，1，3，0，3，1，2，3，求 θ 的 矩估计值和极大似然估计值. 【解】 8 1 3ˆ(1) ( ) 3 4 , ( ) 4 2 8 i i xE X E X x xx θ θ = −= − = = = =∑ 令 得 又 所以θ的矩估计值 3 1ˆ . 4 4 xθ −= = （2） 似然函数 8 6 2 4 1 ( , ) 4 (1 )(1 2 ) .i i L P x θ θ θ θ = = = − −∏ 2 ln ln 4 6ln 2ln(1 ) 4ln(1 ), d ln 6 2 8 6 28 24 0, d 1 1 2 (1 )(1 2 ) L L θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ = + + − + − − += − − = =− − − − 解 26 28 24 0θ θ− + = 得 1,2 7 13 2 θ ±= . 由于 7 13 1 , 12 2 + > 所以θ的极大似然估计值为 7 13ˆ 2 θ −= . 15.设总体 X 的分布函数为 F（x,β）= 1 , , 0, . x x x β β α α α ⎧ − >⎪⎨⎪ ≤⎩ 其中未知参数 β>1,α>0，设 X1,X2,…,Xn 为来自总体 X 的样本 （1） 当 α=1 时，求 β 的矩估计量； （2） 当 α=1 时，求 β 的极大似然估计量； （3） 当 β=2 时，求 α 的极大似然估计量. 【解】 当α=1 时， 1 1 , 1; ( , ) ( ,1, ) 0, 1. x x f x F x x x β β β β + ⎧ ≥⎪= = ⎨⎪ <⎩ 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 8 当β=2 时, 2 1 3 2 , ;( , ) ( , , 2) 0, . x xf x F x x x α αα α α ⎧ ≥⎪= = ⎨⎪ <⎩ （1） 1 11( ) d 1 1 E X x x x β β β β β β β +∞ − +∞= = =− −∫ 令 ( )E X X= ,于是 ˆ , 1 X X β = − 所以β 的矩估计量 ˆ . 1 X X β = − （2） 似然函数 ( 1) 1 1 1 1 , 1, ( 1, 2, , ); ( ) ( , ) 0, . ln ln ( 1) ln , d ln ln 0, d n nn i i ii i n i i n i i x x i n L L f x L n x L n x βββ β β β β β − + = = = = ⎧ ⎛ ⎞ > =⎪ ⎜ ⎟= = = ⎨ ⎝ ⎠⎪⎩ = − + = − = ∏∏ ∑ ∑ " 其他 所以 β 的极大似然估计量 1 ˆ . ln n i i n x β = = ∑ （3） 似然函数 2 3 1 1 2 , , ( 1, 2, , ); ( , ) 0, . n n in n i i i i x i n L f x x α α α = = ⎧ ≥ =⎪⎪⎛ ⎞= = ⎨⎜ ⎟⎝ ⎠⎪⎪⎩ ∏ ∏ " 其他 显然 ( ) ,L L α= ↑ 那么当 1 ˆ min{ }ii n xα ≤ ≤= 时, 0ˆ( ) max ( )aL L Lα α>= = , 所以α 的极大似然估计量 1 ˆ min{ }ii n xα ≤ ≤= . 16.从正态总体 X~N（3.4，62）中抽取容量为 n 的样本，如果其样本均值位于区间（1.4，5.4） 内的概率不小于 0.95，问 n 至少应取多大？ 2 / 21( ) 2 e d π z tz tϕ −−∞= ∫ 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 9 z 1.28 1.645 1.96 2.33 ϕ(z) 0.9 0.95 0.975 0.99 【解】 26~ 3.4,X N n ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ,则 3.4 ~ (0,1), 6 / XZ N n −= 1.4 3.4 5.4 3.4 {1.4 5.4} 6 / 6 / 3 3 2 1 0.95 3 3 3 ZP X P n n n nP Z n n nΦ Φ Φ − −⎧ ⎫< << < = ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎧ ⎫= − < <⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − ≥−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 于是 0.975 3 nΦ ⎛ ⎞ ≥⎜ ⎟⎝ ⎠ 则 1.963 n ≥ , ∴ n≥35. 17. 设总体 X 的概率密度为 f（x，θ）= , 0 1, 1 , 1 2, 0, . x x θ θ < <⎧⎪ − ≤ <⎨⎪⎩ 其他 其中θ是未知参数（0<θ<1）,X1,X2,…,Xn 为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本值 x1,x2,…,xn 中小于 1 的个数.求： （1） θ的矩估计； （2） θ的最大似然估计. 解 （1） 由于 1 2 0 1 ( ; )d d (1 ) dEX xf x x x x x xθ θ θ+∞−∞= = +∫ ∫ ∫ - 1 3 3(1 ) 2 2 2 θ θ θ= + − = − . 令 3 2 Xθ− = ，解得 3 2 Xθ = − ， 所以参数θ 的矩估计为 � 3 2 Xθ = − . (2) 似然函数为 1 ( ) ( ; ) (1 ) n N n N i i L f xθ θ θ θ − = = = −∏ ， 取对数，得 ln ( ) ln ( ) ln(1 ),L N n Nθ θ θ= + − − 两边对θ 求导，得 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 10 d ln ( ) . d 1 L N n Nθ θ θ θ −= − − 令 d ln ( ) 0, d L θ θ = 得 N n θ = ， 所以θ 的最大似然估计为 � N n θ = . 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com