现代控制理论（2-6章） (高立群 张嗣瀛 著) 清华大学出版社 课后答案3

- 48 - 第 4444章“线性系统的能控性与能观性”习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 与解答 4.14.14.14.1 判断下列系统的能控性。 1) u x x x x ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 01 11 2 1 2 1 & & 2) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 2 1 3 2 1 3 2 1 11 10 01 342 100 010 u u x x x x x x & & & 3) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 2 1 3 2 1 3 2 1 02 00 11 100 030 013 u u x x x x x x & & & 解： 1) 由于该系统控制矩阵 ，系统矩阵 ，所以⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 b ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 01 11 A ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 0 1 01 11 Ab 从而系统的能控性矩阵为 [ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ == 10 11 AbbU C 显然有 [ ] nAbbU C === 2rankrank 满足能控性的充要条件，所以该系统能控。 2)由于该系统控制矩阵为 1 0 0 1 1 1 B ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ 系统矩阵为 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− = 342 100 010 A 则有， - 49 - 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 2 4 3 1 1 1 7 AB ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 7 2 4 3 1 7 1 15 A B −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 从而系统的能控性矩阵为 2 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 7 1 1 1 7 1 15 C U B AB A B −⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤= = − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ 有 nU C == 3rank 满足能控性的充要条件，所以该系统能控。 3)由于该系统控制矩阵为 1 1 0 0 2 0 B −⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ 系统矩阵为 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 100 030 013 A 则有， 3 1 0 1 1 3 3 0 3 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 2 0 AB − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 3 1 0 3 3 9 9 0 3 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 2 0 A B − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 于是，系统的能控性矩阵为 2 1 1 3 3 9 9 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 C U B AB A B − − −⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ 可知 - 50 - nU C <= 2rank 不满足能控性的充要条件，所以该系统不完全能控。 4.4.4.4.2222判断下列系统的输出能控性。 1) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 2 1 3 2 1 3 2 1 02 00 11 100 030 013 u u x x x x x x & & & ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 3 2 1 2 1 011 101 x x x y y 2) u x x x x x x ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 6116 100 010 3 2 1 3 2 1 & & & [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 3 2 1 001 x x x y 解： 1) 系统输出完全能控的充分必要条件是，矩阵 的秩[ ]DBCABCACABCB n MMLMMM 12 − 为 。由于q ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 11 13 02 00 11 011 101 CB ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 33 35 02 00 11 100 030 013 011 101 CAB ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 99 911 02 00 11 100 030 013 011 101 2 2 BCA 所以 - 51 - [ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −−− = 993311 91135132 DBCACABCB 而 2rank 2CB CAB CA B D q⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ 等于输出变量的数目，因此系统是输出能控的。 2) 系统输出完全能控的充要条件是，矩阵 的秩为 。[ ]DBCABCACABCB n MMLMMM 12 − q 由于 0=CB 0=CAB 02 =BCA 所以 [ ] [ ]01002 =DBCACABCB 而 2rank 1CB CAB CA B D q⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ 等于输出变量的数目，因此系统是输出能控的。 □ 4.34.34.34.3判断下列系统的能观测性。 1) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 1 2 1 01 11 x x x x & & [ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 1 11 x x y 2) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 2 1 3 2 1 342 100 010 x x x x x x & & & ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 3 2 1 2 1 121 110 x x x y y 3) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 2 1 3 2 1 20250 16200 340 x x x x x x & & & - 52 - [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= 3 2 1 031 x x x y 解 1) 系统的观测矩阵 ，系统矩阵 ，得[ ]11=C ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 01 11 A [ ] [ ]12 01 11 11 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =CA 系统能观性矩阵为 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 12 11 CA C U O 可知 n CA C U O ==⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2rankrank 满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。 2) 系统的观测矩阵 ，系统矩阵 ，于是⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 121 110 C ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− = 342 100 010 A ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −−− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 132 442 342 100 010 121 110 CA ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −−− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −−− = 022 8148 342 100 010 132 4422 CA 系统能观性矩阵为 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −−− − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 022 8148 132 442 121 110 2 CA CA C U O - 53 - 易知 n CA CA C U O == ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 3rankrank 2 满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。 3) 系统的观测矩阵 ，系统矩阵 ，于是[ ]031−=C ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− = 20250 16200 340 A [ ] [ ]45560 20250 16200 340 031 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −=CA [ ] [ ]450 20250 16200 340 455602 −−= ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− =CA 系统能观测性矩阵为 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 450 45560 031 2 CA CA C U O 易知 n CA CA C U O == ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 3rankrank 2 满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。 4.4.4.4.4444 试确定当 与 为何值时下列系统不能控，为何值时不能观测。p q u p x x x x ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 101 121 2 1 2 1 & & [ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 1 1 x x qy 解 系统的能控性矩阵为 - 54 - [ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − == p pp AbbU C 1 12 其行列式为 [ ] 12det 2 −+= ppAbb 根据判定能控性的定理，若系统能控，则系统能控性矩阵的秩为 2，亦即 ，[ ] 0det ≠Abb 可知 或 。4−≠p 3≠p 系统能观测性矩阵为 1 1 12O c q U cA q q ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 其行列式为 2det 12 1 c q q cA ⎡ ⎤ = − −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 根据判定能观性的定理，若系统能观，则系统能观性矩阵的秩为 2，亦即 ，可det 0 c cA ⎡ ⎤ ≠⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 知 或 。 □ 3 1 ≠q 4 1 −≠q 4.54.54.54.5试证明如下系统 u c b a x x x x x x ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 2 1 3 2 1 18612 0164 0120 & & & 不论 , , 取何值都不能控。a b c 证 系统的特征方程为 20 1 0 4 16 0 0 12 6 18 I A λ λ λ λ − − = − − = − − 解得特征值 18321 === λλλ 分别将其带入特征方程得 0 0612 024 012 = − − − =− AIλ - 55 - 我们知道 1 0612 024 012 rank = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 基础解的个数 ，所以存在着两个线性无关的向量 ，可将 化为:213 =−= 1 2,P P A 1800 1180 0018 1 ==′ − APPA 因为在约当块中有相同的根，由能控判据 2可知无论 , , 为何值，系统均不能控。□a b c 4.74.74.74.7已知两个系统 和 的状态方程和输出方程分别为1S 2S ：1S 111 1 0 43 10 uxx ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− =& [ ] 11 12 xy = ：2S 222 2 uxx +−=& 22 xy = 若两个系统按如图 P4.2所示的方法串联，设串联后的系统为 。S 1) 求图示串联系统 的状态方程和输出方程。S 2) 分析系统 ， 和串联后系统 的可控性、可观测性。1S 2S S 图 P4.2 串联系统结构图 解 1) 因为 ， ， ，因此1uu = 12 yu = 2yy = u x x x x ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 43 10 12 11 12 11 & & [ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 12 11 1 12 x x y [ ] 2 12 11 122 2 122 x x x yxx −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =+−=& - 56 - 22 xy = 串联组合系统的状态方程为 u x x x x x x ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −−= ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 1 0 212 043 010 2 12 11 2 12 11 & & & 输出方程为 [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 12 11 100 x x x y 2) 串联后系统的能控性矩阵 [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − == 410 1341 410 2 bAAbbU C 可见， ，0det = C U 32rank <= C U 因此，系统不能控。 串联后系统的能观性矩阵 2 0 0 1 2 1 2 7 4 4 O c U cA cA ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 可见， ， 因此，系统能观测。 □01det ≠−= O U 3rank = O U 4.104.104.104.10将下列状态方程化为能控标准形 uxx ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 1 43 21 & 解 该状态方程的能控性矩阵为 [ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − == 71 11 AbbU C 知它是非奇异的。求得逆矩阵有， ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − =− 8 1 8 1 8 1 8 7 1 C U - 57 - 由 得[ ][ ] 111 100 −−= bAAbbP nLL [ ]( ) [ ] ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −= ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − == − 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 7 1010 11 CUP 同理，由 得APP 12 = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = 4 3 4 1 2P 从而得到P ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 4 3 4 1 8 1 8 1 2 1 P P P ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − −=− 8 1 4 1 8 1 4 3 8 11 P 由此可得， ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − == − 510 10 64 1 32 1 64 1 32 3 43 21 4 3 4 1 8 1 8 1 1 PAPA C ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − == 1 0 1 1 4 3 4 1 8 1 8 1 Pbb C 所以， uxx ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 0 510 10& 此即为该状态方程的能控标准形。 □ 4.114.114.114.11将下列状态方程和输出方程化为能观标准形。 uxx ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 2 11 11 & [ ]xy 11−= 解 给定系统的能观性矩阵为 - 58 - 1 1 0 2O c U cA −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 知它是非奇异的。求得逆矩阵有， ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − =− 2 1 0 2 1 1 1 O U 由此可得， ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 2 1 2 1 1 0 2 1 0 2 1 1 1T 根据求变换矩阵 公式有，T [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ == 1 2 1 0 2 1 11 ATTT ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − =− 11 021 T 代入系统的状态表达式。分别得 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − == − 21 20 1 2 1 0 2 1 11 11 11 021 ATTA O ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − == − 1 4 1 2 11 021 bTb O [ ] [ ] 1 0 21 1 0 1 1 1 2 O c cT ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ 所以该状态方程的能观标准型为 uxx ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 4 21 20& □[ ]xy 10= - 59 - 4.154.154.154.15 系统的状态方程： u c b a x x x x x x ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 2 1 3 2 1 00 00 01 λ λ λ & & & [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 3 2 1 x x x fedy 试讨论下列问题： 1) 能否通过选择 , , 使系统状态完全可控？a b c 2) 能否通过选择 , , 使系统状态完全可观？d e f 解 1) 可控性矩阵 [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++ == ccc bbb babaa bAAbbU C 2 2 2 2 2 λλ λλ λλλ 显然，第三行乘以 即为第二行，故第二行与第三行成比例，因而不论怎样选择 , , ， c b a b c 系统状态均不完全可控。 2) 可观性矩阵 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + += ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = fedd fedd fed cA cA c U O 2222 2 λλλλ λλλ 第一列等于第三列乘以 ，故不论怎样选择 , , ，系统均不完全可观。 □ f d d e f 4.194.194.194.19 已知控制系统如图 P4.4所示。 图 P4.4 系统结构图 - 60 - 1) 写出以 ， 为状态变量的系统状态方程与输出方程。1x 2x 2) 试判断系统的能控性和能观性。若不满足系统的能控性和能观性条件，问当 与1K 取何值时，系统能控或能观。2K 3) 求系统的极点。 解 1) 由图 P4.4可知， ， ，则有1 2( ) ( )sX s X s= 2 ( ) ( )sX s U s= 21 xx =& ux =2& 2211 xKxKy += 将状态方程和输出方程写成矩阵形式，有 u x x x x ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 00 10 3 2 2 1 & & [ ][ ]2121 xxKKy = 2) 系统能控能观性判断。 能控性矩阵 ，[ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ == 01 10 AbbU C 2rank = C U 无论 与 取何值，系统均能控。1K 2K 能观性矩阵 1 2 10 O K K c U K cA ⎡ ⎤⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 此时无法判断系统的能观性。要使系统能观， 应满秩，即 ， 。 O U 0det 21 ≠= KUO 01 ≠K 3) 系统的特征方程为 ( ) 0 0 1 det 2 == − =− s s s AsI 则，系统的极点为 。 □021 == ss 4.214.214.214.21系统传递函数为 ( ) 1222122 82 23 +++ + = sss s sG - 61 - 1) 建立系统能控标准形实现。 2) 建立系统能观测标准形实现。 解 1) 将 分子分母同时除以 ，可得 的首项为一的最小公分母为( )sG 2 ( )sG ( ) 6116 2332213 +++=+++= sssasasassψ 则， ( ) ( ) ( ) 43221 +=++== sbsbsbsGssP ψ 由于 阵的 ，可采用能控性实现为( )sG pq > 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 6 11 6 p p l p l p p pl pl I A I a I a I a I− × ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎣ ⎦− − −⎢ ⎥⎣ ⎦ L M M O M O L ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = × 1 0 0 0 0 ppl p I B M [ ] [ ]01411 == ×− plqll bbbC L 验证由以上 ， ， 构成的状态空间表达式，必有 ，从而此为该系A B C ( ) ( )sGBIAsC =− −1 统的能控性实现。 2) 将 分子分母同时除以 ，可得 的首项为一的最小公分母为( )sG 2 ( )sG ( ) 6116 2332213 +++=+++= sssasasassψ 则， ( ) ( ) ( ) 43221 +=++== sbsbsbsGssP ψ 由于 阵的 ，可采用能观性实现为( )sG p q> 1 1 0 0 0 0 6 0 1 0 11 0 1 6 0 l q q l q q q ql ql a I I a I A I a I − × −⎡ ⎤ −⎡ ⎤⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥= = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎣ ⎦−⎢ ⎥⎣ ⎦ L L M O M M L - 62 - ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = × − 0 1 4 1 1 pql l l b b b B M [ ] [ ]10000 == ×qlqq IC L 验证由以上 ， ， 构成的状态空间表达式，必有 ，从而此为该系A B C ( ) ( )sGBIAsC =− −1 统的能观性实现。 □ 4.224.224.224.22已知传递矩阵为 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ++ + = 5 44 21 32 s s ss s sG 试求该系统的最小实现。 解 的最小公分母是( )sG ( ) ( )( )( )521 +++= ssssh 则有， ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )( )( ) [ ] [ ] [ ]40 10178 812430162 40 521 214532 23 22 + +++ −−−++ = + +++ ++−++ = sss ssss sss ssss sG 为方便计算，先求其转置的实现： ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )( )( ) [ ] [ ]40 8124 30162 10178 1 40 521 214532 2 2 23 +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −−− ++ +++ = + +++ ++−++ = ss ss sss sss ssss sG T 利用传递函数直接分解法可得 uxx ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− = 1 0 0 81710 100 010 & uxy ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −−− = 4 0 4128 21630 - 63 - 在对其进行转置，得出系统实现为 uxx ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 42 1216 830 810 1701 1010 & [ ] [ ]uxy 40100 += 即为该系统的最小实现。 □