《线性代数的几何意义》之四_(_向量组及向量空间的几何意义_)

------图图解解线线性性代代数数-------- 线线线性性性代代代数数数的的的几几几何何何意意意义义义 之之之（（（444））） 任任广广千千 胡胡翠翠芳芳 编编著著 -2 2-1 1 -1 y x0 22001100..0077..0011 《线性代数的几何意义》 ================================================================================= 第 2 页， 共 35 页 几几何何意意义义名名言言录录 没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了，因此用这种方 式来表达事物是非常有意义的。 -------笛卡尔 算术符号是文字化的图形，而几何图形则是图像化的 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ； 没有一个数学家能缺少这些图像化的公式。 --------希尔伯特 “如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓 慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展， 则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。” --------拉格朗日 不会几何学就不会正确的思考，而不会正确思考的人不过是 行尸走肉。 --------柏拉图 无论是从事数学教学或研究, 我是喜欢直观的。学习一条数 学定理及其证明, 只有当我能把定理的直观含义和证明的直观思 路弄明白了, 我才认为真正懂了。--------中国当代数学家徐利治 《线性代数的几何意义》 第三章 向量组及向量空间的几何意义 向量组的关键概念是线性相关性及其秩的概念，在向量组张成的向量空间里，基、维数、坐标 及基变换等也是些有点让人头疼的东东。本章就是要从几何图形上弄清这些概念，让抽象的概念回 归形象的几何解释。 4.1. 向量组的几何意义 向量组是对有限个向量集合的研究，对向量组的性质了解清楚后，就会对矩阵和线性方程组的 性质认识更加深入。因为矩阵实际上就是一个有序向量组。线性方程组实际上就是向量组的线性表 示。因此，在开展矩阵及方程组的研究之前，有必要先研究清楚向量组的问题。 向量组里的向量们有哪些特性呢？有什么共性？有没有不变量？ 有，这个不变的特性就是一个叫“秩”的东东。下面我们来慢慢探究一下。 4.1.1. 线性表示、组合及相关性的意义 向量的线性表示和组合的几何意义 先看看下面的图中平面向量集合。这个集合有七个二维向量。用坐标表示出来就是： 1 (2 , 1)=α ， 2 (3 , 3)=α ， ，3 (1, 2)=α 4 ( 1, 1)= −α ， 5 ( 2 , 2)= −α ， ， 。 6 ( 3 , 1)= − −α 7 (2 , 2)= −α 仔细观察后发现： 4 3 2 1 -1 -2 -2 2 4 α3α5 α4 α6 α7 α1 α2 x y 0 向量 可以两个向量 和 向加得到，即2α 1α 3α 2 1 3= +α α α ； 向量 可以由 乘以 2 得到，也可以由 乘以-1 得到，即5α 4α 7α 5 42=α α 或 ； 5 7= −α α ================================================================================= 第 3 页， 共 35 页 《线性代数的几何意义》 甚至，向量 也可以由 的数乘和 数乘之和得到，即6α 2α 7α 6 2 2 1 3 2 = − −α α 7α ； … 上面的例子是说，一个向量可以由另外一个或几个向量（向量组）用数乘之和的形式表示出来， 一般表达式就是： 1 2x x x1 2 s sβ ，= α + α + ... + α 1 2, ,...x sx x 是常数；这里称之为向量β可以由向量 组{ 1 2, ,... sα α α }线性表示。或者讲，向量β是向量 1 2, ,... sα α α 的线性组合。 我们研究一下线性表示的表达式 1 2x x1 2 sβ = α + α + ... + αx s ，明显的：向量 数乘1α x1 ，向量 数乘 2α x2 ，…，然后把数乘后的向量相加起来就得到了一个新的向量β。反过来讲，一个向量 被分 解为几个向量的倍数。所以我们得到一个结论： β 线性组合或表示式实质上是向量的数乘和加法的综合。 在第二章的向量介绍中，我们知道，数乘的几何解释就是在原向量的直线上向量长度的伸长或 缩短；两向量相加的几何解释就是进行依照平行四边形法则对向量合并；因此向量的线性组合的几 何意义就是对向量组内的向量长度进行缩放后依照平行四边形法则进行合并加；线性表示的几何意 义就是可以把一个向量依照平行四边形法则分解（或投影）为向量组上的和。如下图所示。 4 ================================================================================= 第 4 页， 共 35 页 3 2 1 -1 -2 -2 2 4 α3α5 α4 α6 α7 α1 α2 y x -2/3α2 -1/2α7 0 向量的线性相关和线性无关的几何意义 如果一个向量可以由一个向量组线性表示，我们就称这个向量和向量组线性相关。另外的说法 就是，一个向量组里，只要有一个向量可以由其它向量线性表示，我们就称这个向量组线性相关。 反之，如果向量组里的任意一个向量都不能由其它向量线性表示，我们就称向量组线性无关。 上图中线性相关的向量组例举如下： { }线性相关，因为1 2 3, ,α α α 2 1 3= +α α α ； { }，{ }，{ }都线性相关，因为4 ,α α5 74 7,α α 5 7,α α 5 42 2= = −α α α ； 《线性代数的几何意义》 { }线性相关，因为2 6 7, ,α α α 6 2 2 1 3 2 = − −α α 7α 7 ； … 仔细研究，我们就会发现一些规律，就是在二维平面上： z 如果两个向量线性相关，那么这两个向量必然在一条直线上（这也是“线性相关”术语的 由来），两个向量的方向或者相同或者相反；反之也成立，例如向量 在一条直线 上，因此两两相关； 4 5, ,α α α 解释：因为在一条直线上的所有向量中的两个向量都具有 x倍数的关系： xβ = α，所有 向量都线性相关。 z 不在一条直线上的任意两个向量一定线性无关；如向量 两两 线性无关。 1 2 3 4 5 7 6, , , ( ),or orα α α α α α α 解释：因为一个向量必然不能被另外一个向量线性表示。如果一个向量能够被另外一个向 量线性表示的话即 xβ = α，那么这两个向量就是 x倍数的关系，就会在一条直线上。这与命题 的前提矛盾。 z 在二维平面空间上，任意三个向量必然相关，如{ }，{ }等。当然，三 个以上的向量也必然线性相关。 1 2 3, ,α α α 2 6 7, ,α α α 解释：我们看看任意一个三向量{α,β,γ }，如果其中任意两个如 线性相关，不用说这个三 向量的向量组也线性相关；下一步我们设α 线性无关，看看为什么这个三向量的向量组就现行相 关了呢？如下图： α,β ,β 4 3 2 1 -1 -2 -2 2 4 γ α β x y x1 x2 0 上图中，我们随意画出不在一条直线上的两个向量 ，分别作出过此两向量的直线（所示虚 线）；然后过第三个向量 α,β γ 的头部点分别作α 的平行线，分别交α 直线的交点为,β ,β 1 2,x x 。至此， ================================================================================= 第 5 页， 共 35 页 《线性代数的几何意义》 ================================================================================= 第 6 页， 共 35 页 1 2我们构造出了向量 的分解式γ x x= +γ α β 2 。 改变向量 的位置如下图，我们仍然同样得到同样的表达式，只是γ 1 ,x x 的值不同罢了。 4 3 2 1 -1 -2 -2 2 4γ α β x y x1 x2 0 4 3 2 1 -1 -2 -2 2 4 γ α β x y x1 x20 这个分解式就是线性表示式。因此{α,β,γ }线性相关（再强调一下，此命题在二维向量空间中 成立）。 对于通常的三维空间的向量，线性相关和线性无关也有直观的几何意义。 先考察三维空间中两个向量的线性关系。由定义，它们线性相关是说其中一个是另一个的线性 组合，即只与另一个向量相差一个常数因子，这就是说，这两个向量落在同一条直线上，方向相同 或者方向相反。反之，如果两个向量落在同一条直线上，那么它们就线性相关。两个向量线性无关 则说这两个向量不平行，不能平移地搬到同一条直线上去。 现在来考察三维空间中三个向量 , ,α β γ的线性关系。 设向量 , ,α β γ线性无关。那么就有 , ,α β γ两两线性无关，任意假设 线性无关，则说明 不在同一条直线上，向量 所在的两根相交直线构成了一个平面（或者讲 张成的平面），这 个平面上的所有的向量是 ,α β ,α β ,α β ,α β 1 2x x+α β （ 1 2,x x 为任意实数）。 x1 α β x2 x3 γ 0 《线性代数的几何意义》 既然 , ,α β γ线性无关，那么就没有 1 2x x+ =α β γ的可能，也就是说向量 必然不在这个平面上， 而是在这个平面之外。 γ 实际上，这三个向量中任意一个向量，都不在其余两个向量所张成的平面内，如果用这三个三 维向量构成一个三阶行列式，那么必然张成一个平行六面体，同时行列式的值不等于零。 x3 ================================================================================= 第 7 页， 共 35 页 x1 α β γ x20 如果设向量 , ,α β γ线性相关。这里有几种情况。 一种情况是三个向量在一个平面上（共面）。正如前面讨论三个向量线性无关的情况相反。任 意的，如果 不相关，那么 会张成一个平面,α β ,α β 1 2{ }x x+α β ；又因为 , ,α β γ线性相关，则必会 有 落在这个平面上即γ 1 2x x+ =α β γ（ 1 2,x x 因 的不同而不同），如下图左。如果 不落在这个平 面上，会得到 γ γ , ,α β γ线性无关的矛盾。 x1 α β x2 x3 γ 0 x1 α β x2 x3 γ 0 任意的，如果 线性相关，但第三个向量 与 （或 ）线性无关，则也会有一个平面出来， 仍然会得到三个向量共面的情况，如上图右。 ,α β γ α β 《线性代数的几何意义》 一种情况是三个向量在一条直线（共线）。继续前面的讨论。也就是说，如果 线性相关， 第三个向量 也与 （或β）线性相关。那么三个向量会无意外的落在同一条直线上，如下图。 ,α β γ α x1 α β x2 x3 γ 0 4.1.2. 向量组等价及秩的几何意义 向量组的等价的几何解释 两个向量组 A 和 B 的等价就是这两个向量组能够互相被线性表示。详细地说，向量组 A 中的 每一个向量都可以被向量组 B 线性表示；同样，向量组 B 中的每一个向量也可以被向量组 A 线性 表示。或者说，如果把一个向量组中的任意一个向量拿出来放到另外一个向量组中，那么另外这个 扩大的向量组就会线性相关，而且不论原向量组是否线性相关。采用向量空间（后面会探讨向量空 间）的概念，就会清晰的明了向量组等价的几何意义： 向量组 A 中每一个向量都在向量组 B 张成的向量空间中；同样，向量组 B 中的每一个向量也 在向量组 A 张成的向量空间中。或者说，两个向量组如果张成的向量空间相同或重合，就讲这两个 向量组等价。 先看看 3 维的空间中的向量组的等价关系 直线上的等价向量组： 下图三维空间中，共有三条分离的不共面直线，每条直线上分别由两个、三个和四个向量。两 向量 在一条直线上；三向量 在另外一条直线上；四向量1 2,α α 1 2 3, ,β β β 1 2 3 4, , ,γ γ γ γ 在第三条直线 上。 ================================================================================= 第 8 页， 共 35 页 《线性代数的几何意义》 x1 x2 x3 β3 γ1 γ2 γ3 γ4 β2 β1 α2 α1 0 由此，我们可以验证以下的命题： z 是等价向量组； 1 2 1 2{ },{ },{ , }α α α α 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 { },{ },{ }, { , },{ , }{ , }, { , , } β β β β β β β β β β β β 是等价向量组； z z 1 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 1 2 3 4 { },{ },{ },{ }, { , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , } { , , },{ , , },{ , , },{ , , } { , , , } γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ 是等价向量组； 其实上述的命题不用验证也可以知道，因为我们罗列的等价向量组是在一条直线上，而在一条 直线上的向量是可以互相线性表示的。 另外，更多的向量组，如果他们所属的直线集合是相等的，那么这些向量组也是等价的，比如 三个向量组 1 2 2 1 3 4 1 2 1 2 3 4{ , },{ , , , },{ , , , , , }α γ α γ γ γ α α γ γ γ γ 是等价的，因为每一组的向量都在 ,α γ 两条直线上。 平面上的等价向量组： 类似的，三维空间中，我们可以看看直线上和平面上的向量组之间的等价关系。如下图中，向 量 分别所在的三条直线共面（阴影平行四边形），因此向量 中的任何一类可以被 其它两类线性表示例如有关系 , ,i iα β ηi i , ,i i iα β η 1 2i ix x= +α β η 。 ================================================================================= 第 9 页， 共 35 页 《线性代数的几何意义》 x1 x2 x3 β3 γ1 γ2 γ3 γ4 β2 β1 α2 α1 η2 η1 0 那么，除了前面介绍过的直线上的等价向量组外，再考虑平面的话就有一下的等价关系： z 是等价向量组； { , },{ , },{ , },{ , , }i i i i i i i i iα β α η β η α β η 比如 是等价向量组。 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2{ , },{ , },{ , , },{ , , , , , }α β α η β β η α α β β η η 如果一个平面在加一个平面外的一条直线 ，有以下的等价关系： γ z { , , },{ , , },{ , , },{ , , , }i i i i i i i i i i i i iα β γ α η γ β η γ α β η γ 是等价向量组； 比如 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4{ , , },{ , , },{ , , , , },{ , , , , , , , , , }α β γ α η γ β β η γ γ α α β β η η γ γ γ γ 是等价向 量组。 向量组的秩及极大无关向量组 向量空间中的向量无穷多，因此，可以有无数个向量组等价。而且等价的向量组中的向量个数 也不尽相同。 从前面的罗列中，还可以看出最短的等价向量组是只有一个向量元素的向量组；长的等价向量 组的元素可以无穷多。这里，最短的向量组实际上就是极大无关向量组，最大无关向量组的元素的 个数就是等价向量组的秩。如果等价向量组最小只有一个向量，则等价向量组的秩等于 1。 我们可以这样理解极大无关向量组：从原来的较长的向量组中挑出一部分向量组成了一个新的 向量组，这个新的向量组在某种意义下可以代表原来的向量组（因为两者等价，可以互相表出）； 同时这个新的向量组中很纯净，没有躲在别人后面滥竽充数的向量，多余的向量被剔出了，向量之 互相独立，个顶个，既不代表谁也不被代表（任一个向量都不能被其它向量线性表示）。这些个顶 个的向量个数就是这些互相等价的向量组的秩。 从几何意义上讲，在一个向量组里，如果有多个向量在一条直线上，哪么这些向量只要一个向 量就可以了，其他的同直线的向量可以被代表了。这个向量代表可以是任意一个非零向量；进而， ================================================================================= 第 10 页， 共 35 页 《线性代数的几何意义》 如果向量组里还有多个向量构成且存在于一个平面上，那么只要有两个非零非共线的向量就可以代 表其他的共面向量了；继续，如果向量组里还有多个向量构成且存在于一个立体空间里，那么只要 有三个非零非共线非共面的向量就可以代表其它的同立体向量了…。 所以，一个 n 维向量组就可以通过几何意义上筛选得到一个极大无关向量组，筛选的过程可以 这样： 1、 首先把共线的向量全部找出来，然后一个直线留一个向量代表，其余的向量删除； 2、 把上述精简后的向量组里所有共面的向量全部找出来，然后一个平面留两个向量，其余的 向量删除； 3、 把上述精简后的向量组所有共立方体的向量全部找出来，然后一个立方体六三个向量，其 余的向量删除； 4、 ……； 5、 把上述精简后的向量组所有共超立方体（n-1 维）的向量全部找出来，然后一个超立方体六 n-1 个向量，其余的向量删除； 6、 最后必然留下的向量数小于等于 n，筛选结束，剩下的向量则为极大无关向量组。 注意： 最后精简后的向量的个数就是原 n 维向量组的秩。在整个精简过程组，每一步留下的向量组虽 然个数逐步减少，但每一步向量组的秩却一直没有变。秩是一个不变量。 ================================================================================= 第 11 页， 共 35 页 1 1 1 1, , }α β η 我们把前面的例子中的向量组进行筛选操作，首先一根直线留一个向量（可任意的），如左图， 得到了一个向量组{ , γ ；然后把共面的向量留两个向量（可任意的）得到了包含三个向 量的向量组 1 1 1{ , , }β η γ ，如右图，筛选过程结束。 x1 x2 x3 γ1 β1 α1 η1 x1 x2 x3 γ1 β1 η1 0 0 使用向量空间的概念，我们可以有一个更全面的关于线性相关的几何意义的结论： z 一个向量空间中，一个向量组线性相关的话，那么这个向量组中全部向量会属于一个子向 《线性代数的几何意义》 量空间中，且子空间的维数要小于向量组元素的个数； z 一个向量空间中，一个向量组线性无关的话，那么这个向量组中全部向量会属于一个子向 量空间中，且子空间的维数要大于或等于向量组元素的个数； （上面两句话意思就是说，一个向量组应该可以张成一个和向量组元素个数相同的子空间，一 个向量张成一维的子空间，两个向量应张成二维的字空间…；如果一个向量组 n 个元素，张成一个 小于 n 的子空间，那么这个向量组就线性相关；如果总是张成一个 n 维的子空间，那么这个向量组 就线性无关）。 z 线性相关或无关的向量组的秩就是可以张成的最大子空间的维数； z 两个向量组等价，就是两个向量组张成的向量子空间相同或重合； 4.1.3. 向量组例题的图解 下面介绍两个容易搞错的命题，以加深印象： 错误命题 1：若向量组 中向量两两线性无关，则 线性无关。 1 2 3{ , , }α α α 1 2 3{ , , }α α α 图证如下： 向量组 的向量定义如下：1 2 3{ , , }α α α 1 (2,1)=α ， 2 (3,3)=α ， 3 (1,2)=α ，中显然 和 ， 和 ， 和 线性无关（不在一条直线上），但 1α 2α 1α 3α 2α 3α 3 1 2= +α α α ，所以向量组 线性相 关。 1 2 3{ , , }α α α 4 3 2 1 -1 2 4 α3 α1 α2 x y 0 这个例题说明，向量 都是二维向量，属于二维向量空间，而向量组的元素个数是 3， 超过了向量的维数，因而线性相关。一般的结论是，n+1 个以上的 n 维向量线性相关。 1 2 3, ,α α α 错误命题 2：若 和 线性相关， 和 也线性相关，那么，1α 2α 1β 2β 1 1+α β 和 也线性相关。 2 + 2α β 图证如下： ================================================================================= 第 12 页， 共 35 页 《线性代数的几何意义》 向量定义如下： ，1 (2,1)=α 2 ( 2, 1)= − −α ， 1 ( 1,2)= −β ， 2 ( 2,4)= −β 。则有 ， ； 和 不在一条直线上，因而 1 1 (1,3)+ =α β 2 2 ( 4,3)+ = −α β 1 1+α β 2 + 2α β 1 1+α β 和 2 + 2α β 线性无关。 6 ================================================================================= 第 13 页， 共 35 页 5 4 3 2 1 -1 2 -4 -2 2 4 V2 V1β1 α1 α1+β1 y x β2 α2 α2+β2 0 这个例题说明， 和 在空间 （直线）上， 和 在空间 （直线）上，两个不同空间 上的向量（零向量除外）相加，必然会进入第三个空间（直线）、第四个空间（直线）…，以致布 满整个二维空间（平面），显然 和 1α 2α 1V 1β 2β 2V 1 1+α β 2 + 2α β 绝大部分线性无关。 《线性代数的几何意义》 4.2. 向量空间的几何意义 向量种类繁多，五花八门。形形色色的向量方向、长短各异，应该给他们分类，划分成向量集 合。由于向量的概念具有几何的特质，因此向量的集合通常叫做向量空间（空间也是几何的概念）。 这个向量空间里的规矩很多，有人给出八条铁律，还有的是十条。其实只有两项基本原则：一是任 意两个向量叠罗汉（相加）不能出空间；另一个是任意一个向量伸头缩脑（数乘）也不能超出空间。 我们常常发现，在向量空间这所大房子里又有好多居室，每个居室里的向量们也严格坚守着自 己居室的同样的两项基本原则：叠罗汉和伸缩头脑不能出室（呵，有些象我们的小学生，端坐笔直 象一个个向量，下课了活动活动还不能出教室），这些大大小小的居室就是子空间。 需要注意的是，这些居室有个特点，就是共有一个原点，或者讲都要包括零向量，所以一个大 概的空间和子空间的关系图形可以这样描述： ================================================================================= 第 14 页， 共 35 页 S1 S2 S3 a2 a3 c1 c2 b1 b3 b2 0 a1 c3 上图使用平面方框表述空间及其子空间之间的关系。向量空间 ，包含向量 ；向 量空间 中，向量 都属于 中；同样，向量空间 中， 和 都是 的子空间， 向量 都属于 空间。 3S 1 2 3 2, , ,a a a b 2S 3 1 2 3, , ,a b b b 2S 3S 1S 2S 3S 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , , , ,a a a b b b c c c 3S 在数学教科书中，向量空间的标准定义一般是这样： 设V 是非空的 n 维向量的集合（n=1，2，3…），如果V 中的向量对加法和数乘两种运算封闭， 也即： z 若 ，则, V∈a b V+ ∈a b ； z ，则 ， 为任意实数。 V∈a k V∈a k 则称V 为向量空间。 向量空间主要有两种：一种是由V 中的一个向量组张成的空间（比如由特征向量张成的子空间 等）。另外一种齐次线性方程组的解集组成的解空间。实际上，线性方程组的解空间也是解向量所 张成。我们后面将会看到，这两种空间里都包含有无穷多的向量。下节我们首先看看由向量所张成 《线性代数的几何意义》 的空间的意义。 4.2.1. 向量张成的空间 实际上，向量空间的概念就是对向量们的一个分类。那么一个向量空间如何用数学式子表达 呢？换句话就是说，一个空间里面的所有向量(无穷多)如何用有限的数学算式表达呢？ 前面已说过，一个向量空间满足两个基本原则：对加法和数乘的运算封闭。把加法和数乘综合 到一块，就是线性组合式 1 1 2 2... n nx x x+ +α α α 。所以，我们可以使用一个向量组的线性组合式来表 达一个空间里的全部的无穷向量。这个向量组常常是最大向量无关组，也可以是向量的相关组。 一个向量组可以线性表示出一个空间里的所有向量，反过来讲，空间里的所有向量都可以分解 为这个向量组的线性表示。那么这个空间我们就叫向量组张成的空间。 下面我们看看它的数学定义式。 设一个向量组{ ，这个向量组的所有的线性组合生成一个向量集合： 1 2, ... }nα α α 1 1 2 2 1 2{ ... | , ... }n n nx x x x x x R+ + ∈α α α 此集合常称为 ，称为由向量组{ 张成的向量空间。 1 2{ , ... }nSpan α α α 1 2, ... }nα α α }α α ∈ 请注意：这个向量空间的数学定义和前面的加法和数乘的定义是等价的。 下图中给出了由向量组{ , 张成的向量空间平面 的例子： 1 2 S 1 2 1 1 2 2 1 2{ , } { | , }S Span x x x x R= = +α α α α 图中显示，由两个不相关的向量使用平行四边形法则可以生成平面上所有的向量。 2α2 3α2 4α2 -α2 -2α2 -3α2 -4α3 α2 α1 2α1 3α1 4α1 -α1-2α1-3α1-4α1 00 2 2 2{ | }x x R∈α ================================================================================= 第 15 页， 共 35 页 1 1 1{ | }x x R∈α 1 1 2 2 1 2{ | , }x x x x R+ ∈α α 《线性代数的几何意义》 我们在讲行列式的几何意义时说，行列式的 m维超平行多面体像是一个枝繁叶茂的大树所构成 的一个物理空间，主枝干就是行列式的 m个行向量或列向量。虽然向量数量可以是无穷多，但这个 物理空间是有限的，空间的体积就是行列式的值。 ================================================================================= 第 16 页， 共 35 页 ... | , ... }n n n 由向量所张成的线性空间是无穷大的，空间里的向量也是无穷多的。 因为在向量空间的数学 定义式{ 1 1 2 2 1 2x x x x x x R+ + ∈α α α 中，因为系数的可以无穷大，因此可以张成无穷大的 空间。 4.2.2. 子空间的几何意义 子空间的一般定义是这样的： 如果V 和H 都是向量空间，而且H V⊂ ，则称H 是V 的子空间。 具体说来，由向量空间中的一些向量张成的子空间，其定义如下： 设{ }是 n 维向量空间V 的一个向量组，1 2, ... mα α α m n≤ ；这个向量组的所有的线性组合生成 一个向量空间： 1 2 1 1 2 2 1 2{ , ... } { ... | , ... }m m mSpan x x x x x x Rm= + + ∈α α α α α α 向量空间 称为由向量α α 张成的子空间。 1 2{ , ... }mSpan α α α α1 2, ... m 这里要提醒一下，0 向量是唯一的，既属于V 空间也属于H 空间。任意一个子空间H 都要包 含 向量，否则就不能满足加法和数乘的封闭运算。 0 下面来一个三维空间中由两个三维向量 1 2 3( , , )a a a=a 和 1 2 3( , , )b b b=b 张成的一个平面二维 空间的例子。 ab x2 x1 x3 0 这里注意一个小细节：三维的向量张成了一个二维的空间。平面是三维空间的子空间。 《线性代数的几何意义》 n 维实线性空间 的子空间： nR nR 表示所有 n 维实向量所构成的集合。每个向量中的元素是实数，元素个数是 n 个。如 表 示平面实向量集合， 表示三维空间实向量集合。 2R 3R 三维向量空间R 的所有子空间包括： 3 ================================================================================= 第 17 页， 共 35 页 3α 2α 三维子空间：本身 = （α α 线性无关），作为自身的子空间表现为一 个立体空间，同自身一样，也包含原点； 3R 1 2 3{ , , }Span α α α 1 2, , 二维子空间：如 （α 线性无关），表现为通过原点的任意一个平面（注意： 二维空间 1 2{ , }Span α α 1, 2R 是不是 的子空间）; 3R 一维子空间：如 ，表现为通过原点的任意一条直线； 1{ }Span α ) 3 1( 0≠α 零维子空间：只包含原点 向量，只有零空间； 0 下面的图形给出了R 的所有子空间的图形。 3 图中，V 三维线性空间即 ，它可以由 （ 线性无关）表示；3R 1 2 3{ , , }Span α α α 1 2, ,α α α H = （α 线性无关）表示一个二维子空间；1 2{ , }Span α α 1, 2α K = }（α 线性无关）， 表示另一个二维子空间的例子； 1 3{ ,Span α α α1 3, H 和K的公共集合交集H K∩ = ，是一维向量 子空间的例子；上述所有的子空间皆包含零向量 0=（0，0，0）；当然零向量自身可以组成一个零空 间。 1{ }Span α 1( 0≠α ) H K V α1 α3 α2 0 H K∩ 《线性代数的几何意义》 子空间一定要过原点的几何意义： 前面在介绍子空间的概念时，总是在强调过原点，或者所有的子空间一定要包含零空间在内。 为什么？这是硬性规定吗？ 实际上，我们现在讨论的向量，不能称之为自由向量，因为所有的向量的尾巴都被拉到了原点 上，或者说，所有响亮空间里的向量都是从原点出发的，大家都有一个共同的零空间，这就是为什 么所有的子空间一定要包含零空间的原因了。 ================================================================================= 第 18 页， 共 35 页 -1 1 2 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 x2 0 x1 为什么要把向量的尾部都拉到原点呢？在前面向量的基础几何意义一章讲过，那就是为了研究 向量的方便，因为这样就可以把向量和空间中的点一一对应起来。空间中一旦建立起了坐标系，点 有坐标值，那么我们就用点的坐标表示与点对应的向量，这样向量就有了解析式，就有了向量的坐 标表达式，我们就可以方面的使用代数中的矩阵技术进行 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 及计算了。 如果一个子空间没有通过原点，那么从原点出发的向量必然首尾不顾，造成了向量头在子空间 中尾在空间外（因为原点在空间外）。当然，向量的加法和数乘也都跑到子空间外面去了。如下图。 s x2 x3 x1 α β xα α+β 0 上图中，严格讲来向量 和 并不在平面 中，因为只有向量 和 的头部在平面上。但如果α β S α β 《线性代数的几何意义》 ================================================================================= 第 19 页， 共 35 页 α和 向量是采用坐标解析式表达的话，我们就会认为这两个向量在平面上。即使这样，相量α的 数乘 β xα超出了平面 之上，α和β相加的和向量S +α β也超出了平面之上。因此，他们对向量的加 法和数乘运算不封闭。所以平面 不是二维向量子空间。 S 1、 实际上，在三维几何向量空间中，凡是过原点的平面或直线上的全体向量组成的集合都 是 的子空间，而不过原点的平面或直线上的全体向量组成的集合都不是 的子空 间。 3R 3R 4.2.3. 基、维数及其坐标的几何意义 基、维数、坐标的定义 对于向量空间V 中的一个有序向量组{ }，若满足： 1 2, ... nα α α z 线性无关； 1 2, ... nα α α z 中任意一个向量 都可以由α α 线性表示：V α 1 2, ... nα 1 1 2 2... n nx x x= + +α α 。 α α α α ... )n 那么称向量组{α α }为向量空间V 的一个基；称向量组{α α }的元素个数 n 为向 量空间V 的维数；称有序数组 1 2, ... n 1 2, ... n 1 2( x x α为向量α在基{α α }上的坐标。 1 2, ... n,x 基的几何意义 基是向量空间的一组很“结实”的向量集合，每一个基向量可以象房屋的地基的每一块石块一 样支撑衍生出空间中的全部向量，因此，首先一个基能代表或衍生出空间里的所有的向量，缺一不 可。其次，作为基的每一个向量都是个顶个，谁也不能代表谁，他们必须线性无关，它是一个最大 无关向量组。 我们给一个向量空间找一个基，目的是为了给这个空间定一个坐标系，以方面我们定位和计算 向量。一个基实际上就是选取的一个坐标系，另外一个基就是选取的一个新的坐标系。基是坐标系 在线性空间中的推广。基向量对应坐标系的坐标轴，有几个基向量就有几个坐标轴 ，n 维空间的一 个基就需要有 n 个基向量。下面我们看看R 空间中的几个基的例子： n 图 1 中，一维向量空间 是一条过 0 点的直线，向量S ≠α 0并属于直线 ，因而可以讲 是向 量 张成的向量空间， =Span( )，所以向量组{α }是向量空间 的一个基。 S S ≠α 0 S α S 《线性代数的几何意义》 S α 0 在图 2 中，如果二维向量空间 是S 3R 中的一个平面，且 、 是平面 上的任意的两个向量， 其中任意一个都不是另外一个向量的倍数，因此向量组 线性无关 。因此平面 可以看作是 向量 、 张成的向量空间 ，所以向量组 是向量空间的一个基。 1α 2α S 1 2{ , }α α S 1α 2α 1 2{ , }S Span= α α 1 2{ , }α α S α1 α0 2 在图 3 中，三维向量空间 S 是 3R ，三个标准单位向量 2 3{ , , } {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}=1e e e ， 因为 彼此线性无关，可以生成2 3, ,1e e e 3R ，因此向量组 是2 3{ , , }1e e e 3R 的一个基。这个基的基向 量是由标准单位向量组成，因此又称为标准基。 S e3 e2e1 0 坐标与维数的几何意义 ================================================================================= 第 20 页， 共 35 页 《线性代数的几何意义》 一个基包含的向量个数就是坐标轴的个数，也就是向量空间的维数。维数是空间的一个本质特 征，它不依赖于基的选取。无论你怎么选取不同的基，但基向量的个数不会改变，维持支撑空间的 维数不会改变。这就是为何称之为“维数”的原因。 一个向量空间的基选定后，其坐标是什么？如何求取？下面我们接着看看几个图示的例子。 一维基及其坐标： 一维空间 ，当选取基为{α }时，坐标选取如图左；当选取的新基向量 为S β 2 α 时，坐标刻度 的密度加大一倍，如图中；当选取的新基向量 为γ −α时，坐标轴方向也随之反转，如图右。 S α S β S γ 0 (1) (2) (3) (-1) (-2) 0 (1) (2) (4) (-2) (-4) (3) (-1) (-3) (5) 0 (-1) (-2) (-3) (1) (2) 二维基及其坐标： 二维空间 ，当选取基为 时，坐标选取如图左。两个坐标轴是与向量 重合的， 刻度的划分是遵循向量加法的平行四边形规则（注意，在这里我们不要沿袭笛卡尔坐标系的习惯， 试图把空间中的一点（对应一个向量）向坐标轴作垂直投影。当然，你如果坚持这样做的话，你就 会发现基的施密特正交化 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 的秘密）。 S 1 2{ , }α α 1 2,α α S α1 α2 S α2 α1 (2,-1) (1,-1) (-1,-1) (-1,1) (-1,2) (2,2) (1,2)(1,1) (2,1)(-1,2) (-1,1) (-1,-1) (1,-1) (2,-1) (2,2) (2,1)(1,1) (1,2) (1,0) (0,1)(0,0) (0,2) (0,1) (2,0)(-1,0) (0-1) (0,0) (2,0) (1,0) (0,2)(0,-1) (-1,0) 另外，在二维空间中，确定基向量的顺序是必要的。在向量组的讨论中我们不强调向量组中向 量们的顺序，但作为一个基的向量组就要有顺序，显然，如果基向量顺序进行了调整，坐标值也相 应进行调整。在图右中，我们把空间 的基 调换了顺序成为一个新的基 ，当然空 间中的坐标也变了。 S 1 2{ , }α α 2 1{ , }α α 另外，我们在上述的例子中也看到了基与我们的直角坐标系的不同，两个基向量不一定垂直； ================================================================================= 第 21 页， 共 35 页 《线性代数的几何意义》 在刻画坐标网络时不是直角坐标系的垂直投影，而是平行四边形坐标网络，分割一个坐标轴的坐标 线是与另外一个坐标轴平行的关系。一个基向量的方向是对应坐标轴的正方向，坐标单位是基向量 的长度。 三维基及其坐标： 三维空间的一个基包含了三个线性无关的向量{ , , }α β γ ，空间以 , ,α β γ为基的坐标刻画满足平 行六面体法则，如向量 ( 是与原点相对应的平行六面体的对角点。 1,1,1) =============== ========== 第 22 页， 共 35 页 ======================================================== γ β (0,2,0) (0,1,1) (1,1,1) α (0,0,3) (1,1,0)(0,1,0)(0,0,2) (1,0,1) (0,0,1) (1,0,0)(0,0,0) (0,0,-1) 下面对于一个三维空间中的二维子空间，我们看看他的基及其坐标是如何刻画的。 三维空间的子空间的基及其坐标： 在上面的三维空间的例子中，向量 V 的坐标是 (1 。如果我们要研究由向量组{ , 张成 的子空间 = ，这个二维的子空间现以向量组 为基，那么向量 V 在 中的坐标是什 么？从图中可以看出，向量 V 坐标是 。 ,1, 0) }α β S { , }Span α β ,α β S (1,1) S γ β α (0,2,0) (0,1,1) (1,1,1) (0,0,3) V (1,1,0)(0,1,0)(0,0,2) (0,0,1) (1,0,0)(0,0,0) (0,0,-1) 《线性代数的几何意义》 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 一下：向量 V 在三维空间 { , , }Span α β γ 中的 B 坐标是 ，其中 B={ ,(1,1, 0) , }α β γ ；而向 量 V 在二维空间 中的 B 坐标变成了 ，其中 B={ , 。 { , }Span α β (1,1) }α β 如果向量 , ,α β γ是属于三维欧几里德空间的任意一组线性无关组，向量形式是由笛卡尔坐标给 出。这个三维欧几里德空间如果使用{{ , , }α β γ }作为基，那么一个向量如何求其 B 坐标？如果这个 向量也在 二维空间中，又如何求取以{ , 为基的 B 坐标呢？这个问题就是我们下面要 讨论的基变换。 { , }Span α β }α β 注：空间坐标系 前面说过，建立坐标系的目的就是把空间向量的线性变换转化为坐标的运算。在我们讨论向量 和矩阵以及向量方程中仿射坐标系和直角坐标系最为有用。 在空间中任取一点 0，以点 0为起点任意作三个不共面的向量 ，这就建立了一个仿射1 2 3ε ,ε ,ε 坐标系，记为{o ，有了这个仿射坐标系，我们就可以建立空间向量和三元有序数组（即; }1 2 3ε ,ε ,ε 坐标值）之间的一一对应的关系了。就是说，在坐标系中的任意向量 a 可用唯一的有序数组 1 2 3(a ,a ,a ) 来表示关系： 。 1 2 3a a a= + +1 2a ε ε 3ε 在这里，点 0称为坐标原点， 称为坐标向量或基，过原点且与坐标向量同向的直线称1 2 3ε ,ε ,ε 为坐标轴，有序数组 称为向量 的坐标。 1 2 3(a ,a ,a ) a 仿射坐标系按手征性分为左手坐标系和右手坐标系。 特别的，如果仿射坐标系{ }o, i, j,k 的坐标向量 i, j,k 是两两垂直的单位向量，则称之为直角坐 标系。 i, j,k 所在的坐标系分别称为 x轴、y轴和 z轴。我们常用的直角坐标系为右手直角坐标系。