清华水木艾迪考研数学资料

水木艾迪培训学校 2008年考研公开课资料 咨询电话：010-62701055 010-62796032 水木艾迪为你打造轻松考研 2008考研数学划重点 -------兼谈考研数学要走对路 找对点 水木艾迪清华老师教学宗旨：带你把握命题策略与命题思路，努力缔造居高临下的知识 洞察力。 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载 人：清华大学数学科学系 刘坤林 特别说明：2008考研数学重点即是清华老师最新实时更新的考研数学三十六技。[水木艾迪 考研数学三十六技冲刺班------12月 8-9日/15-16日讲课，本课件展示其中部分 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 与思想： 等式与不等式证明技巧----移项做辅助函数与初值加增减性 分析法] 1．2007 试题基本情况 （1）2007 年考研数学试题难度问题 07 年考题仍然以基本的概念，理论和计算为主, 注意考察基础知识的理解与简单综合运用。各套试 题共用题目比例有较大幅度提高，在大纲要求的共同范围内难度趋于统一。特别是数三数四连续几年并 无任何经济特色，正如我们在讲座和教学中强调的那样，考的是数学，确切说是理工类数学的能力。这 是对 08年考生的重要参考。 2007年考研数学试题，与 2006年相比，基本上维持了 2006年的水平，难度略有提高，2007年难度 系数较 2006年提高了约 0.05。四份考研数学试卷的设计，突出了对三个数学学科基本知识点理解的准确 性与全面性的考察，以及对数学基本计算与分析能力的考察，知识覆盖面合理，题意明确，叙述准确， 档次明显，适于选拔考试。 从考生的反映来看命题策略的这一基本情况，形成了一些反差：一部分考生认为 2007 年考研数学试 题难度大了一点，特别是数学三、四的部分考生认为 2007 年考研数学试题较 2006 年难了。形成这一反 差的主要原因是一些考生对考试大纲理解与解读不够深入不够准确，他们受到了所谓经济类数学的误导。 2005-2007 年的考试特点早已说明了的一个重要考试策略：四个试卷考试题目非常基本，没有偏题怪题和 超难度题目，考题特点是重在基本概念的准确理解与过硬的基本计算能力。 （2）水木艾迪教学内容的准确性和有效性 水木艾迪考研辅导教学的全部内容与策略，就是引导考生作到对基本知识点理解的准确性、全面性 和有效性，掌握综合处理问题的方法与技巧，特别是让同学把握命题策略与命题思路，努力做到居 高临下的知识洞察力。 07年考题进一步说明了我们在水木艾迪考研辅导中教学策略的正确性，教学内容的准确性和有效性， 包括基础班、强化班及考研数学三十六技冲刺班，对广大学员的教学引导与训练，使更大面积的考生取 得优异成绩。就四套试题的全局而言，水木艾迪考研辅导教学题型、方法与技巧在 07年的考试中得到完 美的体现，许多试题为水木艾迪考研辅导教学或模拟试题的原题，还有大量题目仅仅有文字和符号的差 别，问题类型及所含知识点与所用方法完全相同，特别是水木艾迪考研数学的春季基础班为考生奠定了 坚实的应试基础，三十六计则为广大学员提供了全胜的锐利武器。 （1）06-07年考题凸显考察：对基本概念与基本知识点理解的准确性，基本计算要过硬。 （2）不同知识点交叉运用能力，尤其注重基础知识的理解与综合运用。 （3）考研数学考的是数学，并非物理（对数学一、二：物理应用题目趋于淡化，），更非经济（对数学三、 四：与所谓经济类数学内容相关的题目趋于淡化），更确切地说，考研数学是考大学理工类数学三个学科。 地址：清华大学清华科技园创业大厦 1006 清华数学系 刘坤林 编 1 水木艾迪培训学校 2008年考研公开课资料 咨询电话：010-62701055 010-62796032 2006-2007数学一、二、三、四试题共用题达到空前的高比例，结论：四个试卷难易程度趋于相同。特别 是数学三、四的考生，最好不要采用带有经济类的教科 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 或辅导教材作考前的复习。 （4）四套试题共用题目比例有较大幅度提高，在大纲要求的共同范围内难度趋于统一。四套试题的考点 每年具有轮换性。 考场上以概念理解的准确性取胜最重要，准确全面的概念理解，必然导致居高临下的知识洞察力与快速 反应能力，这正是 水木艾迪数学辅导教学宗旨。 制胜考研数学的三要素： 因素 A 概念理解的准确性： 90 分10± )(CAA = 因素 B 综合运用与技巧： 分,1030± ),( CABB = . 因素 C 气质与心态的平衡： 分,1030± )(ACC = . 就四套试题的全局而言，水木艾迪考研辅导教学题型、方法与技巧在 06-07 年的考试中得到完美的 体现，许多试题为水木艾迪考研辅导教学或模拟试题的原题，还有大量题目仅仅有文字和符号的差别， 问题类型及所含知识点与所用方法完全相同，特别是水木艾迪考研数学三十六计为广大学员提供了全胜 的锐利武器。 在面向 08 年考研的水木艾迪考研辅导教学中，水木艾迪的全体清华大学教师将进一步总结经验， 不辜负广大考生的支持和赞誉，以独树一帜的杰出教学质量回报考生朋友，为护送他们顺利走上成功之 路，打造人生的 U-形转弯倾心工作，。 • 几点意见（共四点）： 1． 要找对点 走对路，除了注意到国家考试重点之外，还要注意数学的学科特点： （1）带有思维性的科学数学； （2）需要完备的逻辑 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达语言。 培养一点对数学的感情和兴趣。数学并非那么难，也并非那么抽象，它充满了我们的 生活，离我们很近。一位世界著名的哲学大师说过：完美的世界是由三个要素构成：art, music, mathematics. 2．理解概念 力求做到准确、全面 3．技巧来自基本概念的理解与基本方法的悟性 数学三十六技之五： 4．2008考研数学划重点 。。。。。。。 地址：清华大学清华科技园创业大厦 1006 清华数学系 刘坤林 编 2 水木艾迪培训学校 2008年考研公开课资料 咨询电话：010-62701055 010-62796032 1．什么是数学？注意数学的学科特点，把数学当作数学来学。 注意数学的学科特点：一要思考，而要表达。 培养一点对数学的兴趣，训练一点逻辑思 维能力与悟性基础，注意数学命题的的逻辑属性会使数学复习变的容易。 数学的学习有助于培养一个人的气质与心态的平衡，最终也将利于英语与政治的复习，有利于考场 素质的全面提高。 例 1-1 溶液浓度问题 两个同样容积的烧瓶里分别放有甲乙两种溶液，现用量杯从甲种溶液里取出一小杯放入乙种溶液，搅拌 均匀后，再用同一量杯取出一杯放回甲种溶液内，搅拌均匀。问：甲中含乙与乙中含甲各为多少%？ 【解】 方法 1：列方程。势必烦琐。 方法 2：利用逻辑分析，对甲种溶液进行分析，不难发现，甲失去的量，就是甲从乙中得到的量。 结论：甲中含乙与乙中含甲比例相同。 数学引申：函数的轮换对称性 例 1-2 （2006-共用-10分） 设区域 }{ ,0,1),( 22 ≥≤+= xyxyxD 计算二重积分 ∫∫ ++ += D dxdyyx xyI 221 1 。 【解析与点评】利用对称性，推出 ∫∫ =++D dxdyyx xy 0 1 22 ; 这样， ∫∫ ++= D dxdyyxI 221 1 ∫ ∫− =+=+= 22 1 0 1 0 2 2 2ln2 )1( 21 π π ππθ rnldr r rd 。 这是很典型的二重积分计算题，几乎所有微积分参考书中都有。 可参见水木艾迪 2006考研数学强化班讲义第十一讲例 17。 例 1-3 （2005-2-4 分） 设 { }0,0,422 ≥≥≤+= yxyxD ， 为 上的正值连续函数， 为常数， )(xf D ba, 则 =+ +∫∫ σdyfxf yfbxfaD )()( )()( ( D ) (A) πab 。 (B) π 2 ab 。 (C) π)( ba + 。 (D) π 2 ba + 。 [解析与点评 1]事实上，国家考试中心命题处的老师设计的这个考题有很高的质量，所用知识点非常基 本。由此可见，我们在水木艾迪考研辅导教学中所强调的“对基本知识点理解的准确性”是如何重要。 2005 考研试题，再次证明了加强知识的基础性、系统综合性与交叉性的训练，努力提升对基本知识点理 解的准确性，是造就居高临下的知识洞察力，并在考场上以技压群雄的良好成绩取胜的关键。 地址：清华大学清华科技园创业大厦 1006 清华数学系 刘坤林 编 3 水木艾迪培训学校 2008年考研公开课资料 咨询电话：010-62701055 010-62796032 [解析与点评 2] 本题是清华教学原题，考点函数性质，积分定义概念的准确理解（本题为二重积分，还 可以是三重积分，曲线曲面积分等），对称性的应用（实为函数性性质与积分概念的有机结合，有这样的 功底，此题只需要 40 秒时间。在水木艾迪考研辅导教学及教材中，例如《2005 考研数学应试导引与进 阶》（刘坤林等编写，清华大学出版社 2004 年 7 月出版）。有许多此类题型与方法的训练。这样的训练应 从函数初等性质与定积分开始，例如水木艾迪 2004 暑期强化班第 4-13 题就是一个基础性训练问题： 【正确解法】由轮换对称性得到 σd yfxf yfbxfaI D ∫∫ ++= )()( )()( σdyfxf xfbyfaD∫∫ + += )()( )()( 因此 σd yfxf yfbxfaI D ∫∫ ++= )()( )()(2 σdyfxf xfbyfa D ∫∫ + ++ )()( )()( πσ )()( badba D +=+= ∫∫ 因此 πσ 2 )( 2 1 badbaI D +=+= ∫∫ 。（45 秒 OK!） 例 1-4 =+−= ∫ dxxeeI xx20 5cossin 8 sinπ （ ） 。 (A) 4 π 。(B) 15 1 。(C) 8 π 。(D) 30 1 。 【解】由对称性与积分概念，立即得知答案 15 1 3 2 5 4 8 1 =⋅⋅=I ， 10 秒钟搞定，选(B)。 例 1-5 设 ，则二重积分10 << R ∫∫ ≤+ + += 222 22 1Ryx yx d xy eI σ 等于（ ）。 （A） ∫∫ >> ≤+ + + 0,0 222 22 1 4 yx Ryx yx d xy e σ 。 （B） ∫∫ > ≤+ + + 0 222 22 1 2 x Ryx yx d xy e σ 。 （C） ∫∫ <> ≤+ + + 00 222 22 1 4 yx Ryx yx d xy e , σ 。 （D）0. 【提示】 答案为（B）。只需注意到：在 1、3 象限的两个子区域上积分和式相等，在 2、4 象限的两个子 区域上积分和式也相等。 例 1-6（2007数 2、3、4， 11分）（本题满分 11分）设二元函数 ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ + = 22 2 1, yx x yxf ,21 ,1 ≤+< ≤+ yx yx 地址：清华大学清华科技园创业大厦 1006 清华数学系 刘坤林 编 4 水木艾迪培训学校 2008年考研公开课资料 咨询电话：010-62701055 010-62796032 计算二重积分 ，其中( )∫∫ σ σdyxf , ( ) 2., ≤+= yxyxD 。 【解】 ， 其中 为 在第一象限部分。 ∫∫∫∫ = 1 ),(4),( DD dxdyyxfdxdyyxf 1D D ∫∫ 1 ),( D dxdyyxf ∫∫∫∫ += 1211 ),(),( DD dxdyyxfdxdyyxf ， 其中 { }xyxyxD −≤≤≤≤= 10,10),(11 ， { }∪−≤≤−≤≤= xyxxyxD 21,10),(12 { }xyxyx −≤≤≤≤ 20,21),( 。 12 1)(),( 1 0 32 1 0 2 1 011 =−== ∫∫∫∫∫ − dxxxdyxdxdxdyyxf x D ； 可用两种方法计算： ∫∫ 12 ),( D dxdyyxf 直角坐标积分法： ∫∫∫∫∫∫ −− − + + + = xx xD yx dydxdy yx dxdxdyyxf 2 0 22 2 1 2 1 22 1 012 1),( ( )12ln2 += ， 或极坐标积分法： ϕρϕρ sin,cos == yx ，边界 1=+ yx 与 2=+ yx 对应 1sincos =+ ϕρϕρ 与 2sincos =+ ϕρϕρ ，因此 ∫∫∫∫∫ +== + + 2 0 cossin 2 cossin 1 2 012 cossin 1),( π ϕϕ ϕϕ π ϕϕϕρϕ ddddxdyyxfD ( )12ln2 += 。 因此 ( )12ln24 3 1),( ++=∫∫ D dxdyyxf 。 例 1-7（2007数一） 设曲面 1: =++Σ zyx ，则 dSyx )(∫∫ Σ + =____________。 【解】（方法 1）由域与被积函数的对称性有： ,0=∫∫ ∑ xdS dSzdSxdSy ∫∫∫∫∫∫ ∑∑∑ == )( 3 1)( dSzdSxdSydSydSyx ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∑∑∑∑∑ ++==+ 地址：清华大学清华科技园创业大厦 1006 清华数学系 刘坤林 编 5 水木艾迪培训学校 2008年考研公开课资料 咨询电话：010-62701055 010-62796032 3 3 4 2 3 3 8 3 1)( 3 1 =⋅==++= ∫∫∫∫ ∑∑ dSdSzyx （方法 2）利用物理意义 dSydSyx ∫∫∫∫ ∑∑ =+ )( 3 3 4 2 3 3 8 3 1888 0,,, ∫∫ ≥∑ =⋅⋅⋅=⋅⋅== zyx SSyydS （方法 3）化成二重积分 dSydSyx ∫∫∫∫ ∑∑ =+ )( ∫∫ ≥∑ = 0,,, 8 zyx ydS 3 3 438 0,,, ∫∫ ≥∑ == zyx dxdyy 考点：利用曲面积分概念及对称性计算第一型曲面积分的基本计算题 , 木艾迪辅导中强调的星级考点。 例 1-8（2007-1-18）（本题满分 10分）计算曲面积分 ，其中∫∫ Σ ++= xydxdyzydzdxxzdydzI 32 Σ为曲面 )10( 4 1 2 2 ≤≤−−= zyxz 的上侧。 【解】（方法 1）利用 Guass 公式. 加上辅助平面 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤+ = + 1 4 0 : 221 yx z S ，下侧为正，组成内则为正的封闭曲面，由 Guass公式， +++∫∫ Σ xydxdyzydzdxxzdydz 32 ∫∫ + ++ 1 32 S xydxdyyzdzdxzxdydz ∫∫∫ Ω = zdxdydz3 ∫ ∫∫ −≤+ = 1 0 1 4 2 2 3 zyx dxdyzdz ∫ −= 1 0 )1(6 dzzzπ π= 。 而 0332 1 4 2 21 =−=++ ∫∫∫∫ ≤+ + yxS xydxdyxydxdyzydzdxxzdydz 故 。 π=++= ∫∫ Σ xydxdyzydzdxxzdydzI 32 （方法 2）直接计算，记曲面 在三个坐标面上的投影分别为 Σ zxyzxy DDD ,, xydxdyxydxdy xyD 33 ∫∫∫∫ = Σ 0= ， dydzyzzxzdydz yzD 4 12 2 −−= ∫∫∫∫ Σ dyyzzdz z z ∫∫ − −− −−= 12 12 21 0 4 12 地址：清华大学清华科技园创业大厦 1006 清华数学系 刘坤林 编 6 水木艾迪培训学校 2008年考研公开课资料 咨询电话：010-62701055 010-62796032 3 ])1(2[ 1 0 ππ =−= ∫ dzzz ， dzdxxzzdzdxzy zxD ∫∫∫∫ −−= Σ )1(442 2 dxxzdzz z z ∫∫ − −− −−= 1 1 2 1 0 18 π 3 2= 。 所以： ∫∫ Σ ++= xydxdyzydzdxxzdydzI 32 π= 。 （方法 3）利用法向量，将第二类曲面积分变成第一类曲面积分也可以计算。 )10( 4 1: 2 2 ≤≤−−=∑ zyxz ， kjyixn ++= 2 2 ， )24( 416 1 220 kjyix yx n ++ ++ = dS yx xyzyzxdSnkxyjzyixzI ∫∫∫∫ ∑∑ ++ ++=⋅++= 416 624)32( 22 22 0 其中 ∫∫ ∑ = ++ ++= 0 416 6, 2 416 22 22 dS yx xydxdy yx dS 因此只需计算 dS yx zyzxI ∫∫ ∑ ++ += 416 24 22 22 dxdyzyzx xyD )24( 2 1 22∫∫ += 即可。 其中 1 4 : 2 2 ≤+ yxDxy ， 41 2 2 yxz −−= 本题考点：第二型曲面积分概念与计算。相同例题参见水木艾迪 2007模拟试题二套数一 20题，水木艾 迪强化班第 12讲曲面积分例 10及例 12。 点评：第二类曲线积分有三种求值方法：直接计算法，Guass 公式法，将第二类曲面积分变成第一类曲面 积分，本题用这三种方法都能解。 例 1-9 体重范围估计问题 本教室学生的最大体重大于 58 公斤。 本教室学生的最小体重小于 48 公斤。 你作为检测人员，如何制定检测程序？ 例 1-10 设 在 上连续，且)(xf ′′ ],[ 10 ,0)1()0(,0)( ==>′′ ffxf 若 ，证明 . 1)(min ]1,0[ −= ∈ xf x 8 10 ≥′′ ∈ )(max ],[ xf x [证] 首先 在 上连续，必有最大最小值，又 )(xf ],[ 10 ,)()( 010 == ff 因此最大最小值不在端点取得，即存在 ),( 100 ∈x ， 使得 1)(min)( ]1,0[0 −== ∈ xfxf x 。其次，要证明 8 10 ≥′′ ∈ )(max ],[ xf x ， 只须证明存在 ],[ 10∈ξ ，使得 8≥′′ )(ξf 。 地址：清华大学清华科技园创业大厦 1006 清华数学系 刘坤林 编 7 水木艾迪培训学校 2008年考研公开课资料 咨询电话：010-62701055 010-62796032 例 1-11 选驸马问题 古代某个皇帝选驸马,经预选产生三个最聪明的候选人。 决赛规则：三人面向考官按一字形排成一列，考官准备了 5顶帽子：三黑 两红，从最后一个人开始给三 位候选人各带上个一顶帽子，最先说出自己帽子的颜色的热被选定为驸马。 结论：几分钟沉默后，面向考官的第一人先说出自己的帽子颜色（？） [证明] 设面向考官的第一个人为 1号，按顺序，其余两人为分别为 2号和 3号。以下是浮现在 1号选手 大脑中的思考过程： 3 号没开口：3号可看到的是：1、2 同色，或 1、2 异色，而没开口则说明 1号 2 号全红为不可能事件； 只剩下 1号 2 号异色或全黑。 2 号没开口：若 1号为红，则 2号必说出自己帽子为黑色（1、2 全红为不可能事件），但没说出，此假设 应否定，结论：1号为黑色。 引申：系统辨识（System Identification---black Box Theory） 2．理解概念力求做到准确全面 极限的保序性是一个通一精百的知识点。有及其广泛的应用。 由极限保序性，导致连续函数的保号性质、积分的保序性、积分估值定理与比较性质，掌握这些知识 点，对许多考题就会有制胜的把握。 •极限的性质理解： 保序性（保号性）与运算法则 例 2-1（2005 共用考题）（由导数正负号决定的函数局部比较性质性质） 设函数 连续，且 ，则存在)(xf 0)0(' >f 0>δ ,使得 （A）对任意的 ),0( δ∈x 有 . )0()( fxf > (B) 对任意的 )0,( δ−∈x 有 。 )0()( fxf > (C) 在)(xf ),0( δ 内单调增加。(D) 在)(xf )0,( δ− 内单调增加。 【解】因为 0 0 )0()(lim)0( 0 >− −=′ → x fxff x ，则由极限保序性可推断 存在 0>δ ，使当 )0,( δ−∈x 或 ),0( δ∈x 时， 0 0 )0()( >− − x fxf ， 即 与 应保持同号，因此： )0()( fxf − x 对任意的 ),0( δ∈x 有 ，对任意的)0()( fxf > )0,( δ−∈x 有 )0()( fxf < 。 答案为(A). 注：由一点处的导数正负号，只能得出函数值的局部比较性质！ 不能决定函数的增减性。函数的增减性属于区间上或全局性质。 例 2-2 设 在 上一阶可导，)(xf ],[ ba 0)()( == bfaf ， 0)()( >′′ bfaf ，证明：存在 ),( ba∈ξ ，使 0)( =ξf ； 地址：清华大学清华科技园创业大厦 1006 清华数学系 刘坤林 编 8 水木艾迪培训学校 2008年考研公开课资料 咨询电话：010-62701055 010-62796032 【证】 不妨设 ，即 0)(,0)( >′>′ bfaf 0)()(lim >− − +→ ax afxf ax ， 由极限的保序性，存在 0>δ 使得有： ),( δ+∈∀ aax ，满足 ， 0)()( => afxf 即有 ),(1 δ+∈ aax ，满足 0)()( 1 => afxf ； 同理可有 ),(2 bbx δ−∈ ，满足 0)()( 2 =< bfxf ， 因此，由连续函数的零点定理， ),(),( 21 baxx ⊂∈∃ξ ， 使得 0)( =ξf 。 注意：函数在一点导数的正负号不能得出 ( )00 , xx δ− 或 ( )δ+00 , xx 内的增减性结论， 例 2-3 设 在 某邻域内有二阶连续导数， )(xf 0=x 且 1 cos1 )(lim 0 =− ′′ → x xfx x ，则（ ）。 (A) ，但 是曲线 的拐点。 0)0( ≠′′f ))0(,0( f )(xfy = (B) ，且 是 的极小值。 0)0( =′′f )0(f )(xf (C) ,且 是曲线 的拐点。 0)0( =′′f ))0(,0( f )(xfy = (D) ，且 是 的极小值。 0)0( ≠′′f )0(f )(xf 【解】 答案为（C）。由题目的已知条件可得到： 第一个信息是： 01)(2lim cos1 )(lim 00 ≠=′′=− ′′ →→ x xf x xfx xx ， 则 ， 0)(lim 0 =′′ → xf x 又因为 在 某邻域内有二阶连续导数，于是)(xf 0=x 0)0( =′′f 。 第二个信息是： 01)(2lim cos1 )(lim 00 >=′′=− ′′ →→ x xf x xfx xx ， 根据极限的保序性知道，在 的某去心邻域内，必有0x 0 )(2 >′′ x xf ， 当 时， ， 0x 0)( >′′ xf 即知 在 两侧变号，于是可以断定 是曲线)(xf ′′ 0=x ))0(,0( f )(xfy = 的拐点。 地址：清华大学清华科技园创业大厦 1006 清华数学系 刘坤林 编 9 水木艾迪培训学校 2008年考研公开课资料 咨询电话：010-62701055 010-62796032 即只有选项( C)正确。 例 2-4 （2007-数一、二、三、四共用）设函数 在)(xf 0=x 处连续，下列命题错误的是 （A）若 x xf x )(lim 0→ 存在，则 0)0( =f （B）若 x xfxf x )()(lim 0 −+ → 存在，则 0)0( =f （C）若 x xf x )(lim 0→ 存在，则 存在 )0(f ′ （D）若 x xfxf x )()(lim 0 −− → 存在，则 存在 )0(f ′ 【解】答案 D。 考点：点连续概念，导数定义，无穷小量比阶的概念与极限运算法则。(D)的成立不一定保证导致可导的 两个极限存在。请看错误做法： x xfxf x )()(lim 0 −− → x fxf x )0()(lim 0 −= → x fxf x − −−+ → )0()(lim 0 )0(2)0()0( fff ′=′+′= 则 存在。极限运算法则错误！ )0(f ′ 注：本题系由水木艾迪经典例题演变而成。参见教材《大学数学同步强化 299》内： （33） 若 0)()(lim 0 ≠=+−−→ kh hafhaf h 存在，则 在)(xf ax = 处（ ）。 （A）可导，且 2 )( kaf −=′ 。 （B）可导，且 2 )( kaf =′ 。 （C）不可导。 （D）不一定可导。 【特别提示】 请注意以下错误做法： h hafhaf h )()(lim +−−→0 h afhafafhaf h )]()([)]()([lim −+−−−= →0 −−−= → h afhaf h )()(lim 0 h afhaf h )()(lim −+→0 kafafaf =′−=′−′−= )(2)()( 因此 在 处可导，且)(xf ax = 2 )( kaf −=′ 。选择（A）。 上述第二个等号为极限运算法则错误。 【解】正确答案为（D）。尽管有 h hafhaf h )()(lim +−−→0 h afhafafhaf h )]()([)]()([lim −+−−−= →0 k= 但是，上述极限的存在不能保证 h afhaf h )()(lim 0 −− → 或 地址：清华大学清华科技园创业大厦 1006 清华数学系 刘坤林 编 10 水木艾迪培训学校 2008年考研公开课资料 咨询电话：010-62701055 010-62796032 h afhaf h )()(lim −+→0 的存在，因此不能保证 )(af ′ 的存在。 [注] 极限运算法则的运用是常考知识点，原因是极限运算法则错误为常见错误。 极限运算法则表述的实质为：前者为后者的充分条件。而表现充分条件的命题在 应用中需特别注意数学逻辑上的准确性。 例 2-5 设 dxxI ∫= 3 4 1 )ln(sin π π ， dxxI ∫= 3 4 2 )ln(cos π π ，则( B ). （A） 。（B） 。（C）21 0 II << 210 II >> 21 II = 。（D） . 021 >> II 【解】当 ) 3 , 4 ( ππ∈x ， 1sincos0 <<< xx ，且 为增函数， xln 于是，由积分的保序性(或比较性质)有 >= ∫ dxxI 3 4 1 )ln(sin π π 23 4 )ln(cos Idxx =∫ππ ， 而 0)ln(cos3 4 2 <= ∫ dxxI ππ ，所以答案为(B)。 例 2-6 [2005-3-4（8）]设 ∫∫ += D dyxI σ221 cos ， ( )∫∫ += D dyxI σ222 cos ， ( )∫∫ += D dyxI σ2223 cos ，其中 { }1),( 22 ≤+= yxyxD ，则（ A ） （A） （B） 123 III >> 321 III >> （C） （D） 312 III >> 213 III >> [解析与点评] 考点是：初等函数的增减性，积分保序性与比较性质（定积分或多元积分），此类例题在 水木艾迪考研辅导教学中是基本例题，特别是基础班的例 6.1,6.2,6.3 等题目,有了这些例题的概念与方 法，解答本考题只需 30 秒时间。本题还与水木艾迪考研辅导系列教材《2005 考研数学应试导引与进阶》 中的例 6.10 及模拟与自测 12.39 类似（刘坤林、谭泽光等编写，清华大学出版社 2004 年 7 月出版）。 【解】 利用二重积分的保序性质（或比较性质），当 时，有 122 ≤+ yx ( ) 2222222 yxyxyx +≤+≤+ 又因 是减函数, 从而 ucos ( ) ( ) 2222222 coscoscos yxyxyx +≥+≥+ , 由此有 ( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫ +>+>+ DDD dyxdyxdyx σσσ 2222222 coscoscos 因此选 (A)。（30 秒 OK!） 例 2-7 （2006-2-9） 设函数 与 在 上连续，且)(xf )(xg ]1,0[ )()( xgxf ≤ ，且对任何 【 D 】 )1,0(∈c 地址：清华大学清华科技园创业大厦 1006 清华数学系 刘坤林 编 11 水木艾迪培训学校 2008年考研公开课资料 咨询电话：010-62701055 010-62796032 （A） ∫ ∫≥c c dttgdttf 2 1 2 1 )()( （B） ∫ ∫≤c c dttgdttf 2 1 2 1 )()( （C） （D） ∫ ∫≥1 1 )()(c c dttgdttf ∫ ∫≤1 1 )()(c c dttgdttf 【解】由 与 在 上连续，且)(xf )(xg ]1,0[ )()( xgxf ≤ ，所以 )1,0(∈c 时 。则对任何 ，有 ，即 0)()( ≥− xfxg )1,0(∈c ∫ ≥−1 0))()((c dttftg ∫ ∫≤1 1 )()(c c dttgdttf 。故选 D。 【解析与点评】 本题属于积分的保序性与比较性质的简单应用，是水木艾迪 2006考研数学 36计中特别 强调的考点与题型。参见水木艾迪 2006考研数学 36计中例 7-6，基础班例 6.1,强化班第 4讲例 27等例 题。 例 2-8 =+∫+∞→ x x tx dt e t2 1 lnlim （ ）。 （A）1. （B） . （C） . （D）不存在。 0 a 【解】 答案为（ B ）。由初等函数（ ）性质，xex ln, 0>∃X ，使当 时，有 0>> Xx x x x x x x t e xxdt e xdt e t +=+≤+≤ ∫∫ 1 2ln1 2ln1ln0 22 ， 应用夹逼定理得到 0 1 lnlim 2 =+∫+∞→ x x tx dt e t 。 3．技巧来自基本概念的理解与基本方法的悟性 三十六技之五：等式与不等式证明技巧 ----移项做辅助函数 初值加增减性分析法 泰勒公式方法 局部极值是背景，连续性质做基础，中值定理有四条，概念理解最重要，基本方法多总结，醒悟概念 孕技巧。 5．1 主要概念与方法 当遇到等式与不等式证明问题时，应意识移项做辅助函数。根据题目要求，研究辅助函数与导函数的 零点问题，增减性问题，最大最小值问题，是证明等式与不等式的常用方法，而移项做辅助函数 初值加 增减性分析法. 涉及的知识点包括：极限与连续函数性质，连续函数的零点定理与介值定理，导数零点与函数增减性， 微分中值定理，积分性质，泰勒公式等。 技巧“移项做辅助函数”的基本背景： 连续函数的零点定理（根的存在定理） 设函数 在闭区间 上连续，且)(xfy = ],[ ba 0<)()( bfaf ，则（至少）存在 使得 。 ),( bax ∈0 00 =)(xf 介值定理（零点定理推论）设函数 )(xfy = 在闭区间 上连续，若 ，则对介于],[ ba )()( afbf ≠ 地址：清华大学清华科技园创业大厦 1006 清华数学系 刘坤林 编 12 水木艾迪培训学校 2008年考研公开课资料 咨询电话：010-62701055 010-62796032 )()( afbf 与 之间的任意实数 A，都存在 ),( bax ∈0 ，使得 Axf =)( 0 。 【证明介值定理】思路是创造应用零点定理的条件， ----------“移项造辅助函数” 令 ，则 在闭区间 上连续，只需证明 至少有一个零点 。 不妨假设 ，则 ，因此 AxfxF −= )()( )(xF ],[ ba )(xF ),( bax ∈0 )()( afbf > )()( afAbf >> 0<−= AafaF )()( ，且 0>−= AbfbF )()( ， 于是 ，由零点定理， 至少有一个零点0<⋅ )()( aFbF )(xF ),( bax ∈0 ，所以 000 =−= AxfxF )()( ， 即 。 Axf =)( 0 技巧“初值加增减性分析法”的基本背景是： 拉格朗日微分中值定理及其推论 利用拉格朗日微分中值定理，可以证明下述结果（初值加增减性分析法的基本原理）： 技巧“初值加增减性分析法”的基本原理是： 利用拉格朗日微分中值定理，可以证明一个重要结果 若 ， ，则： ],[ bax∈∀ 0)( >′ xf 当 时，在 上恒有 ， 0)( =af ),( ba 0)( >xf 当 时，在 上恒有 。 0)( =bf ),( ba 0)( ′ )(,0)( xfxf 又因 ，且 为极小值， +∞=+∞−−=−= −−+ )(,)(,)0( 11 fkeefkf keef −−= −− 11 )( （1）所以当 时， ， 在01 <−< −ek 0)(, 11 >−−= −− keef )(xf ),( ∞+0 内无零点。 当 时， 恰有一个零点1−−= ek )(xf e x 11 −= 。 （2）当 时， ， 有两个零点为： 01 <<− − ke 0)(, 11 <−−= −− keef )(xf ),( ∞+∈ e x 11 及 ),( ∞+∈ ex 1 2 。 （3）当 时， ， 恰有一个零点0≥k 0)(, 11 <−−= −− keef )(xf ),1(3 ∞+∈ ex 。 例 5-2 设 在 上可导，当 时满足)(xf ]1,0[ )1,0[∈x )()1(0 xff << ，且 ，试证方程 在 内有唯一实根。 )()(' xfxf ≠ ∫= x dttfxf 0 )()( )1,0( 【证】移项造辅助函数，设 ，则 ∫−= x dttfxfxF 0 )()()( 0)1()0()0( >>= ffF ， ， =)1(F 0)1()1()()1( 1 0 1 0 =−<− ∫∫ dtffdttff 于是 在 内有实根。又因为 )(xF )1,0( 0)()(')(' ≠−= xfxfxF ，所以 )(xF ′ 在 内不变号，即 为单调函数，最多有一个零点，于是 在 内有唯一实根。 )1,0( )(xF ∫= x dttfxf 0 )()( )1,0( 或：假设有两个不同的实根，则由 Rolle 定理可得： ∈∃ξ )1,0( ，使得 0)()(')(' =−= ξξξ ffF ，即有一点 )1,0(∈ξ ，使得 )()(' ξξ ff = ，与题设矛盾， 则 在 内有唯一实根。 ∫= x dttfxf 0 )()( )1,0( 例 5-3 设 为)(xf ′ ),([ ∞+0 上的单调增函数， 00 =)(f ，证明对任意满足 210 xx << 的 成立不等式 。 21, xx )()( 1221 xfxxfx > 【解】 等价于)()( 1221 xfxxfx ′> 1 1 2 2 )()( x xf x xf > ， 考虑 x xfxg )()( = 在 ),( ∞+0 上的增减性。 ))()((1)()()( 22 ξfxxfxxx xf x xfxg ′−′=−′=′ ， 地址：清华大学清华科技园创业大厦 1006 清华数学系 刘坤林 编 14 水木艾迪培训学校 2008年考研公开课资料 咨询电话：010-62701055 010-62796032 其中 x<< ξ0 ，因为 为 上的单调增函数，于是 )(xf ′ ),([ ∞+0 )()( ξfxf ′>′ ， ， 0>′ )(xg 所以 x xfxg )()( = 在 ),( ∞+0 上单调增加，即有 1 1 2 2 )()( x xf x xf > 。 证明等式与不等式的重要方法与技巧出处： “移项做辅助函数”与“初值加增减性分析法” 例 5-6 设 ，证明不等式ba <<0 abab ab ba a 1lnln2 22 <− −<+ 。 【证】原不等式等价于 < + − 2)(1 )1(2 a b a b ,ln b a a b a b −< 先合并 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 ，再采用移项造辅助函数方法。 对右边不等式，令 ,1>= t a b 只须考虑 t tt 1ln 2 −< 移项造辅助函数，令 t tttf 1ln2)( +−= ， 0)1( =f （初值）， 0)1(12112)( 2 2 2 2 2 <−−=+−−=−−=′ t t t tt tt tf 于是 （初值），即右侧不等式成立。 0)( = t a b ，左侧不等式变为 21 )1(2lnt t t + −> 。 移项造辅助函数，令 )1(2ln)1()( 2 −−+= ttttg ，则 0)1( =g （初值）， 0ln22)1(ln2)( >≥−++=′ ttt t tttg ， （注意到平均值不等式 02)1( >−+ t t ！） 于是在 上 ，即左侧不等式成立。 ),1[ +∞ 0)( >tg （方法 2）取一个参数为变量，采用初值加增减性分析法，令 ， ， )(2)ln)(ln()( 22 axaaxxaxg −−−+= )0( >> ax 0)( =ag （初值） 地址：清华大学清华科技园创业大厦 1006 清华数学系 刘坤林 编 15 水木艾迪培训学校 2008年考研公开课资料 咨询电话：010-62701055 010-62796032 axa x axxag 2)(1)ln(ln2)( 22 −++−=′ 0221ln2 >−⋅+⋅> aax xa xx ， 因此 ，即左侧不等式成立（用到平均值不等式）。 0)( >xg （方法 3）由 Lagrange 中值定理得： ,,1lnln ba ab ab <<=− − ξξ 注意到 ba 111 >> ξ ，则由平均值不等式得到 ba a ba ab bb 22 2 22 2111 +=+⋅>>ξ 。 例 5-8 设 ，在 内可导，且],[)( 10Cxf ∈ ),( 10 010 == )()( ff ， 1) 2 1( =f ，证明 （1）存在 )1, 2 1(∈ξ 使得 ξξ =)(f 。 （2） R∈∀λ 存在 ),0( ξη ∈ 使得 ))((1)( ηηλη −+=′ ff 。 【证】 （1）移项造辅助函数 xxfxF −= )()( ，容易验证 ]1,0[)( CxF ∈ 且在 内可导，),( 10 1)1(, 2 1) 2 1( −== FF ，因此存在 )1, 2 1(∈ξ 使 0)( =ξF ，即 ξξ =)(f 。 （2）移项造辅助函数，要证 0))((1)( =−−−′ ηηλη ff ， R∈∀λ ， 考虑辅助函数 ，容易验证))(()( xxfexG x −= −λ ],0[)( ξCxG ∈ ，且在 ),0( ξ 内可导，且 0)()0( == ξGG 。对 应用罗尔定理，存在)(xG ),0( ξη ∈ 使得 0)( =′ ηG ，即有 0))(()1)(( =−−−′ −− ηηλη λλ feef xx ， 因 ，所以0≠− xe λ 1))(()( =−−′ ηηλη ff 。 例 3-1 （2006-4-17，10 分） 证明：当 π<<< ba0 时， aaaabbbb ππ ++>++ cos2sincos2sin 【解析与点评】此题属于水木艾迪 2006考研数学冲刺班 36计之五的典型例题，即移项做辅助函数，再 利用值加增减性分析法是证明等式与不等式的重要手段和技巧。 做辅助函数： xxxxxf π++= cos2sin)( 只需证明 π<<< xa0 时 严格单调增加。 )(xf 地址：清华大学清华科技园创业大厦 1006 清华数学系 刘坤林 编 16 水木艾迪培训学校 2008年考研公开课资料 咨询电话：010-62701055 010-62796032 π+−+=′ xxxxxf sin2cossin)( π+−= xxx sincos 0sincossincos)( <−=−−=′′ xxxxxxf 于是 严格单调减少，且)(xf ′ 0cos)( =+=′ ππππf （终值） 因此 π<<< xa0 时 0)()( =′>′ πfxf ，即 严格单调增加。 )(xf 令 ，得到 。 bx = )()( afbf > 参见水木艾迪 2006考研数学冲刺班 36计之五详细阐述的方法与例题，例 5-6，例 5-7，例 5-8，强化 班第 2讲例 31