北京54和西安80坐标系下的坐标转换及精度分析在Excel中的实现

北京 54 和西安 80 坐标系下的坐标转换及 精度分析在 Excel 中的实现 刘科利 ( 山东理工大学建筑工程学院 　山东·淄博 　255049) 提要 　北京 54 和西安 80 坐标换算是工程建设中经常遇到的问题 ,可使不同坐标系统下的测绘成果得到充分利用 , 因此快速准确地进行坐标转换及评定转换的精度是非常必要的。Excel 电子表格有强大的数据处理功能 ,处理结果 直观性好和操作简单 ,因此得到广泛的应用。该文利用 Excel 的优点 ,并采用重心化坐标使计算更加简单 ,实现了 北京 54 和西安 80 坐标转换参数求解、精度评定和坐标之间的相互转换表格输出。 关键词 　平面坐标转换 　重心化 　转换参数 　精度评定 Coordinates Transformation and Accuracy Analysis between Beijing 54 and Xi′an 80 Coordinates Systems in Excel Liu Keli (School of Architecture Engineering ,Shandong University of Technology ) Abstract 　The coordinates transformation between Beijing 54 and Xi′an 80 geodetic coordinates systems is the question which in engineering construction meets frequently. To make full use of surveying results in different geodetic coordinates systems ,it is necessary to transform coordinates and evaluate transform precision from one coordinate system to another. There are more characteristics in Excel such as powerful data processing func2 tion , good intuitiveness in processing results , simple operation and so on , so it gets extensive application. Based on advantages of Excel ,adopting gravity2centralized coordinates in this paper ,the coordinates transforma2 tion ,parameter solution , precision evaluation and chart processing in mutual system coordinates and printing between Beijing 54 and Xi′an 80 coordinates system are realized. Keywords 　plane coordinates transformation ;gravity2centralized ;transformation parameters ; precision evalua2 tion 作者简介 :刘科利 (1966 - ) ,男 ,实验师 ,主要从事大地测量方面的 实践教学与研究工作。 收稿日期 :2008 - 02 - 26 1 　引言 北京 54 和西安 80 坐标转换是二维坐标转换 , 其任务是把 54 (或 80)坐标系的坐标通过某种变换 , 得到 80 (或 54) 坐标系的坐标 ,一是计算转换参数 , 二是把一个坐标系的坐标通过模型计算出另一种坐 标系的坐标 ,这个过程叫坐标转换。文献[1 ]导出了 平面坐标的旋转转换 ,进而推导了平移、缩放、旋转 同时作用的平面直角坐标转换和逆变换的一套公 式。大量文献对坐标转换模型和参数求解方法进行 了研究[2～6 ] ,文献[7 ]把罗德里格矩阵和反对称矩阵 引入平面坐标转换模型 ,来直接计算转换参数 ;文献 [8～9 ]对参数精度进行了探讨。Excel 电子表格数 据处理功能强大、直观性好、操作简单 ,因此 Excel 电子表格在测绘计算中应用广泛 [10～11 ] ,但只用 Excel并不能直接完成所有平面坐标转换的计算和 表格输出。本文为了削除模型病态性和以提高解算 参数的精度及使法方程式部分元素为零 ,使模型解 算简单化 ,采用了重心化坐标。 2 　模型的建立 北京 54 坐标 x , y 和西安 80 坐标 X , Y 相互转 换可用模型形式[1～7 ] X Y = a b +λ cosα - sinα sinα cosα x y (1) 42　　　　　　　　　　　　　　　　　　勘 　察 　科 　学 　技 　术 　　　　　　　　　　　2008 年第 5 期 式中 a , b 称为平移因子 ,λ称为尺度因子 ,α称为旋 转参数 ,此模型是非线性的 ,需转化为线性模型 X Y = a b + c d - d c x y (2) 式中 , c =λcosα, d = - λsinα,λ= c2 + d2 ,如果已 知两个点在北京 54 和西安 80 坐标系下相应的坐 标 ,就可计算出 a、b、c、d 四个转换参数 ,如果已知 两套坐标的控制点多于两个 ,就有多余观测 ,就要通 过平差计算出四个转换参数。我们将北京 54 坐标 系下的坐标作为观测值 ,西安 80 坐标系下的坐标为 无误差 ,则任一公共点 i 对应的误差方程为 : vXi = a + cx i + dy i - Xi vYi = b - dxi + cyi - Yi (3) 若有 n 个公共点 ,可列出 n 组如 (3) 式的误差方程 vX1 vY1 vX2 vY2 … vX n vY n = 1 0 x1 y1 0 1 y1 - x1 1 0 x2 y2 0 1 y2 - x2 … … … … 1 0 xn yn 0 1 yn - xn a ^ b^ c ^ d^ - X1 Y1 X2 Y2 … Xn Yn (4) 法方程为 n 0 　 [ x ] [ y ] 0 n 　 [ y ] - [ x ] [ x ] [ y ] [ x2 + y2 ] 0 　 [ y ] - [ x ] 0 [ x2 + y2 ] × a ^ b^ c ^ d^ - [ X ] [ Y ] [ xX + yY ] [ yX - Yx ] = 0 (5) 为了计算简单 ,将坐标重心化。重心化的目的有二 , 其一是法方程中多项变为 0 ,使计算简单化 ,其二是 坐标位数明显减少 ,即坐标位数由原来的 7 位整数 减少至 4 位 , 法方程式最大系数由 15 位减少到 9 位 ,从而极大地削除了法方程病态性 , 条件数由 117315 ×1013变为 91499 ×107 ,从而达到提高计算精 度的目的。以 xg 和 yg 表示重心坐标 ,则各点重心 化坐标为 x i = xi - [ x ] n = xi - xg y i = yi - [ y ] n = yi - yg (6) 不难证明[ x ] = 0 , [ y ] = 0 , (5) 式变为 n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 [ x2 + y2 ] 0 0 0 0 [ x2 + y2 ] A ^ B ^ C^ D ^ - [ X ] [ Y ] [ xX + yY ] [ yX - xY ] = 0 (7) 由此可见 ,法方程系数阵变为对角阵 ,转换参数 A ^ = [ X ] n , B ^ = [ Y ] n , C^ = [ xX + yY ][ x2 + y2 ] , D ^ = [ yX - xY ] [ x2 + y2 ] (8) 转换参数的协因数为 QA^A^ = 1 n QB^B^ = 1 n QC^C^ = 1[ x2 + y2 ] QD^D^ = 1[ x2 + y2 ] (9) 根据 (2) 式有 X Y = A ^ B ^ + C ^ D ^ - D ^ C^ x - xg y - yg (10) 展开并整理 X Y = a ^ b^ + C^ D^ - D ^ C ^ x y (11) 式中 , a^ = A^ - C^ xg - D^ yg , b^ = B^ + D^ xg - C^ yg , c^ = C^ , d^ = D^ , (11) 式就是非重心化坐标之间的转换关 系的 计算公式 六西格玛计算公式下载结构力学静力计算公式下载重复性计算公式下载六西格玛计算公式下载年假计算公式 ,其协因数为 Qa^a^ = QA^A^ + x2g QC^C^ + y2g QD^D^ Qb^b^ = QB^B^ + y2g QC^C^ + x2g QD^D^ Qc^c^ = QC^C^ Qd^d^ = QD^D^ (12) (2) 式的逆变换为 x y = 1 λ2 c - d d c X - a Y - b (13) 式中 ,λ= c2 + d2 , (13) 式就是由西安 80 坐标计算 北京 54 坐标的公式。 3 　坐标转换的 Excel 实现 通过实例说明用 Excel 实现坐标转换所有计算 522008 年第 5 期 　　　　　　　　　　　　勘 　察 　科 　学 　技 　术 　　　　　　　　　　　　　　　　　 的方法。选用的数据是某地区的多个公共点 ,选取 7 个已知点列于表 1、表 2 ,用于计算转换参数 ,其余 各点用于检查坐标转换精度。先求出重心化的转换 参数 ,再计算原坐标下的转换参数 ,具体过程如下 : 表 1 　北京 54 坐标和西安 80 坐标相互转换计算界面 表 2 　北京 54 坐标和西安 80 坐标相互转换计算界面 　　1) 用 COUNT(A3 :A9)求出公共点个数。 2) 计算重心化坐标。在 C10～F10 单元 初级会计实务单元训练题天津单元检测卷六年级下册数学单元教学设计框架单元教学设计的基本步骤主题单元教学设计 格计算 北京 54 和西安 80 坐标的和 ,在 C11 : F11 单元格计 算坐标的平均值。选中 C3 :F10 单元格 ,单击工具条 上的“∑”,求出对应的坐标和 ;选中 C11 单元格 ,输 入计算公式 : = AVERAGE (C3 : C9) ,回车 ,选中 C11 单元格 ,将鼠标指针置于该单元格的右下角 ,此时指 针形状将变为填充句柄 (一个黑色加号) ,拖动填充 句柄至 F11 ,求出对应坐标的平均值 ,其中 E11、F11 是法方程中转换参数 A、B 的值。 3) 计算法方程中各项的值。 计算 x2 , y2 , x X , y Y , yX , xY , [ x2 + y2 ] , [ X ] , 62　　　　　　　　　　　　　　　　　　勘 　察 　科 　学 　技 　术 　　　　　　　　　　　2008 年第 5 期 [ Y ] , [ xX + yY ] , [ yX - xY ]的值。方法是选中 A14 单元格 ,输入计算公式 : = (C3 - ÃC Ã11) 3 (C3 -ÃC Ã11) ,回车 ,选中 A14 单元格 ,拖动 A14 单元格 的填充句柄至 A20 ,选中 A21 单元格 ,输入计算公 式 : = SUM(A14 :A20) ,回车 ,求出 [ x2 ]值 ,同理求出 [ y2 ]值。 选中 C14 单元格 ,输入计算公式 : = (C3 - ÃCÃ11) 3 E3 ,回车 ,选中 C14 单元格 ,拖动 C14 单元格 的填充句柄至 C20 ,选中 C21 单元格 ,输入计算公 式 : = SUM(C14 : C20) ,回车 ,求出 [ xX ]值 ,同理 ,求 出[ yY ]、[ yX ]和[ xY ]的值。 其它各符号值的计算比较简单 ,从而略去。 4) 求重心化坐标的转换参数 A^ 、B^ 、C^ 、D^ 。 5) 根据式(11)求原坐标下的转换参数 a^ 、b^ 、c^ 、d^ 。 6) 求比例因子λ的值。 7) 由北京 54 坐标计算西安 80 坐标。 将 54 坐标输入在单元格 C33 :D40 中 ,选中 E33 单元格 ,输入计算公式 : = ÃC Ã29 + ÃE Ã29 3 C33 + ÃF Ã29 3 D33 ,回车 ,选中 E33 单元格 ,拖动 E33 单元格的填充句柄至 E40 ,求出上述控制点在西安 80 坐标系下的 X 坐标值。同理求出西安 80 坐标系 下的 Y 坐标值。 8) 由西安 80 坐标计算北京 54 坐标。 将上述已知控制点西安 80 坐标输入到单元格 E43 :F49 中 ,选中 C43 单元格 ,输入计算公式 : = ÃDÃ30 3 ( ÃE Ã29 3 ( E43 - ÃC Ã29) - ÃF Ã29 3 (F43 - ÃD Ã29) ) ,回车 ,选中 C43 单元格 ,拖动 C43 单元格的填充句柄至 C49 ,求出北京 54 坐标系下 X 的坐标 ,同理计算出 Y 坐标。 9) 计算单位权中误差 ,其值为 0. 0204566。 10) a^ 、b^ 、c^ 、d^中误差计算。 σa = 010077 σb = 010079 σc = 0100000079 σd = 0100000079 4 　结论 1) 本文充分利用 Excel 电子表格软件的特点 ,选 择优化的坐标转换模型 ,在削除模型病态性和提高解 算参数的精度方面进行研究 ,使北京 54 坐标系和西安 80 坐标系的坐标互换变得直观 ,并且操作简单。 2) 本文的计算完成坐标转换的两个任务 ,即转 换参数解算和精度评定 ;由一个坐标系的坐标计算 另一种坐标系的坐标。 3) 本文模型削除了法方程病态性 ,并且推导了 直接写出参数平差值和精度的简易公式 ,即对原坐 标进行了重心化。 参考文献 1 　Francis H Moffitt , Edward M Mikhail. 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