运用久期模型进行利率风险管理的若干问题分析

2006年第5期 ECONOMIC SURVEY N6.5 五06 运用久期模型进行利率风险管理的若千问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 分析 谷秀娟 (河南工业大学经济贸易学院，河南郑州450052) 摘 要:利率的波动会给金融机构带来利率风险:重新定价风险和市场价值变动风险。传统的资产负债管理方法:缺口(9即)管 理，只能解决前者而对后者无措。因而，后来理论界和业界并始广泛推崇和实行久期(duration)方法。久期充分考虑了与时间 因素相关的现金流问题，可以同时兼顾利率变动对于收益和资本利得或损失的影响，从而实现利率免疫(interest immunization) o 巴塞尔委员会(2001年)推荐的监管银行利率风险的模型就是以久期模型为基础的。然而，也有些人认为该模型在金融机构资 产负债管理中实际运用起来有种种困难，并对该模型提出了许多批评意见，本文将逐一分析这些问题及解决之道。 关挂词:久期;利率风险;凸性 作者简介:谷秀娟(1968一)，女，河南郑州人，经济学博士，教育部重点人文社科墓地中国财政金融政策研究中心研究员，河南 工业大学经济贸易学院教授，主要从李金融风险、金融市场与公司治理研究。 中圈分类号:F830.9 文献标识码:A 文章编号:1006一1096 (2006) 05 -0123 -05 收稿日期:2006 -05 -07 一、匹配久期的成本太高 有人认为，尽管原则上讲，金融机构管理者可以改变资产 的久期(D,,)和负债的久期(DL)，实现久期的匹配从而对金 融机构的利率风险进行免疫管理。但是，在实践中，要对一个 规模较大、业务复杂的金融机构进行久期匹配则非常耗时，而 且成本较高。从历史上看，这种观点也许是对的，而且可能是 现实存在的。但随着金融市场的迅猛发展和各种金融创新工 具的涌现，金融机构可以不需要支付很高的交易成本而很快 地实现对资产负债结构的重构:如利用资产证券化和贷款出 售市场等。加之金融机构对于久期模型的运用不仅仅限于直 接地进行资产组合调整，还可通过持有衍生证券等对冲头寸 实现利率免疫，如远期、期货、期权、上限、下限、区间和互换等 等。 二、免疫是一个动态过程 假定某保险公司试图购买这样的债券:保证其在5年内 无论利率如何变化都能收到累计为$1,469美元的现金流。 我们知道，该机构应购人一个期限为6年，息票率为8%的久 期为5年的附息债券，才可以实现利率免疫:避免利率随即变 动所带来的风险。这里“随即”是指购买债券后紧跟着的利 率变动。事实上，利率水平可以在持有期内任何时点发生变 动。而且，债券的久期也会随时间而变化，即随着到期日的临 近而变化。 若保险公司2004年购人久期为5年(期限为6年)，息票 为8%的债券以实现其在2009年的现金流为$1469的目标。 若该机构就此认为已实现了利率免疫且对该头寸置之不理。 一年后，利率由8%降至7%。此时距离到期日还有4年，重 新计算久期则为4.33。这意味着该机构的久期不再是匹配 的:4.33年的久期大于4年的投资期限。因此，该机构将不 得不再调整期债券结构。一个办法是卖掉一部分5年期(久 期为4.33年)的债券，并买人一些久期较短的债券从而使得 投资组合的总久期为4年。例如，卖掉一半的上述债券，且用 收回的资金购人久期和期限均为3.67年的零息债券。由于 零息债券的久期和期限是相同的，则投资组合的久期为 D,,=[4.33 x0.5]+[3.67 x0.51 =4(年) 这个例子说明，以久期模型为基础的利率免疫是一个动 态的过程。理论上，金融机构需要不断地调整其资产组合才 能保证其投资组合的久期与负债的久期相匹配。 由于持续地调整组合头寸实际上很难实现，而且交易成 本过高。因此，大部分金融机构只是近似地定期进行调整，如 每季一次。 可见，在实现完全利率免疫和动态地保持免疫头寸的交 易成本之间存在一种替代关系。 三、利率的大幅度变动与凸性 久期可以精确地刻画固定收益证券对于利率的较小变动 的价格敏感性。但若利率的变动较大，比如为2%或200个 基点，则久期就无法准确反映价格的变化了。如图1所示。 使 P 久期模型 盛生 ，杏R 图1 久期模型与真实关系 根据久期模型，利率变化与债券价格变化的关系将与D (即久期)成比例。然而，若用精确的债券估值方法测算债券 ·123· 价格的变化，我们将发现:当利率大幅度上升时，久期模型高 估了债券价格的跌幅;当利率大幅度下降时，久期模型低估了 债券价格的升幅。久期模型预测的利率升降对于债券价格的 影响是对称的。实际上，利率上升的资本损失效应(Capital loss effect)小于利率下降的资本利得效应(capital gain effect) 产生这种结果的原因在于债券价格— 收益率的关系呈现凸 性(convexity)而非久期模型所描述的线性(linearity)。 我们注意到，把握住凸性这各种特点，对于金融机构的资 产组合管理是有益的。购人一个凸性较强的债券或资产组 合，实际上就等于是部分地实现了利率风险保险:较强的凸性 意味着利率下降引致的资本利得效应将很好地对冲掉利率上 升引致的资本损失效应。 下面举例说明，凸性对于估计较大的利率变动对于金融 机构组合的影响。考虑一个6年期，息票率为8%的欧洲债 券(见表1)。 PO=(1. 80 1)干石.1)2 80 80 80 十在1)5十石丁1)a十石.1 )5 +石万)6=$912.895 表1 6年期期的息票年为8%的欧洲债券的久期 T CF, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? CF, 0.9259 0.8573 0.7938 0.7350 0.6806 0.6302 CF, x DF, 74.07 68.59 63.51 58.80 54.45 680.58 1,000.00 CF, x DF, x t 即图2中的C点。 可见，实际价格的下降低于久期模型的测算结果，其中存 在误差。同样，在利率下降时，价格变化的测算结果也存在误 差。如，利率由8%降至6%则久期模型测算的价格为D ($1,092.463)与精确的价格E ( $1,098. 347)之间存在误 差:久期模型低估了价格的上升幅度。金融机构所面临的问 题是:这种误差是否应引起其足够的重视!显然，这取决于机 构的资产规模大小和利率变动幅度的高低。 凸性有以下三个特点:(1)凸性是有益的:某证券或资产 组合的凸性越强，则机构就越大程度上实现了对于利率风险 的保险。(2)凸性与久期:利率变动越大、证券或资产组合的 凸性越强，则金融机构仅仅运用久期进行利率免疫管理的风 险越大。(3)所有的固定收益证券都具有凸性。 以6年期息票率为8%的债券为例，若市场利率为8%， 考虑两种极端的情况:若利率降至零或上升到非常高的水平 (逼近无穷大)，债券价格将如何? 若R二0 235. 272. P= 80 气，，--二丁 + ⋯ ，，. 〔1 +U) 1080 十代尸-一，，尸，丁= (1 +U)" $1480 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ? ? ? ? ? ?? ? 6 1,080 4,083.48 4,992.71 即价格为债息收入与债券面值的简单加总。由于实际上 R不可能降至零，因此$1480是债券价格的上限。 若R=00 4,992.71 1,000.00 。 80 r二丁丁丫一一一下十.‘二’. 11+. ) 1080 D二 =4.993(年) + —(1+00) -0 其久期为4.993年，在8%的市场收益率水平下的现价 为孚1,00()美元。 可见，随着收益率逼近无穷大，债券价格将逼近零，由于 价格不可能为负，因此其下限为0(见图3)。 Po 80 (1.08) 80 80 80 80 +，尸了一甲，，罗布十贾甲一竺，，，犷+气-一一士甲吮-丁+尸-~吧甲，了下 (1.08)- (1.08)- (1.08)- (1.08)- 80 ‘，。。。 十(1.08)6“v’,UUU 即图2中的A点。 /价挤“率，麟“性 价格 (p) !力份别了 官月总们口 .橄益率 (助 图3 债券的凸性 〔二二二J二二二二二二二 ? ? ? ， ? ? “ 峪 付笼 收益率(助 圈2 若利率由 下降9.2457% 6年期欧元债券的价格— 收益率曲线 8%升至10%，则久期模型预测的债券价格将 既然凸性是有益的，那么金融机构会问:凸性是否可以度 量?可否将凸性纳入久期模型以改善其精确度? 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 是肯定 的。 理论上讲，久期是价格— 收益率曲线的斜率，而凸性则 是斜率的变化率。根据Taylors展开级数:一级即为dP/dR: 久期，二级即为d2 P/dR2:凸性(以CX表示)。 等=一D万APD (1 +R)+合C·‘““，’ ，即 馨二一4.993 0.02=一9.2463% Y 1. Uts D1+R即为修正久期‘modified duration) 或者说价格从$1,001)降至$907.537(图2中的B点)， 但是，精确地计算债券价格的变化为 凸性(CR)反映了价格— 收益率曲线的“突出”程度， 即在利率上升或下降相同幅度时，资本利得效果大于资本损 失效果的程度。(如图4所示) ·124· 价格 apA 资本利件 资本拭失 .息俊 伟.创% 月% 协办勺马 收益率 圈4 凸性的度f 圈5 附息债与导息债的凸性 CX二‘08【 利率每变化一个基 点引致的资本损失+ (负面效果) 利率每变化一个基1 点引致的资本利得」 (正面效果) 乘数10“将其转化为1个百分点的变化 CX=108‘牛 +半) 计算一个息票率为8%,6年期的欧洲债券的CX(利率为 8%，债券面值为$1000) 1,000,462.63 -上0`00 1 1，0以 ⋯等=一MD AR+ 2280R2 假设利率由8%升至10%: 譬=一糯x0.02·合x28 x 0.022 既然凸性是有益的，相当于对利率风险的一种保险。金 融机构就可以通过建立资产组合以最大化这种效果。 例如，某养老基金面临着巧年期的支付需求，为对其进 行利率免疫，该机构应购人久期为巧年的债券。考虑以下两 种策略:策略(1):将100%的资金投资于15年期的收益率为 8%的贴现债券;策略(2):将50%的资金投资于货币市场(联 邦基金市场),50%投资于30年期的收益率为8%的贴现债 券。 其久期和凸性分别为 策略(1);D=15,CX二206 策略(2),D二1/2 x 0+1/2 x 30=15,CX=1/2 x0+1/2 x 797 = 398. 5 (联邦基金的久期和凸性为零) 策略(1)和(2)的久期是相同的，但后者的凸性较大，我 们称其为“哑铃”组合(如图6所示)。 资产组合比例 =一0.0925 +0.0056二一0.0869或一8.69% 式中第一项表明:根据久期模型，利率上升2%将使债券 价格下降9.25%。加上第二项表明:将凸性纳入久期模型将 使价格少下降0.56%，这很接近于精确值8.71%。可见凸性 因素的纳人减少了误差。 下表表明了凸性的一系列特点。 表2 凸性的特点 ? ?? ? ?? 15 30 利率免疫策略 \ t_ 一下- 翻 彼+2洲 ?? ?? ? 、 ? ? ? ? ? ? 、 ? ? ? ? ? ? ? ? ???? 、 ， ? ? ? 、 ? ? ?? ? ? ’凸性随久期增大 债券类型 不同凸性不同 久期相同的零息 债凸性小于附息债 例子 A B N 6 18 R 8% 8% C 8% 8% D 5 10.12 CX 28 130 例子 A B 6 6 8% 8% 8% 0 5 6 28 36 例子 A B 6 5 8% 8% 8% 0 5 5 28 25.72 叔益价值 ($) 其中N:期限，R:收益率，C:年度债息，D:久期，CX:凸性 表的右部表明:随着债券期限(N)延长，其凸性(CX)上 升，这一点与久期一致。 表的中部表明:同样期限的债券，附息债的凸性小于零息 债。但对于同样久期的债券，表的右部表明:附息债的凸性大 于零息债。(如图所示) 图7 资产与负债的凸性 金融机构通常可以构建这样的资产组合:使得资产的凸 性大于负债的凸性。这样，无论利率发生何种变化，对金融机 ·125· ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 构的净值的影响都是正面的(如图7所示)。 另一种办法就是金融机构发行可赎回债券(Callable bond)作为负债，可赎回债券的资本利得是有限的，因为若利 率下降到一个较低的水平，则发行人将赎回重发。这种资本 利得的有限性是可赎回债券的价格— 收益率曲线决定的: 呈负凸性。因此，若资产具有正凸性，负债具有负凸性，则无 论利率如何变化，对于金融机构的净值的影响都是正的。 表3 收益率曲线向上倾料时的久期 CF xDFxt? ? … ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? 四、水平的利率期限结构问题 6 1080 1/1. DF CF x DF .08 =0. 9259 74,07 0882 =0.8573 67.58 .94' =0.7938 61.10 0980 =0.7350 55.04 102' =0.6806 49.22 1036 = 0.6302 599.75 以拓.76 3,598.50 4,457.29 简单的久期模型的假设前提是利率的期限结构是水平 的，且当利率变动时，收益率曲线平行移动(如图8所示)。 五、违约风险问题 收益率 (移) 收益甲曲抽1 a一一一一一一一一一一一一翔限 圈8 简单久期模型陈含的收益率曲线 在久期模型中，未考虑违约风险问题:假定债券发行人或 借款人一定会按期还本付息，不会违约或延期还款。但在现 实世界中，还本付息常常会出问题而导致金融机构不得不与 借款人重订贷款展期 协议 离婚协议模板下载合伙人协议 下载渠道分销协议免费下载敬业协议下载授课协议下载 。 以6年期的息票率为8%的欧洲债券为例，若利率为8% 发行人因陷人经济困境而无法付第1年的利息，金融机构与 行人双方达成协议可将利息延至第2年，这减轻了发行人的 负担却延长了金融机构债券的久期:由约5年变为5.08年 (如表4所示)。 表4 贷款展期与久期 在现实世界中，收益率曲线的形状各异，若不是水平的则 运用简单的久期模型进行资产、负债的利率敏感性分析将存 在误差。我们可以根据对收益率曲线及变化的不同假设采用 不同的模型来解决这个问题。 假定收益率曲线并非水平但其形状使得不同期限的零息 债券的收益率成比例变化，这是一种较为严格的假定(如图9 所示)。 DF 0.9259 0.8573 0.7938 0.7350 0.6806 0.6302 CF x DF 0 137.17 63.51 58.80 54.45 680.58 994.51 CF xDFxt ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ， ? ? ? ， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ? ? ? ?? ? ? 6 1,080 收益率 lo.洲 10.洲 导息债的 收益率曲给 0837(年) 9.麟 D=5,055.81二5. 914.31 9.4% a.韶 一般地，考虑到违约风险因素，金融机构可以将未来t期 可能的现金流乘以付款可能性(P,)，得到预期现金流:E (CF,): E (CF,)二P, x CF, 然后再用同样方法计算久期即可。 i 」一 一L 庄一沫一一J一一1 0 1 2 3 4 5 6期限 六、浮动利率贷款和债券 圈9 倾斜的收益率曲线 若1年期零息债券收益率上升，则 AR, AR, AR, 石R,“ 1 +R,““’“’=1 + R6 在这种严格假定下，则久期D*为 D.二4,457.29/906.76 =4.91562 而收益率曲线水平时的久期为:4.993年，D’与D不同， 是由于收益率曲线向上倾斜从而后期的现金流折现率较高。 对于金融机构而言，选择D.而非D，除了资产负债的久 期缺口(D丈一KD:)有所变化外，并未改变其基本问题。而 且，对收益曲线形状的假定改变时，D’也会发生变化。 简单久期模型假定贷款或债券利息收人是固定的，即从 发行至到期日保持不变。然而，实际上许多债券和贷款都是 浮动利率:如盯住LIBOR的贷款，与国库券利率挂钩的可调 利率抵押贷款(ARM,) ,80年代后出现的永久性浮动利率票 据(FRN,)等等。这些贷款或债券的久期如何计算呢? 浮动利率工具的久期为从购入该工具之日至下一次支付 利息重新定价以反映利率变化的时间间隔，我们称之为重新 定价的时间。 例如，投资者购人一个永久性的FRN，该票据无到期日， 在每年年初金融机构确定息票率，在年底支付。若投资者在 第1年年中(t二1/2)而非年初购买债券(如图10所示)。 ·126· 支付C，支付C 支付C 确定C4确定C。确定气 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 确定 今 令 令 t 令 令 . I 1 _ I ___L 1 ___ _. 0 今 1 2 3 4 5 在时期 t二1/2购入债券 该FRN的久期为 D=1/2年 也就是说，久期为购人债券日与第一次重订债息日之间 的时间间隔。 七、活期存款和支票存款 图10 浮动利率债券 则该债券的现值为 P二 C, (1+1/2R) C, (1+1/2R)(1+R) C, (1+1/2R)(1+R) 2 C4 — 十 (1+1/2R)(I+K)' C, (1+1/2R)(1+R) 4 Cm 十⋯⋯ 十下.一一二二万二丁爪一节二万二二丁 LI+ilLn)气I+n) 公式中有三点值得注意:(1)投资者只需等待半年即可 得到第一次债息，所以贴现率为l +1/20 (2)投资者只确知 第一次债息Co (3)金融机构在投资者购买债券前6个月确 定息票率。(4)其他债息Cz+C3ICa,C5,...... C.在购买债券 时是未知的，在未来重订时才可以确定。 重写上式为 P= C, (1+1/2R) 1 +一了丁一一代犷代二二二丁 (1+1/2K) CZ 吸二弋- 代二二尸+ ’tt+K) C3 (1+R)Z七C,+ } -3+ 11+n) C5 (1+R )a + C? (1+R)00-') 有许多银行都拥有大量的活期存款和支票存款，它们甚 至是主要的存款来源。该类存款是没有期限的，那么如何计 算其久期呢?一个办法是分析其周转情况，比如若平均1美 元存款1年周转5次，则意味着1美元的平均期限为73天 (即365/5 =73天)。另一个办法是可以将这类存款视为随 时可以向银行赎回现金的债券，则其久期应近似为0;还可以 从久期的利率敏感性特点角度来解决这个问题。测算活期存 款对利率变化的反应情况即(ADD/DD)对(OR)的敏感性。 (可以用线性或非线性时间序列分析法)，因为这类存款是不 支付利息的，或利息水平较低，所以当市场利率上升时，存款 人有可能将其转入较高利率的工具。最后，也可以用模拟分 析。即对未来一段时间的利率水平和存款人的提款额作出预 期，并将这些现金流折现，即可求得久期。 八、其他问题:抵押贷款和抵押贷款支持 证券 计算抵押贷款和抵押贷款支持证券久期的难点在于其存 在提前还款风险，因此需要模拟借款人的还款行为，另外，随 着银行业务范围的扩展，期货、期权、互换等金融衍生品也是 其资产的重要组成部分，这类工具对利率变化非常敏感，其久 期的计算也极为复杂。 括号内为若债券在第1年年末(第二次付息的起始日) 出售的市场价(P, )，只要可调的债息恰好反映了利率的变 化，则括号内的值就不会受利息变化影响，则 九、结论 C, P, P二甲一下下丁十下一万一万 (1+任-)K (1+任-)且 2 一 2 因为C，是在投资者购买前就已确定的现金流价值，P, 是以现值计的固定现金流，购人该债券就相当于买人两只期 限都为6个月的零息债券。由于零息债的久期即为其期限， 尽管久期是金融机构管理利率风险的极好手段，但在实 际运用中也存在一系列问题。针对这些问题根据不同情况我 们可以寻求相应的解决之道。从而使久期模丝成为更加完善 的利率风险管理工具。 (编校:书明) An Analysis of Some Problems in Managing Interest Rate Risk with Duration Model GU Xiu一juan (School of Economics and Trading, Henan University of Technology, Zhengzhou 450052, China) Abstract ;The fluctuation of interest rate will bring interest rate risk to financial institutions: repricing risk and market value change risk. The traditional asset一liability management method, gap management, can solve the former problem, but have no way to handle the lat- ter. Hence, duration model was widely canonized and practiced场the theoretical and industrial circles. Duration model gives full con- sideration to the time一related cash flow problem and the influence of interest rate change on the benefit and loss of income and capital and therefore interest immunization is realized. In fact, the model for monitoring bank interest rate risk proposed (in 2001)场the Bank of International Settle is based on the duration model. Critics of the duration model often claim that it is difficult to apply in real situa- tions and put forward a lot of criticism and suggestions. This paper analyzes the criticism of the duration model and discusses solutions to the problem. Key words: duration; interest rate risk; convexity ·127·