null第三章 小波变换第三章 小波变换nullFourier分析对于平稳信号的分析是非常有效的,但是由于其不具有分析局部时域信号的局部频谱特性,没有时频局部化功能;短时Fourier变换虽然具有时频分析能力,但是时频窗是固定的,不能自动适应频率变化的需要.§3-1自适应窗函数的设计§3-1自适应窗函数的设计Fourier变化的
表
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达式为:
只能求取整个时域上的频率特性，不能反映局部频率特性。
短时Fourier变化的表达式为: null令 ，则： 可以反映局部频率特性，但是窗函数一经设定，没有自适应能力，不能满足低频部分需要时窗宽、频窗窄，高频部分需要时窗窄、频窗宽的要求。
为此，定义窗函数的一般形式为：
它是经过平移和放缩的结果。 null
当a<1时， 被拉宽且振幅被压低， 含有表现低频分量的特征；当a>1时， 被压窄且振幅被拉高， 含有表现高频分量的特征。null 如图：§3-2 小波、小波变换的定义和条件§3-2 小波、小波变换的定义和条件1、小波变换的定义
●把对信号f(t)的积分变换：
称为小波变换。满足一定条件的函数 称为允许小波函数。又称为基本小波，或母小波。
是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，我们称之为小
波基函数，或简称小波基。，b 是时移， a 是尺度因子。
●小波函数的范数不变性：
此式表明： 经过平移与伸缩以后，其模量没有改变。null●小波函数的频域特性：
此式表明， 经过平移和伸缩以后得到的新函数 的频域特性随参数a的变化而变化。
null2、小波变化的回复
公式
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推导
任何一种变换应该是可逆的。为推导小波变换的回复公式，先得推出与Fourier变换中类似的乘积公式。
在Fourier变换中，有公式：
对于小波变换而言: null同理： 用到公式null式中： ，null补充：
（1）函数特点：质量为1的质点均匀分布在x轴
的区间，平均密度分布函数为：
若将该质点放置在座标原点，则密度分布函数为null由此，引出 函数概念：null （2）阶跃函数null就有： ，因此：
null 允许小波的条件：
（1） ，即小波具有快速衰减性；
（2）由 的连续性和 可推知：
。从而有：3.3 小波变换的自适应时频窗分析3.3 小波变换的自适应时频窗分析 前面已经提到，WFT不具有自适应时频窗的能力，而小波变换具有这种能力，下面具体分析其时频局部化效果。
与WFT相比，可将 看成窗函数，令 为时窗中心， 为时窗半径， 为频窗中心， 为频窗半径，有：null如式：
将窗函数 的以上各量分别记为:
， ， , 。 null可以证明： ，nullnull由以上关系不难看出：平移因子b使时窗中心发生同量的平移，不影响时窗的宽度；而放缩因子a既可使时窗中心发生变化，也使时窗半径压缩为1/a；同样缩放因子将频窗中心和频窗半径拉宽a倍。null总结如下：null 3.4 离散小波变换及其频带特性 3.4 离散小波变换及其频带特性 将a、b取为离散型整数形式，即： ，可将 表示为：
相应的小波变换表示为离散小波变换： null 因为离散小波 是由 经 整数倍缩放和整数k平移所生成，它同样满足：
若 满足允许小波的条件，则 也是允许小波；若 具有时频局部化能力， 也具有时频局部化能力。
null 的频窗中心为： ，频窗半径为：
离散小波变换：
根据 的频窗范围可知，小波变换实际上是将信号f(t)的频率范围限制在 内，因而 如同一带通滤波器，在频域方面的局部化作用由j来调节，在时域方面的局部化作用由k来调节。对于不同的j，这些频带不重叠。因此小波变换是将原信号变换成不同子频带的分量之和，反映高频的局部 null 分析应表现于反映高频的子频带分量中，反映低频的局部分析应表现于反映高低的子频带分量中。不像Fourier分析那样把整个时域信号表现为若干精确的频率分量之和，而是若干子频带的时域分量之和，因而具有时频局部化能力。
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