南昌大学 / 学年第 学期考试试卷 线性代数试题 一填空题(每空3分，共15分) 得分 评阅人 1、已知四阶行列式 的第三行元素依次为 ， ， ， ，并且第三行元素的余子式依次为 ， ， ， ， 则 2、设矩阵 ， ，则 （其中 为 的转置矩阵） 3、若向量组 ， ， 线性相关，则 4、若线性方程组 有解，则 5、设 阶方阵 与 相似，且 ，则 二、选择题(每小题3分，共15分) 得分 评阅人 1、设 为三阶方阵，且 ，则 （ ） （ ） 2、设 、 为 阶方阵，下列各式一定成立的是（ ） 3、设 为 阶方阵，则下列命题错误的是（ ） 可逆的充要条件是 。 可逆的充要条件是 也可逆。（其中 为 的伴随矩阵） 可逆的充要条件是 有 个不同的特征值。 可逆的充要条件是齐次线性方程组 仅有零解。 4、三个方程四个未知量的非齐次线性方程组 满足（ ）时一定有解。 系数矩阵 的秩 系数矩阵 的秩 系数矩阵 的秩 增广矩阵 的秩 5、二次型 的矩阵为（ ） 三、计算行列式 的值。（8分） 得分 评阅人 四、求向量组 ， ， ， 的一个最大线性无关组及向量组的秩。（10分） 得分 评阅人 五、已知 ， 。求满足 中的 .（8分） 得分 评阅人 六、设矩阵 ，求矩阵 的逆阵 。（10分） 得分 评阅人 七、求 、 的值，使线性方程组 有无穷多个解， 并求出通解。（10分） 得分 评阅人 八、求矩阵 的特征值和特征向量。（10分） 得分 评阅人 九、设二次型 为正定二次型。求 的取值范围。（8分） 得分 评阅人 十、设 ， ， 都是非奇异矩阵，试证明 也是非奇异矩阵， 并求 的逆阵。（6分） 得分 评阅人 一、1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 ； 二、1（A）； 2（B）； 3（C）； 4（C）； 5（C）。 三、1. 2分 4分 6分 8分 四、 2分 7分 8分 则 为向量组的一个最大无关组 10分 （注： 或 或 或 亦为向量组的一个最大无关组） 五、 2分 5分 8分
答案
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解析 六、 方法（一） 3分 5分 10分 方法（二） 4分 8分 10分 七、 对增广矩阵作初等行变换，有 8分 由此可见，当 时， 增广矩阵的秩 系数矩阵的秩 未知量的个数， 此时原方程组有无穷多个解，并且当 时，原线性方程组的同解方程组为： 方程组的通解为 （ 为任意常数） 八、 = 2分 解得特征值为： 。 3分 对应于 根据 ，有 4分 ，即 7分 取 ，则易求得 。 8分 即关于 的一个特征向量 9分 故关于 的全部特征向量为： 10分 九、 1分 2分 得： 3分 4分 6分 得 7分 由 、 、 得： 8分 十、 2分 是非奇异矩阵 4分 6分
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