关闭

关闭

封号提示

内容

首页 概(1)khdaw.pdf

概(1)khdaw.pdf

概(1)khdaw.pdf

上传者: 我的爱 2010-12-26 评分 3 0 33 4 149 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《概(1)khdawpdf》,可适用于计划/解决方案领域,主题内容包含概率论与数理统计习题及答案习题习题习题习题一一一一. 略见教材习题参考答案设ABC为三个事件试用ABC的运算关系式表示下列事件: ()A发生BC都不符等。

概率论与数理统计习题及答案习题习题习题习题一一一一. 略见教材习题参考答案设ABC为三个事件试用ABC的运算关系式表示下列事件: ()A发生BC都不发生()A与B发生C不发生 ()ABC都发生()ABC至少有一个发生 ()ABC都不发生()ABC不都发生 ()ABC至多有个发生()ABC至少有个发生 【解】()A()AB()ABCBCC()ABC=CBABCACABABC=ABACBCABCABC()=()ABCABCABC()BCACABCAB==ABCABBCACABCABCABC()ABBCCA=ABACBCABCCBA 略见教材习题参考答案 设AB为随机事件且P(A)=,P(AB)=求P() AB【解】P()=P(AB)=P(A)P(AB)AB==设AB是两事件且P(A)=,P(B)=,求: ()在什么条件下P(AB)取到最大值? ()在什么条件下P(AB)取到最小值? 【解】()当AB=A时P(AB)取到最大值为()当AB=Ω时P(AB)取到最小值为设ABC为三事件且P(A)=P(B)=P(C)=且P(AB)=P(BC)= P(AC)=求ABC至少有一事件发生的概率 【解】P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)课后答案网wwwkhdawcom== 从张扑克牌中任意取出张问有张黑桃张红心张方块张梅花的概率是多少?【解】p=CCCCC 对一个五人学习小组考虑生日问题:()求五个人的生日都在星期日的概率()求五个人的生日都不在星期日的概率()求五个人的生日不都在星期日的概率【解】()设A={五个人的生日都在星期日}基本事件总数为有利事件仅个故P(A)==()(亦可用独立性求解下同)()设A={五个人生日都不在星期日}有利事件数为故P(A)==()()设A={五个人的生日不都在星期日}P(A)=P(A)=() 略见教材习题参考答案一批产品共N件其中M件正品从中随机地取出n件(n<N)试求其中恰有m件(mM)正品(记为A)的概率如果: ()n件是同时取出的()n件是无放回逐件取出的 ()n件是有放回逐件取出的 【解】()P(A)=CCCmnmnMNMN()由于是无放回逐件取出可用排列法计算样本点总数有种n次抽取中有mPnN次为正品的组合数为种对于固定的一种正品与次品的抽取次序从M件正Cmn品中取m件的排列数有种从NM件次品中取nm件的排列数为种PmMPnmNM故P(A)=CPPPmmnmnMNMnN由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出故上述概率也可写成P(A)=CCCmnmMNMnN可以看出用第二种方法简便得多()由于是有放回的抽取每次都有N种取法故所有可能的取法总数为Nn种n次抽取中有m次为正品的组合数为种对于固定的一种正、次品的抽取次序Cmn课后答案网wwwkhdawcomm次取得正品都有M种取法共有Mm种取法nm次取得次品每次都有NM种取法共有(NM)nm种取法故()C()mmnmnnPAMNMN=此题也可用贝努里概型共做了n重贝努里试验每次取得正品的概率为则取得MNm件正品的概率为()CmnmmnMMPANN= 略见教材习题参考答案 只铆钉随机地取来用在个部件上其中有个铆钉强度太弱每个部件用只铆钉若将只强度太弱的铆钉都装在一个部件上则这个部件强度就太弱求发生一个部件强度太弱的概率是多少?【解】设A={发生一个部件强度太弱}()CCCPA== 一个袋内装有大小相同的个球其中个是白球个是黑球从中一次抽取个计算至少有两个是白球的概率【解】设Ai={恰有i个白球}(i=,)显然A与A互斥CCC(),()CCPAPA====故()()()PAAPAPA== 有甲、乙两批种子发芽率分别为和在两批种子中各随机取一粒求:()两粒都发芽的概率()至少有一粒发芽的概率()恰有一粒发芽的概率【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}(i=,)()()()()PAAPAPA===()()PAA==()()PAAAA== 掷一枚均匀硬币直到出现次正面才停止()问正好在第次停止的概率()问正好在第次停止的情况下第次也是出现正面的概率【解】()()()()pC==C()()p== 甲、乙两个篮球运动员投篮命中率分别为及每人各投了次求二人进球数相等的概率课后答案网wwwkhdawcom【解】设Ai={甲进i球}i=,,,,Bi={乙进i球},i=,,,,则()()()C()C()iiiPAB==C()C()()()=. 从双不同的鞋子中任取只求这只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率【解】CCCCCCp== 某地某天下雪的概率为下雨的概率为既下雪又下雨的概率为,求:()在下雨条件下下雪的概率()这天下雨或下雪的概率【解】设A={下雨}B={下雪}()()()()PABpBAPA===()()()()()pABPAPBPAB=== 已知一个家庭有个小孩且其中一个为女孩求至少有一个男孩的概率(小孩为男为女是等可能的)【解】设A={其中一个为女孩}B={至少有一个男孩}样本点总数为=故()()()PABPBAPA===或在缩减样本空间中求此时样本点总数为()PBA= 已知的男人和的女人是色盲现随机地挑选一人此人恰为色盲问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半)【解】设A={此人是男人}B={此人是色盲}则由贝叶斯公式()()()()()()()()()PAPBAPABPABPBPAPBAPAPBA==== 两人约定上午~在公园会面求一人要等另一人半小时以上的概率课后答案网wwwkhdawcom题图题图【解】设两人到达时刻为x,y,则x,y事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|xy|>如图阴影部分所示P== 从()中随机地取两个数求:()两个数之和小于的概率()两个数之积小于的概率【解】设两数为x,y则<x,y<()xy<p===()xy=<ddlnxpxy== 设P()=,P(B)=,P(A)=求P(B|A)ABB【解】()()()()()()()()PABPAPABPBABPABPAPBPAB==课后答案网wwwkhdawcom== 在一个盒中装有个乒乓球其中有个新球在第一次比赛中任意取出个球比赛后放回原盒中第二次比赛同样任意取出个球求第二次取出的个球均为新球的概率【解】设Ai={第一次取出的个球中有i个新球}i=,,,B={第二次取出的球均为新球}由全概率公式有()()()iiiPBPBAPA==CCCCCCCCCCCCCCCCCC=••••=按以往概率论考试结果分析努力学习的学生有的可能考试及格不努力学习的学生有的可能考试不及格据调查学生中有的人是努力学习的试问:()考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人?()考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人?【解】设A={被调查学生是努力学习的}则={被调查学生是不努力学习的}由题意知PA(A)=P()=又设B={被调查学生考试及格}由题意知P(B|A)=PA(|)=故由贝叶斯公式知BA()()()()()()()()()()PAPBAPABPABPBPAPBAPAPBA=====即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占()()()()()()()()()()PAPBAPABPABPBPAPBAPAPBA=====即考试不及格的学生中努力学习的学生占将两信息分别编码为A和B传递出来接收站收到时A被误收作B的概率为而B被误收作A的概率为信息A与B传递的频繁程度为若接收站收到的信息是A试问原发信息是A的概率是多少?【解】设A={原发信息是A}则={原发信息是B}课后答案网wwwkhdawcomC={收到信息是A}则={收到信息是B}由贝叶斯公式得()()()()()()()PAPCAPACPAPCAPAPCA=== 在已有两个球的箱子中再放一白球然后任意取出一球若发现这球为白球试求箱子中原有一白球的概率(箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种) 【解】设Ai={箱中原有i个白球}(i=,,)由题设条件知P(Ai)=,i=,,又设B={抽出一球为白球}由贝叶斯公式知()()()()()()()iiiPBAPAPABPABPBPBAPA===== 某工厂生产的产品中是合格品检查产品时一个合格品被误认为是次品的概率为一个次品被误认为是合格品的概率为求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率【解】设A={产品确为合格品}B={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()PAPBAPABPABPBPAPBAPAPBA==== 某保险公司把被保险人分为三类:“谨慎的”“一般的”“冒失的”统计资料表明上述三种人在一年内发生事故的概率依次为,和如果“谨慎的”被保险人占“一般的”占“冒失的”占现知某被保险人在一年内出了事故则他是“谨慎的”的概率是多少?【解】设A={该客户是“谨慎的”}B={该客户是“一般的”}C={该客户是“冒失的”}D={该客户在一年内出了事故}则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)PADPAPDAPADPDPAPDAPBPDBPCPDC==== 加工某一零件需要经过四道工序设第一、二、三、四道工序的次品率分别为,,,假定各道工序是相互独立的求加工出来的零件的次品率【解】设Ai={第i道工序出次品}(i=,,,)课后答案网wwwkhdawcom()()iiPAPAAAA==()()()()PAPAPAPA=== 设每次射击的命中率为问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于【解】设必须进行n次独立射击()n即为()n故n至少必须进行次独立射击 证明:若P(A|B)=P(A|)则AB相互独立B【证】即(|)(|)PABPAB=()()()()PABPABPBPB=亦即()()()()PABPBPABPB=()()()()()PABPBPAPABPB=因此()()()PABPAPB=故A与B相互独立 三人独立地破译一个密码他们能破译的概率分别为求将此密码破译出的概率【解】设Ai={第i人能破译}(i=,,)则()()()()()iiPAPAAAPAPAPA===== 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击设击中的概率分别是,,若只有一人击中则飞机被击落的概率为若有两人击中则飞机被击落的概率为若三人都击中则飞机一定被击落求:飞机被击落的概率【解】设A={飞机被击落}Bi={恰有i人击中飞机}i=,,,由全概率公式得()(|)()iiiPAPABPB===()()课后答案网wwwkhdawcom= 已知某种疾病患者的痊愈率为为试验一种新药是否有效把它给个病人服用且规定若个病人中至少有四人治好则认为这种药有效反之则认为无效求:()虽然新药有效且把治愈率提高到但通过试验被否定的概率()新药完全无效但通过试验被认为有效的概率【解】()C()()kkkkp===()C()()kkkkp=== 一架升降机开始时有位乘客并等可能地停于十层楼的每一层试求下列事件的概率:()A=“某指定的一层有两位乘客离开”()B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”()C=“恰有两位乘客在同一层离开”()D=“至少有两位乘客在同一层离开”【解】由于每位乘客均可在层楼中的任一层离开故所有可能结果为种()也可由重贝努里模型:C()PA=()C()()PA=()个人在十层中任意六层离开故P()PB=()由于没有规定在哪一层离开故可在十层中的任一层离开有种可能结果再从C六人中选二人在该层离开有种离开方式其余人中不能再有两人同时离开的情C况因此可包含以下三种离开方式:人中有个人在同一层离开另一人在其余层中任一层离开共有种可能结果人同时离开有种可能结果CCCC个人都不在同一层离开有种可能结果故P()CC(CCCCP)PC=()D=故BP()()PDPB==n个朋友随机地围绕圆桌而坐求下列事件的概率:()甲、乙两人坐在一起且乙坐在甲的左边的概率课后答案网wwwkhdawcom()甲、乙、丙三人坐在一起的概率()如果n个人并排坐在长桌的一边求上述事件的概率【解】()pn=()!()!,()!npnn=>()()!!()!,!!nnppnnnn′′=== 将线段a任意折成三折试求这三折线段能构成三角形的概率 【解】设这三段长分别为x,y,axy则基本事件集为由<x<a,<y<a,<axy<a所构成的图形有利事件集为由()()xyaxyxaxyyyaxyx>>>构成的图形即axayaxya<<<<<<如图阴影部分所示故所求概率为p=某人有n把钥匙其中只有一把能开他的门他逐个将它们去试开(抽样是无放回的)证明试开k次(k=,,…,n)才能把门打开的概率与k无关【证】P,,,,Pknknpknn===把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体在这些小立方体中随机地取出一个试求它有i面涂有颜色的概率P(Ai)(i=,,,) 【解】设Ai={小立方体有i面涂有颜色}i=,,,在千个小立方体中只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的这样的小立方体共有个只有位于原立方体的棱上(除去八个角外)的小立方体是两面涂色的这样的小立方体共有=个同理原立方体的六个面上(除去棱)的小立方体是一面涂色的共有=个其余()=个内部的小立方体是无色的故所求概率为,(),()PAPA====(),()PAPA====对任意的随机事件ABC试证 课后答案网wwwkhdawcomP(AB)P(AC)P(BC)P(A) 【证】()()()PAPABCPABAC=()()()PABPACPABC=()()()PABPACPBC 将个球随机地放入个杯子中去求杯中球的最大个数分别为的概率【解】设={杯中球的最大个数为i},i=,,iA将个球随机放入个杯子中全部可能放法有种杯中球的最大个数为时每个杯中最多放一球故C!()PA==而杯中球的最大个数为即三个球全放入一个杯中故C()PA==因此()()()PAPAPA===或CCC()PA== 将一枚均匀硬币掷n次求出现正面次数多于反面次数的概率【解】掷n次硬币可能出现:A={正面次数多于反面次数}B={正面次数少于反面次数}C={正面次数等于反面次数}ABC两两互斥可用对称性来解决由于硬币是均匀的故P(A)=P(B)所以()()PCPA=由n重贝努里试验中正面出现n次的概率为()()()nnnnPCC=故()CnnnPA= 掷n次均匀硬币求出现正面次数多于反面次数的概率【解】设A={出现正面次数多于反面次数}B={出现反面次数多于正面次数}由对称性知P(A)=P(B)()当n为奇数时正、反面次数不会相等由P(A)P(B)=得P(A)=P(B)=()当n为偶数时由上题知()C()nnnPA= 设甲掷均匀硬币n次乙掷n次求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率课后答案网wwwkhdawcom【解】令甲正=甲掷出的正面次数甲反=甲掷出的反面次数乙正=乙掷出的正面次数乙反=乙掷出的反面次数显然有=(甲正乙正)=(n甲反n乙反)>正正(甲乙)=(甲反乙反)=(甲反>乙反)由对称性知P(甲正>乙正)=P(甲反>乙反)因此P(甲正>乙正)= 证明“确定的原则”(Surething):若P(A|C)P(B|C),P(A|)P(B|)则P(A)CCP(B)【证】由P(A|C)P(B|C),得()(),()()PACPBCPCPC即有()()PACPBC同理由(|)(|),PACPBC得()(),PACPBC故()()()()()()PAPACPACPBCPBCPB==一列火车共有n节车厢有k(kn)个旅客上火车并随意地选择车厢求每一节车厢内至少有一个旅客的概率 【解】设Ai={第i节车厢是空的}(i=,…,n),则()()()()()()()nkkikkijkiiinPAnnPAAnnPAAAn====其中i,i,…,in是…n中的任n个显然n节车厢全空的概率是零于是课后答案网wwwkhdawcom()()C()()C()()C()()()nnnkkinikijnijnnkniiiniiinnnniniSPAnnnSPAAnnSPAAAnSPASSSS=<<<==========C()C()()C()kknnknnnnnnn=故所求概率为()C()C()nkiinniPAnn==()C()nnknnn设随机试验中某一事件A出现的概率为ε>试证明:不论ε>如何小只要不断地独立地重复做此试验则A迟早会出现的概率为 【证】在前n次试验中A至少出现一次的概率为()()nnε袋中装有m只正品硬币n只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽)在袋中任取一只将它投掷r次已知每次都得到国徽试问这只硬币是正品的概率是多少?【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}B={这只硬币为正品}由题知(),()mnPBPBmnmn==(|),(|)rPABPAB==则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)PABPBPABPBAPAPBPABPBPAB==rrrmmmnmnmnmnmn==iii巴拿赫(Banach)火柴盒问题:某数学家有甲、乙两盒火柴每盒有N根火柴每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少?第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另一盒恰有r根的概率又有多少? 课后答案网wwwkhdawcom【解】以B、B记火柴取自不同两盒的事件则有()发现一盒已空()()PBPB==另一盒恰剩r根说明已取了nr次设n次取自B盒(已空)nr次取自B盒第nr次拿起B发现已空。把取nr次火柴视作nr重贝努里试验则所求概率为C()()Cnnnrnnrnrrrp==i式中反映B与B盒的对称性(即也可以是B盒先取空)()前nr次取火柴有n次取自B盒nr次取自B盒第nr次取自B盒故概率为C()()C()nnnrnnrnrnrp== 求n重贝努里试验中A出现奇数次的概率【解】设在一次试验中A出现的概率为p则由()CCCCnnnnnnnnnnqppqpqpqpq==n()CCC()Cnnnnnnnnnnqppqpqpqpq=以上两式相减得所求概率为CCnnnnppqpq=()nqp=()np=若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率则只要将两式相加即得()npp=设AB是任意两个随机事件求P{(B)(AB)()(A)}的值AABB【解】因为(AB)()=ABABBA(B)(A)=ABABAB所求()()()()ABABABAB ()()ABABABAB==故所求值为设两两相互独立的三事件AB和C满足条件: ABC=ΦP(A)=P(B)=P(C)<且P(ABC)=求P(A)【解】由()()()()()()()()PABCPAPBPCPABPACPBCPABC=课后答案网wwwkhdawcom()()PAPA==故或,按题设P(A)<,故P(A)=()PA=设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等求P(A)【解】()()()PABPABPAB===()()PABPAB=故()()()()PAPABPBPAB=故()()PAPB=由A,B的独立性及、式有()()()()PAPBPAPB=()()PAPA=()PA=故()PA=故或(舍去)()PA=()PA=即P(A)=随机地向半圆<y<(a为正常数)内掷一点点落在半圆内任何区域的概率与xax区域的面积成正比则原点和该点的连线与x轴的夹角小于π的概率为多少? 【解】利用几何概率来求图中半圆面积为πa阴影部分面积为πaa故所求概率为πππaapa== 设件产品中有件不合格品从中任取两件已知所取两件产品中有一件是不合格品求另一件也是不合格品的概率【解】设A={两件中至少有一件是不合格品}B={另一件也是不合格品}课后答案网wwwkhdawcomCC()(|)C()CPABPBAPA===设有来自三个地区的各名、名和名考生的报名表其中女生的报名表分别为份、份和份随机地取一个地区的报名表从中先后抽出两份 ()求先抽到的一份是女生表的概率p ()已知后抽到的一份是男生表求先抽到的一份是女生表的概率q【解】设Ai={报名表是取自第i区的考生}i=,,Bj={第j次取出的是女生表}j=,则(),,,iPAi==(|),(|),(|)PBAPBAPBA===()()(|)()iipPBPBA=====()()(|)()PBBqPBBPB==而()(|)()iiiPBPBAPA==()==()(|)()iiiPBBPBBAPA==()==故()()PBBqPB===设AB为随机事件且P(B)>,P(A|B)=,试比较P(AB)与P(A)的大小(研考)解:因为()()()()PABPAPBPAB=()()()()PABPBPABPB==所以()()()()()PABPAPBPBPA==课后答案网wwwkhdawcom

类似资料

编辑推荐

简单逻辑学.pdf

邓小平文选2.pdf

中国文化史知识丛书 中国古代学校.pdf

16宝珑形态突破条例:.doc

世界の丑·闻史 (日)海野 弘着.pdf

职业精品

精彩专题

上传我的资料

精选资料

热门资料排行换一换

  • 贺业钜 中国古代城市规划史论丛 …

  • 《囘家宝巻》,民国二十六年刻本.…

  • 中国历史研究法(钱穆.pdf

  • 工业反应过程分析导论.pdf

  • 经济数学方法与模型 弗恩特.pdf

  • 共产党社会的新传统主义.pdf

  • 水晶包裹饭,四川小吃,美味小吃.…

  • 口腔解剖学.pdf

  • 宁夏回族建筑研究.pdf

  • 资料评价:

    / 16
    所需积分:1 立即下载

    意见
    反馈

    返回
    顶部