冷暗物质宇宙学模型重谱的测量结果

http://www.paper.edu.cn - 1 - 冷暗物质宇宙学模型重谱的测量结果 侯永辉 中国科学技术大学天体物理中心，合肥 (230026) Email：houyh@ustc.edu.cn 摘 要：重谱(bispectrum)即傅立叶空间的三点相关函数，是研究由引力不稳定性产生的大 尺度结构的最低非高斯阶统计性质。结合二维和三维的快速傅立叶变换，利用高精度冷暗物 质宇宙学模型的 N体数值模拟，测量了从弱线性区域到强非线性区域的重谱。 关键词：大尺度结构，数值模拟，统计方法 0. 引言 在宇宙大尺度结构的研究中，通常假设物质密度扰动符合高斯分布，于是它的特性可以 完全由功率谱或两点相关函数来描述。而实际观测到的宇宙中的各种结构大多经历了非线性 演化，对于非高斯密度场，一般可以用三阶或更高阶统计来刻画[1,2,3]。 重谱即傅立叶空间的三点相关函数，是研究由引力不稳定性产生的大尺度结构的最低阶 非高斯统计性质[1]。扰动理论在较大尺度上能比较好的描述暗物质的成团性，并且预言了实 空间的三点相关函数和傅立叶空间的重谱都依赖于线性功率谱的形状和空间三点所构成的 三角形的形状[2,4-9]。由于星系的重谱包含初始扰动和星系偏差的信息[10-14]，可以用来消除红 移巡天动力学分析中线性偏差(linear bias)和物质密度参数之间的兼并[2,8,11,13,15]。利用几个比 较大的星系巡天已经测量到了星系偏差参数，如 APM 巡天[6,16]、IRAS 巡天[17]、2dFGRS 星 系巡天[14,18]和 SDSS 星系巡天[19]。 目前定量地描述非线性区域的三点相关函数或重谱主要还是依赖于 N 体数值模拟。 Scoccimarro 等[9]在数值模拟的基础上拟合了一个适用于尺度无关的宇宙学模型重谱的经验 公式，2001 年 Scoccimarro 等[20]将其推广为适用于冷暗物质宇宙学模型的经验公式。但这些 公式在非线性区域都做了很强的假设，需要更高精度的数值模拟来验证。2005 年侯永辉等 人[21]利用与尺度无关宇宙学模型的 N 体数值模拟，考虑并严格校正了作用于功率谱和重谱 上的数值效应后，发现约化重谱即使在强非线性区域仍然依赖于三角形的形状和尺度,并随 着波数的增加而增加，这和前人的假设完全不同。这个工作主要是结合侯永辉等人[21]的测 量方法，利用高精度冷暗物质为主导的 N 体数值模拟测量非线性区域的约化重谱。 1．数值模拟 这里用的模拟都是纯暗物质的模拟，模拟的宇宙学模型为 LCDM。由景益鹏用他的 P3M 代码，在日本国立天文台的超大型计算机计算得到的结果。该组数值模拟和文[22]产生的那 组数值模拟样本的方法相似，但精度更高，粒子数为 5123，引力是利用 Hockney 等[23]的 S2 形式进行软化，软化因子为 0.0001L(L 是模拟盒子的大小)。表 1 给出了描述该组数值模拟 的具体参数。其中 Ωm是暗物质密度参数，Λ 为宇宙学常数，σ8是归一化因子，L 为模拟箱 子的大小(单位为 Mpc/h)，timesteps 是数值模拟的演化步数，outputs 是输出步数，zi为初始 红移，realization 为数值模拟的实现次数。 http://www.paper.edu.cn - 2 - 表 1 数值模拟的参数 模型 Ωm Λ σ8 η L timesteps outputs zi realization LCDMa 0.3 0.7 0.9 20 100 1200 60 72 3 LCDMb 0.3 0.7 0.9 10 100 5000 60 72 1 LCDMc 0.3 0.7 0.9 30 300 1200 60 36 3 LCDMd 0.3 0.7 0.9 58 300 600 30 36 1 LCDMe 0.3 0.7 0.9 399 1024 1200 4 18 1 2．重谱 三点相关函数是通过在相距为 r12、r23、r31 的三个体积 dV1、dV2、dV3 内各发现一个粒 子的联合概率 d3P 而定义的。 d3P 为 321312312312312321 3 )],,()()()(1)[()()( dVdVdVrrrrrrrnrnrnPd ζξξξ ++++= ρρρ （2.1） 其中 ),,( 312312 rrrζ 即是三点相关函数，r12、r23、r31 构成一个封闭的三角形。 三点相关函数的傅立叶变换即为重谱。用 )(rρρ 表示真实空间的密度场, ρ 表示它的平 均密度，密度反差可以表示为 ρρρδ /))(()( −= rr ρρ ,则其傅立叶变换为： ( ) ( ) rdkrir V k V ρρρρρ ⋅= ∫ exp1)( µ δδ µ ，由于计算机本身的限制，我们能模拟的宇宙体积是有限的 (边长为 L 的正方形)，其密度场以体积为周期进行周期性的变化，从而其波数必须满足周期 性边界条件的限制： )2,1,0,1,2, , 2(, ΛΛ −−=== n L knkk bbx π ， （2.2） ky和 kz都具有和 kx 相似的表达式。则重谱 B(k1,k2,k3)可以定义为： ),,()()()()( 321321321 kkkBkkkkkk D ρρρρρρρρρ ++= δδδδ (2.3) 其中 δD 是 δ 函数，符号 Λ 表示对括号内的量进行系综平均。定义重谱的 3 个波矢量必须 构成一个封闭的三角形，重谱则是对具有相同形状的三角形的模进行地系综平均。对于三角 形的形状，可以用很多的方法来描述，如由 1k ρ 、 2k ρ 、 3k ρ 三个矢量构成的三角形( 21 kk ρρ ≥ )， 我们可以用 k 、 v 、θ 三个参数来描述，其 中： 1kk ρ= ， 1 2 k k v ρ ρ = ， ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅= 21 21arccos kk kk ρρ θ (2.4) 为描述的方便，定义约化重谱 Q 为： )()()()()()( ),,( ),,( 133221 321 321 kPkPkPkPkPkP kkkBkkkQ ++= ρρρρρρ (2.5) 其中 P(k)是功率谱。根据方程(2.4)， ),,( 321 kkkQ ρρρ 也可以表示为 k 、 v 、θ 的函数。 http://www.paper.edu.cn - 3 - 3. 重谱的测量 重谱是通过对波数在 ki的一个小薄壳层内( ii kkkk <<∆∆± , )满足方程(2.3)的所有模取 平均来得到。文[21]给出了具体的测量方法，即结合二位和三维的快速傅立叶变换，可以将 重谱的测量结果拓展到强非线性区域。 图 1、图 2、图 3 和图 4 给出了 LCDM 宇宙学模型的不同红移、不同尺度和不同三角形 的约化重谱。竖直排列的四幅小图具有相同的波数 k ，而其中每幅小图描述的是在给定 k 、 v 的情况下，约化重谱随角度θ 的变化情况。图中带误差棒的点是红移为 0 的结果，带误差 棒的实线是红移为 1.03 的结果，带误差棒的虚线是红移为 2.03 的结果。图 1 的结果是利用 模拟箱子为 300Mpc/h 的数值模拟测量到的三维约化重谱，对于 053.10015.3 ≤≤ k 则是利 用相同的数值模拟测量的二维约化重谱，其余的是利用模拟箱子为 100Mpc/h 的数值模拟测 量的三维约化重谱。 从这四幅图可以看出，重谱的非线性演化性质并非象前人预言的那样[9,20]不依赖于三角 形的尺度和形状。对于同一红移的非线性约化重谱，即是在强非线性区域它依赖于三角形的 形状和大小，并且随波数的增加而变大。另外在共动坐标系中给定波数的非线性约化重谱会 随着红移的增加而增加，特别是在波数 121 ≤≤ k 间的约化重谱。 图 1 LCDM 的非线性重谱 http://www.paper.edu.cn - 4 - 图 2 LCDM 的重谱 图 3 LCDM 的重谱 http://www.paper.edu.cn - 5 - 图 4 LCDM 的重谱 4.结论 本文根据侯永辉等人[21]提出的重谱的测量方法，利用高精度的 N 体数值模拟，测量了 冷暗物质宇宙学模型的非线性约化重谱。最新的测量结果显示，冷暗物质宇宙学模型的非线 性约化重谱依然依赖于三角形的形状和大小，并且随波数的增加而变大，在给定尺度和三角 形形状的情况下，约化重谱会随着红移的增加而增加。从而否定了前人关于非线性重谱的假 设。在下一步的工作将会在这些测量结果的基础上，并结合暗晕模型的预言结果，构建一个 比较普适的重谱经验公式。 http://www.paper.edu.cn - 6 - 参考文献 [1] Peebles J A E. 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Keywords：cosmology，large-scale structure of Universe—methods，N-body simulations—methods， statistical