高三数学一轮复习必备精品22：任意角三角函数及诱导公式

第22讲 任意角三角函数及诱导公式 百度告诉我文件有雷同无法上传 给我的雷同资料 边都沾不到 没有 办法 鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载企业年金办法下载企业年金办法下载 只有加点其他东西在里面，看能不能通过 战友们自己删除一下多余资料就可以了！！！ 付 出 老 师 的 爱 挖 掘 学 生 的 美 ——论情感教育在班集体建设中的作用 一、彼此交流 中学生是渴望理解与交流的。对于一个班主任来说，他可以借助于师生之间的交流来传递老师的爱与关心。但要注意的是，交流应该建立在理解的基础之上。在实际的教育工作中，我进行了初步尝试，效果颇佳。举两个例子来说： 事例一 俞同学父母离异，性格自负并且逆反心理很强，但是成绩很差，经常犯错误。一次，物理老师让他放学后留下来补课，他却因为肚子饿先去吃饭了，饭后他去找物理老师，物理老师已经走了。第二天，物理老师找他进行教育批评，他却不服气，与物理老师发生了争执。了解情况后，我并没有立即将他叫到办公室训斥一番，而是等到放学后，我等在他回宿舍必须经过的那条路上。看到他，我走过去，就好像是偶然遇到一样。我和他边走边聊，从目前的世界杯赛事到家常到学习情况。可能还是因为昨天的事，他一开始并不怎么说话。渐渐地发现我并没有恶意，话终于多了起来。我见时机成熟了，便切入正题，问他昨天究竟是怎么一回事。他一五一十将情况告诉了我。还特别强调他是去过物理老师办公室的，但只是完了一点。我告诉他我相信他是去的，而且表示理解。因为肚子饿了谁也做不了事情。接着我又问他当时是几点钟，他有点迷惑，不解的说六点左右，我告诉他物理老师的家离学校有半个多小时的路程，就算帮他补习半个小时的课，那么物理老师也得七点钟才能到家吃上晚饭。我又问他，物理老师为什么这么做呢？他沉默了，但我看得出来这小子已经有点想法了。败兵不可穷追，我告诉他我并不要这个问题的 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ，心里明白就行。然后拍拍他的肩膀让他去吃饭。第二天，物理老师对我说他收到了一张条，上面是这样写的：对不起，老师。 这件事情过后，俞同学各方面的表现确实比先前有了较大的进步。其实，处于青春期的学生逆反心理较强，尤其是男同学。他们做事情较少考虑后果，容易冲动。事情过后他们也会认识到自己的错误，但由于自尊心强，不肯轻易认错。作为一个班主任，应该用适当的方式方法来教育他们，让他们从教育中认识到自己的错误，体会到老师对他们的爱与关心。有时也要给他们一个台阶下，那么，他们就能真正地从错误中吸取教训。 通过适当的交流，让学生体会到老师的关心与爱，是引导学生身心健康发展的关键。作为班主任，更应该在班集体建设中付出自己的关心与爱，让学生实实在在地体会到，感受到。用爱感化所有的学生，所有的学生就会在班集体的建设中奉献出他们的那份爱。 二、相互合作 随着教育要求的改变，班主任工作的要求与作用也发生了改变。班主任不是班级的“老板”，学生也不是班主任的“工人”。如何处理班主任与学生之间的关系，是班集体的建设中一个需要好好解决的问题。我认为作为一个班主任，应该在相互合作中体现出平等，体现出爱与关心。 作为一个班主任，班级的日常管理总是一个老大难的问题。就拿班级的劳动卫生来说，经常会有部分同学出工不出力，干活马马虎虎。于是我制订班规，试图用“惩罚”的手段来解决这个问题。开始我觉得问题似乎解决了，可渐渐地情况又不行了，甚至有时还不如从前。我找来几个学生，询问他们为什么劳动任务总是完成不好。尽管说法各异，但最关键的一点还是劳动的时候同学们相互依赖，缺少合作。后来，我与班委商量，终于想出一个办法：把班级的各项劳动任务尽可能公平地分配给每一个人，作为班主任的我也有一份。劳动任务平均分配，每个人包干负责，谁出了问题找谁，想偷懒的同学再不能偷懒了。一到劳动的时候，我和班委先干起活来，看到老师也加入到劳动当中，其他同学也跟着干起来，所有的学生都会自觉地完成自己的任务，整个劳动又快又好的完成了，以前的卫生死角由于有了专人负责，再也不会出问题了。我们班的劳动难题就这样被解决了。 确实，对于一个班主任来说，在班集体的日常管理中，身先士卒显得非常重要。班集体的事情不仅仅是学生的事情，也应该是老师的事情。老师和学生都是班集体的成员，都应该为班级出力，为班级争光。通过师生之间平等的合作，让学生感受到自己在班集体中的重要性，培养学生的集体主义荣誉感，这也是班集体建设中重要的环节。 三、共同提高 一个班级只有有了明确的奋斗目标，才能不断进取。所以，老师总是给学生提出一个又一个目标，让学生不断进步。但是一个班级的进步除了学生的进步还应该包括老师的进步。作为老师，在班集体的建设中感受学生进步的同时，也应该多多向学生学习，提高自己。 一次举行全年级拔河比赛，由于有一点事情我没有去，而是让体育委员组织同学参加比赛。赛后，同学们纷纷跑到办公室告诉我：我们班得了第三名。看着那一张张洒满汗水的笑脸，我心里很开心：这就是我的学生，一群积极向上团结互助的学生。以前，一些同学对班级活动总是漠不关心，但这一次全班同学都积极参加进来，比赛的拼尽全力，加油的喊声震天。正是有了这种凝聚力，才取得了这样的好成绩。事后，他们也说了一点他们的遗憾——我没有去给他们加油。本来我想解释一下，告诉他们我有事才没有能去。可是我心里确实有点惭愧，一直教育学生要热爱集体，积极为班集体争光。学生做到了，可是到头来我这个老师又是怎么做的呢？老师是一个不平凡的职业，他的一言一行直接影响着他的学生，要教育好学生，老师自己就必须做好。但更多的时候，老师应当看到学生的长处，找到自己的不足。老师也是一个平凡的人，师不必贤于弟子，弟子不必不如师。能虚心向学生学习，这才是一个好老师。老师自身素质的提高，也会促进学生不断进步，只有这样的老师才能真正教会学生怎样做人。 班集体建设是充满人性与挑战的，值得所有班主任去思考，去探索。让学生能感受老师心底的爱，让老师用心去感受学生的美，让情感在师生之间传递，师生共同提高，共同进步，班集体一定能建设成为一个团结向上的班集体！ 第二十二讲 任意角三角函数及诱导公式 一．【课标要求】 1．任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数 （1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； （2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π/2±α, π±α的正弦、余弦、正切）。 二．【命题走向】 从近几年的新课程高考考卷来看，试题内容主要考察三角函数的图形与性质，但解决这类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公式，在处理一些复杂的三角问题时，同角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键 预测2010年高考对本讲的考察是： 1．题型是1道选择题和解答题中小过程； 2．热点内容是三角函数知识的综合应用和实际应用，这也是新课标教材的热点内容。 三．【要点精讲】 1．任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置 ，绕着它的端点 按逆时针方向旋转到终止位置 ，就形成角 。旋转开始时的射线 叫做角的始边， 叫终边，射线的端点 叫做叫 的顶点。 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。 2．终边相同的角、区间角与象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。 终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2kπ(k∈Z)，即β∈{β|β=2kπ+α，k∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。 区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α| ≤α≤ }=[ ， ]。 3．弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1 ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。 角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 角 的弧度数的绝对值是： ，其中，l是圆心角所对的弧长， 是半径。 角度制与弧度制的换算主要抓住 。 弧度与角度互换公式：1rad＝ °≈57.30°=57°18ˊ、1°＝ ≈0.01745（rad）。 弧长公式： （ 是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式： 。 4．三角函数定义 在 的终边上任取一点 ,它与原点的距离 .过 作 轴的垂线,垂足为 ,则线段 的长度为 ,线段 的长度为 .则 ； ； 。 利用单位圆定义任意角的三角函数，设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 ,那么: (1) 叫做 的正弦,记做 ,即 ； （2） 叫做 的余弦,记做 ,即 ； （3） 叫做 的正切,记做 ,即 。 5．三角函数线 三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。 以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）。当角 为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点 ，过点 作 轴交 轴于点 ，根据三角函数的定义： ； 。 我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角 的终边不在坐标轴时,以 为始点、 为终点，规定： 当线段 与 轴同向时， 的方向为正向，且有正值 ；当线段 与 轴反向时， 的方向为负向，且有正值 ；其中 为 点的横坐标.这样,无论那种情况都有 同理,当角 的终边不在 轴上时,以 为始点、 为终点， 规定：当线段 与 轴同向时， 的方向为正向，且有正值 ；当线段 与 轴反向时， 的方向为负向，且有正值 ；其中 为 点的横坐标 这样,无论那种情况都有 。像 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段。 如上图,过点 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与 的终边交于点 ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段 ,我们有 我们把这三条与单位圆有关的有向线段 ,分别叫做角 的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。 6．同角三角函数关系式 使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法 几个常用关系式：sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之间可以互相表示) 同理可以由sinα－cosα或sinα·cosα推出其余两式。 ② ． ③当 时，有 。 7．诱导公式 可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。 诱导公式一： ， ，其中 诱导公式二： ； 诱导公式三： ； 诱导公式四： ； 诱导公式五： ； － sin －sin sin －sin －sin sin cos cos cos －cos －cos cos cos sin （1）要化的角的形式为 （ 为常整数）； （2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”； （3）sin(kπ+α)=(－1)ksinα；cos(kπ+α)=(－1)kcosα(k∈Z)； （4） ； 。 四．【典例解析】 题型1：象限角 例1．已知角 ；（1）在区间 内找出所有与角 有相同终边的角 ；（2）集合 ， 那么两集合的关系是什么？ 解析：（1）所有与角 有相同终边的角可表示为： ， 则令 ， 得 解得 从而 或 代回 或 （2）因为 表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合 表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而： 。 点评：（1）从终边相同的角的表示入手 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 问题，先表示出所有与角 有相同终边的角，然后列出一个关于 的不等式，找出相应的整数 ，代回求出所求解；（2）可对整数 的奇、偶数情况展开讨论。 例2．若sinθcosθ＞0，则θ在（ ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 解析：答案：B；∵sinθcosθ＞0，∴sinθ、cosθ同号。 当sinθ＞0，cosθ＞0时，θ在第一象限，当sinθ＜0，cosθ＜0时，θ在第三象限，因此，选B。 例3．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：B 解析：∵A、B是锐角三角形的两个内角，∴A＋B＞90°，∴B＞90°－A，∴cosB＜sinA，sinB＞cosA，故选B。 例4．已知“ 是第三象限角，则 是第几象限角? 解法一：因为 是第三象限角，所以 ， ∴ ， ∴当k=3m（m∈Z）时， 为第一象限角； 当k= 3m＋1（m∈Z）时， 为第三象限角， 当k= 3m＋2（m∈Z）时， 为第四象限角， 故 为第一、三、四象限角。 解法二：把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起 依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则 原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为 的终边所在的区域。 由图可知， 是第一、三、四象限角 点评：已知角 的范围或所在的象限，求 所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则 原来是第几象限的符号所表示的区域即为 (n∈N*)的终边所在的区域。 题型2：三角函数定义 例5．已知角 的终边过点 ，求 的四个三角函数值。 解析：因为过点 ，所以 ， 。 当 ； ， 。 当 ， ； 。 例6．已知角 的终边上一点 ，且 ，求 的值。 解析：由题设知 ， ，所以 ， 得 ， 从而 ， 解得 或 。 当 时， ， ； 当 时， ， ； 当 时， ， 。 题型3：诱导公式 例7．（2009辽宁文，8）已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 答案 D 例8．化简： （1） ； （2） 。 解析：（1）原式 ； （2）①当 时，原式 。 ②当 时，原式 。 点评：关键抓住题中的整数 是表示 的整数倍与公式一中的整数 有区别，所以必须把 分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论 题型4：同角三角函数的基本关系式 例9．已知 ，试确定使等式成立的角 的集合。 解析：∵ ， = = = 。 又∵ ， ∴ ， 即得 或 所以，角 的集合为： 或 。 例10．（1）证明： ； （2）求证： 。 解析：（1）分析：证明此恒等式可采取常用方法，也可以运用分析法，即要证 ，只要证A·D=B·C,从而将分式化为整式 证法一：右边= = = 证法二：要证等式，即为 只要证 2（ ）（ ）= 即证： ， 即1= ，显然成立， 故原式得证。 点评：在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时，需要仔细观察题目的特征，灵活、恰当地选择公式，利用倒数关系比常规的“化切为弦”要简洁得多。（2）同角三角函数的基本关系式有三种，即平方关系、商的关系、倒数关系 （2）证法一：由题义知 ，所以 。 ∴左边= 右边。 ∴原式成立。 证法二：由题义知 ，所以 。 又∵ ， ∴ 。 证法三：由题义知 ，所以 。 ， ∴ 。 点评：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边（如例5的证法一）；（2）证明左右两边同等于同一个式子（如例6）；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立 （以下来自2009年各地高考试题） 1.(2009海南宁夏理，5).有四个关于三角函数的命题： ： x R, + = : x、y R, sin(x-y)=sinx-siny : x , =sinx : sinx=cosy x+y= 其中假命题的是 A． ， B. ， C. ， D. ， 答案 A 2..（2009辽宁理，8）已知函数 =Acos( )的图象如图所示， ，则 =（ ） A. B. C.- D. 答案 C （2009全国I文，1） °的值为 A. B. C. D. 答案 A 5.（2009全国I文，4）已知tan =4,cot = ,则tan(a+ )= （ ） A. B. C. D. 答案 B 6.（2009全国II文，4） 已知 中， ， 则 A. B. C. D. 解析：已知 中， ， . 故选D. 7.（2009全国II文，9）若将函数 的图像向右平移 个单位长度后，与函数 的图像重合，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 答案 D 8.（2009北京文）“ ”是“ ”的 A． 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 当 时， ，反之，当 时， ， 或 ，故应选A. 9.（2009北京理）“ ”是“ ”的 （ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 当 时， 反之，当 时，有 ， 或 ，故应选A. 10.（2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC中， ，则 A. B. C. D. 答案：D 解析：本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA= 知A为钝角，cosA<0排除A和B，再由 选D 11.（2009四川卷文）已知函数 ，下面结论错误的是 A. 函数 的最小正周期为2 B. 函数 在区间［0， ］上是增函数 C.函数 的图象关于直线 ＝0对称 D. 函数 是奇函数 答案 D 解析∵ ，∴A、B、C均正确，故错误的是D 【易错提醒】利用诱导公式时，出现符号错误 12.（2009全国卷Ⅱ理）已知 中， ， 则 （ ） A. B. C. D. 解析：已知 中， ， . 故选D. 答案 D 13.（2009湖北卷文）“sin = ”是“ ” 的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由 可得 ，故 成立的充分不必要条件，故选A. 14.（2009重庆卷文）下列关系式中正确的是（ ） A． B． C． D． 答案 C 解析 因为 ，由于正弦函数 在区间 上为递增函数，因此 ，即 二、填空题 15.（2009北京文）若 ，则 . 答案 解析 本题主要考查简单的三角函数的运算. 属于基础知识、基本运算的考查. 由已知， 在第三象限，∴ ，∴应填 . 16.(2009湖北卷理)已知函数 则 的值为 . 答案 1 解析 因为 所以 故 【命题意图】在课改区高考试题中，十分重视弘扬和发展学生的数学应用意识.新课标卷更注意数学应用意识和实践能力的考查，试题设计更加注意贴近生活实践. 4. 函数 ，给出下列4个命题： ①在区间 上是减函数； ②直线 是函数图像的一条对称轴； ③函数f（x）的图像可由函数 的图像向左平移 而得到； ④若 ，则f（x）的值域是 ． 其中正确命题序号是 。② 5. 已知边长为4的正三角形的中心为 ，一个半径为8， 中心角为 的扇形的顶点 与重合，当扇形绕着 逆 时针旋转时，请说明： 与扇形 的重叠部分 的面积变化特征： 。 6. 锐角△ 中， ≥ ，且 ，则 的最大值为 ． 7. 设 则 的值等于__ . 8. 在△ABC中，BC=1， ，当△ABC的面积等于 时， __ . 9. 若△ 的三个内角的正弦值分别等于△ 的三个内角的余弦值，则△ 的三个内角从大到小依次可以为　 　（写出满足题设的一组解）． ，另两角不惟一，但其和为 10. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，给出下列结论： ①若A＞B＞C，则 ； ②若 ； ③必存在A、B、C，使 成立； ④若 ，则△ABC必有两解. 其中，真命题的编号为 .（写出所有真命题的编号）①④ 11. 若函数 对任意的 存在常数 ,使得 恒成立,则 的最小正值是: 12． 五．【思维总结】 1．几种终边在特殊位置时对应角的集合为： 角的终边所在位置 角的集合 X轴正半轴 Y轴正半轴 X轴负半轴 Y轴负半轴 X轴 Y轴 坐标轴 2．α、 、2α之间的关系。 若α终边在第一象限则 终边在第一或第三象限；2α终边在第一或第二象限或y轴正半轴。 若α终边在第二象限则 终边在第一或第三象限；2α终边在第三或第四象限或y轴负半轴。 若α终边在第三象限则 终边在第二或第四象限；2α终边在第一或第二象限或y轴正半轴。 若α终边在第四象限则 终边在第二或第四象限；2α终边在第三或第四象限或y轴负半轴。 3．任意角的概念的意义，任意角的三角函数的定义，同角间的三角函数基本关系、诱导公式 由于本重点是任意角的三角函数角的基础，因而三学习本节内容时要注意如下几点：（1）熟练地掌握常用的方法与技巧，在使用三角代换求解有关问题时要注意有关范围的限制；（2）要注意差异分析，又要活用公式，要善于瞄准解题目标进行有效的变形，其解题一般思维模式为：发现差异，寻找联系，合理转化 只有这样才能在高考中夺得高分。三角函数的值与点 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离 ,那么 , , 。所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数 4．运用同角三角函数关系式化简、证明 常用的变形 措施 《全国民用建筑工程设计技术措施》规划•建筑•景观全国民用建筑工程设计技术措施》规划•建筑•景观软件质量保证措施下载工地伤害及预防措施下载关于贯彻落实的具体措施 有：大角化小，切割化弦等，应用 “弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的 ，得到一个只含 的教简单的三角函数式。