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《矩阵论》西北工大.PDF

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上传者: 雨阳 2010-12-18 评分 0 0 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《《矩阵论》西北工大pdf》,可适用于IT/计算机领域,主题内容包含矩阵论讲稿讲稿编者:张凯院使用教材:《矩阵论》(第版)西北工业大学出版社程云鹏等编辅助教材:《矩阵论导教导学导考》《矩阵论典型题解析及自测试题》西北符等。

矩阵论讲稿讲稿编者:张凯院使用教材:《矩阵论》(第版)西北工业大学出版社程云鹏等编辅助教材:《矩阵论导教导学导考》《矩阵论典型题解析及自测试题》西北工业大学出版社张凯院等编课时分配:第一章学时第四章学时第二章学时第五章学时第三章学时第六章学时第一章线性空间与线性变换(第节)第一章线性空间与线性变换线性空间一、集合与映射.集合:能够作为整体看待的一堆东西.列举法:},,,{LaaaS=性质法:}{所具有的性质aaS=相等(:指下面二式同时成立)SS=,SSSaSa即,SSSbSb即交:}{SaSaaSS=且I并:}{SaSaaSS=或U和:},{SaSaaaaSS==例R}{==jiaaaaASR}{==jiaaaaASSSR},{==aaaaASSIR},{===jiaaaaaaaASSUR}{==jiaaaaaASS.数域:关于四则运算封闭的数的集合.例如:实数域R复数域C有理数域等等.Q.映射:设集合与若对任意的SSSa按照法则σ对应唯一的第一章线性空间与线性变换(第节))(,baSb=σ记作称σ为由到的映射称为的象SSbaa为b的象源.变换:当SS=时称映射σ为上的变换.S例)(R})({==naaASjinnji.映射σ:AAdet)(=σ(R)S变换σ:nIAA)det()(=σ()SS二、线性空间及其性质.线性空间:集合V非空给定数域K若在V中(Ⅰ)定义的加法运算封闭,即VyxVyx)(,,元素对应唯一,且满足()结合律:)()()(Vzzyxzyx=()交换律:xyyx=()有零元:)(,VxxxV=θθ使得()有负元:θ=)(,)(,xxVxVx使得(Ⅱ)定义的数乘运算封闭,即VkxKkVx)(,,元素对应唯一,且满足()数对元素分配律:)()(Vykykxyxk=()元素对数分配律:)()(Kllxkxxlk=()数因子结合律:)()()(Klxkllxk=()有单位数:单位数xxK=,使得则称V为K上的线性空间.例R=K时nR向量空间nmR矩阵空间第一章线性空间与线性变换(第节)tPn多项式空间函数空间,baCC=K时复向量空间C复矩阵空间nCnm例集合}{是正实数mm=R数域}{R是实数kk=.加法:mnnmnm=,R,数乘:kmmkkm=R,,R验证R是R上的线性空间.证加法封闭且()~()成立.()===θθθmmmm()mmmmm)()()(m===θ数乘封闭()~()成立.故R是R上的线性空间.例集合R}),({==iξξξαR数域R.设R),,(=kηηβ.运算方式加法:),(ηξηξβα=数乘:),(ξξαkkk=运算方式加法:),(ηξηξηξβα=数乘:))(,(ξξξα=kkkkko可以验证与都是)(R)(RoR上的线性空间.注在R中,)(o),(=θ,.),(ξξξα=Th线性空间V中的零元素唯一负元素也唯一.证设与θ都是V的零元素,则θθθθθθ===θ设与都是的负元素,则由xxxθ=xx及θ=xx可得)()(xxxxxxxx===θ)(xxxxxx====θθ第一章线性空间与线性变换(第节)例在线性空间V中下列结论成立.θ=x:θ===xxxxx)(θθ=k:θθθθ===kkxxkk)(kx)()(xx=:()()()()()()xxxxxxxx===.减法运算:线性空间V中)(yxyx=..线性组合:KcVxxii若存在,,,使mmxcxcx=L,则称x是的线性组合或者可由线性表示.mxx,,Lxmxx,,L.线性相关:若有不全为零使得mcc,,Lθ=mmxcxcL则称mxx,,L线性相关..线性无关:仅当全为零时才有mcc,,Lθ=mmxcxcL则称mxx,,L线性无关.注在R中,)(o),(=α,),(=α线性无关),(=α,),(=α线性相关.(自证)三、基与坐标.基与维数:线性空间V中若元素组满足nxx,,L()线性无关nxx,,L()Vx都可由线性表示.nxx,,L称为nxx,,LV的一个基,为nV的维数,记作nV=dim或者Vn例矩阵空间nmR中,易见()),,,,,,(njmiEjiLL==线性无关().====minjjijinmjiEaaA)(故),,,,,,(njmiEjiLL==是nmR的一个基,mnnm=dimR第一章线性空间与线性变换(第节).坐标:给定线性空间V的基当时有nnxx,,LnVxnnxxxξξ=L.称nξξ,,L为在给定基下的xnx,,Lx坐标记作列向量.Τ),,(nξξαL=例矩阵空间R中设)(=jiaA.()取基,,,EEEEEaEaEaEaA=坐标为Τ),,,(aaaa=α()取基,,,=B=B=B=B)()()(BaBBaBBaBBaA=)()()(BaaBaaBaaBa=坐标为Τ),,,(aaaaaaa=β注一个元素在两个不同的基下的坐标可能相同也可能不同.例如:在上述两个基下的坐标都是nnEA=Τ),,,(EA=在上述两个基下的坐标不同.Th线性空间V中元素在给定基下的坐标唯一.证设V的基为对于若nxx,,LnVxnnxxxξξ=Lnnxxηη=L则有θηξηξ=nnnxx)()(L因为线性无关,所以nxx,,L=iiηξ,即),,,(niiiL==ηξ故的坐标唯一.xn例设线性空间V的基为,元素在该基下的坐标为nxx,,Ljy),,,(mjjL=α,则元素组线性相关(线性无关)myy,,L向量组mαα,,L线性相关(线性无关).第一章线性空间与线性变换(第节)证对于数组,因为mkk,,Lθαα==))(,,(mmnmmkkxxykykLLL等价于θαα=mmkLk,所以结论成立四、基变换与坐标变换.基变换:设线性空间V的基(Ⅰ)为,基(Ⅱ)为,则nnxx,,Lny,,Ly===nnnnnnnnnnxcxcxcyxcxcxcyxcxcxcyLLLLLLC=nnnnnncccccccccLMMMLL写成矩阵乘法形式为(Cxxyynn),,(),,LL=称上式为基变换公式C为由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵注过渡矩阵C一定可逆否则C的个列向量线性相关,从而nny,,Ly线性相关(例).矛盾!由此可得),,(),,(=CyyxxnnLL称C为由基(Ⅱ)改变为基(Ⅰ)的过渡矩阵..坐标变换:设在两个基下的坐标分别为nVxα和β,则有==nnxxxξξLα),,(nxxLnnyyxηη=Lβ),,(nyyL=βCxxn),,(L=由定理可得βαC=或者称为坐标变换公式αβ=C例矩阵空间R中取基(Ⅰ),,,=A=A=A=A(Ⅱ),,,=B=B=B=B第一章线性空间与线性变换(第节)()求由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵()求由基(Ⅱ)改变为基(Ⅰ)的坐标变换公式.解采用中介法求过渡矩阵基():,,,=E=E=E=E()(Ⅰ):),,,(),,,(CEEEEAAAA=()(Ⅱ):),,,(),,,(CEEEEBBBB==C=C(Ⅰ)(Ⅱ):=),,,BBBB(),,,(CCAAAA===CCCC==ηηηηηηηηηηηηηηηξξξξC五、线性子空间.定义:线性空间V中若子集V非空且对V中的线性运算封闭即(),VyxVyx(),VkxKkVx称V为V的线性子空间简称为子空间.第一章线性空间与线性变换(第节)注()子空间V也是线性空间,而且VVdimdim()}{θ是V的线性子空间,规定dim{}=θ()子空间V的零元素就是V的零元素例线性空间V中子集V是V的子空间对,,,,VlykxKlkVyx.有证充分性:==lk,VyxVyx=l:,VykxkxKkVx=故V是V的子空间必要性,VkxKkVx(数乘封闭),VlyKlVy(数乘封闭)故(加法封闭)Vylxk例在线性空间V中设),,,(miVxiL=则}{Kkxkxkximm==LV是V的子空间称V为由生成的子空间.mxx,,L证mmxkxkxVx=LmmxlxlyVy=L:)()(Vxllkkxllkkylkxmmm,Klk=L根据例知V是V的子空间.注()将V记作span或者.},,{mxxL),,(mxxLL()元素组的最大无关组是的基mxx,,L),,(mxxLL()若线性空间V的基为则V.nnxx,,L),,(nnxxLL=.矩阵的值域(列空间):第一章线性空间与线性变换(第节)划分()nmnnmjiaA==C),,()(ββLmjCβ称),,()(nLARββL=为矩阵的值域(列空间).A易见AARrank)(=dim.例矩阵A的值域}C{)(nxAxAR==β证β左,有右===AxkkkknnnnMLL),,(ββββββ右,有左===nnnnkkkkAxβββββLML),,(.矩阵的零空间:设称nmAC}C,{)(nxAxxAN==为矩阵A的零空间.易见AnANrank)(=dim.Th线性空间V中,设子空间V的基为n)(,,nmxxm<L,则存在nnmVxx,,L,使得为V的基.nmmxxxx,,,,,LLn证线性表示不能由mnmxxVxnm,,L<,,,线性无关mmxxxL若则是V的基nnm=,,,mmxxxLn否则mn<线性表示不能由,,,mmnmxxxVxL,,,,线性无关mmmxxxxL若则是V的基m=,,,,mmmxxxxLn否则m.LL<n依此类推,即得所证.第一章线性空间与线性变换(第节)六、子空间的交与和.子空间的交:}{VxVxxV=且IVTh设V是线性空间,VV的子空间则V是VIV的子空间.证,VVVVVVIIθθθ非空,,,VyxVyxVyxVyxVVyxIVVyxI,VkxVxVkxVxVVxKkIVVkxI所以V是VIV的子空间..子空间的和:},{VxVxxxxVV==Th设V是线性空间,VV的子空间则VV是V的子空间.证,VVVVVV=θθθθθ非空==,,,,,VyVyyyyVxVxxxxVVyx)()(yxyxyx=,VyxVyxVVyx,,,VxVxxxxVVxKk=,,VkxVkxkxkxkx=VVkx所以V是VV的子空间.注不一定是VVUV的子空间.例如:在R中V)()(eLVeL==与的并集为}R,),({===iVVξξξξξαU易见),(,,VVeeVVeeUU=但,故加法运算不封闭第一章线性空间与线性变换(第节)Th设V是线性空间,VV的有限维子空间则)(dimdimdim)(dimVVVVVVI=证记dimdimnV=nV=mVV=Idim欲证mnnVV=)(dim():(nm=)VVVVVV=II)(VVVVVVVV=ImnnnVVV===dim)(dim():(nm=)VVVVVV=II)(VVVVVVVV=ImnnnVVV===dim)(dim():设V的基为那么L,nmnm<<VImxx,,L扩充为V的基:(Ⅰ)mnmyyxx,,,,,LL扩充为V的基:(Ⅱ)mnmzzxx,,,,,LL考虑元素组:(Ⅲ)mnmnmzzyyxx,,,,,,,,LLL因为(Ⅰ)V(Ⅱ)所以VV=L=LV=(Ⅲ)(自证).下面证明元素组(Ⅲ)线性无关:设数组k使得mnmnmqqppk,,,,,,,,LLLmnmnmmypypxkxkLLθ=mnmnzqzqL由(*)=)(VzqzqVypypxkxkxmnmnmnmnmmLLL得mmxlxlxVVx=LI结合(*)中第二式得θ=mnmnmmzqzqxlxlLL第一章线性空间与线性变换(第节)(Ⅱ)线性无关,======mnmqqllLL结合(*)中第一式得θ=mnmnmmypypxkxkLL(Ⅰ)线性无关,======mnmppkkLL故元素组(Ⅲ)线性无关从而是VV的一个基.因此mnnVV=)(dim..子空间的直和:},{VxVxxxxVV==唯一唯一记作:VVVV=Th设V是线性空间,VV的子空间则VV是直和}{θ=VIV.证充分性.已知}{θ=VIV:对于VVz若==,,,,VyVyyyzVxVxxxz则有,,)()(VyxVyxyxyx=θ,,)(yxyxyxyxVVyxyx=====θθI故的分解式唯一,从而VVVzVVV=.必要性.若}{θVIV则有VVxIθ.对于VVθ有)(,),(,,VxVxxxVV==θθθθθθ即VVθ有两种不同的分解式.这与VV是直和矛盾.故}{θ=VIV.第一章线性空间与线性变换(第节)推论V是直和Vdimdim)(dimVVVV=推论设V是直和V的基为V的基为Vkxx,,Llyy,,L则V的基为.Vlkyyxx,,,,,LL证因为且),,,,,(lkyyxxLLL=VVlkVVVV==dimdim)(dim所以线性无关,故是V的基.lkyyxx,,,,,LLlkyyxx,,,,,LLV第一章线性空间与线性变换(第节)线性变换及其矩阵一、线性变换.定义线性空间V数域KT是V中的变换.若对Vyx,Klk,都有)()()(TylTxklykxT=称T是V中的线性变换.性质()θθ===)()()(TyTxyxTT()T)()())(())(()(TxTyTxyxTx===()线性相关线性相关Vxxm,,LmTxTx,,L()线性无关时不能推出Tx线性无关.Vxxm,,LmTx,,L()是线性变换TyTTxyxT=)(,)()(TxkkxT=(Vyx,,Kk)例矩阵空间nnR给定矩阵则变换TX=BXXB(nnBnnXR)是nnR的线性变换..线性变换的值域:},{)(VxTxyyTR==.线性变换的核:},{)(VxTxxTN==θTh设T是线性空间V的线性变换则R(T)和N(T)都是V的子空间.证()V非空非空.)(TRst,)(TxyVxTRy=st,)(TxyVxTRy=)()(TRxxTTxTxyy==)VxxQ()()()(TRxkTTxkyk==(),VkxKkQ故R(T)是V的子空间.())(,TNTV=θθθθ即非空.)(TN第一章线性空间与线性变换(第节)θ==TyTxyxTTNyx)()(,即)(TNyx.θ==)()(),(TxkkxTKkTNx即kx)(TN.故N(T)是V的子空间.注定义:T的秩=dimR(T)T的亏=dimN(T)例设线性空间V的基为T是V的线性变换则nnxx,,Ln),,()(nTxTxLTRL=nTNTR=)(dim)(dim证()先证:),,()(nTxTxLTRLTxyVxTRyn=st,)(==)()(nnnnTxcTxcyxcxcxLLL),,(nTxTxL再证R:),,()(nTxTxLTL)()(st,,,),,(nnnnTxcTxcyccTxTxLy=LLLn)()()()(TRTxcTxcyTRTxnniiVx=L()设dim,且的基为,扩充为V的基:mTN=)()(TNmyy,,Lnnmmyyyy,,,,,LL则),,(),,,,,()(nmnmmTyTyLTyTyTyTyLTRLLL==设数组k使得nmk,,Lθ=)()(nnmmTykTykL,则θ=)(nnmmykykTL因为T是线性变换,所以)(TNykyknnmmL,故mmnnmmylylykyk=LL即θ=nnmmmmykykylylLL)()(因为线性无关,所以nmmyyyy,,,,,LL,,==nmkkL.因此线性无关,从而nmTyTy,,LmnTR=)(dim,即dim.nmTR=)(例向量空间R中),,,(ξξξξ=x线性变换T为第一章线性空间与线性变换(第节)),,,(ξξξξξξξξ=Tx求和的基与维数.)(TR)(TN解()取R的简单基计算,,,eeeeTe),,,(=)(=Te),,,(=TeTe),,,(=该基象组的一个最大线性无关组为.,TeTe故dimR(T)=且R(T)的一个基为Te.,Te()记则=A}{}{)(====ξξθMAxTxxTN的基础解系为.=ξξMA故dimN(T)=且N(T)的一个基为(,,,)(-,,,)..单位变换:线性空间V中定义变换T为Tx)(Vxx=则T是线性变换记作T.e.零变换:线性空间V中定义变换T为)(VxTx=θ则T是线性变换记作T..线性变换的运算:线性空间V数域K线性变换T与T.()相等:若T)(VxxTx=称T=T.()加法:定义变换T为)(VxxTxTTx=则T是线性变换记作TTT=.负变换:定义变换T为)()(VxxTTx=则T是线性变换记作TT=.第一章线性空间与线性变换(第节)()数乘:给定定义变换T为Kk)()(VxxTkTx=则T是线性变换记作TkT=.注集合Hom(VV)}{def的线性变换上的线性空间是数域VKTT=按照线性运算()和()构成数域K上的线性空间称为V的同态.()乘法:定义变换T为)()(VxxTTTx=则T是线性变换记作TTT=..逆变换:设T是线性空间V的线性变换若V的线性变换满足STn)()()(VxxxTSxST==则称T为可逆变换且S为T的逆变换记作.S=.幂变换:设T是线性空间V的线性变换则也是V的线性变换.),,(defL==mTTTmm.多项式变换:设T是线性空间V的线性变换多项式)()(Katataatfimm=L则也是V的线性变换.mmeTaTaTaTf=L)(二、线性变换的矩阵表示.线性变换在给定基下的矩阵设线性空间V的基为T是V的线性变换则Tx且有nxx,,LnniV===nnnnnnnnnnxaxaxaTxxaxaxaTxxaxaxaTxLLLLL=nnnnnnaaaaaaaaaALMMMLL写成矩阵乘法形式TAxxTxTxxxnnn),,(),,(),,(defLLL==第一章线性空间与线性变换(第节)称A为线性变换T在基下的矩阵.nxx,,Lnn注()给定V的基和线性变换T时矩阵A唯一.nxx,,L()给定V的基和矩阵A时基象组Tx确定.nxx,,LnTx,,LnVxnnxcxcx=L定义变换()()nnTxcTxcTx=L则T是线性变换.因此线性变换T与方阵A是一一对应关系.例线性空间的线性变换为tPn()()()()tPtftftfTn′=.基(I):!,,!,,ntftftffnn====L基(II):nntgtgtgg====,,,,L记T在基(I)下的矩阵为T在基(II)下的矩阵为.因为AA,,,,====nnfTffTffTfTfL,,,,====nnngTggTggTgTgL所以=MOOLLA=nAMOOLL易见.AA)(n例线性空间V中设线性变换T在基下的矩阵为A则nnxx,,LdimR(T)=rankAdimN(T)=nrankA.证rankA=mA的列向量组nββ,,L中最大无关组含m个向量元素组Tx中最大无关组含m个向量nTx,,LdimR(T)=dimmTxTxLn=),,(L第一章线性空间与线性变换(第节)由例知另一结论成立..线性运算的矩阵表示(将线性变换运算转化为矩阵运算)TTh设线性空间V的基为线性变换T与的矩阵nnxx,,LA与则B()TT在该基下的矩阵为BA.()kT在该基下的矩阵为.kA()TT在该基下的矩阵为AB.()T在该基下的矩阵为A.证()()()()BxxxxTAxxxxnnnn,,,,,,,,,LLLLT==()略.()略.()先证:()()()CxxTCxxTcCnnmnij,,,,,LL==左=()()=iimiiiimiiTxcTxcxcxc,,,,LLT=()=CTxTxn,,L右由此可得()()()()BxxTxxTTxxTTnnn,,,,,,LLL==()()ABxxBxxTnn,,,,LL==()记T则T=()=====ABIBAABTTTTTe..象与原象坐标间的关系Th线性空间V的基为线性变换T在该基下的矩阵为An,,,nxxL的坐标为Tx的坐标为则.nVxnξξMnηηM=nnAξξηηMM证nnxxxξξ=L()()()()===nnnnnnAxxTxTxTxTxTxξξξξξξMLMLL,,,,第一章线性空间与线性变换(第节)由定理知.=nnAξξηηMM.线性变换在不同基下矩阵之间的关系nTh线性空间V的基(I):基(II):nxx,,Lnyy,,L线性变换T:()()Axxxxnn,,,,LLT=()()ByyyyTnn,,,,LL=由基(I)到基(II)的过渡矩阵为C则.ACCB=证因为()()()()ACCyyACxxCxxTyyTnnnn,,,,,,===LLLL()()ByyyyTnn,,,,LL=所以.ACCB=三、线性变换的特征值与特征向量.定义线性空间V线性变换T若Kλ及Vxθ满足Txxλ=称λ为T的特征值x为T的对应于λ的特征向量(元素)..算法设线性空间V的基为线性变换T的矩阵为.nnxx,,LnnAT的特征值为λ对应的特征向量为x.x的坐标为Tx的坐标为=nξξαMαAxλ的坐标为α.λ因为αλαλ==AxTx所以T的特征值与A的特征值相同的对应于Tλ的特征向量的坐标就是A的对应于λ的特征向量.例设线性空间=B(){}R,===ijijxxxxXV线性变换为()VXBXXB=TTTX求T的特征值与特征向量.第一章线性空间与线性变换(第节)解==xxxxxxxxXVX=xxx可得V的简单基为===,,XXX由公式求得TX===,,TXTX故T在简单基下的矩阵为=AA的特征值与线性无关的特征向量为====,,ααλλ==,αλT的特征值与线性无关的特征向量为()====,,,αλλXXXYY()==,,αXXX()===,,,αλXXXY例线性空间V线性变换T{}VxxTxx==,λλV是V的子空间.证=θθλθθ,TVλV,即V非空.λ(),λVyx()yxyxTyTxyxT===λλλλVyx()()()()kxxkTxkkxTVxKk,λλλ===λVkx第一章线性空间与线性变换(第节)λ故V是V的子空间.注若λ是线性变换的特征值则称V为T的特征子空间.λ.矩阵的迹:.()===niiinnijaAaAtr,Th()()BAABBAmnnmtrtr,=.证()()mnijnmijbBaA==,()mmijuAB=()nnijvBA=:v()===nkkiikniiiniiibabbaau,,ML()===miikkimkkkmkkkabaabb,,ML()()BAvabbauABnkkknkmiikkiminkkiikmiiitrtr===========Th若A相似于B则trBAtr=.证由APPB=可得()()APAPAPPBtr)(trtrtr===注因为相似矩阵有相同的特征值(Th线性代数课程结论)所以线性变换的特征值与线性空间中基的选取无关.三角相似Th

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