第四章 谱与紧算子

1 第四章 谱与紧算子 §1 有界线性算子的谱 问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 : 设 ,X Y 为赋范线性空间， ( , )A B X Y∈ （1） Ax x yλ− = ，即 ( )A I x yλ− = （2） 0Ax xλ− = ，即 ( )A I xλ θ− = 何时有解？ 定义： 设 ( , )A B X Y∈ ，若存在算子 ( , )B B Y X∈ 使 YAB I= 和 XBA I= ，则称 A 是可逆 的，B称为 A的逆算子，记为 1A B− = 。 注： 作为映射，可逆的充分必要条件是既单又满，但有界线性算子可逆条件要强，即它作 为映射的逆存在且有界。 逆算子定理：设 X，Y 是同数域上的 Banach 空间， ( , )A B X Y∈ 。若 ( ) { }N A θ= , ( )R A Y= , 则 A 必可逆。 一 特征值与特征向量 定义 设 ( )A B X∈ ， Rλ∈ ，若存在非零向量 x X∈ 使 Ax xλ= 或 ( )A I xλ θ− = ，称λ为 线性算子 A的一个特征值，x为对应特征值λ的一个特征向量。 例 1 { }( ) ( ) [0,1] | ''( ) [0,1], (0) (1)D A x t C x t C x x= ∈ ∈ = . : ( ) [0,1]A D A C→ , ( )( ) ''( )Ax t x t= − , ( ) ( )x t D A∈ 则 A 是一个线性（无界）算子。 由 '' '' 0Ax x x x x xλ λ λ= ⇔ − = ⇔ + = 可知道 ( ) cos sinx t a t b tλ λ= + ， 对任意的 , Ra b∈ 。 当 2(2 )nλ π≠ ， n Z∈ ，时，A在 D(A)中没有特征向量； 当 2(2 )nλ π= ， n Z∈ 时， sin 2n tπ 和 cos 2n tπ 均为 A关于特征值 2(2 )nπ 的特征向量。 2 例2 设 [ , ]X C a b= ， 1 2( ), ( ), , ( )nf t f t f t" ， 1 2( ), ( ), , ( )ng t g t g t X∈" ，令 1 1 ( )( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) n nb b k k k ka a k k Ax t f t g s x s ds g s x s ds f t = = = =∑ ∑∫ ∫ ， ( )x t X∈ 则 ( )A B X∈ 。 对于任意的 Cλ ∈ ，由 0Ax xλ− = 可得 1 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 0 nb k ka k f t g s x s ds x tλ = − =∑∫ ， 1 [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) 0 n b k ka k g s x s ds f t x tλ = − =∑ ∫ （*） 当 0λ = 时，任何使 1 [ ( ) ( ) ] ( ) 0 n b k ka k g s x s ds f t = =∑ ∫ 的 ( )x t 都是特征向量，运用正交性可知 0λ = 是 A的特征值。 当 0λ ≠ 时，由(*), 1 1( ) [ ( ) ( ) ] ( ) n b k ka k x t g s x s ds f tλ == ∑ ∫ ， 令 1 ( ) ( ) n k k k x t d f t = = ∑ ，代入(*)得 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n nb k k l l k ka k l k f t g s f s dsd d f tλ = = = ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ ∑∫ ， 所以 1 [ ( ) ( ) ] n b k l l ka l g s f s ds d dλ = =∑ ∫ ， 1,2, ,k n= " 。记 ( ) ( )bkl k lac g s f s ds= ∫ ， ( )klC c= ， 1 2( , , , ) T nd d d=d " ，则有 ( ) 0C λ− =d 。所以λ为 A得特征值当且仅当λ为矩阵 C 得特 征值。 结论：若λ为 A 得一个特征值， 0x 为 ( )A I x fλ− = 的一个特解，则 ( )A I x fλ− = 的通 解为 0x x g= + ， ( )g N A Iλ∈ − 。 二 正则点与谱 定义 设 X 为一个 Banach 空间， ( )A B X∈ 。若 A Iλ− 是可逆的，则称λ为 A的一个正 3 则点， { }( )A Aρ = 的正则点 为 A的豫解集；若 A Iλ− 是不可逆的，则称λ是 A的一个谱 点。显然线性算子的特征值是它的谱点，称为点谱，记算子 A的所有点谱（特征值）的集 合为 ( )p Aσ ，则 ( ) ( )p A Aσ σ⊆ 。注意线性算子的点谱可能是空集。记 { }A Aσ（ ）= 的谱点 为 A的谱。 显然 ( ) C ( )A Aρ σ= − 。 定理 (1) { }( ) ( )A N A Iλ ρ λ θ∈ ⇔ − = ， ( )R A I Xλ− = 。 (2) X 为有限维时，λ为 A的正则的点⇔ ( ) { }N A Iλ θ− = 或 ( )R A I Xλ− = 证明略 定理（Von Neumann）设 X 为一个 Banach 空间， ( )A B X∈ 。 若 || || 1A < ，则 I A− 是可逆 的，并且 1 2 0 ( ) n n I A A I A A ∞− = − = = + + +∑ " 1 1|| ( ) || 1 || || I A A −− ≤ − 。 证明： 对于整数 1n > ， 令 2 0 n k n n k S A I A A A = = = + + + =∑ " ，则{ } 0n nS ∞= 为 ( )B X 中的 一个 Cauchy 序列。 事实上，对 1m n> > ， ( )1 1 1 1 || || 1 || || || |||| || || || || || 1 || || 1 || || n m n nm m k k m n k n k n A A AS S A A A A + − + = + = + −− = ≤ = <− −∑ ∑ 0→ ，（ ,m n→∞） 由 ( )B X 为一个 Banach 空间可知存在 ( )S B X∈ 使 || || 0nnlim S S→∞ − = ，所以 0 n n S A ∞ = =∑ 。 又因为 1( ) ( )nn nI A S I A S I A +− = − = − ， 1lim( ) lim lim ( )nn nn n nI A S I A I S I A + →∞ →∞ →∞− = − = = − 所以 I A− 可逆，且 1 0 ( ) n n I A S A ∞− = − = =∑ 。 由于 1 0 1 || || 1|| || lim || || lim || || lim 1 || || 1 || || nn k nn n nk AS S A A A + →∞ →∞ →∞= −= ≤ = =− −∑ 。 定理 设 { }X θ≠ 为一个 Banach 空间， ( )A B X∈ 。那么 4 (1) Cλ ∈ ， | | || ||Aλ > ，则 ( )Aλ ρ∈ 且 1 1 0 ( ) ( ) n n n AR A A Iλ λ λ ∞− + = = − =∑ ， 1|| ( ) || | | || ||R A Aλ λ≤ − (2) 对于 0 ( )Aλ ρ∈ ， 0 0 1C | | | ( ) || ( ) || A R Aλ λ λ λ ρ⎧ ⎫⎪ ⎪∈ − < ⊂⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ (3) ( )Aσ ≠ ∅ 证明：(1)由已知， 0λ ≠ ， AA I Iλ λ λ ⎛ ⎞− = − −⎜ ⎟⎝ ⎠， || || 1 A λ < 由 Von Neumann 定理， A Iλ− 可逆且 ( ) 11 1 0 1 n n n A AA I Iλ λ λ λ − ∞− + = ⎛ ⎞− = − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑ ， 1|| ( ) || | | || || R A Aλ λ≤ − 。 (2) 令 0 0 1| | || ( ) ||R Aλ λ λ− < ， ( ) ( )010 0 0 0 0 0 0( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )A I A I I I A I I A A I I R Aλλ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ−− = − + − = − − − − = − − − 因为 00 | ( ) ( ) | 1R Aλλ λ− < ， 所以 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( )n n n A I A I I R A R A R Aλ λ λλ λ λ λ λ λ ∞− − − = − = − − − = −∑ 这样 0 0 1C | | | ( ) || ( ) || A R Aλ λ λ λ ρ⎧ ⎫⎪ ⎪∈ − < ⊂⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ 。 (3) 任取 ( )*( )f B X∈ ， || || 1f ≤ 。 假设 ( )Aσ =∅， 定义 1( ) ( ( )) (( ) )zF z f R A f A zI −= = − ， ( ) Cz Aρ∈ = 。 可以验证 ( )F z 是一个整函数，而且 1| ( ) | || ( ) || | | || ||z F z R A z A ≤ ≤ − ， | | || ||z A> 。 5 所以 F(z)是有界整函数。由 Liouville 定理，F(z)必为常数。 但是 | | lim ( ) 0 z F z→∞ = ， 所 以 F(z) 必 恒 为 零 ， 再 由 f 的 任 意 性 ， ( ) 0zR A = 。 但 ( ) ( ) 0zI A I R Aλ= − = ，矛盾！ 所以 ( )Aσ ≠ ∅。 定义 ( )A B X∈ ， ( ) max{| | | ( )}r A Aσ λ λ σ= ∈ ， 称 ( )r Aσ 为 A 的谱半径。 注 ( ) || ||r A Aσ ≤ 。 ( ) lim || ||nnnr A Aσ →∞= 定理 设 X 为一个复的 Banach 空间， ( )A B X∈ ，对于任意的复多项式 ( )p z ， 则有 { }( ( )) ( ) | ( )p A p Aσ λ λ σ= ∈ 。 证明：对于任意的 ( )Aλ σ∈ ，由于 ( ) ( )p z p λ− 可以分解为 ( ) ( )z q zλ− 可知 ( ) ( ) ( ) ( )p A p I A I q Aλ λ− = − 由 A Iλ− 是不可逆的， ( ) ( ) ( ) ( )A I q A p A p Iλ λ− = − 也是不可逆的，从而可知 ( ) ( ( ))p p Aλ σ∈ 。 对 ( ( ))p Aλ σ∈ ，由代数基本定理，存在互异的复数 1 2, , , , na λ λ λ" 及正整数 1 2, , , , nl k k k" 使 得 11( ) ( ) ( ) nkk np z a z zλ λ λ− = − −" ， 所 以 1 1( ) ( ) ( ) n kk np A I a A I A Iλ λ λ− = − −" 。 由 于 ( )p A Iλ− 不 可 逆 ， 所 以 ， 1 , , nA I A Iλ λ− −" 必至少有一个是不可逆的，记 iA Iλ− 不可逆， 1 i n≤ ≤ 。所以 ( )i Aλ σ∈ ，而 ( )ip λ λ= ，故 ( ) ( ( ))ip p Aλ λ σ= ∈ 。这样就得到， ( ( )) ( ( ))p A p Aσ σ⊂ 。 综上所述， ( ( )) ( ( ))p A p Aσ σ= 。 6 §2 Hilbert空间上的紧算子 在微分方程的研究中, 关于 Fredholm 方程 ( ) ( , ) ( ) ( ) b a x t k t s x s ds f tλ − =∫ (1) ( ) ( , ) ( ) 0 b a x t k t s x s dsλ − =∫ (2) 得出二择一定理: 当 0λ ≠ 时, 1. 若齐次方程(2)只有非零解,则非齐次方程(1)必存在唯一的解; 2. 若齐次方程(2)有非零解,则非齐次方程有解的充分必要条件是 f 与共轭齐次方程 ( ) ( , ) ( ) 0 b a x t k s t x s dsλ − =∫ 的每个解都正交. 这一结果,引起人们对无穷维空间上紧算子的研究. 一、有限秩算子与紧算子(compact operator) 设 1f H∈ , 2g H∈ ，记 g f⊗ 为 1H 到 2H 的一个算子，( ) ( , )g f x x f g⊗ = ， 1x H∀ ∈ 。 这个算子的值域 { }( ) |R g f f Fλ λ⊗ = ∈ 是一维空间。这里 F 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示空间对应的实数或复数 域。称 g f⊗ 为一个一秩算子。由 Riesz 表示定理可知， 1H 到 2H 的任何一秩算子都可以 写成这个形式。 有限秩算子: 设 1 2:F H H→ 是一个 Hilbert 1H 到 2H 的一个线性算子,若 F 的值域 { }1( ) |R F Fx x H= ∈ 的维数 n是有限的,则称 F是一个有限秩算子或 n秩算子。 事 实 上 ， 一 个 ( )n < +∞ 秩 算 子 1 2:F H H→ 都 可 表 示 成 一 秩 算 子 的 和 1 1 2 2 n nF g f g f g f= ⊗ + ⊗ + + ⊗" 。 为此，取 ( )R F 的一个基{ }1 2, , , ng g g" ，对任何 1x H∈ ， 1 1 2 2( ) ( ) ( )n nFx a x g a x g a x g= + + +" ， ( ) , 1, 2, ,ia x F i n∈ = " 。对于 1,x y H∈ ， Fλ ∈ ， ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n F x y a x y g a x y g a x y g Fx Fy a x g a x g a x g a y g a y g a y g a x a y g a x a y g a x a y g + = + + + + + + = + = + + + + + + + = + + + + + + " " " " 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x a x g a x g a x g Fx a x g a x g a x g λ λ λ λ λ λ λ λ = + + + = = + + + " " 7 所以， ( ), 1, 2, ,ia x i n= " 是 1H 上的线性泛函，再由 F 的有界性可知，它们都是有界的。 由 Riezs 表现定理，存在 1 2 2, , , nf f f H∈" ，使得 1( ) ( , ), , 1, 2, ,i ia x x f x H i n= ∈ = " 。 于是 1 1 2 2 n nF g f g f g f= ⊗ + ⊗ + + ⊗" 。 对于一个 ( )n < +∞ 秩算子 F ，当把 { }1 2, , , ng g g" 取成 ( )R F 的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正交基， 1, 2 , , ( )nf f f N F⊥" ， 1 2|| || || || || || 1nf f f= = = =" 时，它的一秩表示可以唯一地写成 1 1 1 2 2 2 n n nF g f g f g fλ λ λ= ⊗ + ⊗ + + ⊗" ， 1 2 0nλ λ λ≥ ≥ ≥ >" ， 并 且 F 可 以 看 成 是 有 限 维 空 间 ( )N F ⊥ 到 ( )R F 上 的 线 性 算 子 ， dim( ( ) ) dim( ( ))N F R F n⊥ = = 。所以将 F表示成一个矩阵。 紧算子 设 1 2( , )K B H H∈ ，若存在有限秩算子列{ } 1 21 ( , )n nF B H H+∞= ⊂ 使得 lim nn F K→∞ = ， 即 lim || || 0nn F K→∞ − = ，则称K是一个紧算子。 紧算子的等价定义： K是一个紧算子当且仅当 对于任意的 0r > ， ( )( , )K B rθ 是 2H 的一个紧集，这里 { }1( , ) | || ||B r x H x rθ = ∈ ≤ 。 或者 对于任意序列{ } 11n nx H∞= ⊂ ，|| || , 1, 2,nx M n≤ < ∞ = "，必有子列{ } 1kn kx ∞= 使{ } 1kn kKx ∞= 收 敛。 命题 （1）设K是H上的一个紧算子， ( )A B H∈ ，则 ,AK KA均是紧算子； （2） 设设K是H上的一个紧算子，则 *K 也是紧算子。 证 明 ： 由 定 义 ， 取 有 限 秩 算 子 列 { } 1n nF ∞= 使 lim || || 0nn K F→∞ − = 。 则 由 || || || || || ||n nAK AF A K F− ≤ − 及 || || || || || ||,n nKA F A A K F− ≤ − 可知 ,AK KA均是紧算子。 由 *|| * || || ||n nK F K F− = − 知 *K 是紧算子。 例 2[ , ]X L a b= ，取函数函数 ( , )k s t 使 2 [ , ] [ , ] | ( , ) | a b a b k s t dsdt × < ∞∫∫ 。 定义算子K： ( )( ) ( , ) ( ) b a Kx t k s t x s ds= ∫ ， 2( ) [ , ]x t L a b∈ 。 8 则由 2 2 2 2 2 2 | ( )( ) | | ( , ) ( ) | [ | ( , ) | | ( ) | ] | ( , ) | | ( ) | b b b a a a b b b a a a b b b a a a Kx t dt k s t x s ds dt k s t ds x s ds dt k s t dsdt dt x s ds = ≤ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 即， 2 2 2 [ , ] [ , ] || || | ( , ) | || || a b a b Kx k s t dsdt x × ≤ ∫∫ ，从而 1/ 2 2 [ , ] [ , ] || || | ( , ) | a b a b K k s t dsdt × ⎛ ⎞≤ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫ 。 K是一个有界线性算子，并且是紧算子。 事实上，取 2[ , ]L a b 的一个标准正交基{ } 1( )n ntφ ∞= ，则可以给出 2 ([ , ] [ , ])L a b a b× 的一个标 准正交基。 令 , ( , ) ( ) ( )n m n mt s t sψ φ φ= ， , 1n m ≥ 。则 2 2 2 2 2 ,|| || | ( ) | | ( ) | || || || || 1 b b n m n m n ma a t dt s dsψ φ φ φ φ= = =∫ ∫ ， , 1n m ≥ ( ) ( )( ), ', ' ' ', , , ( ') ( ')n m n m n n m m n n m mψ ψ φ φ φ φ δ δ= = − − ， , ', , ' 1n n m m ≥ 所以{ }, , 1n m n mψ ∞ = 是一个标准正交系。再证完全性。取一个函数 2( , ) ([ , ] [ , ])x t s L a b a b∈ × 使 得 , , 1{ }n m n mx ψ ∞ =⊥ 。由 ( ) ( ),0 , ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )b b b bn m n m n ma a a ax x s t s t dsdt x s t s ds t dtψ φ φ φ φ= = =∫ ∫ ∫ ∫ ， , 1n m ≥ 记 '( ) ( , ) ( ) b na x t x s t s dsφ= ∫ ，同上可知 2'( ) [ , ]x t L a b∈ ，代入上式可得 ( ', ) 0mx φ = ，即 ' mx φ⊥ ， 1m ≥ 。 由{ } 1( )m mtφ ∞= 的完全性可知 ' 0x = ，再由 '( ) ( , ) ( )b nax t x s t s dsφ= ∫ 及{ } 1( )n ntφ ∞= 的完全性知 道， ( , ) 0, . .x s t a e≡ [ , ] [ , ]a b a b× 。所以 0x = ，即证得{ }, , 1n m n mψ ∞ = 是 ( )2 [ , ] [ , ]L a b a b× 的标 准正交基。 令 , , , 1 ( , ) ( , )n m n m n m k s t s tλ ψ+∞ = = ∑ ， 2 2, , 1 || ( , ) || | |n m n m k s t λ∞ = = < ∞∑ ＋ ， 对 1,N > 定义 , , 1 1 ( , ) ( , )N n m n m n N m M k s t s tλ ψ ≤ ≤ ≤ ≤ = ∑ ， ( ), , 1 ( )( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) Nb b N n n m n ma a n m K x t k s t x s ds s x s ds tλ φ φ = = = ∑∫ ∫ ， 2( ) ([ , ])x t L a b∈ 。 9 则 NK 是 2 ([ , ])L a b 上的 N 秩算子。 ( ) ( )2 2 2 2, , 2 2 , || ( ) || || ( ) ( ) ( ) || | | | ( ) ( ) | || || | | b b N n m n m n m na a n N m N m N n N n m m N n N K K x x s s t x s s x λ φ φ λ φ λ ∞ ∞ > >> > ∞ >> − = = = ∑ ∑∫ ∫ ∑ 所以 1/ 2 2 , , || || | | 0,N n m n m N K K Nλ∞ > ⎛ ⎞− ≤ → →∞⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ， 即表明K是一个紧算子。 特别地，取 2 ( , )h L π π∈ − ，将 ( )h t 视为以 2π 为周期的函数，定义 ( )( ) ( ) ( )Kf x h x y f y dy π π−= −∫ ， 2 ( , )f L π π∈ − 。 将 h展成 Fourier 级数 ( ) jntn n h t h e ∞ =−∞ = ∑ ， 2 2| | || ||n n h h ∞ =−∞ =∑ ， 所以 ( )( ) ( ) jny jnxn n Kf x h f y e dy e π π ∞ − −=−∞ = ∑ ∫ ， 2 ( , )f L π π∈ − ( )jmx jmxmK e h e= ， m Z∈ 。 可以证明K的特征值之集{ | }nh n Z∈ ，且 ( ) { | } {0}nK h n Zσ = ∈ ∪ 。 二、 紧算子的谱 由矩阵论我们知道：对一个矩阵 A而言，任何一个复数λ要么是它的特征值，要么是它 的正则点，即 A Iλ− 可逆。那么，任何一个复数要么是有限秩算子的特征值，要么是有限 秩算子的正则点。紧算子是有限秩算子的（范数意义下）的极限，它的谱有怎样的特征？ 对于 Hilbert 空间H上一个算子 A，记 { }( ) |p A Aσ λ λ= 是 的特征值 ，称为 A的点谱。 一个线性算子的点谱可以为空集！但可以证明，像矩阵一样，紧算子的点谱是非空的。 定理 设H是一个无限维 Hilbert 空间， ( )K B H∈ 是一个紧算子。 （1） 0 ( )Kσ∈ ，即K不可逆； （2） 若 ( )p Kλ σ∈ ， 0λ ≠ ，则特征空间 ( )N K Iλ− 一定是有限维的； （3） 对 Cλ∈ ， 0λ ≠ ，则λ或者是K的特征值，或者是K的正则点； 10 证明 （1）若K可逆，则由 1KK I− = 知道H上的单位算子 I 是紧的，但因为H 是无限维 的，它的任何一个标准正交基不可能由收敛的子列，所以单位算子不是紧的，矛盾。所以K 必不可逆。 （2） 假设dim ( )N K Iλ− = ∞。取 ( )N K Iλ− 的一个标准正交基{ } 1n ne ∞= ，则 n nKe eλ= ， 1,2,n = " 。 由 K 是 紧 算 子 ， { } 1n neλ ∞= 必 收 敛 的 子 列 。 但 当 'n n≠ 时 ， '|| || | | 2 0n ne eλ λ λ− = > ， 显 然 ， { } 1n neλ ∞= 不 能 有 收 敛 的 子 列 。 矛 盾 !, 所 以 dim ( )N K Iλ− < ∞。 （3）设 ( )p Kλ σ∉ ，则 { }( )N K Iλ θ− = ，即K Iλ− 是单的。 首先可证明 || || 1 inf || ( ) || 0 x K I xλ= − > 。 若 || || 1inf || ( ) || 0x K I xλ= − = ，则存在向量 { } 1n nx ∞= ， || || 1nx = 使 || ( ) || 0,nK I x nλ− → →∞ .由 K的紧性，存在子列 1{ }kn kx ∞= 使{ }knKx 收敛， 又由 1 ( ) k k kn n n x K I x Kxλ λ− ⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦ 知道， 1{ }kn kx ∞= 是收敛的。令 0lim knk x x→∞ = ，则 0|| || 1x = , 0( )K I xλ θ− = ,即有 0 0Kx xλ= ，这与 ( )p Kλ σ∉ 矛盾，所以 || || 1 inf || ( ) || 0 x K I xλ= − > 。 其次,由 || || 1 inf || ( ) || 0 x K I xδ λ== − > 知 ( )R K Iλ− 为一个闭子空间。 再由 { }( )N K Iλ θ− = 还可证得 ( )R K I Hλ− = . 事实上,由紧算子的定义,取有限秩算子F 使 || || | | / 2K F λ− < ,从而 ( )1( ) ( )K I K F I F K F I Fλ λ λ λ−− = − − + = − − + 及 Von Neumann 引 理 知 , K F Iλ− − 是 可 逆 的 . ( )1( ) ( )K I K F I I K F I Fλ λ λ −− = − − − − − , 记 1( )F K F I Fλ λ −= − − .则 Fλ 是一个有限秩算子, ( )( )K I K F I I Fλλ λ− = − − − .再由 K F Iλ− − 可逆知道, dim( ( )) dim( ( ))N K I N I Fλλ− = − .由线性代数知识可以推出 *dim( ( )) dim( ( ))N I F N I Fλ λ− = − , 从 而 ( ) ( ) ( ) ( )* *0 dim ( ) dim ( ) dim ( ) dim ( )N K I N I F N I F N K Iλ λλ λ= − = − = − = − , 所 以 *( ) ( ) ( )R K I N K I N K I Hλ λ λ⊥ ⊥− = − = − = .这样由逆算子定理, K Iλ− 是可逆的,即 11 λ为K的正则点. 定 理 设 K 为 无 限 可 分 Hilbert H 上 的 一 个 紧 算 子 , 则 { }1 2( ) ( ) {0} 0, , ,pK Kσ σ λ λ= ∪ = " ,其中 , 1,2,i iλ = "为K的非零特征值. 证明 由H的可分性知道, ( )p Kσ 不能由非零的极限点;再由上一定理可知结论成立. 二择一定理: 设K为一个 Hilbert(或 Bannach)间上的一个紧算子, 0λ ≠ ,则 (1) Kx x yλ− = 对任何 y H∈ 有唯一的解; (2) 0Kx xλ− = 有非零解. 三、紧算子的表示 设H为一个无限维Hilbert空间, 1 2 3, , ,M M M "是H的一列互相正交的有限维子空间, 使得 1 2 3H M M M= ⊕ ⊕ ⊕".令{ } 1n nλ ∞= 为一个实数列,使 lim 0nn λ→∞ = .定义算子K : 1 1 2 2Kx x xλ λ= + +",对于 1 2 1 n n x x x H M ∞ = = ⊕ ⊕ ∈ = ⊕" 由 2 2 2 2 2 2 0 01 1 1 || || || || | | || || sup | | || || sup | ||| ||n n n n n n n n nn n n Kx x x x xλ λ λ λ∞ ∞ ∞ ≥ ≥= = = = = ≤ =∑ ∑ ∑ 可知 0 || || sup | |n n K λ ≥ ≤ . 显然 { } { }( ) ( ) | 1 0p nK K nσ σ λ= = ≥ ∪ .通常可以将 K 表示成 1 21 2 1 nM M n M n K P P Pλ λ λ∞ = = + + =∑" . 令 1 n N N n M n F Pλ = =∑ , 1N ≥ .则可知对任意的 1N ≥ , NF 是有限秩算子.对任意的 1 1n nn n x x M ∞ ∞ = = = ⊕ ∈⊕ , 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 || || || || || || | | || || sup | | || || sup | | || || N N n n n n n n n n n n n N n N n n n n N n Nn N Kx F x x x x x x x λ λ λ λ λ λ ∞ ∞ ∞ = = = + = + ∞ ≥ ≥= + − = − = = ⎛ ⎞= ≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 所以 1 || || sup | | 0N n n N K F λ ≥ + − ≤ → ( n→∞ ).这样,K也是H上一个紧算子,且 *K K= . 其实,可以证明无限维 Hilbert 空间上任何一个自伴紧算子均可表示成这样.一个特别的情 12 形就是,取H 的一个标准正交基{ } 1n ne ∞= , { }| { }n n nM e C span eλ λ= ∈ = , 1n ≥ .{ } 1n nλ ∞= 为 实数列使 lim 0nn λ→∞ = ,上述定义的紧算子可以表示成 1 1 n n n n n n n K P e eλ λ∞ ∞ = = = = ⊗∑ ∑ ( ) ( ) {0}pK Kσ σ= ∪ , { }( ) | 1p nK nσ λ= ≥ , ne 为K的对应特征值 nλ 的特征向量, 1n ≥ . 下面我们将给出紧算子的一般表示形式. 命题 设 ( )K B H∈ 是一个紧自伴算子,则 (1) ( )K Rσ ⊂ ; (2)属于不同特征值的特征向量是正交的,即若 , ( )p Kλ µ σ∈ , ( ) ( )N K I N K Iλ µ− ⊥ − ; (3) { }|| || sup | ( , ) | | ,|| || 1K Kx x x H x= ∈ = (4) || ||K 或 || ||K− 属于 ( )p Kσ . 证明 (1) 由 *K K= , 对 ( )Kλ σ∈ ,由紧算子的谱性质知,λ为 K 的一个特征值. 任取 x 为 对 应 的 一 个 特 征 向 量 , 则 Kx xλ= , 所 以 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )x x x x Kx x x Kx x x x xλ λ λ λ= = = = = ,同除 ( , )x x 可得λ λ= ,即 Rλ ∈ , 从而 ( )K Rσ ⊂ . (2)取 , ( )p Kλ µ σ∈ ,λ µ≠ . 对任意的 ( )x N K Iλ∈ − , ( )y N K Iµ∈ − ,由 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y x y Kx y x Ky x y x yλ λ µ µ= = = = = , 知道, ( , ) 0x y = ,即 x y⊥ , 从而 ( ) ( )N K I N K Iλ µ− ⊥ − . (3) 令 { }sup | ( , ) | | ,|| || 1M Kx x x H x= ∈ = . 因为,对任意的 x H∈ , || || 1x = , | ( , ) | || || || || || ||Kx x Kx x K≤ ≤ 所以 || ||M K≤ . 任取 ,x y H∈ ,使 || || || || 1x y= = , 13 ( )( ), ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2Re( , ) ( , ) K x y x y Kx x Kx y Ky x Ky y Kx x Kx y Kx y Ky y Kx x Kx y Ky y ± ± = ± ± + = ± ± + = ± + 两式相减可得 ( ) ( )4 Re( , ) ( ), ( ),Kx y K x y x y K x y x y= + + − − + 从而 2 2 2 24Re( , ) || || || || 2 (|| || || || ) 4Kx y M x y M x y M x y M≤ + + − = + = . 这样对任意 ,x y H∈ , || || || || 1x y= = ,有 ( )Re ,Kx y M≤ . 对上述的 ,x y , 取复数λ , | | 1λ = ,使 ( ) ( ), ( ), | ( , ) |Kx y K x y Kx yλ λ= = .令 'x xλ= ,则 || ' || 1x = ,且 ( ) ( ) ( )| , | ', Re ',Kx y Kx y Kx y M= = ≤ 于是 ( ){ }|| || sup | , | | , ,|| || || || 1K Kx y x y H x y M= ∈ = = ≤ . 所以 { }|| || sup | ( , ) | | ,|| || 1K Kx x x H x= ∈ = . (4) 若 0K = , 则 结 论 显 然 成 立 . 设 0K ≠ . 记 { }inf ( , ) | || || 1Kx x xλ = = , { }sup ( , ) | || || 1Kx x xµ = = , 由 (3) 可 知 , || ||Kλ− = 或 || ||Kµ = . 不妨设 || || 0Kµ = ≠ , 可取 nx H∈ , || || 1nx = , 1n ≥ 使 ( , ) || ||n nKx x K→ ,于是 ( )2 2 2 2 || ( ) || ( ) , ( ) || || 2 ( , ) | | 2 || || 2 || || ( , ) 0, n n n n n n n n K I x K I x K I x Kx Kx x K K Kx x n µ µ µ µ µ− = − − = − + ≤ − → →∞ 于是可知 || || ( )K Kµ σ= ∈ ,又由 || || 0K ≠ 和K的紧性, || || ( )pK Kσ∈ . 定理 设 K是无限维 Hilbert 空间H 上一个紧的自伴算子,则存在H 的一个标准正交基 { } 1n ne ∞= 使得 1 n n n n K e eλ∞ = = ⊗∑ 其中, ( )n p K Rλ σ∈ ⊂ , ne 为K对应特征值 nλ 的单位特征向量, 1,2,n = ". 证明 不妨设 0K ≠ .由于 || || ( )pK Kσ∈ ,记 1 || ||Kλ = ,并取 1e 为一个单位特征向 量: 1 1nKe eλ= . 将H 分解为 { } 1|nH e C Hλ λ= ∈ ⊕ .对于任意的 1x H∈ ,则 nx e⊥ ,从而 1 1 1 1 1 1( , ) , ) ( , ) ( , ) 0Kx e x Ke x e x eλ λ= ( = = = , 即 1 1KH e⊥ . 于 是 1 1KH H⊆ . 令 1 1 1:K H H→ , 1K x Kx= , 1x H∈ .显然 1K 也是一个紧的自伴算子. 对任意的 x H∈ ,将 14 它表示为 1 1x e xλ= ⊕ , 1 1x H∈ .于是 1 1 1 1 1 1( ) ( )Kx K e Kx e K xλ λ λ= + = ⊕ 1 1 1 1 1 1( )( )e e e K xλ λ= ⊗ ⊕ . 类似地可找到 2 1|| ||Kλ = 或 1|| ||K− 及 2 1e H∈ , 2|| || 1e = 使 1 2 2 2 2( ) 'K x e K xλ λ= + ,对任意 { }2 2 2 2' |x e x e C Hλ λ λ= ⊕ ∈ ∈ ⊕� � ,其中 2K 是 2H 上的紧自伴算子使 2 1 2 2Kx K x Kx= = 对 任意 2 2x H∈ ,这里 { }1 2 2|H e C Hλ λ= ∈ ⊕ .可以验证 2λ 也是K的一个特性值. 归纳地做下去,可得到 1 1 1 ( )( ) ( )( )n n n n n n n n n n n n n Kx e e e e e eλ ξ λ ξ∞ ∞ ∞ = = = = ⊗ = ⊗∑ ∑ ∑ , 对 任 意 的 { }1 2 0 1 ' , ,n n n x e x span e e Hξ∞ = = ⊕ ∈ ⊕∑ " . 当 0 { }H θ≠ 时,由以上过称可知 { }0( )K H θ= ,从而 0H 是K的对应特征值零的特征子空间. 任取它的一个标准正交基 '{ | 1, 2, , }ne n p= " ( p 可以是无穷大 ), 则对任意的 { }' 1 2 0 1 1 , , p n n k k n k x e e span e e Hξ µ∞ = = = ⊕ ∈ ⊕∑ ∑ " , ' ' ' ' 1 1 1 1 1 ( )( ) 0( )( ) ( ) p p n n n n n k k k k n n n n n k k n k n n k Kx e e e e e e e e e eλ ξ µ λ ξ µ∞ ∞ ∞ = = = = = ⎛ ⎞= ⊗ + ⊗ = ⊗ ⊕⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ ∑ . 总之, 存在H的一个标准正交基{ } 1n ne ∞= 使得 1 1 1 ( ) ( )n n n n n n n n n n n n n Kx e e e e e eλ ξ λ ξ∞ ∞ ∞ = = = ⎛ ⎞= ⊗ = ⊗⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ,对任意 1 n nnx e Hξ ∞ = = ∈∑ 所以 1 n n n n K e eλ∞ = = ⊗∑ .其中, ( )n p K Rλ σ∈ ⊂ , ne 为 K 对应特征值 nλ 的单位特征向 量, 1,2,n = ". 注:当K是正的紧算子时,由上面定理类似地可以证明 1 n n n n K e eλ∞ = = ⊗∑ 1 2 3 0λ λ λ≥ ≥ ≥ ≥" , { } 1n ne ∞= 是H的由K的特征值构成的标准正交基. 15 定理 设 ( )K B H∈ 是一个紧算子,则存在H 的两个标准正交基{ } { }1 1,n nn ne f∞ ∞= = 以及非负实 数 1 2λ λ≥ ≥"使得 1 n n n n K f eλ∞ = = ⊗∑ , 即 1 ( , )n n n n Kx x e fλ∞ = =∑ ,对任意的 x H∈ . 证明 由 *K K 是紧的正算子, 将它进行特征分解 * 1 n n n n K K e eµ∞ = = ⊗∑ , 1 2µ µ≥ ≥" , lim 0nn µ→∞ = ,{ } 1n ne ∞= 是由 *K K 的特征向量构成的标准正交基. 令 1 n n n n K e eµ∞+ = = ⊗∑ ,则K +也是一个正的紧算子. 对 于 任 意 x H∈ , ( ) ( ) ( ) ( )2 * 2 1 1 || || , , , , | , |n n n n n n n Kx Kx Kx K Kx x x e e x x eµ µ∞ ∞ = = ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ , ( )2 2 1 1 1 || || , ( , ) , ( , ) | ( , ) |n n n n n n n n n n n K x K x K x x e e x e e x eµ µ µ∞ ∞ ∞+ + + = = = ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ ∑ 且对 ( )*( )x N K R K ⊥∈ = , 2|| ||K x+ = ( ) ( ),K x K x K+ + = 所以可以定义算子U : ( )U K x Kx+ = , 对任意的 x H∈ , 将U 扩张成H上一个等距算子,由于对任意的 ,x y H∈ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )*, , , , ( ), ( )K x K y K K x y K Kx y Kx Ky U K x U K y+ + + + + += = = = 所以U 还是一个酉算子.按照定义,我们得到 UK x Kx+ = ,对任意的 x H∈ 即K UK += .记 n nUe f= , 1n ≥ ,则{ } 1n nf ∞= 也是H的一个正交基. 于是可得 1 1 1 ( )n n n n n n n n n n n n K UK U e e Ue e f eµ µ λ∞ ∞ ∞+ = = = = = ⊗ = ⊗ = ⊗∑ ∑ ∑ 16 这里 n nµ λ= , 1n ≥ , 且 1 2λ λ≥ ≥", lim 0nn λ→∞ = . 例 给定一个 Fredholm 方程 Kx y= 其中K是一个紧自伴算子,具有非零特征值 1{ }n nλ ∞= 和归一化特征向量 1{ }n nφ ∞= 使 1 n n n n K λ φ φ∞ = = ⊗∑ 则 (1)Kx y= 解唯一的必要条件是 { }( )N K θ= , (2) Kx y= 有解的充要条件是 2 2 1 | ( , ) |n n n y φ λ ∞ = < +∞∑ ,且 ( )N KP y θ= 且解为 0 1 ( , )n n n n yx xφ φλ ∞ = = +∑ ,其中 0Kx θ= . 证明 (1) 显然. (2)将向量 y分解为 ( ) 0 1 , n n n y y yφ φ∞ = = +∑ , 0y 是 y在 ( )N K 中的正交投影.于是可将方程代入方程 Kx y= 写成 0 1 1 ( , ) ( , )n n n n n n n x y yλ φ φ φ φ∞ ∞ = = = +∑ ∑ 比较可知方程有解的前提是 0 ( )N Ay P y θ= = ,.另外, ( , ) ( , ) /n n nx yφ φ λ= , 1,2,n = " 于是 0 1 ( , )n n n n yx xφ φλ ∞ = = +∑ , 由 2 2 2 02 1 | ( , ) ||| || || || | | n n n yx xφλ ∞ = = + < ∞∑ 可知 22 1 | ( , ) | | | n n n y φ λ ∞ = < ∞∑ 其中, 0x 是 ( )N K 中一个向量. 例 设 ( , )k s t 是 2[ , ] [ , ]L a b a b× 中一个函数, 17 ( )( ) ( , ) ( ) b a Kx t k s t x s ds= ∫ , 2( ) [ , ]x t L a b∈ (1)K是自伴的紧算子当且仅当 ( , )k s t 是实函数,且 ( , ) ( , )k s t k t s= ; 记K的所有特征值为{ } 1n nλ ∞= ,存在 2[ , ]L a b