2.4有限群不可约表示特征标表

nullnull2.4 有限群不可约 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的特征标表一、特征标 是研究群表示的重要且有效的工具即表示矩阵D(R)对角线上元素和为元素R的特征标。1. 定义设D(G)是群G的一个表示，表示D(G)的特征标记为χ(G) 其中群元素R的表示矩阵D(R)对应的特征标χ(R)为null3. 有限群的特征标♣ 设有限群G：阶为g 有n个不等价不可约表示Di(G), i=1,2,...,n Di(G)的维数为mi，特征标为χi(G)●上面特征标的性质并不要求群G是有限群，是所有群特征标的普遍性质，下面给出有限群特征标的性质（上节涉及的定理和推论）2. 性质♣ 等价表示的特征标相等 ♣ 同一表示中，共轭元素特征标相等 ♣ 特征标是类的 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数，即同类元素特征标相等 ♣恒元的特征标等于表示的维数 若恒元的表示D(E)的维数为m，则 χ(E)=TrD(E)m×m=mnull1) 正交关系对群元素求和，特征标作为群空间矢量对类求和，特征标作为类空间矢量（加上归一化系数）2) 完备性特征标构成类空间完备基，任何类函数都可按其展开null3) 特征标内积可约表示约化为几个不可约表示的过程中，有的不可约表示不止出现一次（重数）不可约表示：D(R)=Dj(R), χ(R)=χj(R) 特征标内积为表示不可约的充要条件null注 意则表示不可约的充要条件为有些文献上定义特征标内积为4) 有限群不等价不可约表示的个数等于群的类数 维数的平方和等于群的阶数null二、特征标表 1. 定义把有限群G的所有不等价不可约表示的特征标，作为类的函数列出一个表，称为群G的特征标表。建立特征标表的原因 ●在给定的线性空间，群表示的矩阵形式不唯一 依赖于基的选择，甚至依赖于基的排序 但众多的表示是定义在同一线性空间，可以通过相似变换联系，即都是等价的 ●虽然群的表示矩阵不唯一，但是矩阵的迹（特征标）在相似变换下不变（等价的表示特征标对应相等） 因此，表示的特征标成为表示的特征，与基的选择无关null●群论的主要任务就是对于各种典型的群，特别是物理中常见的对称变换群，寻找它们所有不等价不可约表示，研究可约表示的约化方法 ●对有限群，我们可以先找到群的所有不等价不可约表示的特征标，列成特征标表，再找不可约表示的表示矩阵，可使问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 简化 ●有限群不等价不可约表示的特征标都满足前面列出的性质，那些性质是写特征标表的依据，也是检验表是否正确的依据1）复共轭表示 将一表示的所有表示矩阵都取其复共轭D(R)*，它们的集合也构成原群的表示，称为原表示的复共轭表示 互为复共轭的表示，它们的特征标互为复共轭null2）自共轭表示 若互为复共轭的两个表示等价D(R)*=X-1D(R)X，则称为自共轭表示 自共轭表示的特征标必为实数3）群G的两个不可约表示的直乘仍是G的一个表示 特别是：其中一个是一维表示，直乘仍是不可约表示上面的方法有助于根据已知不可约表示寻找新的不可约表示2. 特征标表的构成表头：行：群包含的几个类 设有gc个类，第α类记为 前面写上类元素的个数n(α) 列：群的几个不等价不可约表示 有限群不等价不可约表示个数=gcnull表中：每一行 是一个不可约表示Di 对应不同类 的特征标 χiα（α=1,...,gc） 每一列 是群每类元素 在不同表示Di中的特征标χiα （i=1,...,gc） 特征标表是一个正方形表：gc×gcnull由于特征标的正交关系，因此特征标表的任两行（列）满足下列正交关系：正交关系既是写特征标表的依据，也是检验结果的依据写一个群的特征标表，通常表内 第一行：给出恒等表示D1的特征标 χ1α=1，即表的第一行为 1 第一列：给出恒元E表示的特征标 χi(E)=mi，即表的第一列为表示的维数null3. N阶循环群的特征标表1）N阶循环群的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形式：CN={R,R2,...,RN=E} 阿贝尔群，各元素间乘积可对易 2）阿贝尔群每个元素自成一类，因此，N阶循环群有N个类 3）有限群不等价不可约表示的维数平方和=群的阶 m12+m22+...+mN2=N，则m1=m2=...=mN=1 即 每个表示都为一维表示 4）表示矩阵必须满足群元素的乘积关系 R↔D(R); S↔D(S) → RS↔D(R)D(S) 设D是CN的一个不可约表示，则null共有N个值，L=0 对应 D1(E)=1 恒等表示N阶循环群有N个D(R)值，每一个值对应一个不等价不可约表示，为方便，可写成以4阶循环群为例C4={R,R2,R3,R4=E}将其对应到转动操作，相当于每个操 作相继转过2π/N ={C(π/2),C(π),C(3π/2),C(2π)}nullC4群的特征标表： 第一行：给出恒等表示的特征标 第一列：给出恒元在各表示中的特征标（表示维数） 表中各值： D22=exp(-(2-1)πi/2)=cos(π/2)-isin(π/2)=-i D23=exp(-(2-1)πi)=cos(π)-isin(π)=-11111111- i- 1j=1j=2j=3j=4null由于N阶循环群每个表示都是一维，因此特征标本身就是表示用正交关系验证：null4. 正三角形对称群D3的特征标表1）最简单的非阿贝尔群（6个元素：E,D,F,A,B,C） 2）分类：3类 （E） （E，F） （A，B，C） D3群有3个不等价不可约表示 3）表示的维数 m12+m22+m32=6 则 12+12+22=6 即 2个一维表示，1个二维表示 4）写特征标表恒等表示一维表示二维表示11112null一维表示 D(R)=χ(R)+1 +1 +1 +1 -1 -1+1第1行与第2行的正交关系： 1*×1+2×1*×1+3×1*×A=0-1第1列与第2列的正交关系： 1*×1+1*×1+2*×D=0-10null5）写表示 对一维表示： 特征标就是表示 对二、三维表示：表示矩阵可用计算坐标变换矩阵的方法 （表示矩阵形式不唯一，与基的选取有关）●实际上，常见群的不可约表示的特征标表、表示矩阵的标准形式，不可约表示的直乘表示分解等是数学教的任务，都可以在有关文献上查到，物理工作者的主要任务是把它们应用到具体的物理问题中区 ●但实际问题多种多样，要能灵活运用数学家的计算结果，理解数学家计算的基本思想也是十分重要的，因此，我们上面介绍比较简单的群的不等价不可约表示特征标的计算方法，希望大家能对群表示理论有一个直观的概念null 练 习 1、N=2-7 的N阶循环群特征标表 2、正方形对称群的特征标表