nullnullnull●基础知识
一、单调性定义
1．单调性定义：给定区间D上的函数f(x)，若对于 ∈D，当x1
null2．证明单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入手，也可以从导数入手．
(1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是：
① ；
② ；
③ ．
(2)设函数y＝f(x)在某区间内可导．
如果f ′(x) 0，则f(x)为增函数；如果f ′(x) 0，则f(x)为减函数．任取x1、x2∈D，且x1
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
：(－∞，0)和(0，＋∞)
2．已知f(x)为偶函数，在(0，＋∞)为减函数，若f( )＞0＞f( )，则方程f(x)＝0的根的个数是________．
答案：2null二、求函数的单调性时忽视函数定义域而失误．
3．函数y＝log0.7(x2－3x＋2)的单调性为______________________．
答案：在(－∞，1)上为增函数，在(2，＋∞)上为减函数null三、函数与方程思想应用失误．
4．若 则a，b，c的大小关系为________．
答案：c＜a＜b
解
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
思路：方法一：nullnull方法二：构造函数f(x)＝ (x＞0)，y′＝ .
令y′＝ ＞0，lnx＜1，∴x＜e.
∴f(x)＝ 在(e，＋∞)上是减函数，在(0，e)上是增函数．
解法一：a＝ ＝ .
∵5＞4＞3＞e，∴f(5)＜f(4)＜f(3)．∴b＜a＜c.null解法二：由y＝ 在(e，＋∞)上为减函数，
又e＜3＜5，∴ ，∴b＞c.
a－c＝ (6a－6b)＝ (ln8－ln9)＜0，∴a＜b.
a－c＝ (10a－10b)＝ (ln32－ln25)＞0，
∴a＞c，故b＞a＞c.null错因分析：误区1：解题思路不清，找不到解题方法，不会构造函数f(x)＝ (x＞0)；
误区2：能构造出函数，判断出函数单调性，但2、3、5不在一个单调区间，而a＝ ＝ 这一巧变学生很难过渡．解法二中比较a、b，a、c的技巧，在于系数找最小公倍数．
启示：思想方法是数学中考查的一个重点，方法灵活多变，平时学生注意多积累．null●回归教材
1．下列函数中，在区间(0,2)上是增函数的是( )
A．y＝－x＋1 B．y＝
C．y＝x2－4x＋5 D．y＝
解析：A是减函数，B中y2＝x(x＞0)．
由二次函数的图象可知x∈(0,2)上是增函数，C中y＝(x－2)2＋1在x∈(0,2)上是减函数，D是反比例函数是减函数．
答案：Bnull2．(教材P1601题改编)函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则 ( )
A．k＞ B．k＜
C．k＞－ D．k＜－
解析：∵x∈R，y＝(2k＋1)x＋b是减函数，
∴2k＋1＜0，得k＜－ .
答案：Dnull3．(教材P602题改编)反比例函数y＝ .若k＞0，则函数的递减区间是________．若k＜0，则函数的递增区间是________．
答案：(－∞，0)，(0，＋∞) (－∞，0)，(0，＋∞)null4．(2009·华东师大附中)若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．
解析：根据题意可得：当m＝0，y＝x＋5在(－2，＋∞)上是增函数；当m＞0时，且－ ≤－2，解得：0＜m≤ .综上所述，m的取值范围是0≤m≤ .
答案：0≤m≤null5．函数f(x)＝log5(x2－2x－8)的增区间是________；减区间是________．
答案：(4，＋∞) (－∞，－2)null【例1】 已知函数f(x)＝ －log2 ，求函数f(x)的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．null[解析] (1)x须满足
所以函数f(x)的定义域为(－1,0)∪(0,1)．
(2)因为函数f(x)的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有null研究f(x)在(0,1)内的单调性，任取x1、x2∈(0,1)，且设x10，即f(x)在(0,1)内单调递减．
由于f(x)是奇函数，所以f(x)在(－1,0)内单调递减．null[总结评述] 由于函数f(x)是奇函数，只要判断其在(0,1)上的单调性便可知道它在对称区间(－1,0)上的单调性，故在判断其单调性时，首先在(0,1)上任取x1、x2，否则，若直接在(－1,0)∪(0,1)上任取x1x1≥1，
∵x2>x1≥1，∴x2－x1>0，x2＋x1>2，x2＋x1－2>0，
∴f(x1)－f(x2)＝(x2－x1)(x2＋x1－2)>0，
即有f(x1)>f(x2)．
故函数f(x)＝－x2＋2x＋1在[1，＋∞)上为减函数．null(3)函数f(x)＝ 在[－1，＋∞)上为增函数，
证明如下：
任取x1、x2∈[－1，＋∞)且－1≤x11时f(x)>0，
(1)判断函数f(x)在[1，＋∞)上的单调性；
(2)在(1)的条件下解不等式f(x2－2x＋3)<120.
[命题意图] 利用单调性的定义结合题目所给的等式判断f(x)的单调性；最后利用单调性解不等式．null[解析] (1)设x1>x2≥1，则x1－x2>0，x1－x2＋1>1，所以f(x1－x2＋1)>0.又f(x1－x2＋1)＝f(x1－x2)＋f(1)＋2(x1－x2)＋1，所以f(x1)－f(x2)＝f(x2＋(x1－x2))－f(x2)＝f(x1－x2)＋2x2(x1－x2)＋1＝f(x1－x2＋1)＋2(x1－x2)(x2－1)>0.所以f(x1)>f(x2)，即f(x)在[1，＋∞)上单调递增．null(2)令y＝1，则f(x＋1)＝f(x)＋1＋2x，所以f(x＋1)－f(x)＝2x＋1.所以f(2)－f(1)＝3，f(3)－f(2)＝5，f(4)－f(3)＝7，…，f(n)－f(n－1)＝2(n－1)＋1＝2n－1，上述等式两边分别相加得f(n)－f(1)＝3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2－1，又因为f(1)＝0，所以f(n)＝n2－1，而当n2－1＝120时，n＝11，所以不等式f(x2－2x＋3)<120等价于f(x2－2x＋3)1时，f(x)>0，且f(x·y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求f(1)；
(2)证明f(x)在定义域上是增函数；
(3)如果f( )＝－1，求满足不等式f(x)－f( )≥2的x的取值范围．null分析：(1)的求解是容易的；对于(2)，应利用单调性定义来证明，其中应注意f(x·y)＝f(x)＋f(y)的应用；对于(3)，应利用(2)中所得的结果及f(x·y)＝f(x)＋f(y)进行适当配凑，将所给不等式化为f [g(x)]≥f(a)的形式，再利用f(x)的单调性来求解．null解析：(1)令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0.nullnull总结评述：本题中的函数是抽象函数，涉及了函数在某点处的值、函数单调性的证明、不等式的求解．在本题的求解中，一个典型的方法技巧是根据所给式子f(x·y)＝f(x)＋f(y)进行适当的赋值或配凑．这时该式及由该式推出的f( )＝－f(x)实际上已处于公式的地位，在求解中必须依此为依据．null1．单调性首先要求函数的定义域，单调区间是定义域的子区间．
2．单调性的定义中x1，x2要有任意性，且不能用两个特殊值的大小判断函数在区间上的单调性．例如：对函数f(x)＝－ ，由于f(－1)＞f(2)，所以函数是单调递减函数．这是错误的说法．其实函数f(x)＝－ 在(－∞，0)上是单调递增，在(0，＋∞)上是单调递增．null3．单调区间不能用并集
表
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示．因为两个区间的并集，并不一定是一个区间．
4．重要性质：
(1)注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性与k(k≠0)的相关性．
(2)注意函数y＝f(x)与y＝ 的单调性间的关系．null 请同学们认真完成课后强化作业
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