第一章 函数极限连续教案

第一章　函数•极限•连续 第一章 函数·极限·连续 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 ： 教学目的要求： （1）理解函数的概念，会求函数的定义域及函数值；理解并掌握函数的简单性质；熟练掌握基本初等函数的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式、定义域、图形和特性；理解复合函数的概念，会正确分析复合函数的复合过程；理解初等函数的概念；能建立简单实际问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的函数关系式。 （2）理解数列和函数极限的描述性定义；理解函数左、右极限的定义，理解函数极限存在的充分必要条件；理解无穷小量和无穷大量的概念及相互关系，理解与掌握无穷小量的性质，了解无穷小量的比较；熟练掌握极限四则运算法则和两个重要极限，会求极限。 （3）理解函数连续与间断的概念，掌握判断函数连续性的方法；理解函数连续和极限存在之间的关系；会求函数的间断点与连续区间；理解初等函数的连续性，并能利用函数连续性求极限；了解闭区间上连续函数的性质。 教学重点： 1．函数的定义域 2．基本初等函数 3．复合函数 4．极限的运算 5．连续的概念 教学难点： 1．复合函数 2．极限的概念 3．重要极限 4．连续的概念 1.1　函数 【教学内容】函数的定义和函数的定义域，函数的简单性质，基本初等函数，复合函数以及初等函数，简单的经济函数模型。 【教学目的】理解函数的概念，会求函数的定义域及函数值；理解并掌握函数的简单性质；熟练掌握基本初等函数的表达式、定义域、图形和特性；理解复合函数的概念，会正确分析复合函数的复合过程；理解初等函数的概念；能建立简单实际问题的函数关系式。 【教学重点】1．函数的定义域；2．基本初等函数的图像与性质；3．复合函数的分解；4．成本函数、收入函数、利润函数。 【教学难点】1．复合函数的概念与分解；2．经济函数模型建立。 【教学时数】3学时 【教学进程】 一、函数的概念与性质 (一) 函数的概念 提问：什么叫函数？请你举出1到2个函数的例子。 教师可举例：在某商店，可一双皮鞋卖200元，两双多少元？ 双呢？（ ）从而归纳出函数的定义。 １．定义 定义1．1 设有两个变量 和 ，当变量 在非空数集 内取某一数值时，变量 按照某种对应法则 ，有惟一确定的数值与之对应，则称变量 为变量 的函数，记作 其中 称为自变量， 称为函数或因变量，数集 称为函数 的定义域． 函数的表示方法，一般有解析法、表格法、图像法。 2．定义域 提问：如何求函数的定义域？ 当函数用解析法表示时，求函数的定义域的原则是使函数表达式有意义。因此，要求： （1）分式，分母必须不等于零； （2）偶次根式，被开方式必须大于等于0； （3）对数，真数必须大于零，底大于零且不等于1； （4）正切符号下的式子必须不等于 （ ）； （5）余切符号下的式子必须不等于 （ ）； （6）反正弦、反余弦符号下的式子的绝对值必须小于等于1． 如果表达式中同时有以上几种情况，需同时考虑，并求它们的交集．在实际应用问题中，除了要根据解析式子本身来确定自变量的取值范围以外，还要考虑到变量的实际意义 例1　求下列函数的定义域。 （1） ； 　 （2） ； （3） ； （4） 解 （1）分式的分母不能为0，由 解得 且 ，即定义域为 ． （2）偶次根式被开方式大于等于零，由 解得 或 ；即定义域为 ． （3）对数的真数大于零，由 解得 ；即定义域为 ． （4）要使式子有意义， 必须满足的条件 ，即 ，解得 ；即定义域为 ． 课堂 练习 飞向蓝天的恐龙练习非连续性文本练习把字句和被字句的转换练习呼风唤雨的世纪练习呼风唤雨的世纪课后练习 ： （1） 　　　　　　（答案： ） （2） 　　（答案： ） （3） 　　　　　　（答案： ） 强调定义域必须用区间或集合表示。 介绍邻域概念：我们称开区间 为点 的 邻域，简称点 的邻域。 为正数，称为邻域的半径。如点1的2邻域，即1为中心，2为半径的邻域指的是开区间（-1，3）。 3．函数值 提问：什么叫函数值？如何求函数值？ 如果 取数值 时，则函数 在 处有定义，与 对应的数值 称为函数 在点 的函数值，记作 即 ＝ 或 ＝ 全体函数值的集合，称为函数的值域。 例2　已知 ，求 ， ， ， 。 解 ， ， ， ． 提问：什么样的函数是表示同一只函数？ 函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素。当两个函数的定义域与对应法则一致时，这两个函数表示的是同一个函数。如 与 ，它们的定义域与对应法则一致，只是表示不同而已，实际是同一个函数。 ４．分段函数 提问：我们在产品销售中往往会遇到这样的事，某产品销量在100件以内（包括100件）按每件50元销售，超过100件，超过的部分可打八折，那么销售收入与销售量之间的关系如何表示？ 显然，销售收入 与销售量 之间的关系式要用两个式子表示，当 时， ；当 时， ．所以可表示成 即 象这样，两个变量之间的函数关系有的要用两个或多于两个的数学式子来表达，即对一个函数，在其定义域的不同范围内用不同数学式子来表达，称为分段函数．分段函数的定义域为各段自变量取值集合的并集． 例3 设函数 ，求：(1)函数的定义域；(2) ， ， ；(3)作出图象． 解 (1)定义域为 ； (2) ， ， ； (3)函数的图象如图1-1所示． 课堂练习： 根据中华人民共和国主席令2005年第44号，自2006年1月1日起施行新的个人所得税纳税 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ，新纳税标准以月收入额1600元为起征点，具体如下： 表1－1 全月应纳税所得额（月收入额－1600元） 税率 不超过500元的 5% 超过500元至2000元的部分 10% 超过2000元至5000元的部分 15% 超过5000元至20000元的部分 20% 超过20000元至40000元的部分 25% 超过40000元至60000元的部分 30% 超过60000元至80000元的部分 35% 超过80000元至100000元的部分 40% 超过100000元的部分 45% 试表示应缴税款 和月收入额 之间的关系；某人月收入额为3900元应缴税多少元？ 答案： 月收入 元应缴税 元． 二、函数的性质 提问：函数的性质有哪些？让学生敍述函数的四大性质。 1。函数的单调性 定义1．2 设函数 在区间 上有定义，如果 、 ，当 时，有 ，则称函数 在 上是单调增加的；当 时，有 ，则称函数 在 上是单调减少的． 2．函数的奇偶性 设函数 的定义域 关于原点对称，如果对任意 ，有 ，则称函数 为奇函数；如果对任意 ， ，则称函数 为偶函数．既不是奇函数，又不是偶函数的函数称为非奇非偶函数. 奇偶函数的定义域 关于原点对称，且在平面直角坐标系中，偶函数的图形关于 轴对称；奇函数的图形关于原点对称。 例4 判断下列函数的奇偶性： ；　　 ；　 　　　　　　　　　　　 解 因为 ，所以 为偶函数． 因为 ，所以 为奇函数． 因为 ，显然 ， ，所以 是非奇非偶函数． 课堂练习： 判断下列函数的奇偶性。 (1) 　　　　　　　（答案：偶函数） (2) 　　　　　　　（答案：非奇非偶函数） (3) 　　　　　　　（答案：奇函数） 3．函数的周期性 提问：学过的函数中哪些具有周期性？ 定义1．4 设函数 的定义域为 ，如果存在常数 ，对任意的 ，有 ，且使 恒成立，则称函数 为周期函数，满足上式的最小正数 称为函数 的周期． 4．函数的有界性 提问：学过的函数中哪些是有界的？ 定义1．5 设函数 的定义域为 ，如果存在正数 ，使得对任意的 ，有 则称函数 为有界函数；否则称为无界函数．有界函数的图像 必介于两条平行于 轴的直线 和 之间。 三、初等函数 提问：哪些是基本初等函数？ 1．基本初等函数 我们在中学里学过的常数函数 （ 为常数）、幂函数 （ 为任意实数）、指数函数 、对数函数 、三角函数 ， ， ， 与反三角函数 ， ， ， 统称为基本初等函数， 关键搞清它们的图像与性质。 2．复合函数 举例引出复合函数的概念。 定义1．6 设 是 的函数， 是 的函数．如果 的值域或其部分是 的定义域的子集，则 通过 构成 的函数称为 的复合函数，记为 通常 称为外层函数，简称外函数； 称为内层函数，简称内函数； 称为中间变量． 例如，由函数 ， 构成了复合函数 。由函数 ， 构成了复合函数 。 例6 指出下列复合函数是由哪些简单函数复合而成的． (1) ； 　(2) ； (3) ． 解 (1) 由函数 复合而成； (2) 由函数 ， ， 复合而成的； (3) 由函数 ， ， ， 复合而成． 课堂练习： 指出下列复合函数是由那些简单函数复合而成的。 （1） 　　　　　　　（答案： ） （2） 　　　　　　　　　（答案： ） （3） 　　　　　　　　（答案： ） （4） 　　　　　（答案： ） 3．初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数叫初等函数。 如 ， 等都是初等函数。 四、经济函数模型举例 1．需求函数与供给函数模型 在研究市场问题时，常常会涉及两个重要的函数，即需求函数和供给函数。 市场对某种商品的需求量 ，主要受到该商品的价格的影响，通常降低商品的价格会使需求量增加，提高商品的价格会使需求量减少。在假定其它因素不变的条件下，市场需求量 可视为该商品价格 的函数，称为需求函数，记作 供给是与需求相对应的概念，需求是就市场中的消费者而言，供给是就市场中的生产销售者而言的。某种商品的市场供给量 也受商品价格 的制约，价格上涨将刺激生产者向市场提供更多的商品，供给量增加；反之，价格下跌将使供给量减少。在假定其它因素不变的条件下，供给量 也可看成价格 的函数，称为供给函数，记作 常见的需求函数和供给函数有线性函数，二次函数，指数函数等。一般地，需求函数是价格的单调减函数，供给函数是价格的单调增函数。当市场的需求量与供给量持平时，称为供需平衡。此时的价格称为供需平衡价格或均衡价格，记为 ；需求量称为均衡量，记为 。 例7　市场调查显示，某商品当售价为每件 元时，市场需求量为 万件，若该商品每件降低 元时，需求量将增加 万件，试求该商品的线性需求函数。 解 设 ，由题意得， 解方程组得 ，得需求函数为 从上式中解出 ，即得价格函数为 例8　上例中，当市场售价为每件 元时，生产厂商愿向市场提供 万件商品，当价格每件增加 元时，生产厂商就多提供 万件商品，试求该商品的线性供给函数。 解 依题意有 ，解得 ， ．所以供给函数为 例9　试求出上两例中该商品的市场均衡价格与均衡量。 解 由供需均衡条件 ，可得 解得 即均衡价格为567元． 2．成本、收入和利润函数模型 在生产和产品的经营活动中，人们总希望尽可能降低成本，提高收入和增加利润。而成本、收入和利润这些经济变量都与产品的产量或销售量 密切相关，它们都可以看作 的函数，我们分别称为总成本函数，记作 ；总收入函数，记作 ；总利润函数，记作 总成本由固定成本 和可变成本 两部分组成： 其中固定成本 与产量 无关，如厂房、设备费等；变动成本 随产量 的增加而增加，如原材料费等． 生产 个单位产品时的平均成本为 总收入函数与产品的单价和产量或销售量有关．如果产品的单位售价为 ，销售量为 ，则总收入函数为 总利润等于总收入与总成本的差，于是总利润函数为 例10 已知某种产品的总成本函数为 ．求当生产200个该产品时的总成本和平均成本． 解 由题意，产量为200个时的总成本为 产量为200个时的平均成本为 例11 已知某产品的成本函数为 ，供给函数为 ，求该产品的利润函数；并说明该产品的盈亏情况． 解 因为 ，由题意得收入函数为 所以利润函数为 又由 可得盈亏平衡点 容易看出，当 时， ，说明亏损；当 时， ，说明盈利． 课堂练习： ​ 某旅游公司调查发现，有一种短途往返游览，售出的票数 是票价 的线性函数．当票价为50元时，有40人买票；当票价为80元时，只能卖出10张票．试写出该种短途游览项目的需求函数 ，并确定总收益 与票数 的函数关系．（答案： ） ​ 某企业生产某种产品的日固定成本为 元，生产一个单位产品的变动成本为 元，试求该企业日总成本函数。若每件产品的出厂价为 元，试问每天生产多少件产品才能达到收支平衡？（答案： ） 3．库存函数模型 *例12 某商店半年销售500件小器皿，均匀销售，为节约库存费，分批进货. 每批订货费用（订合同手续费、旅差费、运货费等）为80元，每件器皿的库存费为每月0.4元，试列出库存费和进货费之和与批量间的函数关系. 解 设每一批进货量为 件. 货进店入库，由于均匀销售，库存货量由 件逐渐均匀地减少到零件，所以平均库内存货量为 件. 半年共有6个月，每件器皿每月的库存费为0.4元，因此半年的库存总费用为 （元） 每次进货 件，半年（6个月）需要进货的次数为 次，总的进货费用 （元） 所以，总费用为 （元） 课堂练习： 某超市常年经销一种日用品，年销售量 箱，每箱进货价 元，粗略地认为按平均库存量占用资金，此项资金每年应付贷款利息 ，为了保证供应，要有计划地进货，又假设销售量是均匀的，卖完一批再进一批货，因此每批进货量相同。已知进一批货需手续费 元，而库存保管费每箱每年 元，试求库存总费用 与进货批量（即每批进货的数量） 之间的函数关系。（答案： （元）） 4．金融数理模型（会计、税务、投资专业讲，其余专业不讲） 金融数理分析的基础知识包括资金的时间价值和风险概念。利息是资金的时间价值的一种表现形式。利息又分为单利和复利，若本金在上期产生的利息不再加入本期本金计算利息，就叫单利；反之，若本金在上期产生的利息也纳入本期本金计算利息，就叫复利。常见的金融数理模型有：单利模型，复利模型，按揭模型，证券价格的评估模型等。 例12（复利模型）　设 是本金， 为年复利率， 是计息年数，若每满 年计息一次，求本利和 与计息年数 的函数模型。（答案： ） 解　由题意，每期的复利率为 ，第一期末的本利和为 把 作为本金计息，则第二期末的本利和为 再把 作为本金计息，如此反复，第 年（第 期）末的本利和为 本堂课小结： 主要内容：函数的概念，分段函数的概念，函数的性质，基本初等函数与初等函数，复合函数，经济函数模型 重点：函数的定义域，基本初等函数的图像与性质，复合函数分解过程。 难点：复合函数的概念与分解，经济函数模型的建立 作业：P34 习题1， 2 3 4 7 8 9 10 11 1.2 极限的概念 【教学内容】数学极限与函数极限的概念，极限存在的充要条件，无穷小量与无穷大量的概念与性质。 【教学目的】 理解数列极限与函数极限的描述性定义。理解函数在点 处左、右极限的概念，掌握函数在一点处极限存在的充分必要条件，并运用此充分必要条件解决具体问题；理解无穷小量概念，了解无穷大量概念，掌握无穷小量性质．了解无穷小量的阶的概念． 【教学重点】1．极限的概念，函数在一点处极限存在的充分必要条件； 2．无穷小与无穷大的概念与性质。 【教学难点】1．极限的概念的理解及应用，理解函数左极限与右极限； 2．理解无穷小与无穷大的关系。 【教学时数】3学时 【教学进程】 1.2.1 数列的极限 一、概念的引入 【截丈问题】“一尺之棰，日截其半，万世不竭” 特点： 1，无穷项等比数列 2，随着项数的增大，数列中项逐渐减少 【割圆术】“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”—刘徽 二、数列的极限 1、数列的定义 定义:按自然数 编号依次排列的一列数 ，称为无穷数列，简称数列。其中的每个数称为数列的项， 称为通项(一般项)，记为 。 例如： 【注意】①数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 ②数列是整标函数 2、数列的极限 问题: 当 n 无限增大时，数列是否无限接近于某一确定的数值？如果是，如何确定？ 【注意】 三、例题选讲 0 1 1，－1，1，－1，…，(－1)n+1，… 分析：正负交错，n无限增大，数列不趋于任何定数，无极限. 四、课堂练习 （1） 分析： （2） 1，3，5，…，2n－1，… 分析：随n增大数 列的项也无限增大，也不趋于任何定数,无极限. 1.2.2函数的极限 人类总在不断探索更加遥远的未知领域。 科学工作者利用函数去模拟周围不断变化的事物，并通过对函数的研究去认知变化事物的遥远未来。 　 例如，在十八世纪，著名人口学家马尔萨斯提出，如果人口的数量按照等比级数增长，最终地球将无法承受人类的生存。 　 用数学的语言叙述这个论断： (1+α)x = +∞，其中α是大于 0 的常数。 这个问题属于函数极限的范畴。 一、当x→∞时，函数f(x)的极限 1、 时函数 的极限 已知函数 (x < 0)，试由函数的图象，判断x趋向负无穷大时函数y的变化趋势。 因为，x→+∞和x→-∞可以写为x→∞ 定理1 已知函数y=arctanx,试讨论当x→∞时，y=arctanx否有极限，为什么？ 分析： 已知函数y=sin x,判断当x→∞时，y=sin x是否有极限，为什么？ 分析：由图可见，x→+∞时，y→某一固定常数A x→-∞时，y→某一固定常数A 课堂练习:观察下列极限是否存在，如存在请写出极限： 二、当xx0时，函数f(x)的极限 1、当xx0时，函数f(x)的极限 注意： （１）定义中“xx0”表示x从小于x0和大于x0的两个方向趋近于x0； （２）定义中考虑的是xx0时函数f(x)的变化趋势,并不考虑在x0处f(x)的情况 . （3 ） 由极限的定义1．9容易得到以下两个结论： 考察下列函数，写出当 时函数的极限，并作图验证。 （１）y = c (c为常数) （２）y = x ２ 解： 。 求极限 ，并作图观察 解： 2. 当xx0时, 函数f(x)的左极限和右极限 解 ： 解： 1.2.3 无穷小量和无穷大量 一、无穷小量 1、​ 定义 例如, 注意 （1）无穷小是变量，是量的变化状态，不能与很小的数混淆; （2）零是可以作为无穷小的唯一的数. （3）无穷小必须指明自变量的变化趋势。 例：自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小。 （1） （2） （3） （4） 2、无穷小与函数极限的关系 证：必要性 充分性 例：当 时，将函数 写成其极限值与一个无穷小量之和的形式。 3、无穷小的运算性质: 注意：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小 例1、​ 求下列极限 解：因为 =0，而 即sinx有界, 由无穷小性质 得原式=0 解： 0 ∴ 原式=0 二、无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 例如： 特殊情形：正无穷大，负无穷大． 注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; （3）无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大. 分析： （1）取 无界， 不是无穷大。 三、无穷小与无穷大的关系 意义：关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论. 例1 解： 由无穷小与无穷大的倒数关系得：原式= 例2 指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷大和无穷小。 解：因为 时， ，所以 时， 是无穷小； 因为 时， ，所以 时， 是无穷大； 解：因为 时， ，所以 时， 是无穷小 因为 时， ，所以 时， 是无穷大 解：因为 时， ，所以 时， 是正无穷大 因为 时， ，所以 时， 是无穷小 练习 指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷大和无穷小 四、无穷小的性质 在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下的性质： 性质1：有限个无穷小的代数和为无穷小 性质2：有界函数与无穷小的乘积为无穷小 性质3：有限个无穷小的乘积为无穷小 例1 解：因为 时， x为无穷小, 为有界函数, 由性质2，得到 。 练习4：利用无穷小的性质,求下列函数的极限 五、无穷小的比较 定义　设和是同一变化过程中的两个无穷小，即lim =0和lim=0 (１) 如果 ，那么称是的高阶无穷小； (２) 如果 ，那么称是的低阶无穷小； (３) 如果 ，那么称是的同阶无穷小； 特别是当c=1时，即当 时，则称与是等价无穷小,记作： 。 例1 选择题 （1）当 时，变量 是变量 的（ ） [A]高阶无穷小； [B]低阶无穷小； [C]同阶无穷小；[D]等价无穷小 解： , （2）当 时，变量 是变量 的（ ） [A]高阶无穷小； [B]低阶无穷小； [C]同阶无穷小；[D]等价无穷小 解： ， 第1章 函数、极限与连续 第1.3节 极限的运算 【教学目的与要求】 1.掌握极限的四则运算法则并熟练运用法则求解极限问题； 2.熟悉熟练掌握用两个重要极限求极限的方法； 3.了解利用无穷小量的等价替换求极限的方法． 【教学重点、难点】 1.熟练运用法则求解极限问题； 2.两个重要极限的应用。 【教学内容】 1.3.1极限的四则运算 一、极限运算法则 定理1 证： 由无穷小运算法则,得 推论1 即：常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 定理2 （复合函数的极限） 二、求极限方法举例 常见方法： a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限. （一）多项式与分式函数代入法求极限 例1 解： 例2 求 解： 例3 求 解： 例4 解：当 先变形再求极限. (二) 消去零因子法求极限 消去零因子法：（1）因式分解；（2）有理化法；（3）变量替换法 （1）因式分解 例1 解： 练习：求 解：原式= （2）有理化法，将分子或分母有理化，约去极限为零的因式。 例2 解： 练习：求 解：原式= =1 （3）变量替换法 例5. 解：令 原式= (三) 无穷小因子分出法 无穷小因子分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限. 例1 解： 练习： =0 （四）利用无穷小运算性质求极限 1、利用有界函数与无穷小乘积是无穷小 例1 求 . 解： 2、利用无穷小与无穷大的关系（倒数关系） 例2 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系,得 （五） 两个无穷大量相减的问题，我们首先进行通分运算，设法去掉不定因素，然后运用四则运算法则求其极限。 也就是说，要将 。具体有通分法、分子有理化。 例1 求 解：原式= 例2 解：原式= 练习： 解： （六）利用左右极限与极限的关系 例1设 问 b 取何值时, 存在, 并求其值。. 解 由函数的极限与其左、右极限的关系, 得b = 2 , 练习： 解： 左右极限存在且相等， （七）复合函数求极限方法 例1 解： 所以，由复合函数求极限法则 注：这类复合函数的极限通常可写成 例2 解： 1.3.2两个重要的极限 一、 例1 解：原式= =4 例2 求 解： 例3 求极限 解： 练习：求 解：原式= 二、 例4 解： 例5 解： 例6 解： 例7 解： 练习 解1 解2 =e2 【补充】等价无穷小代换 定理(等价无穷小代换定理) 常用等价无穷小: 例1 解： 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限． 例2 解 注意 不能滥用等价无穷小代换。切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换. 例3 错解 （ ） 解： 1.4 函数的连续性 【教学内容】连续与间断的概念；函数连续性的判断；闭区间上连续函数的性质。 【教学目的】使学生理解与掌握连续与连续函数的概念，会求间断点与连续区间，了解闭区间连续函数的性质。 【教学重点】1．连续的概念；2．求函数的间断点或连续区间。 【教学难点】连续的概念。 【教学时数】2学时 【教学进程】 一、函数的连续性 1．函数的改变量 提出问题：通过具体图像观察，提出当自变量由一个值变化到另一个值时，自变量改变了多少？同时，函数值变化了吗？函数值的改变用什么来表示？ 定义1．13 设函数 在 的某邻域内有定义，当自变量 由 变到 ，称差 - 为自变量 在 处的改变量或增量，通常用 表示，即 = - ．相应地，函数值由 变到 ，称差 为函数 在 处的改变量或增量，记作 ，即 = 例1 设 ，在下列变化情况下求 和 ． (1) 由2变到2．01　　　　　　　　　　（答案：0.02） (2) 由2变到1．98　　　　　　　　　　（答案：－0.04） 说明： 和 可以是正值，也可以是负值，也可以为零。 2．连续的概念 1）定义 提问：什么样的函数是连续的？（让学生观察下列图像，分析两个图像的不同处，提出用什么式子来衡量。） 观察图1-26和图1-27中两条曲线在 处的情况． 归纳结论：由图1-26中可以看出，函数 在 处是连续的，且显然当 时，有 ． 由图1-27中可以看出，函数 在 处是断开的，且显然当 时，有 （不趋近于零）． 定义1．14 设函数 在点 的某个邻域内有定义，如果在 处，当自变量的增量 无限趋近于0时，函数的增量 也无限趋近于0，即 则称函数 在点 处连续，称点 为函数 的连续点；否则就称函数 在点 处间断，点 为函数 的间断点． 例2 用定义证明 在 处连续． 再提问：函数在某点处连续，那么这点处的极限如何？与这点的函数值有何关系？（让学生观察图像，分析两个图像的不同处，提出用什么式子来衡量。） 定义 设函数 在点 的某个邻域内有定义，如果 那么函数 在点 处连续．称点 为函数 的连续点．否则称函数 在点 处间断， 称为函数 的间断点。 提问：如何来判断函数在某点连续呢？（让学生先归纳出判断某点连续的方法，然后由老师进行总结。） 2）判断连续的方法 一般地，函数 在点 处连续必须满足下面三个条件： （1）​ 函数 在点 处有定义； （2）​  存在； （3）​  ，即函数 在点 处的极限值等于这一点的函数值。 如果 ，则称函数 在点 处右连续；如果 ，则称函数 在点 处左连续。图1－15 中的函数曲线是左连续的。 例3　讨论函数 在点 处的连续性。　　　　　　（答案：连续） 例4 试说明函数 在 处是连续的．（答案：连续） 例5 已知函数 在 处连续，求 与 的值． （答案： ） 3）课堂练习： 1．讨论函数 在 处的连续性．　　（答案：连续） 2．试说明函数 在 处间断。 提问：两个函数在某点连续，进行四则运算后是否在此点仍连续？（让学生先思考，然后由老师进行总结。） 4）连续的运算 ​ 如果函数 和 在点 处连续，则它们的和、差、积、商（ ）在点 处均连续。 ​ 如果函数 在 点连续，且 ，函数 在 连续，则它们的复合函数 在 点必连续，且 例6　求 　　（答案：1） 5）极限与连续的关系 定理1·6　如果函数 在点 处连续，则 点 处的极限一定存在；反之，不一定成立。例如，函数 在 处的极限存在，但在 处不连续。 3．连续函数的概念 1）连续函数的定义 定义1．15 如果函数 在区间内 每一点都连续，则称函数 在区间 内连续；如果函数 在开区间 内连续，又在左端点 处右连续，在右端点 处左连续，则称函数在闭区间 上连续． 2）重要结论 连续函数的和、差、积、商及复合的函数都是连续函数。由于初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算及复合构成的，基本初等函数在其定义域内都是连续的，所以初等函数在其定义域内均连续。 二、间断点与连续区间的求法 1）方法（可由老师提问，让学生先思考，） 一般地，如果函数 是初等函数，则求它的连续区间只需考虑它有定义；如果函数 是分段函数，则它的连续性着重应考虑它的分段点。 2）举例 例7　判断下列函数在指定点处的连续性。 （1） 在 处　　　　　　　　　（答案：不连续） （2） 在 处　　　　（答案：不连续） 例8　说明函数 在什么区间连续。　　　　（答案： ） 例9　求下列函数的间断点。 （1） 　　　　　　　　　　　（答案： ， ） （2） 　　　　　　　　　（答案： ） 3）课堂练习： 求下列函数的间断点与连续区间 1． （答案：间断点： ， ；连续区间 ） 2． 　　（答案：间断点： ；连续区间 ） 例10　求下列极限： (1) 　　　　　（答案： ） (2) 　　　　　（答案： ） 四、闭区间上连续函数的性质 定理1．8（最值定理） 如果函数 在闭区间 上连续，则函数 闭区间 上一定有最大值和最小值． 如图1-28所示，函数 在闭区间 上连续，在点 处取得最小值 ，在 点处取得最大值 ． 定理1．9（介值定理） 如果函数 在闭区间 上连续， 和 分别为函数 在闭区间 上的最小值与最大值，则对介于 和 之间的任一实数 ，至少存在一点 使得 ． 如图1-28所示，对于 ，直线 与连续曲线 有两个交点，使得 ． 推论（零点定理） 如果函数 在闭区间 上连续，且 ，则至少存在一点 使得 ． 推论表明：连续函数 满足 ，则方程 在区间 内至少有一个根（如图1-29所示）． 例11　证明方程 在 与 之间有实根。 本节小结： 主要内容：连续的概念，连续函数的概念，间断点与连续区间的求法，闭区间上连续函数的性质，第一章知识小结 重点：连续的定义，间断点与连续区间的求法，极限求法与连续判断 难点：连续的定义，闭区间上连续函数性质的理解 第一章 “函数、极限、连续”总结 【教学内容】函数、极限与连续的定义、极限及其相关计算 【教学目的】综合理解并掌握函数、极限与连续的概念、性质及其有关计算方法，掌握函数在经济问题中的应用 【教学重点】极限的计算 【教学难点】极限的定义、极限的计算 【教学时数】2学时 【教学进程】 一、基本概念基本性质 1．函数 2．反函数 3．函数的简单性质 有界性，奇偶性，单调性与周期性． 4．基本初等函数与初等函数 5．复合函数 6．函数的极限 （1）函数 在 处的极限 （2）函数 当 时的极限 （3）单侧极限 （4）极限存在的条件 =A = =A 7．极限的四则运算法则 设 ， ，那么 ； ， ； 上述法则对 也成立． 8．两个重要极限 （1） （2） 或 9．无穷小量与无穷大量 （1）无穷小量的定义 （2）无穷大量的定义 （3）性质与关系 1）有限个无穷小的和仍是无穷小． 2）有界量与无穷小的积仍是无穷小． 3）在自变量的同一变化过程中，如果函数 为无穷大，则 为无穷小；如果 为无穷小且 ，则 为无穷大． 10．函数的连续性与间断性 （1）函数连续性定义 （2）函数连续性等价定义 （其中 ）． （3）单侧连续 （4）区间上连续 （5）间断点 （6）初等函数的连续性 初等函数在其定义域内的每一点都是连续的，由此可得初等函数的定义域就是该函数的连续区间． 11．闭区间上连续函数的性质 （1）最大值和最小值定理 （2）介值定理 二 典型例题分析 题型1 函数值与函数记号 例1.1 设 ，求（1） ；（2） ． 答 （1） ； （2） 例1.2 设 ，求 ， . 答： ， = ． 题型2 求函数的定义域 例1.3 求下列函数的定义域： （1） ； （2）； = ． 答：（1） （2）函数 的定义域是[0，2]． 题型3．判断函数的奇偶性 例1.4 判断下列函数的奇偶性． （1） ； (2) ； （3） ； （4） ． 答：(1)偶函数；(2)奇函数；（3）偶函数；（4）非奇非偶函数． 题型4 函数关系的建立 例1.5 某厂生产的手掌游戏机每台可卖110元，固定成本为7500元，可变成本为每台60元． （1）要卖多少台手掌机，厂家才可保本（收回投资）？ （2）卖掉100台的话，厂家盈利或亏损了多少？ （3）要获得1250元利润，需要卖多少台？ 答 （1）要卖150台，厂家才可保本． （2）卖掉100台的话，厂家亏损2500元． （3）需卖175台． 题型6 求极限的方法 1．利用极限的四则运算法则及初等函数连续性求极限 例1.6 求极限 ： 答 = = ． 例1.7 若 =4，求 值 答 ． 2．利用零因子消去法求解 型未定式的极限 例1.8 求下列函数的极限： （1） ； （2） ； （3） ． 答：（1） ． （2）原式= =1 （3）采用变量替换法，将原式子变为有理式，再求解， 令 原式= ． 3．利用无穷小因子分出法求解 型未定式的极限 例1.9 求的极限下列函数： （1） ；（2） ；（3） ． 答：(1) ；（2）0；（3） ． 4．将 型未定式转化为 未定式求极限 例1.10 求下列函数的极限： （1） ； （2） ． 答 （1）1；（2） ． 5．利用求和公式求无限项求极限 例1.11 求 答 ． 6．利用两个重要极限求极限 例1.12 求下列极限： （1） ；（2） ． 答 （1） ；（2） ． 7．利用无穷小量求极限 例1.13 求 答 而 =0 题型7．函数的连续性 1．判断函数在指定点的连续性 例1.14 判断函数 在 处的连续性． 答 函数 在 处连续． 2．求函数的连续区间 例1.15 求函数 的连续区间． 答 ． 作业 练习卷