H假设检验

Ⅵ、大数定律和极限定理 八、假设检验 这一部分，“数学一”和“数学三”的考试大纲、考试内容和要求完全一致．“数学二”不考概率论与数理统计，“数学四”不考数理统计． Ⅰ、考试大纲要求 ㈠ 考试内容 《考试大纲》 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 的考试内容为： 显著性检验 假设检验两类错误 单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验 ㈡ 考试要求 (1) 理解“假设”的概念及其类型，理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，会构造简单假设的显著性检验； (2) 理解假设检验的两类错误，并且对于较简单的情形，会计算两类错误的概率； (3) 了解正态总体参数的假设检验． Ⅱ、考试内容提要 统计估计和统计检验是统计推断的两类基本问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ．统计估计，是根据样本估计总体参数或分布．统计检验，首先提出关于总体参数（或概率分布）某种“假设”，然后根据样本来检验所提“假设”是否成立． ㈠ 假设的概念和类型 “假设”指关于总体的论断或命题、猜测或推测、设想或假说．为便于叙述，常用字母“H”表示假设．假设可以分为：基本假设（原假设）与备选假设，参数假设与非参数假设，简单假设与复合假设． 1、基本假设与备选假设 两个二者必居其一的假设H0和H1，其中一个称为基本假设，而另一个则称为备选假设．一般，用H0表示基本假设，而用H1表示备选假设．基本假设亦称为原假设或零假设，备选假设亦称为对立假设．对于两个相互对立的假设，一般把欲重点考察而且统计分析便于操作和处理的的假设视为基本假设，并且在统计分析的过程中始终假定基本假设成立．例如，以 表示不合格品率，以 表示给定的值，则H0： ——基本假设，H1 ： ——备选假设；H0：两个地区人口的性别比相同——基本假设，H1：两个地区人口的性别比不同——备选假设 2、简单假设与复合假设 完全决定总体分布的假设称为简单假设，否则称为复合假设．例如，关于某事件概率 的假设， ： ——简单假设，而 ： ——复合假设； ：总体服从 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正态分布——简单假设， ：总体服从正态分布——复合假设． 3、参数假设与非参数假设 参数假设，是在总体分布的数学形式已知的情况下，关于其中未知参数的假设．非参数假设，又称做无分布假设，是在总体分布的数学形式未知（或不确知）的情况下，关于总体的一般性假设．例如，已知总体服从正态分布时，关于其均值 或方差 的假设是参数假设；“H：总体X服从正态分布”、“H：两个总体同分布”是非参数假设．有些假设虽然用一个或若干个参数表述（例如，H： ），但是当总体分布的数学形式未知时，也属于非参数假设的范畴．不过习惯上类似的假设仍按参数假设对待．有时把不能用有限个参数表示的假设称做非参数假设． 注意，假设类型的区分并不是绝对的，而在一定意义上是描述性的．然而，需要了解假设类型的区分，因为对于不同类型的假设，处理的方式有所不同． ㈡ 显著性检验 统计假设的检验，指按照一定规则根据样本判断所作假设 的真伪，并作出接受还是否定假设 的决定．决定假设取舍的规则，称做检验准则，简称为检验．显著性检验是基于“小概率原则”的一种检验． 1、显著性水平 按照“小概率原则”：对于根据检验问题的要求，选择的一个 “充分小”的数 （0< <1）, 当事件 的概率 时，就认为 是“实际不可能事件”，而 称做显著性水平．显著性水平 的选取要根据实际问题要求而定，常选 =0.001, 0.01, 0.05, 0.10等． 2、显著性检验的基本步骤 (1)明确基本假设 把欲考察的问题以基本假设 的形式提出，并且在作出最后的判断之前，始终在“假设 成立”的前提下进行分析． (2) 规定显著性水平 （0< <1）． (3) 建立检验准则 检验准则常以否定域的形式表示．假设 的否定域 是一切可能样本值集合中的区域，满足条件：在 成立的条件下，事件 ={样本值落入区域 }的概率不大于 ，即P ．(这里，“区域 ”和事件{样本值落入区域 }，都用字母 表示．) (4) 根据样本值作判断 进行简单随机抽样，获得样本值，若样本值属于区域 ，则否定假设 ，否则不否定 ． 3、否定域的构造 否定域亦称拒绝域或临界域．实际应用中，否定域 常通过适当选择的统计量T来构造．这时，否定域 是 的值域内的区间． 的显著性水平为 的否定域，简称为 的水平 否定域；由统计量 构造的检验称为 检验，而统计量 称做检验的统计量．具体构造否定域时，需要知道，在假设 成立的条件下，检验的统计量 的抽样分布，并根据给定的显著性水平 ，由相应的数值表查出决定假设 取舍的分位数（临界值） ．检验最常用的统计量是 ， ， 和 ；而相应的检验分别称做 检验， 检验， 检验和 检验（见(8.3)和(8.4)式，例8.4，例8.16～8.23）． ㈢ 检验的两类错误 考试大纲要求“理解假设检验可能产生的两类错误”，并且对于较简单的情形，会计算两类错误的概率． 1、检验的两类错误 第一类错误——否定了本来真实的假设 (弃真)，第二类错误——接受了本来错误的假设 (纳伪)． 2、两类错误的概率 假定关于参数 有如下假设 ， (8.1) 其中 ——参数 的值域．假定 是 的否定域，则第一类和第二类错误概率相应地表示为（见例8.3，例8.11，例8.14～8.15，习题8.1）： (8.2) 显著性检验只控制第一类错误概率，显著性水平是第一类错误概率的最大容许值． ㈣ 一个正态总体均值和方差的检验 假设总体 ， 是来自总体 的简单随机样本； ——样本均值， ——样本方差．设 和 是已知常数．记 (8.3) 当 ， 时 ；当 时 服从自由度为 －１的 分布；当 时 服从自由度分别为 －１和 的 分布． 1、正态总体均值 的检验 当 已知时用 检验；当 未知时用 检验，其中 ——标准正态分布水平 的双侧分位数（附表2最末一行）， ——自由度为 －1的 分布水平 的双侧分位数（附表2）．表8-1是假设及其否定域的各种情形． 表8-1 正态总体均值的检验 情形 假 设 基本假设H0的否定域 H0 H１ U 检 验 检 验 1 2 3 2、正态总体方差 的检验 使用 检验：当 = 已知时选用统计量 ，当 未知时选用统计量 ．表8-2是假设及其否定域，其中 , ； = ， ；而 是自由度为 的 分布水平 上侧分位数（附表3）． 表8-2 正态总体方差的检验 情形 假 设 假 设 H0 的 水 平 否 定 域 = 已 知 未 知 １ ２ ３ ㈤ 比较两个正态总体均值和方差的检验 设总体 和 相互独立； 和 是来自 和 的简单随机样本； 和 是样本均值， 和 是样本方差， 是两个总体的联合样本方差（见(6.16)式）．检验使用统计量 ， 和 ： (8.4) 1、正态总体均值的比较 比较均值 与 的前提条件是．当 已知时用 检验；当 但 的具体值未知时用 检验．设 ——标准正态分布水平 双侧分位数, ——自由度为 的 分布水平 双侧分位数(附表2)．表8-3是假设及其否定域的各种情形． 表8-3 两个正态总体均值的比较( ) 情 形 假 设 假 设 H0 的 水 平 否 定 域 H0 H１ U 检 验 t 检 验 1 2 3 2、正态总体方差的比较 使用 检验，检验的统计量为(8.4)式的 ．设 是自由度为 的水平上侧分位数(附表４)．表8-4是假设及其否定域的各种情形． 表8-4 两个正态总体方差 和 的比较( ) 情形 假 设 假 设 H0 的 水 平 否 定 域 H0 H1 1 2 3 Ⅲ、 典型例题分析 〖填空题〗 例8.0 (两类错误概率) 假定 是连续型随机变量， 是对 的（一次）观测值；关于其概率密度 有如下假设： 检验规则：当事件 出现时否定假设 接受 ．则检验的第一类错误概率 = ；检验的第二类错误概率 = ． 分析 由检验的两类错误概率 的意义，知 ； ． 例8.2(假设的类型) 设新购进五部移动电话机，以 表示其中有质量问题的部数，则假设 ：最多一部有质量问题，即 是 假设；若视 为基本假设，则备选假设(对立假设)为 ： ． 分析 假设 可以表示为“ ”，包含 =0和 =1两种情形，因此是复合假设．视 为基本假设，则备选假设（对立假设）为 ： >1或 ： 2 (至少两部有质量问题，包括 =2,3,4,5)． 例8.3(两类错误概率) 关于泊松随机质点流的强度 (每分钟出现的随机质点的期望数) 有两个二者必居其一的假设， ： =0.5和 ： =1．以 表示十分钟出现的随机质点数．设检验规则为：当 >7时否定 接受 ，则检验的第一类错误概率 = ；检验的第二类错误概率 = (只要求写出表达式) ． 分析 由于 服从参数为10 的泊松分布，则 例8.6（否定域） 假定总体X~ ，关于总体X的数学期望 的假设 ；基于来自总体X的容量为9的简单随机样本，得样本均值 ．则假设H0的水平0.05的否定域为： ． 分析 在已知 =1的情况下，假设 的检验的统计量 ． 因此假设H0的水平 =0.05的否定域为 ． 例8.10 假设总体X服从正态分布 ； 是来自总体X简单随机样本， 是已知常数， 是样本均值．考虑 的形如 的水平为0.05的否定域，则其中的未知常数 ． 分析 检验的统计量 因此，有 ； 由此可见 ． 〖选择题〗 例8.11(两类错误概率) 假定总体X~ ，关于总体X的数学期望 有两个假设： 设 是来自总体X的简单随机样本， 是样本均值；以 表示标准正态分布水平 双侧分位数；则在4个选项所列举的H0的水平 =0.05的否定域中，第二类错误概率最小的否定域是 (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． [ C ] 分析 应选(C)．由于总体的方差等于1已知，可见假设 检验应使用统计量 ． 显然，由于 都是简单假设，可见检验的第一类错误概率 ；第二类错误概率为 ．经计算，得 ． 注意，该题的计算量是很大的．不过，解选择题时应尽量避免计算，要发挥“直观判断力”．统计量 的值实质上反映 与0的差异，因此当其值大于某个临界值时否定 最合理． 例8.13（ 检验）考虑正态总体 和 相互独立，其中4个分布参数都未知．设 和 是分别来自 和 的简单随机样本，样本均值分别为 和 ，样本方差相应为 和 ，则检验假设H0： 使用 检验的前提条件是 (A) ． (B) ． (C) = ． (D) ． [ C ] 分析 因为 检验使用统计量 ， ． 只有当选项（C）即 = 成立时才能导出统计量 的抽样分布—— 分布，并且根据 分布来构造 检验． 〖解答题〗 例8.15(两类错误概率) 设新购进五部移动电话机，关于其质量有如下假设 ：最多一部有质量问题．采用如下检验规则：若在随意取出的两部中发现其中有存在质量问题者，则否定 ．试就假设 和备选假设 的各种可能情形，求此检验的两类错误概率． 解 以 表示随意取出的两部中有质量问题的件数，则 是假设 的否定域．以 表示有质量问题的电话机部数；记 ——当有质量问题电话机为 部时否定 的概率，其中 ．易见，对于 =0和 =1， 是第一类错误概率；对于 =2,3,4,5， 是第二类错误概率，其中 ．因此，有 将计算结果列在下面的表中． 例8.13的计算表 假 设 有质量问题部数 0 1 2 3 4 5 第一类错误概率 0 0.4 — 第二类错误概率 — 0.3 0.1 0 0 例8.16(构造t检验) 假设总体 服从正态分布 ，其中参数 和 未知；关于数学期望 有如下假设 ： = ，其中 是已知常数．试根据来自总体 简单随机样本 ，建立假设 的显著性检验的水平 否定域． 解 分别以 和S表示样本均值和样本标准差．由(6.15)式知统计量 服从自由度为 =n－1的t分布．因此，有 ，其中 是自由度为 =n－1的t分布水平 ＝0.05双侧分位数．于是， 是假设 的显著性水平为 的否定域． 例8.17（ 检验） 假设某种钢筋的抗拉强度X服从正态分布 ．现在从一批新产品钢筋中随意抽出了10条，测得样本标准差 kg，抗拉强度平均比老产品的平均抗拉强度多20 kg．问抽样结果是否说明新产品的抗拉强度比老产品有明显提高？ 解 需要检验假设 ，其中 表示老产品的平均抗拉强度．由题的条件知，样本容量n=10，样本标准差 =30； =20，其中 表示10条钢筋的抗拉强度算术平均值——样本均值．检验的统计量 服从自由度为9的t分布．对于 =20， =30和n=10，得统计量t的值为2.1082；由附表2可见 =2.262，在显著性水平0.05下应否定 ，即说明新产品的抗拉强度比老产品有明显提高． 例8.18(t检验) 环境保护 条例 事业单位人事管理条例.pdf信访条例下载信访条例下载问刑条例下载新准则、条例下载 的标准规定，在排放的工业废水中有害物质A的含量不得超过1‰．按 制度 关于办公室下班关闭电源制度矿山事故隐患举报和奖励制度制度下载人事管理制度doc盘点制度下载 每周随机抽样化验4份水样，以 表示4份水样中有害物质A的含量的算术平均值(‰)．假设化验结果 ，试求在水平 ＝0.05下可以认为“有害物质A的含量超标”的 的临界值C． 解 问题可以化为假设 ： =1‰对假设 ： > =1‰的检验问题，属于表8.1的情形2，假设 的水平 ＝0.05否定域为 ． 该式中 即所要求临界值，其中 =1‰， ，2 ＝0.10， 是4次化验结果的样本标准差， =2.353是自由度为3的 分布水平0.10双侧分位数．将有关数据代入后得 =1‰+1.177S，即当 时，否定假设 ： =1‰，认为“有害物质A的含量超标”．如4份水样中有害物质A的含量的算术平均值 =0.12‰，标准差S =0.05‰，则 = 1.06‰． 例8.19( 检验和 检验) 对某种袋装食品的质量管理标准规定：每袋平均净重500g，标准差不大于10g．现在从要出厂的一批这种袋装食品中随意抽取了14袋，测量每袋的净重，得如下数据：500.90，490.01，501.63，500.73，515.87，511.85，498.39，514.23，487.96，525.01，509.37，509.43，488.46，497.15．假设这种袋装食品每袋的重量 服从正态分布 ．试在显著性水平 =0.05下，检验这一批袋装食品每袋平均净重 和标准差 是否符合标准．（取显著性水平0.10．） 解 问题的要求检验假设 ： = =500和假设 ： 10．样本容量为 ；经计算可得 =503.64， ， =123.43． (1) 检验假设 ： = =500，属于表8.2中的情形1，用t检验，有 ． 由表8.2知 的否定域为V= ．由(6.20)式知统计量 服从自由度为 =n－1=13的 分布．将 =14， =503.64， 代如上式，得 =1.23．由附表4查出自由度为13的t分布水平 ＝0.20和 ＝0.30的双侧分位数： =1.771．由于 =1.23<1.771，故抽验结果表明，在水平0.10下不能否定“ =500g”的假设． (2) 检验假设 ： 10，属于表8.3中的情形2，用 检验，有 =16.05． 由附表6查出自由度为13的 分布水平 ＝0.10和 ＝0.30的上侧分位数： =19.8129．由于 ，故不能否定假设 ． 8.22( 检验和 检验) 为研究一种化肥对某种作物的效力，选了13 块条件相当的地种植这种作物，在其中6块上施肥，在其余7块上不施肥．结果，施肥的平均单产33kg、方差3.2；未施肥的平均单产30kg、方差4．假设产量服从正态分布，问实验结果能否说明此肥料提高产量的效力显著？(取显著性水平0.10)． 解 以 和 分别表示施肥和不施肥地块单位面积产量，并且根据假设 ．由条件知，基于来自 的容量为 =6的简单随机样本，测得样本均值 =33，样本方差 =3.2；基于来自 的容量为 =7的简单随机样本，测得样本均值 =30，样本方差 =4；X和Y的联合样本方差 ． (1) 为比较两种情形的平均单位面积产量，先检验假设 ，检验的统计量 服从自由度为(5,6)的 分布．将 =3.2和 =4代入上式，得 =0.8；由附表7，查出自由度为(5,6)的F分布水平0.975和0.025的两个上侧分位数： =1/6.98 =0.143； ．由于统计量 =0.8介于0.143和5.99之间，从而可以认为假设 成立，因此可以用 检验比较 和 的均值 和 ． (2) 为判断此肥料提高产量的效力是否显著，需要检验假设 ，假如 被否定，则说明 显著大于 ．采用 检验，检验的统计量 服从自由度为 的 分布．对于 =33， =3.2， =6； =30， =4， =7，得统计量 的值为2.828；由附表4可见 =1.796，在显著性水平 =0.05下应否定 ，即说明肥料提高产量的效力显著． 例8.23( 检验) 标准差 是衡量机床加工精度的重要特征．在生产条件稳定的情况下一自动机床所加工零件的尺寸服从正态分布，假定设计要求 不得超过0.5mm．为控制生产过程，定时对产品进行抽验：每次抽验五件，测定其尺寸的标准差 ．试制定一种规则，以便根据S的值判断机床的精度是否降低了（取显著性水平 ）． 解 要求为样本标准差确定一个上限 ：当 时认为精度符合设计要求，当 时则认为精度比设计要求降低了．临界值 的确定，可以通过构造假设检验的方法解决． 设零件的尺寸 ．考虑假设 的检验，其中 =0.5mm．检验基于来自总体X的容量为n=5的简单随机样本，检验的统计量 服从自由度为n－1=4的 分布．对于显著性水平 =0.05和自由度4，由附表3可见 从而得假设 的水平 =0.05的否定域 ． 于是，为控制机床的加工精度，需要制定如下规则：定时抽样，每次抽验五件，测定其尺寸的标准差S，当S >0.77时认为机床的精度降低了（显著性水平为0.05）． 〖证明题〗 例8.25（近似U检验） 总体 是来自总体X的简单随机样本， 是样本均值， ，其中 是已知常数．记 ，证明 (1) 对于假设 ，以V做否定域的检验的第一类错误概率等于0.025； (2) 对于假设 ，以 做否定域的检验的第一类错误概率小于0.025． 证明 (1) 易见，对于假设 ，统计量 ． 因此，第一类错误概率 ． (2) 易见，对于假设 ，统计量 ， 其中 ．因此，当假设 时，有 即第一类错误概率小于0.025．