八年级数学下册第19章一次函数19.2一次函数19.2.2一次函数19.2.2.2一次函数的图象与性质课件新人教版

初中数学（人教版）八 年级 六年级体育公开课教案九年级家长会课件PPT下载六年级家长会PPT课件一年级上册汉语拼音练习题六年级上册道德与法治课件 下册第十九章　一次函数知识点一    正比例函数的定义定义举例正比例函数一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数如y=-3x,y= x均为正比例函数,比例系数分别为-3, 知识详解(1)如果两个变量的比值是一个常数,那么这两个变量之间的关系就是正比例函数关系.(2)正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)必须满足两个条件:①比例系数k≠0;②自变量x的次数是1答案    B解题归纳　(1)判断一个函数是不是正比例函数,就是判断该函数能否化成y=kx(k≠0)的形式;(2)若一个函数是正比例函数,则必有k为常数,k≠0且x的次数为1,关于自变量x的代数式必为单项式.例1　下列函数中,是正比例函数的是 (　　)①y=kx;②y=- x;③y= ;④y=-x2;⑤y=-1+x.A.①③　    B.②　    C.①③⑤　    D.①②④解析　根据正比例函数的定义进行判断.①y=kx,未标明k为常数且k≠0;③y= 不能化为y=kx(k≠0)的形式;④y=-x2不能化为y=kx(k≠0)的形式;⑤y=-1+x,即y=x-1,也不能化为y=kx(k≠0)的形式.只有②是正比例函数.故选B.知识点二    正比例函数的图象与性质k>0k<0图象  图象形状过原点,从左向右是上升的直线(/)过原点,从左向右是下降的直线(\)经过的象限第一、三象限第二、四象限增减性y随x的增大而增大y随x的增大而减小分析    先确定函数自变量的取值范围,然后依次列表、描点、连线,即可得到函数图象,再进行比较.解析　列表:例2　在同一平面直角坐标系中,画出下列函数的图象,并对它们进行比较:(1)y= x;(2)y=- x.x…-4-2024…y= x…-2-1012…y=- x…210-1-2…描点、连线,如图19-2-1-1所示: 图19-2-1-1比较两个函数图象可以看出:两个图象都是经过原点的直线.函数y= x的图象从左向右呈上升趋势,依次经过第三、第一象限,即y随x的增大而增大;函数y=- x的图象从左向右呈下降趋势,依次经过第二、第四象限,即y随x的增大而减小.方法归纳　画正比例函数y=kx(k≠0)的图象可以只取点(0,0)和点(1,k)作直线即可,这种方法叫做两点法.直线y=kx(k≠0)上y随x的变化规律由k的符号决定,k>0(k<0),则y随x的增大而增大(减小).例3　已知正比例函数y=(m+1)x,且y随x的增大而减小,则m的取值范围是 (　　)A.m<-1　    B.m>-1　    C.m≥-1　    D.m≤-1解析　∵正比例函数y=(m+1)x中,y随x的增大而减小,∴m+1<0,解得m<-1.故选A.答案    A知识点三    正比例函数的解析式步骤①设出含有未知系数的函数解析式y=kx(k≠0);②把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式,得到关于未知系数k的方程;③解方程,求出未知系数k;④将求得的未知系数k的值代入所设的解析式方法点拨由于正比例函数只有一个未知系数k,所以只需知道图象上的一个点(非原点)的坐标就可以求出正比例函数的解析式例4　正比例函数y=kx的图象经过点A(1,3).(1)求这个函数的解析式;(2)请判断点B(2,6)是否在这个正比例函数的图象上,并说明理由.分析　(1)把A(1,3)代入y=kx得到方程,求出方程的解即可;(2)把x=2代入y=3x(由(1)得出的)看解出的y是否为6即可.解析　(1)把A(1,3)代入y=kx得k=3,∴y=3x.(2)点B(2,6)在这个正比例函数的图象上.理由:把x=2代入y=3x得y=3×2=6,∴点B(2,6)在这个正比例函数的图象上.题型一    根据正比例函数的定义求参数的值解析    根据题意得m2-3=1且2-m≠0,解得m=±2且m≠2,所以m=-2.故选B.答案    B例1　若函数y=(2-m) 是关于x的正比例函数,则常数m的值等于 (    　)A.±2　    B.-2C.± 　    D.- 题型二    根据正比例函数的图象和性质比较比例系数的大小例2　如图19-2-1-2所示,在同一直角坐标系中,一次函数y=k1x、y=k2x、y=k3x、y=k4x的图象分别为l1、l2、l3、l4,则下列关系中正确的是 (　　) 图19-2-1-2A.k1<k2<k3<k4　    B.k2<k1<k4<k3C.k1<k2<k4<k3　    D.k2<k1<k3<k4解析　根据直线经过的象限,知k2<0,k1<0,k4>0,k3>0,再根据直线越陡,|k|越大,知|k2|>|k1|,|k4|<|k3|,则k2<k1<k4<k3.答案    B点拨　解决此类问题首先根据直线经过的象限判断k的正负,再进一步根据直线的变化趋势判断k的绝对值的大小,直线越平缓,k的绝对值越小,直线越陡,k的绝对值越大,最后判断比例系数的大小.例3　已知正比例函数y1=k1x,当x每增大1个单位时,y1增加6个单位;y2=k2x,当x每增大1个单位时,y2减少2个单位,且y=2y1+3y2.(1)确定y与x的函数解析式,并计算当x=-2时的函数值;(2)当函数值y是12时,求自变量x的对应值.题型三    利用正比例函数性质求解析式分析    如果正比例函数值着自变量增大1个单位时,函数值的增加量是某个数值,那么比例系数的值就是这个增量;反之如果函数随着自变量增大1个单位时,函数值的减少量是某个数值,那么比例系数就是这个减少量的相反数.解析    (1)因为y1随x增大1个单位而增加6个单位,所以y1=6x,因为y2随x增大1个单位而减少2个单位,所以y2=-2x,又y=2y1+3y2,所以y=2×6x+3×(-2x),即y=6x.因此当x=-2时,函数值y=-12.(2)若函数值y=12,则6x=12,解得x=2.易错点一    对定义理解不透彻,在求字母取值时出错正解　-2例1　当m=　　　    时,函数y= -6m-12是正比例函数.错解    ±2错解辨析　∵y= -6m-12是正比例函数,∴m2-3=1,解得m=±2.很多同学解题到此为止,而忽略条件-6m-12=0.若一个函数是正比例函数,则它的表示形式一定要符合y=kx(k是常数,k≠0)的形式.易错点二    运用正比例函数图象求解时,考虑不全面导致漏解例2　在直角坐标系中,直线y=6与y=kx相交于点A,直线y=6与y轴交于点B,若△AOB的面积为12,求k的值.正解    根据题意画图(图略),当k>0时,A ,此时S△AOB= × ×6=12,解得k= .当k<0时,A' ,此时S△A'OB= OB·BA'= × ×6=12,解得k=- .综上,k=± .错解　由题意知A ,B(0,6),AB⊥y轴,∴S△AOB= ×6× =12,解得k= .错解警示    解题时没有给出函数图象,直线有可能从左往右上升,也有可能下降,即k的值有正、负两种情况,解题时忽略掉任何一种情况都是错误的,根据题目给出的条件画出图象,分类讨论求解.1.(2017天津期末)下列变量之间的关系中,一个变量是另一个变量的正比例函数的是 (　　)A.正方形的面积S随着边长x的变化而变化B.正方形的周长C随着边长x的变化而变化C.水箱有水10L,以0.5L/min的速度往外放水,水箱中的剩余水量V(L)随着放水时间t(min)的变化而变化D.面积为20的三角形的一边a随着这边上的高h的变化而变化知识点一    正比例函数的定义答案    B　列出关系式,四个选项分别是S=x2,C=4x,V=10-0.5t,a= ,只有C=4x符合正比例函数的定义,故选B.答案    B　由题意得2-m2=1且m-1≠0,解得m=±1且m≠1,∴m=-1.2.(2016陕西西安音乐学院附中期末)若y=(m-1) 是正比例函数,则m的值为 (　　)A.1　    B.-1　    C.1或-1　    D. 或- 知识点二    正比例函数的图象与性质3.对于正比例函数y=(1-k)x,若y随x的增大而减小,则k的值可以是 (    　)A.-1　    B.3　    C.0　    D.-3答案    B　∵y随x的增大而减小,∴1-k<0,∴k>1.选项中各数符合条件的数只有3.故选B.答案    C　首先根据图象经过的象限可知a>0,b>0,c<0,再根据直线越陡,|k|越大,得b>a>c.故选C.4.如图19-2-1-1,三个正比例函数的图象分别对应的解析式是①y=ax;②y=bx;③y=cx,则a、b、c的大小关系是 (　　) 图19-2-1-1A.a>b>c　    B.c>b>a　    C.b>a>c　    D.b>c>a5.(1)在同一直角坐标系内画出正比例函数y=-2x与y=0.5x的图象;(2)用量角器量一下这两条直线的夹角,你会发现什么?写出你的猜想.解析    (1)如图. (2)两条直线的夹角为90度.猜想:当两个正比例函数中自变量的系数之积为-1时,它们的图象的夹角为90度,即两直线互相垂直.6.三角形的一边长为6,该边上的高为x,则三角形的面积S与x之间的函数关系式为　　　    .知识点三    正比例函数的解析式答案    S=3x解析　由三角形的面积 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 可得S= ×6x,即S=3x.7.已知y是x的正比例函数,且函数图象经过点(-3,6).(1)求y关于x的函数关系式;(2)当x=-6时,求对应的函数值y;(3)当x取何值时,y= ?解析　(1)设正比例函数的关系式为y=kx(k≠0),∵图象经过点(-3,6),∴-3k=6,解得k=-2,所以,此函数的关系式是y=-2x.(2)把x=-6代入函数关系式可得y=-2×(-6)=12.(3)把y= 代入函数关系式可得 =-2x,解得x=- .1.已知y=(k+3)x+9-k2是正比例函数,则k=　　　    ,该函数的关系式是    　　    .答案    3;y=6x解析    由题意得9-k2=0且k+3≠0,解得k=3,所以此函数关系式为y=6x.2.已知关于x的函数y=kx+4k-2(k≠0).若其图象经过原点,则k=　　　    ,若y随x的增大而减小,则k的取值范围是　　　    .答案     ;k<0解析    ∵函数的图象经过原点,∴4k-2=0,∴k= .当k<0时,y随x的增大而减小.答案    B    当x变为x+1时,函数值变为y-4,所以y-4=k(x+1),即y-4=kx+k,所以kx-4=kx+k,所以k=-4.故选B.1.若在正比例函数y=kx(k≠0)中,自变量x的取值每增加1,函数值相应地减小4,则k的值为 (　　)A.4　    B.-4　    C. 　    D.- 2.已知正比例函数y=kx(k是常数,k≠0),当-3≤x≤1时,对应的y的取值范围是-1≤y≤ ,且y随x的减小而减小,则k的值为　　　    .答案     解析　∵y随x的减小而减小,∴当x=-3时,y=-1,代入y=kx(k是常数,k≠0),得-1=-3k,所以k= .1.已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示,则在下列选项中k的值可能是 (　　) A.1　    B.2　    C.3　    D.4答案    B　根据图象,得2k<6,3k>5,解得 <k<3.选项中符合条件的数只有2.故选B.2.(2016浙江丽水中考)在平面直角坐标系中,点M,N在同一个正比例函数图象上的是 (　　)A.M(2,-3),N(-4,6)　    B.M(-2,3),N(4,6)C.M(-2,-3),N(4,-6)　    D.M(2,3),N(-4,6)答案    A    设过点M的正比例函数图象对应的解析式为y=kx(k≠0).由-3=2k,得k=- ,∵-4× =6,∴M,N在同一个正比例函数的图象上,故A正确;由3=-2k,得k=- ,∵4× =-6≠6,∴M,N不在同一个正比例函数的图象上,B错误;由-3=-2k,得k= ,∵4× =6≠-6,∴M,N不在同一个正比例函数的图象上,C错误;由3=2k,得k= ,∵-4× =-6≠6,∴M,N不在同一个正比例函数的图象上,D错误.故选A.3.已知正比例函数y=(2t-1)x的图象上一点(x1,y1),且x1y1<0,则t的取值范围是 (　　)A.t<0.5　     B.t>0.5C.t<0.5或t>0.5　    D.不确定答案    A　因为x1y1<0,所以x1,y1异号,即该点的横、纵坐标异号,故该函数图象经过第二、四象限,则2t-1<0,即t<0.5,故选A.答案    D　根据正比例函数的定义判断:形如y=kx,其中k为常数且k≠0,自变量次数为1,只有y=2x满足,故选D.一、选择题1.(2018广东汕尾陆丰民声学校一模,6,★☆☆)下列四个函数中,是正比例函数的是 (　　)A.y=2x+1　    B.y=2x2+1C.y= 　    D.y=2x2.(2018广东汕头潮南模拟,7,★☆☆)已知函数y=(a-1)·x的图象过第一、三象限,那么a的取值范围是 (　　)A.a>1　    B.a<1　    C.a>0　    D.a<0答案    A　∵正比例函数y=(a-1)x的图象经过第一、三象限,∴a-1>0,∴a>1,故选A.3.(2018重庆巫山期末,9,★☆☆)设正比例函数y=mx的图象经过点A(m,4),且y随x增大而增大,则m=(　　)A.2　    B.-2　    C.4　    D.-4答案    A　把(m,4)代入y=mx,得m2=4,解得m=±2,因为y随x的增大而增大,所以m>0,所以m=2.故选A.二、填空题4.(2018天津南开期末,13,★☆☆)已知正比例函数经过点(-1,2),则该函数解析式为　　　    .答案    y=-2x解析    设函数的解析式为y=kx(k≠0),因为点(-1,2)在该函数图象上,所以-k=2,即k=-2,所以函数的解析式为y=-2x.三、解答题5.(2018山东菏泽鄄城期中,21,★☆☆)已知y+2与x+3成正比例,当x=1时,y=2.试求:(1)y与x的函数关系式;(2)当x=-3时,求y的值;(3)当y=5时,求x的值.解析    (1)由题意,可设y+2=k(x+3)(k≠0),把x=1,y=2代入,得2+2=4k,解得k=1,所以y+2=x+3,即y=x+1.(2)当x=-3时,y=-3+1=-2.(3)当y=5时,5=x+1,解得x=4.答案    C　函数y=|2x|,当x≥0时,y=2x;当x<0时,y=-2x,故C中图象符合.1.(2016福建福州十九中中考模拟,8,★★☆)函数y=|2x|的图象是 (    　) 2.(2017浙江杭州上城一模,17,★★☆)新定义运算符号“※”:a※b= (1)计算:3※4;(2)画出函数y=2※x的图象. 解析　(1)∵4≥0,∴3※4=3×4=12.(2)当x≥0时,y与x的关系式为y=2x;当x<0时,y与x的关系式为y=-2x.列表如下:描点、连线,如图所示.x…-2-1012…y…42024…一、选择题1.(2018江苏常州中考,4,★☆☆)一个正比例函数的图象经过点(2,-1),则它的解析式为 (　　)A.y=-2x　    B.y=2x　    C.y=- x　    D.y= x答案    C　设该正比例函数的解析式为y=kx(k≠0),将点(2,-1)代入解析式,得-1=2x,解得k=- ,因而它的解析式为y=- x,故选C.答案    B　因为k=2>0,所以正比例函数y=2x的图象经过原点,且经过第一、三象限,故选B.2.(2014贵州铜仁中考,6,★☆☆)正比例函数y=2x的大致图象是 (　　) 3.(2018陕西中考,4,★☆☆)如图19-2-1-2,在矩形AOBC中,A(-2,0),B(0,1).若正比例函数y=kx的图象经过点C,则k的值为 (　　) 图19-2-1-2A.-2　    B.- 　    C.2　    D. 答案    B　∵四边形AOBC是矩形,A(-2,0),B(0,1),∴AC=OB=1,BC=OA=2,∴点C的坐标为(-2,1),将点C(-2,1)代入y=kx,得1=-2k,解得k=- ,故选B.二、填空题4.(2017天津中考,16,★☆☆)若正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象经过第二、第四象限,则k的值可以是　　　    (写出一个即可).答案　-1(答案不唯一,满足k<0即可)解析　∵正比例函数y=kx的图象经过第二、第四象限,∴k<0,∴k可以是任何小于0的数,如-1等.答案　-4≤m≤41.(2018海南中考,17,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,点M是直线y=-x上的动点,过点M作MN⊥x轴,交直线y=x于点N,设点M的横坐标为m,当MN≤8时,m的取值范围为　　　    . 解析    设MN交x轴于点C,根据题意得,点M、N关于x轴对称,当MN≤8时,CM≤4;点M是直线y=-x上的动点,所以OC=CM,所以OC≤4,所以-4≤m≤4. 2.(2018湖南衡阳中考,18,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,函数y=x和y=- x的图象分别为直线l1,l2,过点A1 作x轴的垂线交l1于点A2,过点A2作y轴的垂线交l2于点A3,过点A3作x轴的垂线交l1于点A4,过点A4作y轴的垂线交l2于点A5,……,依次进行下去,则点A2018的横坐标为　　　    . 答案　21008解析    由题意得A1 ,A2(1,1),A3(-2,1),A4(-2,-2),A5(4,-2),A6(4,4),A7(-8,4),A8(-8,-8),……,观察发现规律:点A2n的横坐标为(-2)n-1(n为正整数).∵2018=2×1009,∴点A2018的横坐标为(-2)1009-1=21008.答案　(22018,22017)解析    ∵点A1(1,2),∴OA1=OB1= ,∵B1在直线y= x上,∴B1(2,1),依此类推A2(2,4),B2(4,2),A3(4,8),B3(8,4),……,An(2n-1,2n),Bn(2n,2n-1),故点B2018的坐标为(22018,22017).2.某厂生产的RGZ-120型体重秤,最大称重为120千克,体检时可看到如图19-2-1-4①所示的显示盘.已知指针顺时针旋转角x(度)与体重y(千克)有如下关系: 图19-2-1-4x(度)072144216y(千克)0255075(1)根据表格中的数据在平面直角坐标系(图19-2-1-4②)中描出相应的点,顺次连接各点后,你发现这些点在哪一种函数图象上?合理猜想符合这个图象的函数解析式;(2)验证这些点的坐标是否满足函数解析式,归纳你的结论(写出自变量x的取值范围);(3)当指针旋转到158.4度的位置时,显示盘上的体重读数模糊不清,用解析式求出此时所称的体重.解析    (1)如图,描点连线后,发现四个点在经过原点的一条直线上,即在正比例函数图象上,猜想y=kx(k≠0). (2)将x=72,y=25代入y=kx(k≠0)中,得25=72k,则k= ,因此y= x.把x=144,y=50代入上面的函数解析式中,左边=50,右边= ×144=50,左边=右边,因此(144,50)满足y= x.同理可验证(216,75)也满足y= x.因为最大称重为120千克,所以将y=120代入解析式得120= x,解得x=345.6,因此符合要求的函数解析式是y= x(0≤x≤345.6).(3)当x=158.4时,y= ×158.4=55.答:此时所称的体重是55千克.1.已知正比例函数y=(1-2a)x.(1)若函数的图象经过第一、三象限,试求a的取值范围;(2)若点A(x1,y1)和点B(x2,y2)为函数图象上的两点,且x1<x2,y1>y2,试求a的取值范围;(3)若函数的图象经过点(-1,2),①求此函数关系式并作出其图象;②如果x的取值范围是-1<x<5,求y的取值范围.解析　(1)由题意知1-2a>0,所以a< .(2)由题意可知当x增大时y减小,故1-2a<0,所以a> .(3)①由题意知2=(1-2a)×(-1),则1-2a=-2,所以,此函数关系式为y=-2x.图象略.②由①得,函数关系式为y=-2x,当x=-1时,y=2,当x=5时,y=-10,所以y的取值范围为-10<y<2.2.已知正比例函数y=kx的图象经过点A,点A在第三象限,过点A作AH⊥x轴,垂足为点H,点A的横坐标为-3,且△AOH的面积为3. (1)求正比例函数的解析式;(2)在x轴上是否存在一点P,使△AOP的面积为5?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解析    (1)∵点A位于第三象限且横坐标为-3,△AOH的面积为3,∴点A的纵坐标为-2,∴点A的坐标为(-3,-2),∵正比例函数y=kx的图象经过点A,∴-3k=-2,解得k= ,∴正比例函数的解析式是y= x.(2)存在.理由如下:∵△AOP的面积为5,点A的坐标为(-3,-2),点P在x轴上,∴OP=5,∴点P的坐标为(5,0)或(-5,0).