名校试题—初中数学七年级

清华附中真题 + 首师附中真题（尖子班） 第一部分 清华附中历年真题展示 一、填空。 1、 有一块麦地和一块菜地，菜地的一半和麦地的 合起来是13亩，麦地的一半和菜地的 合起来是12亩，那么菜地有 亩。 ﹝分析﹞解：设菜地有χ亩，麦地有y亩。 ＋ ＝13 ＋ ＝12 解得χ＝18，y＝12 答：菜地有18亩。 2、―次考试，参加的学生中有 得优， 得良， 得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满50人，那么得差的学生有 人。 ﹝分析﹞学生的人数永远是整数。 根据题意可知，学生人数是7、2、3的公倍数，而[7，2，3] ＝42， 42小于50，所以参加的学生总数为42人。 42×（1－ － － ）＝1（人） 答：得差的学生有1人。 3、 有一城镇共5000户居民，每户的子女不超过2人，一部分家庭有1个孩子，余下的家庭中一半每家有2个孩子，那么此城镇共有孩子 人。 ﹝分析﹞“一部分家庭有1个孩子，余下的家庭中一半每家有2个孩子，”那么，余下的家庭中另一半每家有0个孩子，于是，余下的家庭平均每户1个孩子，开始的一部分家庭每户1个孩子，所以整个城镇平均每户有1个孩子，共5000户居民，所以此城镇共有孩子： 1×5000＝5000（人） 答：此城镇共有孩子5000人。 4、科学家进行一次实验，每隔5小时作一次记录，他做第12次记录时，时钟正好九点整， 问第一次作记录时，时钟是 点。 ﹝分析﹞⑴第一次作记录和第12次作记录的时间差为5×（12－1）＝55小时。 ⑵“做第12次记录时钟正好九点整”，所以第一次作记录在55小时之前， 55÷24＝2（昼夜）……7（小时） 即往前推2昼夜再推7小时，所以第一次作记录时是9－7＝2点。 答：第一次作记录时，时钟显示2点。 5、一名学生在计算一道除数是两位数的没有余数的除法时，错把被除数百位上的3看成了8，结果得商383，余17，这商比正确的商大21，那么这道题的被除数是 ，除数是 。 ﹝分析﹞⑴错误的商是383，比正确的商大21，正确的商是383－21＝362。被除数看错了，而除数没错，也就是除数没有变化。 ⑵设除数为χ。则正确的被除数是362χ，错误的被除数是362χ＋500或383χ＋17 （383－21）χ＋（8－3）×100＝383χ＋17 χ＝23 所以 被除数＝23×(383－21) ＝8326 答：这道题的被除数是8326，除数是23 。 6、甲、乙两人背诵英语单词，甲比乙每天多背8个，乙因为生病，中途停止10天。40天后，乙背的单词正好是甲的一半，甲一共背单词 个。 解：设乙每天背诵单词χ个，则甲每天背诵单词（χ＋8）个。 （40－10）χ＝40（χ＋8）× 30χ＝20（χ＋8） χ＝16 χ＋8＝24 40（χ＋8）＝960 答：甲一共背单词960个。 算术解法：⑴ 甲背40天，乙背40－10＝30天，乙背的单词正好是甲的一半。则乙30天背的单词等于甲40× ＝20天背的单词。用V表示每天背诵单词的效率，则： V甲×20＝V乙×30 V甲︰V乙＝30︰20＝3︰2 ⑵ 甲比乙每天多背3－2＝1份，甲比乙每天多背8个，每份单词就是8个。 V甲＝8×3＝24个。 甲一共背单词24×40＝960个。 答：甲一共背单词960个。 二、解答 7、甲乙合作一项工程，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高 ，乙的工作效率比单独做时提高 ，甲乙合作6小时完成全部任务的 ，第二天乙又单独作了6小时，还留下这件工作的 尚未完成，如果这件工作始终由甲1人单独做，需要多少小时？ ﹝分析﹞⑴第二天乙单独作6小时完成1－ － ＝ 。 第一天乙6小时完成 ×（1＋ ）＝ 第一天甲6小时完成 － ＝ ⑵甲乙合作时甲每小时完成 ÷6＝ ，所以， 甲单独做时每小时完成 ÷（1＋ ）＝ ， 甲单独做需要1÷ ＝33小时。 答：如果这件工作始终由甲1人单独做，需要33小时。 8、龟兔赛跑，同时出发，全程7000米，乌龟每分钟爬30米，兔子每分钟跑330米，兔子跑了10分钟就停下来睡了215分钟，醒来后立即以原速往前跑，问乌龟和兔子谁先到达终点？先到的到达终点时后到的离终点还有多少米? ﹝分析﹞⑴兔子跑了330×10＝3300米，之后睡215分钟，也就是10＋215＝225分钟的时间兔子总共前进了3300米。而乌龟（10＋215）分钟总共前进了30×225＝6750米。 ⑵余下的路程乌龟只需（7000－6750）÷30＝8 分钟的时间就能到达终点。而8 分钟的时间兔子只能前进330×8 ＝2750米。所以乌龟到达终点时兔子只跑了3300＋2750＝6050米，离终点还有7000－6050＝950米。 答：鸟龟先到终点，乌龟到达终点时兔子距离终点还有950米。 9、如图，正方形边长为2厘米，以圆弧为分界线的甲、乙两部分面积的差(大的减去小的)是多少平方厘米？(圆弧内部的是等腰直角三角形)。(π取3.14) ﹝分析﹞⑴ 甲的面积＝（22－π×22× ）× ＝2－ ＝0.43 乙的面积＝（π×22× － ）× ＝ ＝0.57 ⑵乙的面积－甲的面积＝0.57－0.43＝0.14平方厘米。 答：甲、乙两部分面积的差是0.14平方厘米。 10、设α@b＝[α,b]＋（α,b），其中[α,b]表示α与b的最小公倍数，（α,b）表示α与b的最大公约数，已知12@χ＝42，求χ。 ﹝分析﹞⑴ 12@χ＝42 [12, χ]＋（12, χ）＝42 ，因为两个数的最大公约数一定是最小公倍数的约数，所以[12, χ]是（12, χ）的倍数，（12, χ）是[12, χ]的约数。 ⑵ 由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积，所以 12χ＝[12, χ]×（12, χ） 两个数的最大公约数（12, χ）必定是χ的约数，那么，[12, χ]必定是12的倍数，小于42的12的倍数有12、24、36三个。所以，原题转化为： 12的倍数 ＋ 42的约数 ＝42，满足条件的只有36＋6＝42， 所以，[12, χ] ＝ 36 ；（12, χ）＝6。 ⑶ 36×6＝12χ， χ＝36×6÷12＝18 答：χ等于18。 第二部分 首师附中历年真题展示 一、填空。 1、 ＋ ＋ ＋ ＋……＋ 分析：⑴ 先来复习一个整数的裂项公式： 1×2×3×4＋2×3×4×5＋3×4×5×6＋……＋n（n＋1）（n＋2）（n＋3） ＝ n（n＋1）（n＋2）（n＋3）（n＋4） ⑵原式共有48项，从第5项到第48项是： ＋ ＋ ＋…… 约分之后，分母都是52×51×50×49×48，分子依次是47×46×45×44、46×45×44×43、45×44×43×42、……、4×3×2×1， ⑵前面的4项，通分之后分母也是52×51×50×49×48，分子依次是51×50×49×48、50×49×48×47、49×48×47×46、48×47×46×45、 ⑶原式＝ ＝ ＝ ＝ 2、由六个正方形组成的“十字架”的面积是150平方厘米，它的周长是 厘米。 ﹝分析﹞ ⑴每个小正方形的面积是150÷6＝25平方厘木， 因为5×5＝25，所以小正方形的边长为5厘米。 ⑵一周共有14段5厘米。所以“十字架”的周长是5×14＝70厘米。 答：“十字架”的周长是70 厘米。 3、一个小于200的自然数，被7除余2，被8除余3，被9除余1，这个数是 。 ﹝分析﹞ “被7除余2，被8除余3”，这个数如果加上5，就能被7和8整除。因此，这个数应该是7和8的公倍数减去5，形如56n－5的形式。 200以内符合56n－5的形式的数有51、107、163，其中被9除余1的数只有163，所以所求的数为163。 4、一个密封的长方体水箱，从里面量长60厘米，宽30厘米，高30厘米。当水箱如下左图放置时，水深为20厘米，当水箱如下右图放置时，水深 厘米。 ﹝分析﹞ ⑴ 先求出水的体积为60×30×20＝36000立方厘米， 如右图放置时，水的体积不变，所以水深为36000÷(30×30) ＝40厘米。 答：当水箱如下右图放置时，水深40 厘米。 ⑵ 左图中水箱中水的高度是水箱的 ＝ ， 所以水箱中水的体积是水箱的 。右图中水箱中水的 体积也是水箱的 ，所以右图中水的高度是水箱的 ，是60× ＝40厘米。 答：当水箱如下右图放置时，水深40 厘米。 二、解答 5、制作一批零件，甲车间要10天完成。如果甲车间与乙车间一起做只需6天就能完成，乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成。现在3个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个，问：丙车间制做了多少个零件？ ﹝分析﹞ ⑴ 甲车间每天完成 乙车间每天完成 － ＝ ， 丙车间每天完成 － ＝ ， ⑵ 三个车间一起做，甲车间的效率是乙车间的 ÷ ＝1.5倍。 时间相同，甲车间完成的工作量也是乙车间的1.5倍。而甲车间比乙车间多制作零件2400个，所以甲车间共制作零件2400÷（1.5－1）×1.5＝7200个。 这批零件总数是7200÷ ＝72000个。 丙车间完成72000× ＝4200个。 答：丙车间制做了4200个零件。 6、完成某项工程，甲单独工作需要18小时，乙单独工作需要24小时，丙单独工作需要30小时。现在甲、乙和丙按如下顺序工作：甲、乙、丙、乙、丙、甲、丙、甲、乙；甲、乙、丙、乙、丙、甲、丙、甲、乙；……，每人工作一小时换班，直到工程完成。问：当工程完成时，甲、乙、丙各干了多少小时？ ﹝分析﹞ ⑴ 三个人的工作状态是每9个小时为一个循环周期。观察发现，实际每3个小时小时，甲、乙、丙就各工作了一个小时，一共完成总工作量的 ＋ ＋ ＝ 。 1÷ ＝7 ，所以需要经过7个3小时。 此时整个工程还差1－ ×7＝ ，此时已经过了2个循环周期零3小时，所以接下来的工作顺序是乙、丙、甲；乙先完成了 ，接着丙完成了 ，还剩下 ＝ ，甲会在 ÷ ＝ 小时内完成。所以工程完成时甲工作了7 小时，乙和丙各工作了8小时。 7、下面是一张2002年3月的月历: 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 小明的爸爸工作4天休息1天，小明的妈妈工作2天休息1天。小明星期六和星期日休息。小明、爸爸和妈妈3月3日同时休息，三人一起到博物馆参观。他们约定，要在下一次共同休息的那一天，去看望奶奶，他们看望奶奶的日期是3月几日？ ﹝分析﹞ ⑴ “爸爸工作4天休息1天”，也就是每5天为一个周期，每个周期的最后1天休息。“妈妈工作2天休息1天”， 也就是每3天为一个周期，每个周期的最后1天休息。 [3，5]＝15， 3月3日爸爸和妈妈同时休息，过15天，也就是3＋15＝18号，爸爸和妈妈又同时休息。这一天正好是星期日，小明也休息，所以他们看望奶奶的日期是3月18日。 答：小明、爸爸和妈妈看望奶奶的日期是3月18日。 8、已知 表示一个各位数字互不相同的三位数， 等于由α、b、c三个数码所组成的全体两位数的和，写出所有满足上述条件的三位数。 分析：㈠ 当α、b、c都不为0时: ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 100α＋10 b＋c＝22（α＋b＋c） 100α＋10 b＋c＝22α＋22b＋22c 78α＝12b＋21c 26α＝4b＋7c 当α＝1时，b＝3，c＝ 2 当α＝2时，b＝6，c＝ 4 当α＝3时，b＝9，c＝ 6 当α≥4时，b和c中肯定有一个数大于或等于10，不合题意。 所以，满足条件的三位数有132、264、396。 ㈡ 当b、c中有1个为0时（α不可能为0），例如b为0 ＝ ＋ ＋ ＋ 100α＋c＝21α＋21 c 79α＝20 c 因为α、b、c是个不相同的数字， c ＝ α必须是20的倍数，且α不为0。这不可能。 如果c为0时，情况也是如此。所以满足条件的三位数就只有三个：132、264、396。 9、小华登山，从山脚到途中A点的速度是2 千米/时，从A点到山顶的速度是2千米/时。他到达山顶后立即按原路下山，下山速度是4千米/时，下山比上山少用了 小时。已知途中B点到山顶的路程比A点到山顶的路程少500米，且小华从A点开始上山至下山到达B点恰好用了1小时。问：从山脚到山顶的路程是多少千米？ ﹝分析﹞㈠ ⑴ 上山：从A点到B点500米，用0.5÷2＝ 小时。 从B点到山顶再返回B点，用1－ ＝ 小时。 ⑵从B点到山顶的这段路上，上山、下山速度比是2︰4＝1︰2；由于路程相同，所以上山和下山所用的时间比是2︰1，而上山和下山共用了 小时。所以在这段路上上山用了 × ＝ 小时；下山用了 × ＝ 小时； ⑶下山，由B点到A点还需要0.5÷4＝ 小时。 在从A点到山顶的这段路上，上山用了 ＋ ＝ 小时；下山用了 ＋ ＝ 小时；下山比上山少用了 － ＝ 小时。从全程看，下山比上山少用了 小时，所以在从山脚到A点的这段路上，下山比上山少用了 － ＝ 小时。 ㈡ 从山脚到A点。上山和下山速度比是2 ︰4＝2︰3，由于路程相同，所用时间与速度成反比。所以上山和下山所用时间比是3︰2，下山比上山少用了3－2＝1份的时间，少用了 小时。所以在这段路上下山用了 ÷（3－2）×2＝1小时。 下山全程用了 ＋1＝1 小时，速度是4千米/时，所以从山脚到山顶的路程是： 4×1 ＝5 千米。 答：从山脚到山顶的路程是5 千米。 10、已知甲车速度为每小时90千米，乙车速度为每小时60千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，在途经C地时乙车比甲车早到10分钟；第二天甲、乙分别从B、A两地出发同时出发返回原来出发地，在途经C地时甲车比乙车早到1个半小时，那么A、B两地的距离是多少? 解法1： 设从C点到A、B两地的距离分别为χ千米和y千米。 ＝ ＋ ① ＋ 1 ＝ ② 由②得 ＝ － 1 ③ ① ＋③得： ＋ ＝ ＋ － ④ 由④ 得 （χ＋y）＝ （χ＋y）－ （χ＋y）－ （χ＋y）＝ （χ＋y）＝ χ＋y＝ ×180＝240 答：A、B两地的距离是240千米。 解法2：① 第一次乙到C点时甲距离C点还有90× ＝15千米。 第二次甲到C点时乙距离C点还有60×1 ＝90千米。 ② 把两次合起来当作一个整体看，甲乙两次所用时间相同。甲走了1个全程差15千米；乙走了1个全程差90千米。甲比乙多走了90－15＝75千米。 ③ 时间相同路程比等于速度比。甲乙两车的速度比是90︰60＝3︰2，于是甲乙两车所行的路程比也是3︰2，甲比乙多走3－2＝1份，甲比乙多走75千米，于是可求得甲乙两车两次一共行驶的路程和A、B两地之间的距离： 75÷（3－2）×3＋15＝240（千米） 75÷（3－2）×2＋90＝240（千米） 答：A、B两地的距离是240千米。 . 巩固练习 1、六年级两个班共有学生94人，其中女生有39人。已知一班的女生占本班人数的 ，二班的女生占本班人数的 ，求两班各有多少人？ 解： 设一班有学生χ人，则二班的学生人数是（94－χ）人。 χ＋ （94－χ）＝39 χ＝45 答：一班有学生45人，二班有学生49人。 2、甲、乙两车从同一地点出发，沿着同一公路追赶前面的一个骑车人。甲、乙两车分别用6分钟、10分钟追上骑车人。已知甲车速度是24千米/小时，乙车速度是20千米/小时。那么两车出发时，两车所在地点离骑车人 千米。 ﹝分析﹞ ⑴ 骑车人的速度（20× －24× ）÷ ＝14千米/时。 ⑵ 两车出发时与骑车人之间的距离：20× －14× ＝1千米。 答：两车出发时与骑车人之间的距离1千米。 3、1992年爷爷年龄是孙子的10倍，再过12年，爷爷年龄是孙子的4倍，那么1993年孙子是多少岁？ 解：设1992年孙子χ岁，爷爷10χ岁。 （χ＋12）×4＝10χ＋12 χ＝6 1992年孙子是6岁，1993年孙子是7岁。 4、古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝旬是四句诗，每句都是七个字。有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字。五言绝句有多少首？ ﹝算术﹞ ⑴“五言绝句比七言绝句多13首”，如果去掉13首五言绝句，两种诗的首数就相等，此时两种诗字数相差5×4×13＋20＝280(字)。 由于两种诗每首字数相差7×4－5×4＝8(字)，因此，七言绝句有280÷8＝35(首)，五言绝句有35+13=48(首)。 答：五言绝句有48首，七言绝句有30首。 ﹝方程﹞ ⑵ 设五言绝句有χ首，则七言绝句是（χ－13）首。 7×4×（χ－13）－5×4χ＝20 χ＝48 χ－13＝30 答：五言绝句有48首，七言绝句有30首。