nullnull2.1 公平的席位分配问题三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。若增加为21席，又如何分配。比例加惯例对丙系公平吗null“公平”分配方法衡量公平分配的数量指标当p1/n1= p2/n2 时，分配公平 p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度p1=150, n1=10, p1/n1=15
p2=100, n2=10, p2/n2=10p1=1050, n1=10, p1/n1=105
p2=1000, n2=10, p2/n2=100p1/n1– p2/n2=5但后者对A的不公平程度已大大降低!虽二者的绝对不公平度相同若 p1/n1> p2/n2 ，对 不公平A p1/n1– p2/n2=5null公平分配
方案
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应使 rA , rB 尽量小设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对A不公平~ 对A的相对不公平度将绝对度量改为相对度量类似地定义 rB(n1,n2) 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即“公平”分配方法若 p1/n1> p2/n2 ，定义null1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ，则这席应给 A2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ，3）若 p1/n1> p2/(n2+1)，应计算rB(n1+1, n2)应计算rA(n1, n2+1)若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给应讨论以下几种情况初始 p1/n1> p2/n2 问：p1/n1
rA(n1, n2+1), 则这席应给 Bnull当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给A该席给A否则, 该席给B推广到m方分配席位该席给Q值最大的一方Q 值方法null三系用Q值方法重新分配 21个席位按人数比例的整数部分已将19席分配完毕甲系：p1=103, n1=10
乙系：p2= 63, n2= 6
丙系：p3= 34, n3= 3用Q值方法分配第20席和第21席第20席第21席Q3最大，第21席给丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q值方法分配结果公平吗？Q1最大，第20席给甲系null进一步的讨论Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？席位分配的理想化准则已知: m方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N。设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,… , nm (自然应有n1+n2+…+nm=N)，记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, … , pm )若qi 均为整数，显然应 ni=qi null qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则：记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整.1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m),2) ni (N, p1, … , pm ) ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一即当总席位增加时， ni不应减少“比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2）Q值方法满足 2）,但不满足 1）。令人遗憾！null问
题在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为
4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？要求不仅回答问题，而且建立计数器读数与
录像带转过时间的关系。思考计数器读数是均匀增长的吗？2.2 录像机计数器的用途经试验，一盘标明180分钟的录像带从头走到尾，时间用了184分，计数器读数从0000变到6061。null录像机计数器的工作原理录像带运动问题
分析
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观察 计数器读数增长越来越慢！null模型假设 录像带的运动速度是常数 v ； 计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn； 录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 w； 空右轮盘半径记作 r ； 时间 t=0 时读数 n=0 .建模目的建立时间t与读数n之间的关系（设v,k,w ,r为已知参数）null模型建立建立t与n的函数关系有多种方法1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度
等于录像带在时间t内移动的长度vt, 所以null2. 考察右轮盘面积的
变化，等于录像带厚度
乘以转过的长度，即模型建立null思 考2种建模方法得到相似的同一结果一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。思 考null参数估计另一种确定参数的方法——测试分析只需估计 a,b理论上，已知t=184, n=6061, 再有一组(t, n)数据即可实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合现有一批测试数据：用最小二乘法可得null模 型 检 验应该另外测试一批数据检验模型：模 型 应 用回答提出的问题：由模型算得 n = 4450 时 t = 116.4分，
剩下的录像带能录 184-116.4= 67.6分钟的节目。揭示了“t 与 n 之间呈二次函数关系”这一普遍规律，
当录像带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可。null问题双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失假设热量传播只有传导，没有对流T1,T2不变，热传导过程处于稳态材料均匀，热传导系数为常数建模热传导定律Q ~单位时间单位面积传导的热量T~温差, d~材料厚度, k~热传导系数2.3 双层玻璃窗的功效nullTaTb记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta~内层玻璃的外侧温度Tb~外层玻璃的内侧温度建模null记单层玻璃窗传导的热量Q2双层与单层窗传导的热量之比k1=410-3 ~8 10-3, k2=2.510-4, k1/k2=16 ~32对Q1比Q2的减少量作最保守的估计，取k1/k2 =16建模null模型应用取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少97%的热量损失。结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数 k2, 而这要求空气非常干燥、不流通。事实上，房间通过天花板、墙壁… …损失的热量会更多。因此，双层窗的功效不会如此之大null2.4 存贮模型问 题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设
备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂
生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费
每日每件1元。试安排该产品的生产
计划
项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载
，即多少天生产
一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要
求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与
需求量、准备费、贮存费之间的关系。null问题分析与思考 每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。 10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500元，准备费5000元，总计9500元。 50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元。平均每天费用950元平均每天费用2550元10天生产一次平均每天费用最小吗?每天费用5000元null 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数——每天总费用的平均值 周期短，产量小 周期长，产量大问题分析与思考null模 型 假 设1. 产品每天的需求量为常数 r；2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2；3. T天生产一次（周期）, 每次生产Q件，当贮存量
为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；建 模 目 的设 r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。null模 型 建 立贮存量表示为时间的函数 q(t)t=0生产Q件，q(0)=Q, q(t)以
需求速率r递减，q(T)=0.一周期
总费用每天总费用平均
值（目标函数）离散问题连续化A=QT/2null模型求解模型分析模型应用c1=5000, c2=1，r=100 回答问题null 经济批量订货
公式
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（EOQ公式）每天需求量 r，每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2 ，用于订货、供应、存贮情形 问：为什么不考虑生产费用？若考虑生产费用如何？T天订货一次(周期), 每次订货Q件，当贮存量降到
零时，Q件立即到货。null允许缺货的存贮模型AB当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，造成损失原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货)现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足周期T, t=T1贮存量降到零null每天总费用
平均值
（目标函数）一周期总费用为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T ’, Q记作Q’null不允许缺货模型允许缺货模型null允许缺货模型注意：缺货需补足Q~每周期初的存贮量每周期的生产量R （或订货量）Q~不允许缺货时的产量(或订货量) nullnull2.5 生猪的出售时机饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。问题市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降低 0.1元，问生猪应何时出售。如果估计和预测有误差，对结果有何影响。分析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大null求 t 使Q(t)最大10天后出售，可多得利润20元建模及求解生猪体重 w=80+rt出售价格 p=8-gt销售收入 R=pw资金投入 C=4t利润 Q=R-C=pw -C估计r=2，若当前出售，利润为80×8=640（元）t 天出售=10Q(10)=660 > 640g=0.1null敏感性分析研究 r, g变化时对模型结果的影响 设g=0.1不变 t 对r 的（相对）敏感度 生猪每天体重增加量r 增加1%，出售时间推迟3%。 null敏感性分析研究 r, g变化时对模型结果的影响 设r=2不变 t 对g的（相对）敏感度 生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%。 null强健性分析保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售由 S(t,r)=3研究 r, g不是常数时对模型结果的影响 w=80+rt w = w(t)p=8-gt p =p(t) 
浙公网安备 33021202002483