广义参变量积分

广义参变量积分null积分学积分学广义参变量积分讨论的缘由讨论的缘由在参变量积分的讨论中，有些是不能用控制收敛定理处理的. 这就需要发展另外的积分号下取极限理论广义积分极限定理广义积分极限定理广义积分定义广义带参数积分一致收敛极限定理广义带参数积分的微积分性质一致收敛准则广义积分定义广义积分定义以E=(0, )为例广义积分（两种意义下） Lebesgue意义下：在(0, )没有积分的情形 Riemann意义下： 在(0, )上的Riemann积分在常义下没有意义特例：对于任何00, 当aA时 (B)...

null积分学积分学广义参变量积分讨论的缘由讨论的缘由在参变量积分的讨论中，有些是不能用控制收敛定理处理的. 这就需要发展另外的积分号下取极限理论广义积分极限定理广义积分极限定理广义积分定义广义带参数积分一致收敛极限定理广义带参数积分的微积分性质一致收敛准则广义积分定义广义积分定义以E=(0, )为例广义积分（两种意义下） Lebesgue意义下：在(0, )没有积分的情形 Riemann意义下： 在(0, )上的Riemann积分在常义下没有意义特例：对于任何0< 题为例. 广义带参数积分广义带参数积分设: E  R, 对于x, (x,y)关于y在E上(广义)可积, 称F:   R为带参数积分：在下面研究带参数积分的微积分性质的过程中，为叙述方便，取E= [0, ), 广义积分为第一类广义积分。一致收敛一致收敛一致收敛定义一致收敛的充要条件(等价叙述)一致收敛定义一致收敛定义如果就说积分在上一致收敛一致收敛的充要条件一致收敛的充要条件(A)古典说法：,  A>0, 当aA时 (B) ,  A>0, 当aA时 (C) 极限定理极限定理设R^d非空, a是的一个极限点. 如果在上一致收敛, 且存在(0,)上的函数h, 满足 (*) 那么，收敛, 且 (**)极限定理证明极限定理证明(1) 由条件(*), h在(0,)上可测，并且b>0, h在(0,b)上可积; (2) h在(0,)上可积. 只要证明a>0, 当ba时, c>0, 由在上一致收敛, 就能够找到满足上述条件的a; (3) (**)成立. 极限定理的情形极限定理的情形设关于x在(0,)上一致收敛, 且存在(0,)上的函数h, 满足 (*) 那么，收敛, 且 (**) 广义带参数积分的微积分性质广义带参数积分的微积分性质广义带参数积分的连续性广义带参数积分的积分换序广义带参数积分的可微性仍以为区间的情形来叙述相关的结果广义带参数积分的连续性广义带参数积分的连续性设C([0,)). 如果在上一致收敛则参变量积分在上连续. 证明这是极限定理的直接推论广义带参数积分的积分换序广义带参数积分的积分换序设=[a,b], C([0,)). 如果在上一致收敛. 则证明: 记 , 由在上一致收敛,  A>0, 使得当cA时积分换序证明(续)积分换序证明(续)因此由普通参变量积分的结果所以令c, 就得到所要的结果广义带参数积分的可微性广义带参数积分的可微性积分号下求导: 设, xC([0,)), 在上处处收敛, 在上一致收敛, 则因此积分号下求导的证明积分号下求导的证明任取a, x, 由积分换序定理注意在上是t的连续函数，由微积分基本定理，结果得证广义参变量积分例1广义参变量积分例1计算解：定义由控制收敛定理可知(y)C([0,))C1(0,) 并且广义参变量积分例1(续)广义参变量积分例1(续)通过变量替换得到所以 , 注意因此，也就是，广义参变量积分例2广义参变量积分例2计算当x>0时，由广义积分换序定理一致收敛准则一致收敛准则Weierstrass判别法(优函数判别法,控制收敛判别法) Dirichlet判别法 Abel判别法 Dini判别法Weierstrass判别法Weierstrass判别法如果存在hL(0,)满足则在上一致收敛. 证明：这由hL(0,)和一致收敛的定义直接就可以得到.广义参变量积分例3广义参变量积分例3证明积分 >0, 在[,)上一致收敛，但在(0,)上不一致收敛. 证明：任取>0, 则对于t[,), 由控制收敛定理，在[,)上一致收敛. 注意: 由极限定理，如果在(0,)上一致收敛，则h(x)=1,在(0,)上可积(这是不对的).Dirichlet判别法Dirichlet判别法设, g R,满足 (1)对于x , (x,y) 是上的递减函数; (2) (3) 则在上一致收敛Dirichlet判别法证明Dirichlet判别法证明使用一致收敛的充要条件(A)来证明. 任取, 由条件(2), A>0, 当y>A时，则当a>A, b>0时，x, 由第二积分中值定理因此广义参变量积分例4广义参变量积分例4计算解：定义 1.先证明(y)在[0,)上一致收敛.使用Dirichlet 判别法,取u(x,y)=exp(-xy)/x, v(x,y)=sin x. 因此, (y)在[0,)上连续. 这就要证的一致收敛性广义参变量积分例4(续)广义参变量积分例4(续)2. 当y>0时, (y)在(0,)上可导,并且因此所以注意 (y)0 (y), 得到由此得到广义参变量积分例5广义参变量积分例5设a>0. 证明：积分在(0,a)上不一致收敛，而在(a,)上一致收敛. 证明：在(a,)上,利用Dirichlet判别法,取(x,y)=1/y,g(x,y)=sin(xy), 在(0,a)上,对于任何A>0,取x(0,a): b=/(6x) >A, c=/(2x), 则 Abel判别法Abel判别法设, g R,满足 (1)对于x , (x,y) 是上的单调函数; (2) (3) 在上一致收敛则在上一致收敛 Abel判别法的证明Abel判别法的证明仍使用一致收敛的充要条件(A)来证明. 任取, 由条件(2), A>0, 当a>A, b>0时，则当a>A, b>0时，x, 由第二积分中值定理因此广义参变量积分例6广义参变量积分例6证明积分在R上一致收敛. 证明：利用Abel判别法, 取(x,y)=arctan(x2+y2), g(x,y)=sin(y)/yDini判别法Dini判别法设为有界闭集, C()非负. 如果则在上一致收敛. 证明: 对于c>0, 定义则>0,对于x, c=c(x), Fc(x)< /2.Dini判别法证明(续)Dini判别法证明(续)由Fc=Fc(x)连续,存在=(x)>0,zB(x,), |Fc(z)-Fc(x)|</2, 所以,zB(x,), Fc(z)=Fc(z)-Fc(x)+Fc(x)<  {B(x,): x}是的一个开覆盖, 注意是有界闭集, 有限覆盖原理给出的一个有限子覆盖{B(xk,k):k=1…m},取A=max{c(xk):k=1…m}, 则当a>A时, x, 必有某个B(xk,k)x, 这就有Fa(x)Fc(xk)(x) < 

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