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2.2,2.pdf

2.2,2

吴云峰是个天才
2010-11-13 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《2.2,2pdf》,可适用于高等教育领域

�解析函数的充要条件解析函数的充要条件解析函数的充要条件解析函数的充要条件§§§§解析函数的充要条件解析函数的充要条件解析函数的充要条件解析函数的充要条件�举例举例举例举例如果复变函数如果复变函数如果复变函数如果复变函数w=f(z)=u(x,y)iv(x,y)在定在定在定在定义域义域义域义域D内处处可导内处处可导内处处可导内处处可导则函数则函数则函数则函数w=f(z)在在在在D内解析内解析内解析内解析。。。。问题问题问题问题如何判断函数的解析性呢如何判断函数的解析性呢如何判断函数的解析性呢如何判断函数的解析性呢????本节从函数本节从函数本节从函数本节从函数u(x,y)及及及及v(x,y)的可导性的可导性的可导性的可导性探求探求探求探求函数函数函数函数w=f(z)的可导性的可导性的可导性的可导性从而给出判别函数解析的从而给出判别函数解析的从而给出判别函数解析的从而给出判别函数解析的一个充分必要条件一个充分必要条件一个充分必要条件一个充分必要条件并给出解析函数的求导方法并给出解析函数的求导方法并给出解析函数的求导方法并给出解析函数的求导方法。。。。一一一一解析函数的充要条件解析函数的充要条件解析函数的充要条件解析函数的充要条件则则则则可导可导可导可导在点在点在点在点设函数设函数设函数设函数,),(),()(iyxzyxivyxuzfw================−−−−∆∆∆∆zfzzf)()(yixyxivyxuyyxxivyyxxu∆∆∆∆∆∆∆∆−−−−∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆====),(),(),(),(====∆∆∆∆−−−−∆∆∆∆zzfzzf)()(xyxivyxuyxxivyxxuzzfzzfzfxz∆∆∆∆−−−−∆∆∆∆∆∆∆∆====∆∆∆∆−−−−∆∆∆∆====′′′′→→→→∆∆∆∆→→→→∆∆∆∆),(),(),(),(lim)()(lim)()(====∆∆∆∆→→→→∆∆∆∆yzzz若沿平行于实轴的方式若沿平行于实轴的方式若沿平行于实轴的方式若沿平行于实轴的方式xyxvyxxvixyxuyxxuxxxx∆∆∆∆−−−−∆∆∆∆∆∆∆∆−−−−∆∆∆∆====∆∆∆∆====→→→→∆∆∆∆→→→→∆∆∆∆→→→→∆∆∆∆),(),(lim),(),(limlimxvixu∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂====yiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfzfyz∆∆∆∆−−−−∆∆∆∆∆∆∆∆====∆∆∆∆−−−−∆∆∆∆====′′′′→→→→∆∆∆∆→→→→∆∆∆∆),(),(),(),(lim)()(lim)()(====∆∆∆∆→→→→∆∆∆∆xzzz若沿平行于虚轴的方式若沿平行于虚轴的方式若沿平行于虚轴的方式若沿平行于虚轴的方式yiyxvyyxviyiyxuyyxuyiyyy∆∆∆∆−−−−∆∆∆∆∆∆∆∆−−−−∆∆∆∆====∆∆∆∆→→→→∆∆∆∆→→→→∆∆∆∆→→→→∆∆∆∆),(),(lim),(),(limyuiyvyvyui∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−∂∂∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂====yuxvyvxuyuiyvxvixuzf∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−====∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂⇔⇔⇔⇔∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−∂∂∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∴∴∴∴)('存在存在存在存在Q�记忆记忆记忆记忆yvxvyuxu∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−∂∂∂∂∂∂∂∂yx∂∂∂∂∂∂∂∂定义定义定义定义方程方程方程方程称为称为称为称为CauchyRiemann方程方程方程方程(简称简称简称简称CR方程方程方程方程)yuxvyvxu∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−====∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂定理定理定理定理设设设设f(z)=u(x,y)iv(x,y)在在在在D内有定义内有定义内有定义内有定义则则则则f(z)在点在点在点在点z=xiy∈∈∈∈D处可导的充要条件是处可导的充要条件是处可导的充要条件是处可导的充要条件是u(x,y)和和和和v(x,y)在点在点在点在点(x,y)可微可微可微可微且满足且满足且满足且满足CauchyRiemann方程方程方程方程uvvu∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂yuxvyvxu∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−====∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂上述条件满足时上述条件满足时上述条件满足时上述条件满足时,有有有有xyyyyxxxivviuviuuivuzf====−−−−====−−−−========)('证明证明证明证明((((由由由由f(z)的可导的可导的可导的可导CR方程满足上面已证方程满足上面已证方程满足上面已证方程满足上面已证!!!!只须证只须证只须证只须证f(z)的可导的可导的可导的可导函数函数函数函数u(x,y)、、、、v(x,y)可微可微可微可微)。)。)。)。⇒⇒⇒⇒""⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒∵∵∵∵函数函数函数函数w=f(z)点点点点z可导可导可导可导即即即即zfzzfzf∆∆∆∆−−−−∆∆∆∆====)()(lim)(')(')()()(zfzzfzzfz−−−−∆∆∆∆−−−−∆∆∆∆====∆∆∆∆ρρρρ设设设设则则则则f(z∆z)f(z)=f′′′′(z)∆zρρρρ(∆z)∆z(),且且且且zzfz∆∆∆∆====→→→→∆∆∆∆lim)(')(lim====∆∆∆∆→→→→∆∆∆∆zzρρρρ∆ui∆v=(aib)(∆xi∆y)(ρρρρiρρρρ)(∆xi∆y)=(a∆x−−−−b∆yρρρρ∆x−−−−ρρρρ∆y)i(b∆xa∆yρρρρ∆xρρρρ∆y)令令令令::::f(z∆z)−−−−f(z)=∆ui∆vf′′′′(z)=aibρρρρ(∆z)=ρρρρiρρρρ故故故故(((())))式可写为式可写为式可写为式可写为因此因此因此因此∆u=a∆x−−−−b∆yρρρρ∆x−−−−ρρρρ∆y,∆v=b∆xa∆yρρρρ∆xρρρρ∆y)(lim====→→→→zz∆∆∆∆ρρρρ∆∆∆∆Qlimlim========∴∴∴∴→→→→→→→→→→→→→→→→ρρρρρρρρ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆yxyxlim====−−−−⇒⇒⇒⇒→→→→→→→→zyxyx∆∆∆∆∆∆∆∆ρρρρ∆∆∆∆ρρρρ∆∆∆∆∆∆∆∆lim====∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆→→→→∆∆∆∆→→→→∆∆∆∆zyxyxρρρρρρρρ所以所以所以所以u(x,y)v(x,y)在点在点在点在点(x,y)处可微处可微处可微处可微((((由函数由函数由函数由函数u(x,y),v(x,y)在点在点在点在点(x,y)处可微及满足处可微及满足处可微及满足处可微及满足CR方程方程方程方程f(z)在点在点在点在点z=xiy处可导处可导处可导处可导))))⇒⇒⇒⇒""⇐⇐⇐⇐∵∵∵∵u(xy)v(xy)在在在在(xy)点可微点可微点可微点可微即即即即::::yxyuxuu∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∂∂∂∂∆∆∆∆∂∂∂∂====∆∆∆∆εεεεεεεεyxyyxxu∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∂∂∂∂∆∆∆∆∂∂∂∂====∆∆∆∆εεεεεεεεyxyyvxxvv∆∆∆∆εεεε∆∆∆∆εεεε∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂====),,(,lim其中其中其中其中========→→→→∆∆∆∆→→→→∆∆∆∆kkyxεεεεyixiyyviyuxxvixuviuzfzzf∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∆∆∆∆∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂====∆∆∆∆∆∆∆∆====−−−−∆∆∆∆∴∴∴∴)()()()()()(εεεεεεεεεεεεεεεεyixizxvixuRC∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂====−−−−)()()(εεεεεεεεεεεεεεεε方程方程方程方程由由由由yxuuzfzzf∆∆∆∆∆∆∆∆∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−∆∆∆∆−−−−)()()(||,||→→→→∆∆∆∆∆∆∆∆⇒⇒⇒⇒≤≤≤≤∆∆∆∆∆∆∆∆≤≤≤≤∆∆∆∆∆∆∆∆εεεεεεεεizxzyzxQxvixuzzfzzfzfz∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂====∆∆∆∆−−−−∆∆∆∆====′′′′∴∴∴∴→→→→∆∆∆∆)()(lim)(zyizxixuizuzzfzzf∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂====∆∆∆∆−−−−∆∆∆∆−−−−)()()()(εεεεεεεεεεεεεεεε定理定理定理定理函数函数函数函数f(z)=u(x,y)iv(x,y)在在在在D内解析充要内解析充要内解析充要内解析充要条件是条件是条件是条件是u(x,y)和和和和v(x,y)在在在在D内内内内可微可微可微可微且且且且满足满足满足满足CauchyRiemann方程方程方程方程yuxvyvxu∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−====∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂yxyx∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂�由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系联系联系联系当一个函数可导时当一个函数可导时当一个函数可导时当一个函数可导时,,,,仅由其实部或虚部就可以仅由其实部或虚部就可以仅由其实部或虚部就可以仅由其实部或虚部就可以求出导数来求出导数来求出导数来求出导数来�利用该定理可以判断那些函数是不可导的利用该定理可以判断那些函数是不可导的利用该定理可以判断那些函数是不可导的利用该定理可以判断那些函数是不可导的使用时使用时使用时使用时:i)判别判别判别判别u(x,y)v(x,y)偏导数的连续性偏导数的连续性偏导数的连续性偏导数的连续性ii)验证验证验证验证CR条件条件条件条件iii)求导数求导数求导数求导数:yvyuixvixuzf∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂====)('��前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的的的的,,,,但是求复变函数的导数时要注意但是求复变函数的导数时要注意但是求复变函数的导数时要注意但是求复变函数的导数时要注意,,,,并不是两个并不是两个并不是两个并不是两个实函数分别关于实函数分别关于实函数分别关于实函数分别关于x,,,,y求导简单拼凑成的求导简单拼凑成的求导简单拼凑成的求导简单拼凑成的二二二二举例举例举例举例)()sin(cos)()()(zwyiyezfzwx============例例例例判定下列函数在何处可导判定下列函数在何处可导判定下列函数在何处可导判定下列函数在何处可导在何处解析在何处解析在何处解析在何处解析::::解解解解()设设设设z=xiyw=xiyu=x,v=y则则则则析析析析。。。。在全平面不可导在全平面不可导在全平面不可导在全平面不可导不解不解不解不解故故故故zwyvxuyvxvyuxu====∂∂∂∂∂∂∂∂≠≠≠≠∂∂∂∂∂∂∂∂⇒⇒⇒⇒−−−−====∂∂∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂解解解解()∵∵∵∵f(z)=ex(cosyisiny)则则则则u=excosy,v=exsinycossinsincosyuxvyvxuyeyvyexvyeyuyexuxxxx∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−====∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂⇒⇒⇒⇒====∂∂∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−====∂∂∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂在全平面可导在全平面可导在全平面可导在全平面可导解析解析解析解析。。。。故故故故)sin(cos)(yiyezfyxyxx====∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂)(sincos)('zfyieyexvixuzfxx========∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂====仅在点仅在点仅在点仅在点z=处满足处满足处满足处满足CR条件条件条件条件故故故故解解解解()设设设设z=xiyw=xyu=xy,v=则则则则⇒⇒⇒⇒====∂∂∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂yvxvyyuxxu。。。。处可导处可导处可导处可导但处处不解析但处处不解析但处处不解析但处处不解析仅在仅在仅在仅在========zzw例例例例求证函数求证函数求证函数求证函数),(),(dzdwiyxzyxyiyxxyxivyxuw处解析处解析处解析处解析并求并求并求并求在在在在≠≠≠≠====−−−−========证明证明证明证明由于在由于在由于在由于在z≠处处处处u(x,y)及及及及v(x,y)都是可微函数都是可微函数都是可微函数都是可微函数证明证明证明证明由于在由于在由于在由于在z≠处处处处u(x,y)及及及及v(x,y)都是可微函数都是可微函数都是可微函数都是可微函数且满足且满足且满足且满足CR条件条件条件条件::::,)(yxxyyvxu−−−−====∂∂∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂)(yxxyxvyu−−−−====∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−====∂∂∂∂∂∂∂∂故函数故函数故函数故函数w=f(z)在在在在z≠处解析处解析处解析处解析其导数为其导数为其导数为其导数为)()()()(zyxiyxyxxyiyxxyxvixuzw−−−−====−−−−−−−−====−−−−====∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂DzCzfDzzf∈∈∈∈====⇒⇒⇒⇒∈∈∈∈≡≡≡≡,)(,)('若若若若例例例例DzCzfDzzf∈∈∈∈====⇒⇒⇒⇒∈∈∈∈≡≡≡≡,)(,)('若若若若例例例例复常数复常数复常数复常数))))()()('CiCCzfCvCuvuvuvuiivuzfyyxxyyxx================⇒⇒⇒⇒================∴∴∴∴≡≡≡≡========Q证明证明证明证明例例例例如果如果如果如果f(z)=u(x,y)iv(x,y)是一解析函数是一解析函数是一解析函数是一解析函数且且且且f′′′′(z)≠那么曲线族那么曲线族那么曲线族那么曲线族u(x,y)=Cv(x,y)=C必互相正交必互相正交必互相正交必互相正交这里这里这里这里C、、、、C常数常数常数常数那么在曲线的交点处那么在曲线的交点处那么在曲线的交点处那么在曲线的交点处i)uv均不为零时均不为零时均不为零时均不为零时)('≠≠≠≠∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂====yvyuizfQ不全为不全为不全为不全为与与与与yvyu∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∴∴∴∴解解解解那么在曲线的交点处那么在曲线的交点处那么在曲线的交点处那么在曲线的交点处i)uy、、、、vy均不为零时均不为零时均不为零时均不为零时由隐函数求导法则知曲线族由隐函数求导法则知曲线族由隐函数求导法则知曲线族由隐函数求导法则知曲线族u(x,y)=Cv(x,y)=C中任一条曲线的斜率分别为中任一条曲线的斜率分别为中任一条曲线的斜率分别为中任一条曲线的斜率分别为yxuuk−−−−====yxvvk−−−−====利用利用利用利用CR方程方程方程方程ux=vy,uy=vx有有有有kk=(uxuy)(vxvy)=即即即即::::两族曲线互相正交两族曲线互相正交两族曲线互相正交两族曲线互相正交ii)uyvy中有一为零时中有一为零时中有一为零时中有一为零时不妨设不妨设不妨设不妨设uy=则则则则k=∞k=((((由由由由CR方程方程方程方程))))即即即即::::两族曲线在交点处的切线一条是水平的两族曲线在交点处的切线一条是水平的两族曲线在交点处的切线一条是水平的两族曲线在交点处的切线一条是水平的另另另另一条是铅直的一条是铅直的一条是铅直的一条是铅直的,它们仍互相正交它们仍互相正交它们仍互相正交它们仍互相正交。。。。)(,,,,)()(在复平面内处处解析在复平面内处处解析在复平面内处处解析在复平面内处处解析取何值时取何值时取何值时取何值时问常数问常数问常数问常数若若若若zfdcbaydxycxibyaxyxzf====练习练习练习练习:a=,b=,c=,d=�指数函数指数函数指数函数指数函数�三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数§§§§初等函数初等函数初等函数初等函数�对数函数对数函数对数函数对数函数�乘幂与幂函数乘幂与幂函数乘幂与幂函数乘幂与幂函数�反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数本节将实变函数的一些常用的初等函数本节将实变函数的一些常用的初等函数本节将实变函数的一些常用的初等函数本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形推广到复变函数情形推广到复变函数情形推广到复变函数情形研究这些初等函数的研究这些初等函数的研究这些初等函数的研究这些初等函数的内内内内容容容容简简简简介介介介性质性质性质性质并说明它的解析性并说明它的解析性并说明它的解析性并说明它的解析性。。。。一一一一指数函数指数函数指数函数指数函数±±±±±±±±====pipipipi========⇔⇔⇔⇔L,,,)expArg(expkkyzezx)()sin(cosexp)(:expyiyezzfzziyxzx============如下如下如下如下的指数函数的指数函数的指数函数的指数函数定义复变数定义复变数定义复变数定义复变数对对对对定义定义定义定义它与实变指数函数有类似的性质它与实变指数函数有类似的性质它与实变指数函数有类似的性质它与实变指数函数有类似的性质::::exp)(≠≠≠≠∀∀∀∀zz)exp,(≠≠≠≠====xez事实上事实上事实上事实上xezzfxz========exp)(,)(时时时时为实数为实数为实数为实数当当当当)(====yQ))(§(的例的例的例的例见见见见±±±±±±±±====pipipipi====L,,,)expArg(kkyzexp)(expexp)()(zzzzf====′′′′====且且且且在复平面上处处解析在复平面上处处解析在复平面上处处解析在复平面上处处解析左边左边左边左边设设设设事实上事实上事实上事实上−−−−====⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅============)sincoscos(sinsinsincoscos)sin(cos)sin(cosexpexp),(,yyyyiyyyyeyiyeyiyezzjiyxzxxxxjjj)exp(expexp:)(zzzz====加法定理加法定理加法定理加法定理右边右边右边右边============)exp()sin()cos()sincoscos(sinzzyyiyyeyyyyixxexpzez代替代替代替代替为了方便为了方便为了方便为了方便我们用以后我们用以后我们用以后我们用以后:)(的周期性的周期性的周期性的周期性由加法定理可推得由加法定理可推得由加法定理可推得由加法定理可推得zezf====ZkikTzfTzf∈∈∈∈========,),()(pipipipi)()sin(cos)(,为任意整数为任意整数为任意整数为任意整数事实上事实上事实上事实上kikTzfekikeeeeikzfzzikzikzpipipipipipipipipipipipipipipipipipipipipipipipi====∴∴∴∴====================为任意整数为任意整数为任意整数为任意整数kikTpipipipi====∴∴∴∴�这个性质是实变指数函数所没有的这个性质是实变指数函数所没有的这个性质是实变指数函数所没有的这个性质是实变指数函数所没有的。。。。zzxxzzeeeyyiyyeee))sin()(cos(====∴∴∴∴====⋅⋅⋅⋅====−−−−−−−−====−−−−−−−−−−−−Q又又又又zzzzeee−−−−====⇒⇒⇒⇒没有幂的意义没有幂的意义没有幂的意义没有幂的意义它的定义为它的定义为它的定义为它的定义为仅仅是个符号仅仅是个符号仅仅是个符号仅仅是个符号∴∴∴∴)sin(cos,)(yiyeexzyiyexziysincos:Euler)(========公式公式公式公式就得就得就得就得时,时,时,时,的实部的实部的实部的实部特别当特别当特别当特别当到到到到�)Im(zie求求求求例例例例(((())))pipipipiie求求求求例例例例====ze解方程解方程解方程解方程例例例例xeysin−−−−(((())))ieL,,,±±±±±±±±====pipipipi====kikz)(cossin:,sincossincos,:Ryeeyeeyyiyeyiyexiyiyiyiyiyiy∈∈∈∈∀∀∀∀====−−−−====−−−−============−−−−−−−−−−−−从而得到从而得到从而得到从而得到时时时时当当当当由指数函数的定义由指数函数的定义由指数函数的定义由指数函数的定义二二二二三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数)(cossinRyeeyieey∈∈∈∈∀∀∀∀====−−−−====推广到复变数情形推广到复变数情形推广到复变数情形推广到复变数情形的正弦与余弦函数的正弦与余弦函数的正弦与余弦函数的正弦与余弦函数称为称为称为称为zeezieezzizizizi−−−−−−−−====−−−−====−−−−−−−−)(cossin定义定义定义定义周期函数周期函数周期函数周期函数是是是是及及及及pipipipicossin)====Tzzcos)cos()()(zeeeeeeeeziziziiziizzizi================−−−−−−−−−−−−−−−−pipipipipipipipipipipipipipipipipipipipi�正弦与余弦函数的性质正弦与余弦函数的性质正弦与余弦函数的性质正弦与余弦函数的性质coszee========zzzzsin)'(coscos)'(sin,)−−−−========且且且且在复平面上处处解析在复平面上处处解析在复平面上处处解析在复平面上处处解析zeeeeizizizizizcos)()'()'(sin========−−−−====−−−−−−−−cos,sin)是偶函数是偶函数是偶函数是偶函数是奇函数是奇函数是奇函数是奇函数zzzzzieezizizcos)cos(sin)sin(====−−−−−−−−====−−−−====−−−−−−−−同理同理同理同理zizsincosEuler,)()====成立成立成立成立公式对一切公式对一切公式对一切公式对一切式式式式由由由由zizeizsincos====思考题思考题思考题思考题cos,sin:,cos,sin≤≤≤≤≤≤≤≤zzzz有类似的结果有类似的结果有类似的结果有类似的结果是否与实变函数是否与实变函数是否与实变函数是否与实变函数作为复变函数作为复变函数作为复变函数作为复变函数三角公式三角公式三角公式三角公式的加法定理可推知一些的加法定理可推知一些的加法定理可推知一些的加法定理可推知一些及指数函数及指数函数及指数函数及指数函数由正弦和余弦函数定义由正弦和余弦函数定义由正弦和余弦函数定义由正弦和余弦函数定义)========−−−−====cossinsincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(zzzzzzzzzzzzzz====cossinzziyxiyxiyxiyxiyxiyxsincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(====−−−−====)(sincos====−−−−============−−−−−−−−ishyieeiychyeeiyyyyy由正弦和余弦函数的定义得由正弦和余弦函数的定义得由正弦和余弦函数的定义得由正弦和余弦函数的定义得−−−−====xshyixchyiyxsincos)cos(====−−−−====∴∴∴∴xshyixchyiyxxshyixchyiyxcossin)sin(sincos)cos(zzzzzzzzzzsincsccossecsincoscotcossintan================其它三角函数的定义其它三角函数的定义其它三角函数的定义其它三角函数的定义(详见详见详见详见P)∞∞∞∞→→→→========∞∞∞∞→→→→−−−−shyeeiyyyysin)()当当当当式知式知式知式知由由由由)(sin,sin)Zkkzzz∈∈∈∈========pipipipi的根为的根为的根为的根为即方程即方程即方程即方程的零点的零点的零点的零点Zkkzz∈∈∈∈====pipipipipipipipicos的零点为的零点为的零点为的零点为∞∞∞∞→→→→====∞∞∞∞→→→→========∞∞∞∞→→→→chyiyshyieeiyycossin当当当当sin,cos不再成立不再成立不再成立不再成立在复数范围内在复数范围内在复数范围内在复数范围内≤≤≤≤≤≤≤≤∴∴∴∴zz)(thzcthzchzshzthz========zzzzeechzeeshz−−−−−−−−====−−−−====定义定义定义定义称为双曲正弦和双曲余弦函数称为双曲正弦和双曲余弦函数称为双曲正弦和双曲余弦函数称为双曲正弦和双曲余弦函数�双曲正弦和双曲余弦函数的性质双曲正弦和双曲余弦函数的性质双曲正弦和双曲余弦函数的性质双曲正弦和双曲余弦函数的性质为周期的函数为周期的函数为周期的函数为周期的函数都是以都是以都是以都是以、、、、ichzshzpipipipi)奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数−−−−−−−−−−−−−−−−shzchz,)yishxychxiyxchychiyyishiysincos)(cossin)============由定义由定义由定义由定义析析析析在整个复平面内处处解在整个复平面内处处解在整个复平面内处处解在整个复平面内处处解和和和和chzshzchzshzshzchz========)'()'(),,一定是多值函数一定是多值函数一定是多值函数一定是多值函数反函数反函数反函数反函数且是周期函数且是周期函数且是周期函数且是周期函数故它的故它的故它的故它的定义的定义的定义的定义的函数函数函数函数双曲函数均是由复指数双曲函数均是由复指数双曲函数均是由复指数双曲函数均是由复指数三角函数三角函数三角函数三角函数yishxychxiyxchsincos)(====三三三三对数函数对数函数对数函数对数函数定义定义定义定义指数函数的反函数称为对数函数指数函数的反函数称为对数函数指数函数的反函数称为对数函数指数函数的反函数称为对数函数。。。。即即即即Lnzwzfwzzew========≠≠≠≠====记作记作记作记作称为对数函数称为对数函数称为对数函数称为对数函数的函数的函数的函数的函数把满足把满足把满足把满足,)()(rezivuwi========θθθθ那么那么那么那么令令令令()对数的定义对数的定义对数的定义对数的定义)(,lnZkkvrureerezivuwiivu∈∈∈∈========⇒⇒⇒⇒============pipipipiθθθθθθθθ那么那么那么那么令令令令),,()(lnL±±±±============∴∴∴∴kkirLnzwpipipipiθθθθ),,,()(arglnArglnL±±±±±±±±============kkzizzizLnzpipipipi或或或或,,,)(的一个整数倍的一个整数倍的一个整数倍的一个整数倍相差相差相差相差其任意两个相异值其任意两个相异值其任意两个相异值其任意两个相异值即虚部无穷多即虚部无穷多即虚部无穷多即虚部无穷多角的一般值角的一般值角的一般值角的一般值的幅的幅的幅的幅的虚部是的虚部是的虚部是的虚部是的模的实自然对数的模的实自然对数的模的实自然对数的模的实自然对数它它它它实部是实部是实部是实部是它的它的它的它的的对数仍为复数的对数仍为复数的对数仍为复数的对数仍为复数这说明一个复数这说明一个复数这说明一个复数这说明一个复数pipipipizzzz≠≠≠≠的无穷多值函数的无穷多值函数的无穷多值函数的无穷多值函数是是是是即即即即zLnzw====,的无穷多值函数的无穷多值函数的无穷多值函数的无穷多值函数是是是是即即即即zLnzw====,)(,)(lnargln,主值支主值支主值支主值支的主值的主值的主值的主值称为称为称为称为的一单值函数的一单值函数的一单值函数的一单值函数为为为为时时时时当当当当记作记作记作记作LnzLnzzzizLnzk============)(lnZkkizLnz∈∈∈∈====pipipipi故故故故ikLniiapipipipipipipipipipipipi)()(ln)ln(====−−−−========−−−−====ZkikaLnzazLnzaz∈∈∈∈========>>>>====pipipipilnlnln的主值的主值的主值的主值当当当当例如例如例如例如ikaLnziazLnzaazpipipipipipipipi)(lnlnln)(========>>>>−−−−====的主值的主值的主值的主值当当当当特别特别特别特别ikLnpipipipi)()(====−−−−(负数也有对数)(负数也有对数)(负数也有对数)(负数也有对数),,,,LnzLnzLnzLnz))))复数都有意义复数都有意义复数都有意义复数都有意义对一切非零对一切非零对一切非零对一切非零不仅对正数有意义不仅对正数有意义不仅对正数有意义不仅对正数有意义====w�()对数函数的性质对数函数的性质对数函数的性质对数函数的性质,这与实函数不同这与实函数不同这与实函数不同这与实函数不同多值性多值性多值性多值性了对数函数的了对数函数的了对数函数的了对数函数的指数函数的周期性导致指数函数的周期性导致指数函数的周期性导致指数函数的周期性导致)))),)()LnzLnzzzLnLnzLnzzzLn−−−−========ln:)处处连续处处连续处处连续处处连续在除去原点与负实轴外在除去原点与负实轴外在除去原点与负实轴外在除去原点与负实轴外连续性连续性连续性连续性zln:)处处连续处处连续处处连续处处连续在除去原点与负实轴外在除去原点与负实轴外在除去原点与负实轴外在除去原点与负实轴外连续性连续性连续性连续性z,arglnln:zizz====主值主值主值主值ln续续续续除原点外在其它点均连除原点外在其它点均连除原点外在其它点均连除原点外在其它点均连其中其中其中其中zarg连续连续连续连续在原点与负实轴上都不在原点与负实轴上都不在原点与负实轴上都不在原点与负实轴上都不而而而而z见见见见§§§§例例例例ln,在复平面内处处连续在复平面内处处连续在复平面内处处连续在复平面内处处连续除原点及负实轴外除原点及负实轴外除原点及负实轴外除原点及负实轴外z∴∴∴∴)'(≠≠≠≠========ωωωωωωωωωωωωeeezQzeddzzdzd)'(ln================∴∴∴∴ωωωωωωωωωωωωzz)'(ln====即即即即ln析的析的析的析的除原点及负实轴外是解除原点及负实轴外是解除原点及负实轴外是解除原点及负实轴外是解z====∴∴∴∴ωωωωln:)平面内解析平面内解析平面内解析平面内解析在除去原点与负实轴的在除去原点与负实轴的在除去原点与负实轴的在除去原点与负实轴的解析性解析性解析性解析性zzLnzLnz)'(====且且且且负实轴外均是解析的负实轴外均是解析的负实轴外均是解析的负实轴外均是解析的的每个分支除了原点和的每个分支除了原点和的每个分支除了原点和的每个分支除了原点和,ziez求求求求设设设设====例例例例L,,ln±±±±========kikizpipipipipipipipi四四四四乘幂乘幂乘幂乘幂与幂函数与幂函数与幂函数与幂函数babz�乘幂乘幂乘幂乘幂ab,,,≠≠≠≠aba且且且且为复数为复数为复数为复数设设设设定义定义定义定义bLnabea====定义乘幂定义乘幂定义乘幂定义乘幂,,为实数为实数为实数为实数实变数情形实变数情形实变数情形实变数情形ba>>>>��pipipipikiaLnaln====Q多值多值多值多值一般为多值一般为多值一般为多值一般为多值)(lnpipipipikiabbLnabeea========∴∴∴∴,它是单值函数它是单值函数它是单值函数它是单值函数为整数时为整数时为整数时为整数时b∴∴∴∴ababebkibkelnln)sin(cos========pipipipipipipipipipipipipipipipikbiabkiabbLnabeeeealn)(ln============为整数为整数为整数为整数①①①①当当当当b),,(>>>>====qqpqpb且且且且为互质的整数为互质的整数为互质的整数为互质的整数②②②②当当当当q)(argln)arg(lnpipipipipipipipikaiaikaiabqpqpqpeeea========),,,,(−−−−====qkL)(argsin)(argcoslnpipipipipipipipikaqpikaqpeaqp====q支支支支具有具有具有具有③③③③一般而论一般而论一般而论一般而论ba,无穷多支无穷多支无穷多支无穷多支()当当当当b=n(n正整数正整数正整数正整数)时时时时乘幂乘幂乘幂乘幂ab与与与与a的的的的n次根意义一致次根意义一致次根意义一致次根意义一致。。。。�()当当当当b=n(正整数正整数正整数正整数)时时时时乘幂乘幂乘幂乘幂ab与与与与a的的的的n次幂次幂次幂次幂意义一致意义一致意义一致意义一致。。。。LnaLnaLnaeeeL====LnaLnaLnanLnaneea========LL个个个个naaaa⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====n次根意义一致次根意义一致次根意义一致次根意义一致。。。。nkannnniaikaiaLnaeeeeapipipipipipipipiargln)arg(ln============)argsinarg(cosnkainkaanpipipipipipipipi====),,(−−−−====nkLna====ikikLneee)(lnpipipipipipipipi============)()(lnpipipipipipipipipipipipipipipipi−−−−============kikiiiiLniieeei)sin(cos(pipipipipipipipikik====),,(L±±±±±±±±====k解解解解的值的值的值的值和和和和、、、、求求求求iii例例例例============eeei),,(====k)sin()cos()()(lnpipipipipipipipipipipipipipipipipipipipipipipipipipipipipipipipikkkiikiiLniieeei================),,,(L±±±±±±±±====k�幂函数幂函

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