数形结合在解题中的应用

! 数形结合在解题中的应用 朱智和 （绍兴文理学院 招生与就业指导处，浙江 绍兴 !"#$$$） 摘 要：本文就数形结合思想在解题中的应用问题，从由形化数和由数化形两个方面进行研究。在由形化数一块内容 中主要用解析法、判别式法、复数法、面积（体积）法、代数三角法五方面通过代数方法解决某些几何问题；在由数化形一块 内容中主要论述运用构造法和函数图像法解决一些代数问题。 关键词：数形结合；图像；直角坐标系；构造法 中图分类号：%&!! ’& 文献标识码：( 文章编号："$$) * #+!,（#$$&）"# * $"-$ * $- 所谓数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系分析其代数含义，又揭示其几何直 观，使数量关系与空间形式和谐地结合起来。这是一个极富数学特色的信息转换过程。 数学主要研究现实世界的数量关系和空间形式，在现实世界中这两者相互统一，共同构成现实世界的 两种重要属性，而不是相互割裂存在的。只是为了研究的方便，人们才将它们分别从现实世界中抽象出 来，在数学研究领域内形成代数、几何等范畴。数学研究必然要求将数与形结合起来，理解和掌握数形结 合的思想将有助于提高我们分析问题、解决问题的能力。当我们在寻找解题思路发生困难时，不妨用数形 结合的观点去探索；在解题过程中繁杂运算使人望而生畏时，不妨用数形结合观点去开辟新路。把数量关 系的准确刻划与几何图形的直观描述有机地结合起来，从而充分揭示问题的条件与条件，条件与结论之间 的内在联系，恰当变更转化，使之化难为易，化繁为简，这样，常常会收到事半功倍的效果。这就是数形结 合的解题方法。 数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把 握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，能避免复杂的 计算。要注意培养这种思想意识，争取胸中有图，见数想图，以开拓自己思维的视野。数形结合的思想方 法常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数问题中。 " ’由形化数有些几何问题通过“形向数”的转化会更简便，如采用代数方法解决几何问题，常用的方法 有解析法、判别式法、复数法、面积（体积）法、代数三角法等，解题思路比较明确，规律性强，不像几何方法 需要特殊技巧，因此也就容易找到解题途径。 " ’" 解析法 笛卡尔坐标的产生，实现了几何和代数的统一，解析法解题的关键是建立相应的坐标系，以使有关的 点和曲线用坐标与方程 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示出来，从而将几何问题完全转化为代数语言。解析法的解题步骤主要是：通过 建立坐标系，设定所给图形上有关点的坐标和曲线的方程后，便可将几何问题转 化为代数问题；然后运用代数知识求解。再赋予几何意义，从而获得所求问题的 解答。 例 " #$$- 年第 ". 届亚太地区数学奥林匹克试题 在中 " !"#，点 $，%分别在边 !"，!#上，且 $" & "# & #%，记" !"#的外 接圆半径和内切圆半径为 ’，(，试用 ’，( 表示$%"#。 分析 记 "# & )，!# & *，!" & +，# "!# & !，# !"# & "，# !#" & #，以点 " 为原点，"# 为 , 第 #& 卷 第 "# 期 #$$& 年 + 月 绍 兴 文 理 学 院 学 报 /0123(4 05 67(0,83% 1389:268;< 9=> ’#& 3= ’"# $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 6?@ ’#$$& ! 收稿日期：#$$& * $- * #! 作者简介：朱智和（"+&$ *），男，浙江上虞人，副教授。 轴建立直角坐标系，如图 !。 解 则 !（"，"）。 设 "（!，"）， 所 以 #（#$%!，%&’!），$（! % #$%"，%&’"）。 所 以 & #$ & ( & !" & ( ’ （! % #$%" % #$%!）( (（%&’" % %&’!）( ! ’ ) % (（#$%) ( #$%! ( #$%"），又 * + ’ *%&’ ) ( %&’ ! ( %&’ " ( ’（#$% ) ( ! ( % #$% ) % ! ( ）%&’ " ( ’ % (%&’ ( " ( ( (#$% ) % ! ( #$% ) ( ! ( ’ #$%) ( #$%! ( #$%" % !。所以 #$%) ( #$%! ( #$%" ’ ! ( *+ ， & #$ & ( & !" & ( ’ ! % ( *+ ，即 #$ !" ’ ! % ( * ! + 。 简评 本题采用解析法借助直角坐标系和常用关系式 *+ ’ *%&’ ) ( %&’ ! ( %&’ " ( 将线段比值 #$ !" 转化为 角的三角关系，可以减少或避免添加辅助线，可以减少“寻求隐含条件”的困难，使用时要注意的是坐标系 选择的恰当性。 ! ,( 判别式法 运用方程观点解决几何问题。一般运用在证明几何问题中，把所证问题直接转化为关于的一元二次方 程，然后借助与判别式求出范围。 例 ( 是"-直径，过 )，!引圆的切线 ).，!"，过 )!上任一点/的切线与 ).， !" 交于 .，"，求证：-/ # ! ( ".。 证 如图 (，连接 -"，-.。因为 ).，!"，". 均为 "- 的切线，且 ). $ !"，故 -. % -"。又 -/% ".，故 -/( ’ ./·/"。由图知：./ ( /" ’ ".，根据韦达定理 ./，/"是方程的两个根 0( % ".1 ( -/( ’ "。所以& ’（% ".）( % *-/(’ "，即 -/ # ! ( ".。 简评 本题挖掘线段 ./，/" 的关系，利用韦达定理直接转化为 ".，-/ 的关 系，以方程的“数”的思想解决“形”的问题，独具匠心。 ! ,) 面积（体积）法 三角形面积与三角形的边角有关，因此可用面积为媒介来证明线段，角度相等，比例式等关系（也可用 简单的体积计算公式或者体积比，等体积变换的性质来解立体几何问题）。 例 ) (""* 年 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 数学福建卷（文）第 !+ 题 在三棱锥 2 % )!" 中，& )!" 是边长为 * 的正三角形，平面 2)" % 平面 )!"，2) ’ 2" ’ !( (，# 为 )! 的中点（如图 )）：（!）证明：)" % 2!；（(）求二 面角 2 % "# % ) 的大小；（)）求点 ! 到平面 2"# 的距离。 解 （!）、（(）：略。 （)） 分析 取 )" 中点 .，"# 的中点 /，连接 2.，./，/2。因为 2. % )"，平面 2)" % 平面 )!" 所以 2. % 平面 )!"。所以在 & 2./ 中，2/ ’ 2.( ( ./! ( ’ !,，2# 为边长为 * 的正 & )!" 中线，"# ’ !( )，所以 2& 2"# ’ ! ( "#· 2/ ’ !!,。 解 设点 !到平面 2"#的距离为 3，由 4!% 2"# ’ 42 % "#!，2.%平面 )!"得 ! ) 2& 2"#3 ’ ! ) 2& "#!2.， 所以 3 ’ 2& "#!2. 2& 2"# ’ !* ,, ，即点 ! 到平面 2"# 的距离为 !* , , 。 简评 本题如果采用常规解法寻找点到平面的距离线段比较繁琐，改用体积法，则解答过程大大简 化。 ! ,* 复数法 根据复数及其运算的几何意义，可以解决不少平面几何问题。基本思路是将图形中的点转化为复数， 再通过复数运算使问题解决。 !,!第 !( ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( 期 朱智和：数形结合在解题中的应用 例 !（托勒密定理） 四边形 !"#$ 内接于圆，证明：!"· #$ % "#· !$ & !#· "$。 证 如图 !，设 !，"，#，$ 分别对应复数 ’，(，)，* 记* + ’( + ’ 的幅角为!，由于 圆内接四边形对角互补，知 ( + ’* + ) 的幅角为" +!。因此有 * + ’ ( + ) & * + ’ ( + ’ , -!， ( + ’ * + ) & + ( + ) * + ) , + -! & 将 这 两 式 相 乘 得： * + ’( + ’ · ( + ) * + ) & * + ’ ( +( )’ ( + )* +( )) ，又 !"· #$ % "#· !$ & . ( + ’ .·. * + ) . % . ) + ( . ·. * + ’ . & " + * + ’( +( )’ ( + )* +( )[ ]) . ( + ’ .·. * + ) . & ) + ’( +( )’ ( + *) +( )* . ( + ’ .·. * + ) .。记 ) + ’( + ’ 的幅角为#，由于圆弧上的圆周角相等，再考虑角的方向，则 ( + * ) + * 的幅角为 + #， 则 可 知 ) + ’ ( +( )’ ( + *) +( )* 为 一 正 实 数， 即： ) + ’( +( )’ ( + *) +( )* . ( + ’ .·. * + ) . & . ) + ’ . . ( + ’( ). . ( + * .. ) + *( ). ·. ( + ’ .·. * + ) . & . ) + ’ .·. * + ( . & !#· "$。 简评 托勒密定理的几何证法涉及很多的边角，三角形之间的关系，过程繁琐。而本题采用复数法证 明托勒密定理省去了大量的关系处理，证明过程简洁明了。 " /# 代数三角法 利用三角函数的余弦定理，三角不等式，三角恒等式等内容可解决一些几何问题。 例 # $%%# 年第 "& 届希望杯第一试试题 三棱锥的三个侧面都是直角三角形且三个直角三角形的顶点恰好 是三棱锥的顶点，则其底面一定是（ ）。’、直角三角形； (、钝角三 角形； )、锐角三角形； *、等边三角形。 分析 如图 #，设 ! !$" & ! "$# & ! #$! & +%0，!$ & ’，"$ & (，#$ & )，因为 !"$ & ’$ % ($，!#$ & ’$ % )$，"#$ & ($ % )$。 解 ,-.! !#" & !#$ % "#$ + !"$ $!#· "# 1 %，同理有：,-. 2 "!# 1 %， ,-. 2 !"# 1 %，因为 ! !#"，! !"#，! "!#，三角形的内角，所以 " !"# 一定为锐角三角形，故选 #。 简评 本题利用余弦定理，确定了三角形内角的大小范围，使看似深层的问题通过三角法浮于表层。 $ /由数化形 运用几何方法解决代数问题。根据解决问题的需要，常把数量关系转化为图形的性质问题来讨论，即 把抽象的“数”结构与形象的“形”结构联系起来，化抽象为直观，通过对图形的研究，常能发现问题的隐含 条件，诱发解题线索，使求解过程变得简捷直观。在这个过程中主要运用构造法，构建相应的几何模型，利 用函数图像来解决问题。 $ /" 构造法 一个问题 3 如果在题目给定的系统里不易求解，倘若能找到一种对应关系 4，把它转化为另一个系统 中的相应问题 35，借助于对应关系 4 或新的数学模型 35 的性质，获得原来问题的解答。构造模型是一种创 造性思维，但离不开对题目结构特点的认识。 $ /" /" 求代数式的值 例 & $%%/ 年高考全国卷数学（理）第 "0 题 已知复数 6 的幅角为 &%0，且 . 6 + " . 是 . 6 . 和 . 6 + $ . 的等比中项， 求 . 6 .。 分析 由复数的几何意义可知，复数 6在复平面上的对应点 !在射线 7 & #/ 8（ 8 1 %% 上，则构图 &。 解 " 为 9# 中点且 "（"，%），#（$，%），. 6 . & . 9! .，. 6 + " . & . !" $#" 绍兴文理学院学报（教育教学研究） 第 $& $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 卷 !，! " # ! ! $ ! %& !，! %& ! ! $ ! ’% !·! %( !，又在中，由余弦定理知：! %& ! ! $ ! ’% ! ! ) " # ! ’% !，同 理在中 !’%(，! %( ! ! $ ! ’% ! ! ) # # ! ! ’% !，消去 ! %& !，! %( ! 即可得到 ! " ! $ ! ’% ! $ "! # "。 简评 本题依据复数在直角坐标系中的几何意义，构造相应的三角形，利用余弦定理确定 ! " ! 和线 段 ! ’% ! 的对等关系，将复数的问题直观地转化为三角形的边角关系求解。 ! *" *! 求最值（取值范围） 例 $ !%%# 年第 "& 届希望杯一试第 "$ 题 如果方程 +! # # ! + ! ) ’ $ ,有两个不同实数根，那么 ,的取值范围。 分析 原方程可化为（ ! + ! # !）! $ , # !，作 - $（ ! + ! # !）! 与 - $ , # ! 的图像如图 $，由图知 , # ! $ %或 , # ! . #，即 , $ !或 , . ’ 时方程有两个不等实数根。 简评 本题通过恒等变形，构造两个不同函数，将所求问题转化为 函数图像模型中两个函数图像的交点问题，使问题直观简洁化。 ! *" *( 解方程（方程组） 例 ) !%%" 年保加利亚数学奥林匹克试题 求出所有实数 /，使得存在正实数 +，-，"，满足 ( +! ) ( +" ) "! $ " ( -! ) ( -" ) "! $ # +! # +- ) -! $ { / 。 分析 看上去是一个方程组求解问题，实际上每一个式子蕴含了一个余弦定理 表达式，所以我们选择构造三角形方法。取一点 ’，过 ’ 作射线 ’%，’&，’(，使得 # %’& $ ’%0，# &’( $ # (’% $ "&%0，如图 )。 解 在 ’%，’&，’(上分别取’% $ +，’& $ -，’( $ " "( ，则 %& $ "/，&( $ ! "( ， (% $ " "( ，# %(& 1 # %’& $ ’%0，# &%( 1 # &’( $ "&%0 由余弦定理得： " "( )( ! ) !"( )( ! #（"/）! ! " "( ! "( $ *+,# %(& . *+,# %’& $ " ! ， （"/）! ) " "( )( ! # !"( )( ! ! " "( "/ $ *+,# &%( . *+,# &’( $ "(! ， 整理得 / 1 " 且 / )"/ # " . %，得 / $ "& # "( )! 。 简评 本题表面是一个方程组求解问题，实际上每一个式子蕴含了一个余弦定理表达式，这就启发 我们利用构造三角形的方法来解决此题会比常规方法更为简单。挖掘所求问题的内在含义对于我们解决 问题有事半功倍的效果。 ! *" *# 证明（解）不等式 例 - 第 !% 届全苏数学奥林匹克试题 已知正数 ,，2，3，%，&，( 满足 , ) % $ 2 ) & $ 3 ) ( $ 4，求证：,& ) 2( ) 3% 1 4!。 分析 不等式左边是三个乘积的和，联想到三角形的面积。将题目中 的式子赋予“形”的意义解释，构造如图 - 几何模型等边三角形 567，由 8! 97:8!:5; ) 8! ;69 1 8! 567，即得证。 简评 本题局限于代数不等式范畴不容易证明，通过对“数”的理解正确转化为“形”的范畴，所求问 (&"第 "! %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 期 朱智和：数形结合在解题中的应用 题就迎刃而解了。 ! !! 函数图像法 ! !! !" 有关方程根及其分布（曲线的交点） 例 "# !##$ 年高考数学上海卷（理）第 "# 题 函数 "（ #）$ %&’ # % ! & %&’ # &，# !〔#，!!〕的图像与直线 ’ $ ( 有且仅有 两个不同的交点，则 ( 的取值范围。 解 函数 "（ #）$ %&’ # % ! & %&’ # &，# !〔#，!!〕的图像如图 "#，由图知， 要使直线 ’ $ ( 与 "（ #）有且仅有两个不同的交点，则 ( !（"，(）。 简评 本题的关键是在直角坐标系上正确地反映两个不同函数的图像。通过观察两个函数的图像， 交点的存在性，交点的个数使问题变得形象直观。 ! !! !! 利用函数图像研究函数性质 例 "" !##$ 年高考数学福建卷（理）第 $ 题 函数 "（ #）$ )# * +的图像如图 ""，其中 )，+为常数，则下列结论正确的 是（ ）。,、) - "，+ . #； /、) - #，+ . #； 0、# . ) . "，+ - #； 1、 # . ) . "，+ - #。 解 由图 ""显然有 # . ) . "，"（ #）$ )# * + 是由"（ #）$ ) # 平移得 到。由题意知 "（ #）是由"（ #）向左平移 & + & 个单位得到。所以 + . #，选 )。 简评 本题关键是对题目信息的把握，对指数函数图像平移有明确的 认识和理解。 参考文献： 〔"〕周俊，周刚 *数形结合法在解题教学中的应用〔+〕*连云港教育学院学报，!###，!：,- . ,/ * 〔!〕吴国秀 *数形结合在解题中的巧妙应用〔+〕*中学理科，!##"，（,）：", . "- * 〔(〕齐文友 *构图巧解数学竞赛题〔+〕*数学教育研究，!##0，（1）：(" . (0 * 〔0〕朱德祥，朱维宗 *初等几何研究〔2〕*北京：高等教育出版社，!##( * 〔$〕陈传理，张同君 *竞赛数学教程〔2〕*北京：高等教育出版社，!##0 * 342567 89:;6 43<=3 48:>6 <3 8=?@<3> ;7=5?628 ABC AB&BD （)DEF * GH :IJ&%%&G’% K’I 6JELGMJD’F，8BKGN&’O 4’&PDQ%&FM，8BKGN&’O，ABDR&K’O，("!###） !"#$%&’$：SB&% KQF&TLD，JK&’LM HGQJ FBD FUG K%EDTF% GH TBK’O&’O &’FG FBD KLODVQK HGQJ FBD ODGJDFQM K’I TBK’O&’O &’FG FBD ODGJDFQM HGQJ FBD KLODVQK，JKWD% QD%DKQTB，KF FBD VK%D GH FBD ’CJVDQ %BKED C’&G’ C%KOD &’ %GLP&’O EQGVLDJ% * <’ FBD H&Q%F TG’FD’F，&F TK’ %GLPD FBD ODGJDFQM EQGVLDJ% U&FB FBD KLODVQK":QKLM%&%，)&%TQ&J&’K’F，8MJVGL&T，:QDK（@GLCJDFQ&T），SQ&OG’GJDFQM JDFBGI；<’ FBD %DTG’I TG’FD’F，&F TK’ %GLPD FBD KLODVQK EQGVLDJ% U&FB FBD ODGJDFQM—8FQCTFCQD，XC’TF&G’ &JKOD JDFBDI * ()* +,%-#：’CJVDQ %BKED C’&G’；&JKOD；%FQCTFCQD；Q&OBF Y K’OLD Y TGGQI&’KFD 0$" 绍兴文理学院学报（教育教学研究） 第 !1 ################################################################# 卷