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数形结合在解题中的应用.pdf

数形结合在解题中的应用

九嶷山帝师
2010-11-11 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《数形结合在解题中的应用pdf》,可适用于高等教育领域

!数形结合在解题中的应用朱智和(绍兴文理学院招生与就业指导处浙江绍兴!"#$$$)摘要:本文就数形结合思想在解题中的应用问题从由形化数和由数化形两个方面进行研究。在由形化数一块内容中主要用解析法、判别式法、复数法、面积(体积)法、代数三角法五方面通过代数方法解决某些几何问题在由数化形一块内容中主要论述运用构造法和函数图像法解决一些代数问题。关键词:数形结合图像直角坐标系构造法中图分类号:!!’文献标识码:(文章编号:"$$)*#!,(#$$)"#*$"$*$所谓数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系分析其代数含义又揭示其几何直观使数量关系与空间形式和谐地结合起来。这是一个极富数学特色的信息转换过程。数学主要研究现实世界的数量关系和空间形式在现实世界中这两者相互统一共同构成现实世界的两种重要属性而不是相互割裂存在的。只是为了研究的方便人们才将它们分别从现实世界中抽象出来在数学研究领域内形成代数、几何等范畴。数学研究必然要求将数与形结合起来理解和掌握数形结合的思想将有助于提高我们分析问题、解决问题的能力。当我们在寻找解题思路发生困难时不妨用数形结合的观点去探索在解题过程中繁杂运算使人望而生畏时不妨用数形结合观点去开辟新路。把数量关系的准确刻划与几何图形的直观描述有机地结合起来从而充分揭示问题的条件与条件条件与结论之间的内在联系恰当变更转化使之化难为易化繁为简这样常常会收到事半功倍的效果。这就是数形结合的解题方法。数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化能够变抽象思维为形象思维有助于把握数学问题的本质另外由于使用了数形结合的方法很多问题便迎刃而解且解法简捷能避免复杂的计算。要注意培养这种思想意识争取胸中有图见数想图以开拓自己思维的视野。数形结合的思想方法常见的如在解方程和解不等式问题中在求函数的值域、最值问题中在求复数和三角函数问题中。"’由形化数有些几何问题通过“形向数”的转化会更简便如采用代数方法解决几何问题常用的方法有解析法、判别式法、复数法、面积(体积)法、代数三角法等解题思路比较明确规律性强不像几何方法需要特殊技巧因此也就容易找到解题途径。"’"解析法笛卡尔坐标的产生实现了几何和代数的统一解析法解题的关键是建立相应的坐标系以使有关的点和曲线用坐标与方程表示出来从而将几何问题完全转化为代数语言。解析法的解题步骤主要是:通过建立坐标系设定所给图形上有关点的坐标和曲线的方程后便可将几何问题转化为代数问题然后运用代数知识求解。再赋予几何意义从而获得所求问题的解答。例"#$$年第"届亚太地区数学奥林匹克试题在中"!"#点$分别在边!"!#上且$""##记"!"#的外接圆半径和内切圆半径为’(试用’(表示$"#。分析记"#)!#*!"#"!#!#!"#"#!#"#以点"为原点"#为,第#卷第"#期#$$年月绍兴文理学院学报((,:<=>’#=’"#$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$’#$$!收稿日期:#$$*$*#!作者简介:朱智和("$*)男浙江上虞人副教授。轴建立直角坐标系如图!。解则!("")。设"(!")所以#(#$!’!)$(!#$"’")。所以#$(!"(’(!#$"#$!)(((’"’!)(!’)((#$)(#$!(#$")又*’*’)(’!(’"(’(#$)(!(#$)!()’"(’(’("(((#$)!(#$)(!(’#$)(#$!(#$"!。所以#$)(#$!(#$"’!(*#$(!"(’!(*即#$!"’!(*!。简评本题采用解析法借助直角坐标系和常用关系式*’*’)(’!(’"(将线段比值#$!"转化为角的三角关系可以减少或避免添加辅助线可以减少“寻求隐含条件”的困难使用时要注意的是坐标系选择的恰当性。!,(判别式法运用方程观点解决几何问题。一般运用在证明几何问题中把所证问题直接转化为关于的一元二次方程然后借助与判别式求出范围。例(是"直径过)!引圆的切线)!"过)!上任一点的切线与)!"交于"求证:#!("。证如图(连接"。因为)!""均为"的切线且)$!"故"。又"故(’·"。由图知:("’"根据韦达定理"是方程的两个根("((’"。所以’(")(*(’"即#!("。简评本题挖掘线段"的关系利用韦达定理直接转化为"的关系以方程的“数”的思想解决“形”的问题独具匠心。!,)面积(体积)法三角形面积与三角形的边角有关因此可用面积为媒介来证明线段角度相等比例式等关系(也可用简单的体积计算公式或者体积比等体积变换的性质来解立体几何问题)。例)(""*年高考数学福建卷(文)第!题在三棱锥)!"中)!"是边长为*的正三角形平面)"平面)!")’"’!((#为)!的中点(如图)):(!)证明:)"!(()求二面角"#)的大小())求点!到平面"#的距离。解(!)、(():略。())分析取)"中点"#的中点连接。因为)"平面)"平面)!"所以平面)!"。所以在中’((!(’!,#为边长为*的正)!"中线"#’!()所以"#’!("#·’!!,。解设点!到平面"#的距离为由!"#’"#!平面)!"得!)"#’!)"#!所以’"#!"#’!*,,即点!到平面"#的距离为!*,,。简评本题如果采用常规解法寻找点到平面的距离线段比较繁琐改用体积法则解答过程大大简化。!,*复数法根据复数及其运算的几何意义可以解决不少平面几何问题。基本思路是将图形中的点转化为复数再通过复数运算使问题解决。!,!第!((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((期朱智和:数形结合在解题中的应用例!(托勒密定理)四边形!"#$内接于圆证明:!"·#$"#·!$!#·"$。证如图!设!"#$分别对应复数’()*记*’(’的幅角为!由于圆内接四边形对角互补知(’*)的幅角为"!。因此有*’()*’(’,!(’*)()*),!将这两式相乘得:*’(’·()*)*’(()’()*())又!"·#$"#·!$(’·*))(·*’"*’(()’()*())(’·*))’(()’(*)()*(’·*)。记)’(’的幅角为#由于圆弧上的圆周角相等再考虑角的方向则(*)*的幅角为#则可知)’(()’(*)()*为一正实数即:)’(()’(*)()*(’·*))’(’()(*)*()·(’·*))’·*(!#·"$。简评托勒密定理的几何证法涉及很多的边角三角形之间的关系过程繁琐。而本题采用复数法证明托勒密定理省去了大量的关系处理证明过程简洁明了。"#代数三角法利用三角函数的余弦定理三角不等式三角恒等式等内容可解决一些几何问题。例#$#年第"届希望杯第一试试题三棱锥的三个侧面都是直角三角形且三个直角三角形的顶点恰好是三棱锥的顶点则其底面一定是()。’、直角三角形(、钝角三角形)、锐角三角形*、等边三角形。分析如图#设!!$"!"$#!#$!!$’"$(#$)因为!"$’$($!#$’$)$"#$($)$。解,!!#"!#$"#$!"$$!#·"#同理有:,"!#,!"#因为!!#"!!"#!"!#三角形的内角所以"!"#一定为锐角三角形故选#。简评本题利用余弦定理确定了三角形内角的大小范围使看似深层的问题通过三角法浮于表层。$由数化形运用几何方法解决代数问题。根据解决问题的需要常把数量关系转化为图形的性质问题来讨论即把抽象的“数”结构与形象的“形”结构联系起来化抽象为直观通过对图形的研究常能发现问题的隐含条件诱发解题线索使求解过程变得简捷直观。在这个过程中主要运用构造法构建相应的几何模型利用函数图像来解决问题。$"构造法一个问题如果在题目给定的系统里不易求解倘若能找到一种对应关系把它转化为另一个系统中的相应问题借助于对应关系或新的数学模型的性质获得原来问题的解答。构造模型是一种创造性思维但离不开对题目结构特点的认识。$""求代数式的值例$年高考全国卷数学(理)第"题已知复数的幅角为且"是和$的等比中项求。分析由复数的几何意义可知复数在复平面上的对应点!在射线#(上则构图。解"为#中点且"(")#($)!"!"$#"绍兴文理学院学报(教育教学研究)第$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$卷!!"#!!$!!!!!$!’!·!(!又在中由余弦定理知:!!!$!’!!)"#!’!同理在中!’(!(!!$!’!!)##!!’!消去!!!(!即可得到!"!$!’!$"!#"。简评本题依据复数在直角坐标系中的几何意义构造相应的三角形利用余弦定理确定!"!和线段!’!的对等关系将复数的问题直观地转化为三角形的边角关系求解。!*"*!求最值(取值范围)例$!#年第"届希望杯一试第"$题如果方程!##!!)’$,有两个不同实数根那么,的取值范围。分析原方程可化为(!!#!)!$,#!作$(!!#!)!与$,#!的图像如图$由图知,#!$或,#!#即,$!或,’时方程有两个不等实数根。简评本题通过恒等变形构造两个不同函数将所求问题转化为函数图像模型中两个函数图像的交点问题使问题直观简洁化。!*"*(解方程(方程组)例)!"年保加利亚数学奥林匹克试题求出所有实数使得存在正实数"满足(!)(")"!$"(!)(")"!$#!#)!${。分析看上去是一个方程组求解问题实际上每一个式子蕴含了一个余弦定理表达式所以我们选择构造三角形方法。取一点’过’作射线’’’(使得#’$’#’($#(’$"如图)。解在’’’(上分别取’$’$’($""(则$"($!"(($""(#(#’$’#(#’($"由余弦定理得:""()(!)!"()(!#(")!!""(!"($*,#(*,#’$"!(")!)""()(!#!"()(!!""("$*,#(*,#’($"(!整理得"且)"#"得$"#"()!。简评本题表面是一个方程组求解问题实际上每一个式子蕴含了一个余弦定理表达式这就启发我们利用构造三角形的方法来解决此题会比常规方法更为简单。挖掘所求问题的内在含义对于我们解决问题有事半功倍的效果。!*"*#证明(解)不等式例第!届全苏数学奥林匹克试题已知正数,(满足,)$)$)($求证:,)()!。分析不等式左边是三个乘积的和联想到三角形的面积。将题目中的式子赋予“形”的意义解释构造如图几何模型等边三角形由!:!:)!!即得证。简评本题局限于代数不等式范畴不容易证明通过对“数”的理解正确转化为“形”的范畴所求问("第"!期朱智和:数形结合在解题中的应用题就迎刃而解了。!!!函数图像法!!!!"有关方程根及其分布(曲线的交点)例"#!##$年高考数学上海卷(理)第"#题函数"(#)$’#!’##!〔#!!〕的图像与直线’$(有且仅有两个不同的交点则(的取值范围。解函数"(#)$’#!’##!〔#!!〕的图像如图"#由图知要使直线’$(与"(#)有且仅有两个不同的交点则(!("()。简评本题的关键是在直角坐标系上正确地反映两个不同函数的图像。通过观察两个函数的图像交点的存在性交点的个数使问题变得形象直观。!!!!!利用函数图像研究函数性质例""!##$年高考数学福建卷(理)第$题函数"(#)$)#*的图像如图""其中)为常数则下列结论正确的是()。,、)"#、)##、#)"#、#)"#。解由图""显然有#)""(#)$)#*是由"(#)$)#平移得到。由题意知"(#)是由"(#)向左平移个单位得到。所以#选)。简评本题关键是对题目信息的把握对指数函数图像平移有明确的认识和理解。参考文献:〔"〕周俊周刚*数形结合法在解题教学中的应用〔〕*连云港教育学院学报!###!:,,*〔!〕吴国秀*数形结合在解题中的巧妙应用〔〕*中学理科!##"(,):","*〔(〕齐文友*构图巧解数学竞赛题〔〕*数学教育研究!##():("(*〔〕朱德祥朱维宗*初等几何研究〔〕*北京:高等教育出版社!##(*〔$〕陈传理张同君*竞赛数学教程〔〕*北京:高等教育出版社!##*:<=:><=<>=ABCABBD()DEF*GH:IJG’K’IJELGMJD’FBKGN’O’PDQFMBKGN’OABDRK’O("!###)!"#$’$:SBKQFTLDJK’LMHGQJFBDFUGKEDTFGHTBK’O’O’FGFBDKLODVQKHGQJFBDODGJDFQMK’ITBK’O’O’FGFBDODGJDFQMHGQJFBDKLODVQKJKWDQDDKQTBKFFBDVKDGHFBD’CJVDQBKEDC’G’CKOD’GLP’OEQGVLDJ*<’FBDHQFTG’FD’FFTK’GLPDFBDODGJDFQMEQGVLDJUFBFBDKLODVQK":QKLM)TQJ’K’FMJVGLT:QDK(GLCJDFQT)SQOG’GJDFQMJDFBGI<’FBDDTG’ITG’FD’FFTK’GLPDFBDKLODVQKEQGVLDJUFBFBDODGJDFQMFQCTFCQDXC’TFG’JKODJDFBDI*()*,#:’CJVDQBKEDC’G’JKODFQCTFCQDQOBFYK’OLDYTGGQI’KFD$"绍兴文理学院学报(教育教学研究)第!#################################################################卷

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