杨辉三角形与热力学自由能

武汉水利电力学院学报 �� 年第 ! 期 杨辉三角形与热力学自由能 周 显俊 ∀武汉工学院 # 提 王 继春 ∀武汉工业大学 # 要 本文在∃ % & 。雷克“ 」断言的基础上 , 给出了求得一个热力学体系的全部自由能总数的 规 则 , ∋ 次二项式展开后各项系数 ∀ 即杨辉三角形 # 的和 , 就是一个热力学系统的所有可能的自由能 的 总 数目 , ∋ 是体系的共扼变量的成对数 目。 关镶词 ( 杨辉三角形 ) 热力学 ) 自由能 , 共扼变量 引 言 热力学 自由能 ∀或势 # 是一个古老的课 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 。 还有人在继续研究 。 文献〔� 〕指出 , 所谓 自 由能是 “指既能通过可逆过程作功使能量储存于热力学系统之中 , 而后又能以功的形式释放 的那部分能量 。 ” 又说 “在热力学系统中 , 存在着多少种约束的不同组合 , 就有多少种不 同 形式的自由能 。 ” 试问 ( 究竟如何计算一个体系有多少种约束的不同组合数 , 即多少种自由 能 ∗ 一、 写出热力学自由能 ∀或势 #的简捷方法—恰形式换元法为了方便 , 我们简述一下写出热力学自由能的恰形式换元法 〔“’ ”〕。 假定一开系量的内能 的微分形式表达为 ( + & 二 , + − 一 尸+厂. 件‘+ / · ∀ � # 微分形式的恰形式换元法为 ( + ∀0 + 1 # 2 一 + ‘1 + 0 # ∀ ! # 可方便地写出其他的热力学自由能 ∀或势 # 。 对 ∀ � # 式作一次外微分 , 并换变量犷为尸得到 ( + + & 2 + ∀, + − 一 尸+ 犷 . 卜� + / ‘# 2 + ∀, + − 十厂+尸. 卜 ‘+ / 今 我们令 ( + 万 2 , + − 十犷+ 尸. 34 、+ / ‘ ∀ 5 # 这就是该体系的少含。 换 ∀ � # 式中的变量 ,为 − , 得到体系的 自由能 ( + 6 2 一 − + , 一 尸+ 6 十 协‘+ / ‘ ∀ 7 # 换 ∀ � # 式中的变量 / ‘为卜‘, 得到一个新的热力学自由能 ) 本文 � �尽8年 月收到。 一 9 +: ; , +< 一 尸+厂 一 /滋闪 「 ∀ = # 换 ∀ � # 式中的变量− , 犷为, , 尸 , 得到吉布斯 自由能 ( + > 2 一 − + , 十 ? + ≅ 十山+ / ‘ ∀ Α # 换 ∀ � # 式中的变量< , /为少, ‘) , 得到巨势 ( , · 沁一叙, 一≅+ 犷一 / Β+Χ 户 ‘ ∀ 8 #换 ∀ � # 式 中的变量厂 , /为尸 , 卜, 又得一新的热力学 自由能 ( + Δ 2 , +− 十厂+尸 一 /冠妙‘ ∀ # 换 ∀ � # 式中的变量− , ? , /为 , , 尸, 卜再得一新的热力学自由能 ( + Ε 2 一 − + , 十 Φ +尸 一 /冠卜‘ ∀ � # 若斌2 � , 体系就这八个热力学 自由能 , 若 ‘2 Γ , 则回到闲系情况 , 只有四个热力学势 ) 若 , 2 ! , 5 · , (%% , 则可用换元法变换出更多的热力学 自由能 。试问, 一个热力学体系究竟有多 少个热力学自由能呢 ∗ 二 、 杨辉三角形与热力学自由能数目 为 了说清这个问题 , 我们从闭系说起 。 Η 在闭系情姆下 , 闭系的内能是 ( 卜 减& 产 , +− 一 尸+ 厂 % 变换一个独卒变数有两种情皿 ( 「 一 ‘ 、 己Ι 释,+ − . 网尸 + 6 2 一 − + , 一 尸+ ϑ 这一变换方式数记为 ∀士之 ’# 2 ∀Κ# 2 ! 同时变换两个独立参数只可能有, 种情祝 ( + > 2 一 − + , . 犷+ 尸 ‘ 这一变换方式数记为∀‘少 #2 吮#2 � , 再无其他变换方式 , 所 以闭系的热力学势总个数为 ( Λ . ∀‘Μ ’# . ∀‘百’ # 2 � . ! . Λ 2 7 7 Ν ! 表示四个热力学参数中 , 两 个热力学参数 成对构成热力 学势中的一项 , 热力学势所含 的项数 , ∀ � , ! , � #刚好是杨辉三角形第三横行的数字 。 在开系的情况下 , 变换 ∀ � # 式 中的一个独 立参 数 , 有三 种方式 , 分别得到 ∀ 5 # , ∀ 7 # , ∀ = # 三式 , 方式数记为 ( ∀ Α Μ’ #二 5 ) 、在 ∀ � # 式中同时 变换两个 独立参数 , 分 别得到 ∀ Α # , ∀ 8 # , ∀ # 三式 , 方式数记为 ( ∀ ‘百’#节 5 , 同时 变换三个独立参数只 有一种方式 ( ∀‘百’ #二 � , 这时得到 ∀ � # 式 。 于是 , 对于 ‘一 � 的开体系, 可以有六个热力 学参数 , 侮两个共扼热力学参数成对构成热力学自由能 ∀或势 # 表达式中的一项 , 每个热力 学自由能 ∀或势 # 含 Α Ν ! 2 5 项 , 热力学 自由能的总个数为 ( 。 , Λ . ∀‘Μ Ο # . ∀‘百’ # . ∀‘百’ # , � . 5 . 5 . � 2 2 ∀� . � # 5 ∀� ,礼5 , � #正好是杨辉三角形第四行的数字 , 不难推想 , 杨辉三角形第五行数字 ∀� , 7 , Α , 7 , �# ; ∀� , ∀’Μ’ # , ∀ % 百’ # , ∀吕百’# , ∀ Π ) 勺的总和为 �Α 2 ∀� 十 �# ‘ , 正好是 ( 2 ! 的开系统的所有可能的 约束组合数 目 , 即热力学自由能 数目 ) ∀Θ , = , � Ρ , � Ρ , = , Θ # 2 ∀� , ∀’ “丁’ # , ∀ ’ 。百’# , ∀’ 。百’ # , ∀”百“ # , ∀ ‘ 。Μ ’## 是杨辉三角形第六行数字 , 它们的总和为5! 2 ∀� 十 � # = , 是 ) 一 5的开体系的所有可能 的约束组合数 目, 即热力学 自由能数 目) 余类推 。 另外 , 若尸+ 犷 ∀或厂+ 尸 # 中不只一项 , 上 述方法也是可 以直接推广有效的 。 三 、 结 论 这一发现 丰富了杨辉三角形的 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 , 为我们研究热力学体系的自由能 ∀或势 # 与麦克斯 韦关系提供了一个指南 , 帮助我们根据问题的特点迅速地找出所需要的体系的热力学自由能 ∀或势 # 与相应的麦克斯韦关系, 乃至找出体系的全部热力学自由能和麦克斯韦关系 。 体系的热力学 自由能总数 目为 ( Δ 2 ∀� 十 � #” 2 ∀杨辉三角形 # 相应的麦克斯韦关系总数 目为 ( Ε 2 ∋ Δ 〔� 〕 〔! 〕 参 6 Σ ΛΣ ΤΧ, ∃ 。 & 。 ( 0 Υ Γ + Σ ς ∋ Ω Γ Ξ ς < Σ 考 文 献 ? Γ ∋ Ψ Σ < Β Σ ∋ Τ Γ ΧΘ , Ω 。 ( Ζ ΛΜ ΜΣ ς Σ ∋ Β ΛΠ Χ � � � − Β Π Β Λ < Β Λ Σ Π Χ ≅Τ ϑ < Λ Σ < , � � Ρ , ≅ 5 ! 6 Γ ς [ < Λ∋ Υ Π ΒΤ Σ [ Π Β ΛΣ Π Χ ≅Τ ϑ < Λ Σ < , / 。 Ι % ≅ ‘ Ω % , 〔5 〕 王继春 ( 上 同调形式与≅一形式的分类及其应用 , 《华中师大学报 》∀自然科学版 # , / ∴ % ! , � � = 〔7 〕 王继春( 上同调形式的自然扩展及其在热力学和电动力学中的应用 , 《华中师大学报》 ∀自然科 学版 #/ ∴ % � , Υ Π ΒΤ Σ [ Π Β ΛΣ Π Χ ] Σ ⊥ ΛΣ _ < < ΑΩ ( = Ρ Ρ Ρ ! , � � = 7 ⎯Π ∋ α Ι Ξ Λ , ςΛΠ ∋ α ΧΣ Π ∋ + 6 ςΣ Σ & ∋ Σ ςα ΛΣ < Γ Μ , ΤΣ ς [ Γ +ϑ∋ Π [ ΛΣ < Ο Τ Γ Ξ β 「ΛΠ ∋ ΛΞ ∋ ) Ψ Π ∋ α ΔΛΣ Τ Ξ ∋ 0χ<Β ςΠ Σ Β ( :∋ ΒΤ Λ< δ Π δ Σ ς , χ Π < Σ ∀Χ Γ ∋ ΒΤΣ ⊥ Σ ς + ΛΣ Β χ ϑ ∃ % & % ] Σ ΛΣ Τ Χ, ΒΤΣ Π Ξ ΒΤ Γ ς < ς Σ 且Σ Τ ΒΤ Π Β ΒΤ Σ Β Γ Β成 ∋ Ξ [ χ Σ ς Γ Μ ΒΤ Σ Σ Γ Σ ΜΜΛΣ ΛΣ Γ Β< Γ Μ Π ∋ ΒΤ δ Γ _ Σ ς χ Λ∋ Γ [ ΛΠ Χ �= εΞ < Β ΒΤ Σ < Ξ [ [ Π ΒΛΓ ∋ Γ Μ ΒΤ Σ Β Γ ΒΠ Χ ∋ Ξ [ χ Σ Γ Γ Μ Μς Σ Σ Σ 几Σ ς α ΛΣ ( Γ Μ Π ΒΤ Σ ς [ Γ + ϑ ∋ Π [ ΛΣ < <ϑ < ΒΣ [ , _ Τ Σ ςΣ ∋ �= ΒΤΣ ∋ Ξ [ χ Σ ς Γ Μ δ Π Λς < Γ Μ Σ Γ ∋ ΛΞ α Π Β Σ ⊥ Π ς ΛΠ χ ΧΣ ( Γ Μ ΒΤ。 < ϑ <ΒΣ [ % Ε Σϑ ⎯ Π ∋ α _ Γ ς + < ( Ι Ξ Λ Β ς ΛΠ ∋ α ΧΣ , ΒΤ Σ ς [ Γ + ϑ ∋ Π [ ΛΣ < ) Μς Σ Σ Σ 二 Σ ς α ,ΛΣ < , Σ Γ ∋ εΞ α Π ΒΣ ⊥ Π ς 三Π χ ΧΣ