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3.6李代数nullnull3.6 李代数一、几组概念实李代数:在李群的真实表示中,(-iIj)生成元是线性无关的,以它们作为基构成实线性空间,以生成元对易关系为矢量乘积的定义,此实线性空间对矢量乘积封闭,构成代数,称实李代数生成元定义其中引入虚数单位,是为了使幺正表示生成元厄米相应的代价是生成元对易关系中出现系数i在数学文献中,通常取(-iIj)作为生成元null紧致实李代数:紧致李群的实李代数复李代数:生成元所有的复线性组合构成的线性空间关于矢量乘积也封闭,构成的代数,简称李代数 复李代数称为相应实李代数的复化 实李...

3.6李代数
nullnull3.6 李代数一、几组概念实李代数:在李群的真实表示中,(-iIj)生成元是线性无关的,以它们作为基构成实线性空间,以生成元对易关系为矢量乘积的定义,此实线性空间对矢量乘积封闭,构成代数,称实李代数生成元定义其中引入虚数单位,是为了使幺正表示生成元厄米相应的代价是生成元对易关系中出现系数i在 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 文献中,通常取(-iIj)作为生成元null紧致实李代数:紧致李群的实李代数复李代数:生成元所有的复线性组合构成的线性空间关于矢量乘积也封闭,构成的代数,简称李代数 复李代数称为相应实李代数的复化 实李代数称为相应复李代数的实化 (同一复李代数的实形不唯一) 利用这一点,有些紧致李群与相应非紧致李群的实李代数不同,但复李代数相同,这样可以根据紧致李群来寻找非紧致李群的不等价不可约表示理想:设李群G有子群H,它们的李代数分别记作LG和LH,则LH LG,LH称为子代数;进一步,若对任意X∈LG,Y∈LH,必有[X,Y]∈LH,则称LH是LG的理想null平庸理想:零和全体LG是李代数的两个平庸理想阿贝尔理想:理想中的任意矢量乘积(生成元的对易关系)可对易,即X,Y属于LH 且 [X,Y]=0 李代数存在非平庸理想是李群存在非平庸不变子群的充要条件单纯李群:不存在非平庸不变子群的李群单纯李代数:不存在非平庸理想的李代数半单李群:不存在阿贝尔不变子群的李群半单李代数:除零空间外,不存在阿贝尔理想的李代数 一阶李群:没有非平庸不变子群,必为单纯李群,但它是阿贝尔李群,因此不是半单李群,相应的李代数为单纯李代数,但不是半单李代数(如加法群)null 高于一阶的单纯李群:都半单李群,相应的李代数为半单李代数李群是单纯李群,李代数是单纯李代数的充要条件: 李群的伴随表示是不可约表示 如:SU(2),SO(3)伴随表示是SO(3)自身表示,不可约,因此SU(2),SO(3)是单纯李群,相应李代数是单纯李代数子代数的直和:若在李代数中,两个子代数L1和L2满足:L1+L2=L,L1∩L2=Ф,[L1,L2]=0,则L 称为两个子代数的直和L =L1 + L2,显然L1,L2都是L 的理想 子代数的半直和:若L1是L 的理想,L2不是,且L1+L2=L,L1∩L2=Ф,[L1,L2] L1,则L 称为两个子代数的半直和L =L1 +s L2null 可解李代数:由李代数L 可定义一系列子代数,且 L (1)=[L,L ],L (2)=[L (1),L (1)]...若对L 存在整数n,使L (1)=0成立,则L 称为可解李代数 可证:任李代数L 都可分解为一个可解李代数L1和一个半单李代数L2的半直和;当L1=0时,L 是半单李代数;可解李代数所有有限维不可约表示都是一维的李代数同构:若李代数L '和L 的基及其线性组合一一对应,且矢量乘积仍按同一 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf 一一对应,则L ' ≈L 同构的李代数在对应的基中结构常数相同,因此相应李群局域同构 李代数同态:上述关系变成一多对应,则L ' ~L 此时,L 必可表示为两个子李代数的半直和,其中一个子李代数L1是L 的理想,并与L '的零矢量对应,称为同态核;另一子李代数 L2 ≈L 'null李代数线性表示或模:若李代数L '的元素是矩阵,且 L ' ≈L 或 L '~L,则 L '称为L 的线性表示或模 李代数的等价表示:两个表示的基(生成元)可通过同一相似变换联系 局域意义上,李群和李代数,实李代数和复李代数有共同的线性表示 李代数的不可约表示:李代数表示空间对此李代数不存在非平庸不变子空间 李代数的伴随表示:表示的基(生成元)满足null二、卡西米尔算子(符)对紧致李群,选取适当参数,可以使结构常数完全反对称,则可证明:生成元的平方和可与每一生成元对易生成元的平方和在不可约表示中常取常数矩阵,此常数矩阵可以用来标记李群的不可约表示,由此引入n阶卡西米尔算子由生成元的n次齐次多项式(n次方之和)构成,可与所有生成元对易的算符n阶卡西米尔不变量n阶卡西米尔算子在不可约表示中所取的常数null对紧致李群,生成元的平方和是二阶卡西米尔算子,记作λ:对应第λ个表示; Iλj:不可约表示Dλ的生成元 C2(λ): Dλ表示中(二阶)卡西米尔不变量 如何计算二阶卡西米尔不变量? 原则 组织架构调整原则组织架构设计原则组织架构设置原则财政预算编制原则问卷调查设计原则 上,只需知道每一个生成元的具体形式即可;但对参数较多的李群,这个计算比较复杂另一种方法:若紧致李群又是单纯李群,则其伴随表示是不可约表示引入g×g矩阵可证明它与伴随表示的每一生成元Iadp都对易,即null由于与伴随表示的所有生成元对易,因此,它是常数矩阵(j=k时才不为零)只需知道表示中一个生成元的具体形式,就可计算出T2(λ) T2(λ)与C2(λ)是什么关系?将取j=k,并对j求和将取迹则T2(λ)也常被称作二阶卡西米尔不变量null SO(3)群 二阶卡西米尔算子就是轨道角动量平方算符二阶卡西米尔不变量
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