同构映射第六章 线性空间 §8 线性空间的同构 设 是线性空间 的一组基，在这组基下， 中每个向量都有确定的坐标，而向量的坐标可以看成 元素，因此向量与它的坐标之间的对应实质上就是 到 的一个映射.显然这个映射是单射与满射，换句话说，坐标给出了线性空间 与 的一个双射.这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.设 , 而向量 的坐标分别是 , ，那么 ; . 于是向量 的坐标分别是 , . 以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它们的运算就可以归结为它们坐标的运算.因而线性空间 的讨论也就可以归结为 的讨论. 定义11 数域 ...
第六章 线性空间 §8 线性空间的同构 设 是线性空间 的一组基，在这组基下， 中每个向量都有确定的坐标，而向量的坐标可以看成 元素，因此向量与它的坐标之间的对应实质上就是 到 的一个映射.显然这个映射是单射与满射，换句话说，坐标给出了线性空间 与 的一个双射.这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.设 , 而向量 的坐标分别是 , ，那么 ; . 于是向量 的坐标分别是 , . 以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它们的运算就可以归结为它们坐标的运算.因而线性空间 的讨论也就可以归结为 的讨论. 定义11 数域 上两个线性空间 与 称为同构的，如果由 到 有一个双射 ，具有以下性质： 1） ; 2) 其中 是 中任意向量， 是 中任意数.这样的映射 称为同构映射. 前面的讨论说明在 维线性空间 中取定一组基后，向量与它的坐标之间的对应就是 到 的一个同构映射.因而，数域 上任一个 维线性空间都与 同构. 由定义可以看出，同构映射具有下列性质： 1. . 2. . 3. 中向量组 线性相关 它们的象 线性相关. 因为维数就是空间中线性无关向量的最大个数，所以由同构映射的性质可以推知，同构的线性空间有相同的维数. 4. 如果 是 的一个线性子空间，那么， 在 下的象集合 是 的子空间，并且 与 维数相同. 5. 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射. 同构作为线性空间之间的一种关系，具有反身性、对称性与传递性. 既然数域 上任意一个 维线性空间都与 同构，由同构的对称性与传递性即得，数域 上任意两个 维线性空间都同构. 定理12 数域 上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数. 由线性空间的抽象讨论中，并没有考虑线性空间的元素是什么，也没有考虑其中运算是怎样定义的，而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性质.从这个观点看来，同构的线性空间是可以不加区别的.因之，定理12说明了，维数是有限维线性空间的唯一的本质特征.
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