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高二 科目____ 数学 __ _ 主备教师____ __ 备课组长审核 课题内容 直线与椭圆的位置关系（2） 时间 2009.12 教学 资源 分析 课程
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考试说明 基本要求：1、能利用椭圆的标准方程研究椭圆的简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）。 2、能根据椭圆的性质，写出椭圆的方程。 3、会利用椭圆的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题。 4、掌握求曲线方程的一些基本方法。 5、能用坐标法解决简单的直线与椭圆的位置关系等问题。 发展要求：了解椭圆的第二定义。 考试说明：1、掌握椭圆及简单性质。2、能用坐标法解决简单的直线与椭圆位置关系等问题。3、椭圆的简单应用。 教材分析 根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是研究解析几何的基本问题之一；一方面使学生掌握椭圆的简单几何性质，掌握标准方程中a、b以及c、e的几何意义，a、b、c、e之间相互关系；另一方面椭圆的性质就从方程和图像两个角度去研究，充分体验坐标法的数形相结合思想；以及用坐标法研究曲线的性质有较强的规律性；体会如何用代数方法研究曲线的性质。 教辅资源 中学第二教材 高中教学质量监控讲义A基础训练 多媒体 投影仪 教学 目标 分析 知识与技能 1、涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题，主要有这样几个方面：（1）相交弦的长，有弦长
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|AB|= |x2－x1|；（2）弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等，这可以利用“设点代点、设而不求”的方法（设交点坐标，将交点坐标代入曲线方程，并不具体求出坐标，而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决）. 2、涉及到椭圆焦点弦的问题，还可以利用椭圆的焦半径公式（即椭圆的第二定义），应掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法. 过程与方法 （1）通过对图像和方程研究椭圆的几何性质，体会数形结合的思想方法，培养学生综合运用能力以及归纳能力； （2）通过对性质的应用，体会理论用于实践、是解决问题的基础，自觉养成运算能力、动手、动脑的良好习惯。 情感态度与价值观 通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点. 重点 分析 具体细化内容和确定依据 1、掌握弦长公式．2、弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等，这可以利用“设点代点、设而不求”的方法（点差法）3、涉及到椭圆焦点弦的问题，还可以利用椭圆的焦半径公式（即椭圆的第二定义），应掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法. 难点 分析 会用坐标法解决简单的直线与椭圆关系的问题。 主要教学方法 启发式教学，半开放教学． 教 学 过 程 一、知识点： 1、涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题，主要有这样几个方面： （1）相交弦的长，有弦长公式|AB|= |x2－x1|； （2）弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等，这可以利用“设点代点、设而不求”的方法（设交点坐标，将交点坐标代入曲线方程，并不具体求出坐标，而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决）. 2、涉及到椭圆焦点弦的问题，还可以利用椭圆的焦半径公式（即椭圆的第二定义），应掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法. 3、涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用点差法，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法. 二、题型示例： 1、已知（4，2）是直线l被椭圆 + =1所截得的线段的中点，则l的方程是____________. 解析：设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2）， 将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k= =－ = － =－ =－ . 由点斜式可得l的方程为x+2y－8=0.
答案
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：x+2y－8=0 2、求过点（0，2）的直线被椭圆x2＋2y2＝2所截弦的中点的轨迹方程. 解：设直线方程为y=kx+2， 把它代入x2＋2y2＝2， 整理得（2k2＋1）x2+8kx+6=0. 要使直线和椭圆有两个不同交点，则Δ＞0，即k＜－ 或k＞ . 设直线与椭圆两个交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），中点坐标为C（x，y），则 x＝ ＝ ， y= +2＝ . x= ， y= 消去k得x2＋2（y－1）2＝2， 且｜x｜＜ ＝，0＜y＜ ． （也可利用点差法，但注意范围） 3、中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为 ，与直线x+y－1=0相交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程. 解：设椭圆方程 ＋ ＝1（a＞b＞0）， ∵e＝ ，∴a2＝4b2，即a＝2b. ∴椭圆方程为 ＋ ＝1. 把直线方程代入化简得5x2－8x+4－4b2＝0. 设M（x1，y1）、N（x2，y2），则 x1＋x2＝ ，x1x2＝ （4－4b2）. ∴y1y2＝（1－x1）（1－x2） ＝1－（x1＋x2）＋x1x2＝ （1－4b2）. 由于OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0. 解得b2＝ ，a2＝ . ∴椭圆方程为 x2＋ y2＝1. 4、已知椭圆 的左焦点为F，O为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程； （Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段 AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围. 本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。 解：（I） 圆过点O、F， 圆心M在直线 上。 设 则圆半径 由 得 解得 所求圆的方程为 （II）设直线AB的方程为 代入 整理得 直线AB过椭圆的左焦点F， 方程有两个不等实根。 记 中点 则 的垂直平分线NG的方程为 令 得 点G横坐标的取值范围为 练习： 1、中心在原点，一个焦点为F1（0， ）的椭圆截直线 所得弦的中点横坐标为 ，求椭圆的方程 解析：设椭圆的标准方程为 ，由F1（0， ）得 把直线方程 代入椭圆方程整理得： 。 设弦的两个端点为 ，则由根与系数的关系得： ，又AB的中点横坐标为 ， ，与方程 联立可解出 故所求椭圆的方程为： 。 点评：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由F1（0， ）知，c= ， ，最后解关于a、b的方程组即可 2、已知椭圆C的焦点分别为F1（ ，0）和F2（2 ，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。 解析：设椭圆C的方程为 ， 由题意a=3，c=2 ，于是b=1. ∴椭圆C的方程为 ＋y2＝1． 由 得10x2＋36x＋27＝0， 因为该二次方程的判别式Δ＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1＋x2＝ ， 故线段AB的中点坐标为（ ）． 点评：本题主要考查椭圆的定义标准方程，直线与椭圆的位置关系及线段中点坐标公式。 个性化设计与改进 （六）板书设计 教学
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