圆锥曲线练习题 圆锥曲线练习题 【例1】若双曲线 － ＝1与圆x ＋y ＝1没有公共点，则实数k的取值范围是 。 【解】在同一坐标系中作出双曲线 － ＝1与圆x ＋y ＝1，由双曲线的顶点位置的坐标，可以得到|3k|>1,故求得实数k的取值范围是k> 或k<－ 。 【例2】中心在原点，准线方程为x＝±4，离心率为 的椭圆方程是______。 A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1 C. ＋y ＝1 D. x ＋ ＝1 【例3】如果方程x ＋ky ＝2表示焦点在y轴上椭圆，那么实数k的取值范围是_____。 A. (0,+∞) B. (0,2) C. (1,+∞) D. (0,1) 【例4】在圆x ＋y ＝4上与直线4x＋3y－12=0距离最小的点的坐标是_____。 A. （ ， ） B. ( ,－ ) C. (－ , ) D. (－ ,－ ) 【解】图解法：在同一直角坐标系中作出圆x ＋y ＝4和直线4x＋3y－12=0后，由图可知距离最小的点在第一象限内，所以选A。 【例5】椭图C与椭圆 ＋ ＝1关于直线x＋y＝0对称，椭圆C的方程是_____。 A． ＋ ＝1 B. ＋ ＝1 C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1 【解】图解法：作出椭圆及对称的椭圆C，由中心及焦点位置，容易得到选A。 【另解】直接法：设椭圆C上动点(x,y)，则对称点(－y，－x)，代入已知椭圆方程得 ＋ ＝1，整理即得所求曲线C方程，所以选A。 【例6】过抛物线y ＝4x的焦点，作直线与此抛物线相交于两点P和Q，那么线段PQ中点的轨迹方程是_。 A. y ＝2x－1 B. y ＝2x－2 C. y ＝－2x＋1 D. y ＝－2x＋2 【解】筛选法：由已知可知轨迹曲线的顶点为(1,0)，开口向右，由此排除答案A、C、D，所以选B； 【另解】直接法：设过焦点的直线y＝k(x－1)，则 ，消y得： k x －2(k ＋2)x＋k ＝0,中点坐标有 ，消k得y ＝2x－2，选B。 【例7】给定双曲线x － ＝1， ① 过点A(2,0)的直线L与所给双曲线交于P 及P ，求线段P P 的中点P的轨迹方程； ② 过点B(1,1)能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q 、Q ，且点B是线段Q 、Q 的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。 【分析】两问都可以设直线L的点斜式方程，与双曲线方程联立成方程组，其解就是直线与双曲线的交点坐标，再用韦达定理求解中点坐标等。 【解】① 设直线L：y＝k(x－2) ∴ 消y得(2－k )x ＋4k x－(2＋4k )＝0 ∴ x ＋x ＝ ∴x ＝ 代入直线L得：y ＝ ∴ 消k得2x －4x－y ＝0即 － ＝1 线段P P 的中点P的轨迹方程是： － ＝1 ② 设所求直线m的方程为：y＝k(x－1)＋1 ∴ 消y得(2－k )x ＋(2k －2k)x＋2k－k －3＝0 ∴ x ＋x ＝ ＝2×2 ∴k＝2 代入消y后的方程计算得到：△<0， ∴满足题中条件的直线m不存在。 【注】本题综合性比较强，将解析几何知识进行了横向综合。对于直线与曲线的交点问题和有关交点弦长及其中点的问题，一般可以利用韦达定理和根的判别式求解。本题属于存在型问题，其一般解法是：假设结论不存在，若推论无矛盾，则结论确定存在；若推证出矛盾，则结论不存在。在解题思路中，分析法与反证法起了关键作用。这类问题一般是先列出条件组，通过等价转化解组。 【例8】已知方程kx ＋y ＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的类型，并画出曲线简图。 【分析】由圆、椭圆、双曲线等方程的具体形式，结合方程kx ＋y ＝4的特点，对参数k分k>1、k＝1、0
1、k＝1、01时，表示椭圆，其中心在原点，焦点在y轴上，a＝2，b＝ ; ② 当k＝1时，表示圆，圆心在原点，r＝2； ③ 当0b>0）的半焦距为c，直线l过(0,a)和(b,0)，已知原点到l的距离等于 c，则椭圆的离心率为_____。 A. B. C. D. ab＝ × ，变形为12e －31e ＋7＝0，再解出e，选B； 【例11】 在xoy平面上给定曲线y ＝2x，设点A(a,0)，a∈R，曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。 （本题难度0.40） 【分析】 求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件x≥0下的最小值问题，而引起对参数a的取值讨论。 【解】 设M(x,y)为曲线y ＝2x上任意一点，则 |MA| ＝(x－a) ＋y ＝(x－a) ＋2x＝x －2(a－1)x＋a ＝[x－(a－1)] ＋(2a－1) 由于y ＝2x限定x≥0，所以分以下情况讨论： 当a－1≥0时，x＝a－1取最小值，即|MA} ＝2a－1； 当a－1<0时，x＝0取最小值，即|MA} ＝a ； 综上所述，有f(a)＝ 。 【注】本题解题的基本思路是先建立目标函数。求二次函数的最大值和最小值问题我们十分熟悉，但含参数a，以及还有隐含条件x≥0的限制，所以要从中找出正确的分类标准，从而得到d＝f(a)的函数表达式。 【例12】过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。 A. 3x－2y＝0 B. x＋y－5＝0 C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0 D.不能确定 分截距等于零、不等于零两种情况，选C。 【例13】 设a、b是两个实数，A＝{(x,y)|x＝n，y＝na＋b} （n∈Z），B＝{(x,y)|x＝m，y＝3m ＋15} (m∈Z)，C＝{(x,y)|x ＋y ≤144}，讨论是否，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立。 【分析】集合A、B都是不连续的点集，“存在a、b，使得A∩B≠φ”的含意就是“存在a、b使得na＋b＝3n ＋15(n∈Z)有解（A∩B时x＝n＝m）。再抓住主参数a、b，则此问题的几何意义是：动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n ＋15上，且直线与圆x ＋y ＝144有公共点，但原点到直线L的距离≥12。 【解】 由A∩B≠φ得：na＋b＝3n ＋15 ; 设动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n ＋15上，且直线与圆x ＋y ＝144有公共点， 所以圆心到直线距离d＝ ＝3( ＋ )≥12 ∵ n为整数 ∴ 上式不能取等号，故a、b不存在。 【注】 集合转化为点集（即曲线），而用几何方法进行研究。此题也属探索性问题用数形结合法解，其中还体现了主元思想、方程思想，并体现了对有公共点问题的恰当处理方法。 本题直接运用代数方法进行解答的思路是： 由A∩B≠φ得：na＋b＝3n ＋15 ,即b＝3n ＋15－an （①式）； 由(a,b)∈C得，a ＋b ≤144 （②式）； 把①式代入②式，得关于a的不等式： (1＋n )a －2n(3n ＋15)a＋(3n ＋15) －144≤0 （③式）, 它的判别式△＝4n (3n ＋15) －4(1＋n )[(3n ＋15) －144]＝－36(n －3) 因为n是整数，所以n －3≠0,因而△<0，又因为1＋n >0,故③式不可能有实数解。 所以不存在a、b，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立 【例14】 直线L的方程为：x＝－ (p>0),椭圆中心D(2＋ ,0)，焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A。问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离？ 【分析】 由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时，以A为焦点、L为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。 【解】 由已知得：a＝2，b＝1, A( ,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有： ，消y得：x －(4－7p)x＋(2p＋ )＝0 所以△＝16－64p＋48p >0,即6p －8p＋2>0，解得：p< 或p>1。 结合范围( ,4+ )内两根，设f(x)＝x －(4－7p)x＋(2p＋ )， 所以 < <4+ 即p< ，且f( )>0、f(4+ )>0即p>－4＋3 。 结合以上，所以－4＋3 0恒成立，求k的范围。 【分析】由已知条件 ＋ ＝1，可以发现它与a ＋b ＝1有相似之处，于是实施三角换元。 【解】由 ＋ ＝1，设 ＝cosθ， ＝sinθ， 即： 代入不等式x＋y－k>0得： 3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ) 所以k<-5时不等式恒成立。 【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。 本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x＋y－k>0的区域。即当直线x＋y－k＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组 有相等的一组实数解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3时原不等式恒成立。 【例21】 已知 ＝ ，且 ＋ ＝ (②式)，求 的值。 【解】 设 ＝ ＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sin θ＋cos θ＝k (x +y )＝1,代入②式得： ＋ ＝ ＝ 即： ＋ ＝ 设 ＝t，则t＋ ＝ , 解得：t＝3或 ∴ ＝± 或± 【另解】 由 ＝ ＝tgθ，将等式②两边同时除以 ，再表示成含tgθ的式子：1＋tg θ＝ ＝ tg θ，设tg θ＝t，则3t —10t＋3＝0， ∴t＝3或 ， 解得 ＝± 或± 。 【注】 第一种解法由 ＝ 而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。第二种解法将已知变形为 ＝ ，不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。
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