南昌大学 / 学年第 学期考试试卷 南昌大学第七届高等数学竞赛(07、08级数学专业类)试卷答案 序号: 姓名: ____ 学院: 专业: 学号: 考试日期: 2010年10月 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 累分人 签名 题分 30 9 9 9 9 9 9 8 8 100 得分 考生注意事项:1、本试卷共 5 页,请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手
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以便更换。 2、考试结束后,考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。 1、 填空题(每空 3 分,共 30分) 1、 =0; 2、函数 不可导点的个数是1; 3、 = ; 4、 的收敛区域为[ , ); 5、设 ,则 = ; 6、函数 在 处的泰勒级数为 ; 7、设 ,则 = ; 8、若 ( ) ,则 = ; 9、交换二次积分 的次序为 ; 10、 存在的充要条件是 , ,当 , 时,有 。 二、证明:函数 在 上不一致连续. 证明: 对 , , , ,但是有 所以,函数 在 上不一致连续. 三、设函数 在 上有定义且在每一点处函数的极限存在,求证: 在 上有界. 证明: ,设 在 处的极限为 ,则 , ,有 ,从而 。由 为 的开覆盖及有限覆盖定理得,存在有限个小开区间 …… 也是 的开覆盖。记M为 ,……, 中的最大数,则有 , 有 ,使得 ,于是 四、设 在 上可导,且 ,试证:存在 (0, ),使得 . 令 所以 在(0, )达到最大值,故存在 (0, ),使得 即 五、已知曲线积分 ,其中 是常数, 有连续一阶导数, , 是绕(0,0)点一周的任一分段光滑简单闭曲线.试求 及 . 如图所示,设C是不包含原点在内的任一分段光滑的简单闭曲线,在C上任意取定两点A,B,作围绕原点的闭曲线AKBNA,同时得到另一绕原点的闭曲线AKBMA,由题设条件知 即 从而有 , 则 ,由 知, , 为了计算 ,取 为单位圆周 ,则 六、设 在 上可微,且 ,M是 的上界,则M . 由拉格朗日定理及 ,知存在c = = 于是,M 七、设 在 上有连续偏导数,且 (1)若 求 (2)若 求 . (1) 两端关于 求导,得 当 时, = ,又 在 上有连续偏导数,所以 = (2)由 ,知 又由 ,得 所以 八、设 , 绝对收敛,则 应用积分中值公式,有 = = = 由 在 处连续可知,任意 ,存在 ,使得 ( ) 从而 ( ) 结论对证。 九、求级数 的和. 作幂级数 ,该级数在 收敛 令